專(zhuān)題04選擇中檔重點(diǎn)題（二）

一、單選題

1.（2024?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首住店詩(shī)：我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都

來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.詩(shī)的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間

客房住7人，那么有7人無(wú)房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房.設(shè)該店有客房x間，房

客），人，則可列方程組為（）

裾

算

法

忠

法

先

生

蜂

早^

收

堂

%宗

板

7x+7=y7x4-7=y

"[9（x-l）=y'[9（x+l）=y

7x-7=y7x+7=y

Iv

「9（%-1）二）,?9（x+l）=y

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組.設(shè)該店有客房x間，房客），人；每一間客房住7

人，那么有7人無(wú)房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房得出方程組即可.

【詳解】解：設(shè)該店有客房x間，房客），人；根據(jù)題意得：

7x4-7=y

9（x-l）=j，

故選：A.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）爬坡時(shí)坡角與水平面夾角為。，則每爬Im耗能（1.025—cosa）J,若

某人爬了1000m,該坡角為30。，則他耗能（參考數(shù)據(jù)：＞/3?1,732,V2?1.414）（）

A.58JB.159JC.1025JD.1732J

B

【解析】

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值計(jì)算求解.

【詳解】1000(1.025-cos^)=1000(1.025-cos30°)=1025-50073?1025-500xl.732=159

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）張三經(jīng)營(yíng)了?家草場(chǎng)，草場(chǎng)里面種植.上等草和下等草.他賣(mài)五捆上等

草的根數(shù)減去II根，就等下七排下等草的根數(shù)；賣(mài)七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根

數(shù),設(shè)上等草一捆為工根，下等草一捆為y根，則下列方程正確的是（）

5y-ll=7x5x+ll=7yJ5x-ll=7y

B."<

7y-25=5x[7x+25=5y7x-25=5y

【答案】I

【解析】

【分析】設(shè)上等草?捆為x根，下等草?捆為丁根，根據(jù)“賣(mài)五捆上等草的根數(shù)減去II根，就等下七捆下

等草的根數(shù)；賣(mài)七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆卜等草的根數(shù).”列出方程組，即可求解.

【詳解】解：設(shè)上等草一捆為x根，下等草一摑為y根，根據(jù)題意得：

5x-ll=7y

lx-25=5y'

故選；c

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，旌確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.（2024.廣東深圳?鹽田區(qū)一模）一次函數(shù)丁=履+〃圖象與與反比例函數(shù)），=》的圖象交于A（〃,2）,

x

僅2,-1）,則不等式履+人>'的解集是（）

x

A.-1<x<0sJcx>2B.X<-1B￡X>1

C.xv-2或0<x<2D.xv-1或0<xv2

【答案】D

【解析】

【分析】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)圖象得到當(dāng)一次函數(shù)

），二"+伙女工0）圖象在反比例函數(shù)），二絲的圖象上方時(shí)x的取值即可.

X

【詳解】解：如圖,

X

0/n=2rz=2x(-1),

由函數(shù)圖象可?知，當(dāng)一次函數(shù)丁二丘+雙女工0）圖象在反比例函數(shù)），二竺的圖象上方時(shí),x的取值范圍是:

x<T或0cx<2,

，不等式依的解集是：xv-l或0cx<2,

X

故選：D.

5.（2024.廣東深圳.福田區(qū)三模）如圖，若設(shè)從2019年到2021年我國(guó)海上風(fēng)電新增裝機(jī)容量的平均增長(zhǎng)

:.EF=EG-FG=(y-i.6)mf

CD11EF,

:4AEF?△4CZ)?

EFAF

~CD~~AD

??,CD=a=30cm=0.3m,AD=b=60cm=0.6m,

-1.6_x

0.3-(L6,

整理得：)，=gx+1.6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查r矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)的幾何應(yīng)用,熟練掌握相似

三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.（2024?廣東深圳?33校聯(lián)考一模）A,B兩地相距60千米，一艘輪船從A地順流航行至8地所用時(shí)間

比從8地逆流航行至A地所用時(shí)間少45分鐘，已知船在靜水中航行的速度為20千米/時(shí).若設(shè)水流速度

為％千米/時(shí)（x<20）,則可列方程為（）

6060360603

A.----------------------=—B.----------------=一

20-x20+x420+A20-x4

6060I6060?

C_____________=45D.---------------------=45

20+x20-x20-A20+X

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)時(shí)間的關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵.

順流的速度=靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度?水流速度，根據(jù)路程、速度、時(shí)間的關(guān)系表示出船

順流所用的時(shí)間和逆流所用的時(shí)間，根據(jù)時(shí)間的關(guān)系建立分式方程即可.

【詳解】解：由題意可得,

6()603

20-x20+x4

故選：A.

