專(zhuān)題3.3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（舉一反三講義）

【全國(guó)通用】

題型歸納

【題型1函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系】....................................................2

【題型2求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）】....................................................................4

【題型3根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)】......................................................................6

【題型4由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）】.............................................................9

【題型5由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）】..............................................................11

【題型6已知函數(shù)最值求參數(shù)】........................................................................15

【題型7函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】........................................................18

1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)

2023年新課標(biāo)I卷：第11題，5分

⑴借助函數(shù)圖象，了解函容,高考對(duì)最值、極值的考查相對(duì)穩(wěn)定，

2023年新課標(biāo)II卷：第11題，5分

數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容,從近幾年的高

2024年新課標(biāo)I卷：第10題，6分

要和充分條件考情況來(lái)看，高考中常涉及的問(wèn)題有利

2024年新課標(biāo)II卷：第11題，6分、

⑵會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值和最值問(wèn)題；與

第16題，15分

大值、極小值不等式、方程的根（或函數(shù)的零點(diǎn)）等內(nèi)

2025年全國(guó)一卷：第19題，12分

⑶掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函容結(jié)合考查，此類(lèi)問(wèn)題體現(xiàn)了分類(lèi)討

2025年全國(guó)二卷：第10題，6分、

數(shù)最值的方法論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，此類(lèi)問(wèn)題

第13題，5分、第18題，12分

（4）會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究生活中在選擇、填空、解答題中都有考查，而

2025年北京卷：第20題，15分

的最優(yōu)化問(wèn)題在解答題中進(jìn)行考查時(shí)試題難度較大，

2025年上海卷：第19題，14分

復(fù)習(xí)時(shí)需要加強(qiáng)練習(xí).

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的極值問(wèn)題的求解思路

1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)火2極值的一般步驟：

（1）確定函數(shù)大丫）的定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)/（x）；

（3）解方程/（燈=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

（4）列表檢驗(yàn)/（》）在/（x）=0的根xo左右兩側(cè)值的筱號(hào)；

（5）求出極值.

2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

（1）己知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程

組，利用待定系數(shù)法求解.

（2）導(dǎo)數(shù)值為0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的最值問(wèn)題的解題策略

1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：

⑴利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)兒丫）在［〃創(chuàng)上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)在他向內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值＜。），人與；

③將函數(shù)凡丫）的各極值與火。），人團(tuán)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

⑵求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間（或開(kāi)區(qū)間）上的最值的一般步驟：

求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間（或開(kāi)區(qū)間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值

情況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

2.求含有參數(shù)的函數(shù)的最值的解題策略：

求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從

而得到函數(shù)人工）的最值.

【方法技巧與總結(jié)】

1.求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類(lèi)討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是

最值.

2.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒(méi)有必然的大小關(guān)系.

舉一反三

【題型1函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系】

【例1】（2025,廣東,一模）已知函數(shù)尸外）的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A./⑴在區(qū)間（1,4）上單調(diào)遞增B.尸7是尸江》）的極大值點(diǎn)

C.當(dāng)4?7時(shí)，益）＞（）口.府）在區(qū)間（7,+8）上單調(diào)遞減

【答案】C

【解題思路】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，推出結(jié)果.

【解答過(guò)程】解?：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：導(dǎo)函數(shù)在（1,4）,導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)為正，函數(shù)八》）單調(diào)遞增，A正確;

x＜7時(shí)，/G）＞0,函數(shù)/G）單調(diào)遞增，x＞7,/（x）＜0,函數(shù)?x）單調(diào)遞減，

所以x=7是產(chǎn)次x）的極大值點(diǎn)，B正確；

Kt）在區(qū)間（7,y）上單調(diào)遞減，D正確：

當(dāng)44*7時(shí)，函數(shù)/（X）單調(diào)遞增，可能所以C不正確;

故選:C.

【變式1-1］（2025?貴州黔南?一模）三次函數(shù)/（x）=ad+加2ta+d的圖象如圖所示.下列說(shuō)法正確的是（）

A.a<0,b<0,c>0,d>0B.a<0,b>0,c<0,d<0

C.a>0,b<0,c<0,d<QD.。>0,b>0,c<0,d<0

【答案】D

【解題思路】求出函數(shù)yu）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象特征確定各項(xiàng)系數(shù)的正負(fù).

【解答過(guò)程】函數(shù).危尸爾+加+^+乩求導(dǎo)得/（.丫）=3加+2加+如

觀察函數(shù)圖象，得函數(shù)/U）有異號(hào)兩個(gè)極值點(diǎn)引而，且勺＜-2＜0＜心＜2,

函數(shù)/（x）在（-8閃）,（必,+8）上單調(diào)遞增，在（修司）上單調(diào)遞減，歸鼠））＜（），排除A；

由-2￡（占用）,2￡（%+8），得則八一2）=124-4什內(nèi)0,勖=八2）"2）＞0,得加0,排除C；

1/（2）=124+46+00

由不等式3ax2+2bx+c＞0的解集為（-8rxi）。（工2，收），得3〃＞0,即〃＞0,排除B；

又:3巧是方程3ax2+2bx+c=0的二根，修必=?。?，則c＜0,選項(xiàng)D符合題意.

3a

故選：D.

【變式1-2］（2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖是片仆）的導(dǎo)函數(shù)/G）的圖象，對(duì)于下列四個(gè)判斷，其中正確的判

斷是（）

A.當(dāng)尸-1時(shí)，/?取得極大值B./G）在［-2,1］上是增函數(shù)

C.當(dāng)尸1時(shí)，/G）取得極大值D./（x）在卜1,2］上是增函數(shù)，在［2,4］上是減函數(shù)

【答案】D

【解題思路】由導(dǎo)函數(shù)的圖象，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，由此得到函數(shù)人，)的單調(diào)性，由極值的定義判斷函數(shù)4r)

的極值，由此判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.

【解答過(guò)程】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象可知，

當(dāng)工￡(一2,-1)口(2,4)時(shí)，/0)<0,當(dāng)x￡(-1,2)U(4,5)時(shí)，/?>0,

可知人x)在(-2,7),(2,4)內(nèi)單調(diào)遞減,在(T2),(4,5)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=T時(shí)，(x)取得極小值，當(dāng)k2時(shí)，(工)取得極大值，當(dāng)產(chǎn)4時(shí)，./U)取得極小值，

故ABC錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

【變式1-3](24-25高三上?黑龍匚?階段練習(xí))如圖是函數(shù)9G)的導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象，下列結(jié)論正確的

A.月G)在x=T處取得極大值B.尸1是函數(shù)內(nèi)(x)的極值點(diǎn)

C.工=-2是函數(shù)廣式外的極小值點(diǎn)D.函數(shù)月G)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減

【答案】C

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解產(chǎn)/(X)的單調(diào)性，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【解答過(guò)程】由圖象可知：當(dāng)xv—2時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)應(yīng)一2時(shí)，/G)NVU)單調(diào)遞增，

故尸-2是函數(shù),v=/(x)的極小值點(diǎn)，jq/(x)無(wú)極大值.

故選：C.

【題型2求已知函數(shù)的極值(點(diǎn))】

【例2】(2025?新疆?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù),/W=x(x-c)2在x=2處有極小值，則極大值為()

A.32B.1C.￡D.0

【答案】C

【解題思路】求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)可得c=6或片2,即可代入導(dǎo)數(shù)中，確定函數(shù)單調(diào)性，得函數(shù)的極值點(diǎn)求解.

[解答過(guò)程】由題意可得/G)=(X-C)2+2X(LC)=G-C)(3X-c),

由于x=2是極小值點(diǎn)，故/(2)=(2-<?)(6-c)=0=c=2,或c=6,

當(dāng)e=6時(shí)，/(x)=(x-6)(3x-6),當(dāng)x>6和x<2時(shí)，/(x)>0,當(dāng)2V.y6時(shí)，/Cv)<0,

故JU)在(2,6)單調(diào)遞減，在(6,+8]和(-8,2)單調(diào)遞增，

此時(shí)x=2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去，

當(dāng)c=2時(shí)，/(x)=(x-2)(3x-2),當(dāng)x>2和時(shí)，/(x)>0,當(dāng)|〃<2時(shí)，/(x)v(),

故府)在0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)和(-00,f單調(diào)遞增，

此時(shí)x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意，且尸褪極大值點(diǎn)，故極大值為/?=：(?2=||,

故選：C.

【變式2-1](2025?浙江?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)./(x)=a-2)eJe2L2的極小值為()

A.e2-2B.-2C2-2C.2-2C2D.-2-C2

【答案】B

【解題思路】利用二次導(dǎo)數(shù)研究/G)的單調(diào)性，并通過(guò)觀察得其零點(diǎn)，進(jìn)而判斷/G)的單調(diào)性，然后可得極

小值.