8.（2024?廣東深圳?南山區(qū)一模）如圖，AB是。。的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30c得到AO,

此時(shí)點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在A3上，延長(zhǎng)CO,交。。于點(diǎn)E,若C￡=4,則圖中陰影部分的面積為（）

A

J

A.2nB.2\I2c.271-4D.2兀一2近

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，連

接。E,OC,BC，根據(jù)等腰三角形、半圓所對(duì)圓周角為90。的性質(zhì)可推出△EOC為等腰直角三角形，

再根據(jù)S陰影=S扇形OEC-SAOK進(jìn)解答即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵?

【詳解】解：連接OEOC,BC，

由旋轉(zhuǎn)知4C=4。，ZC4D=30°,

???ZBOC=60°,ZACE=（180。-30。）+2=75°,

???48是。。的直徑，

Z4C5=90°,

???/BCE=90°-ZACE=15°,

???N3OE=2N3C￡=30。，

:./石OC=90°,即△￡OC等腰直角三角形，

VCE=4,

.?.OE2+OC2=42,

???OE=OC=2V2,

.90nx（2V2）2i

**§陰賬二S扇形8c-S&OEC-T—5x2V2x2V2=2兀-4

JX-*VzJ

故選：c.

9.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)二模）如圖，用尺規(guī)過(guò)圓外一點(diǎn)P作已知圓。的切線，下列作法無(wú)法得到Q4為

切淺的是（）

作尸。中垂線交PO于點(diǎn)。，再以。為圓心，OP為半徑，作圓。交圓。于點(diǎn)

4,連接Q4

以。為圓心，OP為半徑作圓弧交PO延長(zhǎng)線于。，再以。為圓心，BC為

半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A,連接R4

先用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)。作P。垂線，再以。為圓心，OP為半徑畫(huà)弧交垂線0M于B，

再以P為圓心，為半徑畫(huà)弧交圓。于點(diǎn)A,連接”

以P為圓心，P。為半徑畫(huà)弧，再以。為圓心，P0為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)

連接。。交圓。于點(diǎn)A,連接Q4

【答案】D

【解析】

【分析】利用圓周角性質(zhì)定理.，中位線性質(zhì)定理，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析,

從而判斷出結(jié)果.

【詳解】解：A、連接

?-?/BAO=90。,可得至UPA為切線.

B、過(guò)點(diǎn)。作QEJLB4,垂足為石，PD為以。為圓的直徑,

NP4Q=90。，

/.ZPEO=ZPAD=90°,

:.OE//AD,

:APEOS肝AD,

.OEOP

,,布二麗’

OP=OD=LPD,

2

0E=-AD,

2

?.?AD=BC,

0E=-AD=-BC,

22

..OE半徑，可得到94為切線.

C、先用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)。作P。垂線，再以。為圓心，0P為半徑面弧交垂線DW于8,再以P為圓心，BD

為半徑畫(huà)弧交圓。于點(diǎn)A,連接”，

△APggBO(SSS),

:"BDO=/PAO=900,可得到以為切線.

D、以尸為圓心，P。為半徑畫(huà)弧，再以。為圓心，尸。為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)。，△O。尸是等邊三

角形，連接。。交圓。于點(diǎn)A,連接附，如果24為切線，則。4_LAP,A必須為QD中點(diǎn)，

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的切線的作法，包含了圓周角的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中

位線性質(zhì)定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

10.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模）已知拋物線yjLd+bx+cQ/））的圖象如圖所示，則下列結(jié)論①點(diǎn)：<0,

②n+b+c=2,③a>g@0VAV1中正確的有（）

A.0@B.①②③C.?@@D.①②??

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向可以判斷a與。的關(guān)系，由拋物線與y軸交點(diǎn)判斷c與。的關(guān)系，然后根

據(jù)對(duì)稱(chēng)釉以及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而得到結(jié)論.

【詳解】解：???拋物線的開(kāi)口向上，0

當(dāng)x=0時(shí)，可得c〈0,

丁時(shí)稱(chēng)軸x=-――<0?

2a

，a、胴號(hào)，即。>0,

/.abc<0,故①正確；

當(dāng)x=1時(shí)，即a+b+c=2

故②正確；

當(dāng)x=-l時(shí)，a-/?+c<0,

又a+/?+c=2,

a+c=2-b，

將上式代入a-/?+c<0,

即2-2b<0,

故④錯(cuò)誤；

對(duì)■稱(chēng)軸x----->-1?

2a

解得a,

2

因?yàn)閎>l，

1

..a>一,

2

故③正確.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)圖像的綜合題型，掌握二次函數(shù)的定義，對(duì)稱(chēng)軸等相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，是中

考的必考點(diǎn).

11.（2024?廣東深圳?福田區(qū)二模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測(cè)量建筑物。。的高度，如圖，建筑物CO

前有一段坡度為，=1:2的斜坡BE,用測(cè)角儀測(cè)得建筑物屋頂C的仰角為37。,接著小明又向下走/4逐

米，剛好到達(dá)坡底E1處，這時(shí)測(cè)到建筑物屋頂。的仰角為45。，A、B、C.D、E、方在同一平面內(nèi)，

若測(cè)角儀的高度A8=EF=1.5米，則建筑物CO的高度約為（）米.（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：

sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°^0.75）

c

A.38.5米B.39.0米C.40.0米D.41.5米

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)CQ=x米，延長(zhǎng)AS交。后于〃，作FNLCD于N,AM_LCD于M,求出8"=4米,

EH=8米，由矩形的性質(zhì)得出AM=?！?，AH=DM,FN=DE,EF=DN=1.5米,在Rt^CRV

中，求出CN=/W=O￡=(x—1.5)米，AM=D”=(8+x—L5)米，CM二(x-5.5)米，在Rt^ACM

CMCM

中，由一X——，得出方程，解方程即可.

tan37°0.75

【詳解】解：設(shè)C0=x米，延檜AB交DE于H,作FN±CD干N,AM_LCD于

在心△8"E中，七=4石米，BH:EH=1:2,

，BH=4米,切=8米，

???四邊形A/7DW是矩形，四邊形尸EDV是矩形，

.\AM=DH,AH=DM,FN=DE,FE=DN=1.8米,

在RtZ\C/W中，VZC/W=45°,

CN=FN=DE=(x—l.5)米,

???AM=OH=(8+x—1.5)米，CM=(x—5.5)米,

在RSACM中，???NC4M=37。,

CMCM

...AMtan37o：：S0775

c.ux-5.5

.,.8+X-1.5?------

0.75

...尤士41.4米，

.?.8a41.5米,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用的輔助線，構(gòu)造直角三角形解

決問(wèn)題.

12.（2024?廣東深圳?光明區(qū)二模）如圖，在坡比為1：6的斜坡上有一電線桿A3.某時(shí)刻身高L7米的

小明在水平地面上的影長(zhǎng)恰好與其身高相等，此時(shí)電線桿在斜坂上的影長(zhǎng)8。為30米，則電線桿的高

為（）米.

C.15>/3-15D.156+15

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問(wèn)題，正確作出輔助線、熟記銳角三角函數(shù)的定義

是解題的關(guān)鍵，作COJ.AB,由坡比得到NBCD=30。，在Rl^BCO中，應(yīng)用三角函數(shù)，求出BO、CD

的長(zhǎng)，根據(jù)題意求出AD的長(zhǎng)度，根據(jù)=即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作C￡>_LA8,交A8延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，

???坡比為1:6,

tan/BCD=——，

3

???NBC。=30。，

V^C=30,

ACD=BC-cosZBCD=BC-cos30°=30x—=1573(米)，BD=^-BC=^-x30=15(米)，

222

團(tuán)某時(shí)刻身高1.7米的小明在水平地面上的影長(zhǎng)恰好與其身高相等，

:?AD=CD=156(米)，

AAB=AD-BD=]5y/3-15(米)，

故選：C.

13.(2024?廣東深圳-33校三模)“指尖上的非遺一一麻柳刺繡”，針線勾勒之間，繡出世間百態(tài).在一

幅長(zhǎng)80cm,寬50cm的刺繡風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整

個(gè)掛圖的面積是5400cm2,設(shè)金色紙邊的寬度為xcm(風(fēng)景畫(huà)四周的金色紙邊寬度相同)，則列出的方程

為()

A.(50+x)(80+x)=5400

B.(507)(80T)=5400

c.(50+2.r)(80+2x)=5400

D.(50-2x)(80-2x)=5400

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查用?元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)金色紙邊的寬度為xcm,則掛圖的長(zhǎng)為(80+2x)cm,寬就為(50+2x)cm,根據(jù)題目條件列出方程.

【詳解】解：設(shè)金色紙邊的寬度為xcm,則掛圖的長(zhǎng)為（80+2x）cm,寬就為（50+2x）cm,

根據(jù)題意得(50+2x)(80+2x)=5400.

故選：C.

14.（2024?廣東深圳?龍華區(qū)二模）小明在科普讀物中了解到：每種介質(zhì)都有自己的折射率，當(dāng)光從空氣射

入該介質(zhì)時(shí)，折射率為入射角正弦值與折射角正弦值之比，即折射率〃=亞（i為入射角，〃為折射角）.如

sinr

圖，一束光從空氣射向橫截面為直角三角形的玻璃透鏡斜面，經(jīng)折射后沿垂直AC邊的方向射出，已知

z=30°,AB=15cm,BC=5cm,則該玻璃透鏡的折射率〃為（）

法線

A.1.8D1.4

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了三角函數(shù)，余知性質(zhì)，利用余角性質(zhì)可得/〃=NA,進(jìn)而得sin〃=sin4=g,再根

據(jù)折射率〃=理計(jì)算即可求解，由余角性質(zhì)推導(dǎo)出N〃=NA是解題的關(guān)鍵.

smr

【詳解】解：由題意可得，Zl+Zr=90°，

???光線經(jīng)折射后沿垂直4。邊方向射出,

:.Zl+ZA=90°,

Zr=ZA，

VZC=9O°,

..ABC51

AB153

..?A1

..sinr=sinA=—,

3

Vz=30°,

3

故選：c.

法線

15.（2024?廣東深圳啰湖區(qū)二模）2022北京冬奧會(huì)延慶賽區(qū)正在籌建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角約

為20。，在此雪道向下滑行100米，高度大約下降了（）米

100100

A.B.-----------c.100sin20°D.100cos20°

sin20°cos20°

【卷】C

【解析】

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)正弦等于對(duì)比斜直接求解即可得到答案:

【詳解】解：???滑雪道的平均坡角約為20。，滑行100米，

AO

???sinZACB=sin20°=—=-—,

AC100

???AB=100sin20°,

故選：C.

16（2024?廣東深圳?羅湖區(qū)三模）l知線段A8,按如下步驟作圖：

①雙線段A3中點(diǎn)G

②過(guò)點(diǎn)C作直線/,使/J_A8；

③以點(diǎn)C為圓心，A3長(zhǎng)為半徑作弧，交/于點(diǎn)。；

④作ND4C的平分線，交/于點(diǎn)￡則tan/DAE的值為（）

A.1B.撞c.當(dāng)D.旦

2522

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了求角的正切值，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等等，先利用勾股定理求出

ADfAC，由角平分線的性質(zhì)和定義得到瓦'=CE,ZLDAE=ZCAE.再利用等面積法求出

在二避二1即可得到答案.

AC2

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作族于F,

由迦意得，CD=AB=2AC,ZACD=90°,

???AD=^AC2+CDT=也AC，

???AE平分NCAO,EF1AD>ZACD=90°,

:?EF=CE,ZDAE=ZCAE.

??c-q4q

?一°AADE丁U^ACE'

：.-ADEF^--ACCE=-ACCD,

222

/--CEAC+-ACCE=ACAC，

22

.CE2_V5-1

*AC-75+1-2

???tanZDAE=tanZCAE=—=

AC2

17.（2024?廣東深圳?南山區(qū)三模）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為2cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s的速度

沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。停止；同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿48—BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到

達(dá)點(diǎn)。停止，設(shè)△APQ的面積為)，(co?),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),則下列最能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖

象是()

2

八Mem?)Mj(cm)

J3

C萬(wàn)入.吏1

O\124s)O12x(s)

【答案】D

【解析】

【分析】本題考杳了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，根據(jù)實(shí)際情況分情況討論是解題的關(guān)鍵.根據(jù)點(diǎn)0的位置分兩

種情況討論，當(dāng)點(diǎn)。在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求得y與x之間函數(shù)解析式，當(dāng)點(diǎn)。在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求得)'與x之間函數(shù)

解析式，最后根據(jù)分段函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由題得，點(diǎn)Q移動(dòng)的路程為2x,點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x,ZA=ZC=60°,AB=BC=2,

①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作QOLAC于。，

則AQ=2x,”=x,DQ=&,

^APQ的面積y=lAPQD==乎/(0<x?]),

即當(dāng)0<xWl時(shí)，函數(shù)圖象為開(kāi):1向上的拋物線的一部分，故A、B排除;

②如圖，當(dāng)點(diǎn)。在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作QEJLAC于后，

則CQ=4-2x,AP=X,QE=26-瓜,

???△AFQ的面積y=gAPQE=g*(26-6)二—"/十石x(l<x<2)，

即當(dāng)1<XW2時(shí)，函數(shù)圖象為開(kāi)口向下的拋物線的一部分，故C排除，而D正確；

故選：D.

18(2024.廣東深圳?南山區(qū)二模)如圖，RtZ\ABC中，NC=90。，點(diǎn)。在BC上，NCDA=/CAB.若

【答案】C

【解析】

[分析】本題考查解直角三角形，先根據(jù)正切值求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)/CDA=ZCAB,得到ZDAC=ZB,

再利用正切值求出CO的長(zhǎng)，勾股定理求出AO的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：在RtZXACB中，BC=4,tanZ?=^|=^,

3

???AC=—BC=3,

4

???ZCDA=ZCAB,ZCDA+ACAD=ZCAB+N3=90。，

AZZMC=ZB,

CD3

，tanZ.DAC=tanB=-----=—,

AC4

39

：.CD=-AC=~,

44

???AD=\