【解答過(guò)程】/?=(x-l)^-e2,

記g(x)=(xT)e'*2,貝ijg'(x)=xev,

當(dāng)工>0時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在@+8)上單調(diào)遞增：

當(dāng)"0時(shí)，g'Q)<0,函數(shù)g(x)在(PO,0)上單調(diào)遞減.

2

所以，當(dāng)x=0時(shí)，gCv)min=-l-e<0,

因?yàn)間(2)=0，且當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=(xT<0，

所以,當(dāng)x<2時(shí)，g(x)<0,即/(x)<0,火外在(ro,2)上單調(diào)遞減;

當(dāng)心2時(shí)，g(x)>0,即/(工)>0,70)在(2,+8)上單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)尸2時(shí)，火工)取得極小值/G)=-2e2-2.

故選：B.

【變式2-2](2025?河北?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=sin2x-2sin1+9在區(qū)間(0,2兀)上所有極值點(diǎn)的和為()

A.2nB.37iC.4兀D.5兀

【答案】C

【解題思路】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)為。得cos2r=cos(x+：),再根據(jù)余弦值相等的角的關(guān)系求得x的值,

利用二階導(dǎo)驗(yàn)證所求x是否都是極值點(diǎn)，再加和即可得解.

（解答過(guò)程】/',Cv）=2cos2x-2cos（x+J=-4sin（弓+小sin

由cos2x=cos(x+2x=x+g+2E或2x=-(x+g)+2kit,(kGZ)

①對(duì)于2x=x+＞2E,當(dāng)且僅當(dāng)上0時(shí)，此時(shí)尸：符合題意.

②對(duì)于2x=-（x+g+2E,2,2,3時(shí)符合題意，此時(shí)x弋，巖，號(hào)

當(dāng)0＜吟或gvxv手或等82油寸，/（x）＞0,

3

則尸：是/G）的一個(gè)極大值點(diǎn)；尸費(fèi)是/W的一個(gè)極小值點(diǎn);

尸產(chǎn)是小）的一個(gè)極大值點(diǎn)；尸號(hào)是/㈤的一個(gè)極小值點(diǎn).

故所有極值點(diǎn)的和為＞尹與+寧=4兀

故選：C.

【變式2-3］（2025?寧夏銀川一模）若函數(shù)以尸（7-〃廠(chǎng)2時(shí)在x=-2處取得極大值，則小）的極小值為（）

A.-6e2B.-4eC.-2e2D.

【答案】C

【解題思路】由題意求出。的值，進(jìn)而求出從“，再解出極小值即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)人工尸（7-公-2）^在--2處取得極大值,

貝獷G)=X+(2—〃)x-2—司?巴(A-￡R)M/(-2)=0,

即4一2（2-。）-2-。=0,所以a=2：

所以/(工)=(.一-2x-2),(?,/(x)=(f-4)?cY=(x4-2)(x-2)cv,

4/W=0,則x=2或x=—2,

由工￡(一8,-2)/(x)>0,x￡(-2,2)/Cv)<0,x￡(2,+co)/(x)>0,

所以?。┰冢?co,-2）,（2,+s）上單調(diào)遞增，在（-2,2）上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)/〔X）在x=-2處取得極大直，加小=/（2）=-2/.

故選：C.

【題型3根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)】

【例3】（2025?河南新鄉(xiāng)?三模）已知函數(shù)/（x）=x3-3x+a的極小值為6,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解題思路】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極小值，結(jié)合已知的極小值可求參數(shù)的值.

【解答過(guò)程】/(工)=3--3=3("1)(1),

當(dāng)”-1或公>1時(shí)，/(x)>0；當(dāng)一lavi時(shí)，/(戈)<(),

故JW的極小值點(diǎn)為X=1，故極小值為/(1)=4-2,

結(jié)合題設(shè)可得。-2=6即0=8,

故選：A.

【變式3-1】(2025?山東聊城?模擬預(yù)測(cè))若.?x)=siiu-G在(0,兀)上的極大值大于1,則〃的取值范圍為()

A.(-oo,0)B.(-y,0)C.(-1,0)D.(0,1)

【答案】C

【解題思路】求導(dǎo)后分4的取值范圍討論函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)求出函數(shù)的隱零點(diǎn)Xo,即可求出極大值

點(diǎn)從而得到。=8甌)，再次構(gòu)造函數(shù)g(X),利川導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性可得.

【解答過(guò)程】/(X)=C0SX-4,

當(dāng)壯1時(shí)，/(X)<0,&)在定義域上單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)，

當(dāng)日-1時(shí)，/(X)K)，/⑺在定義域上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?(0)=1-4>0,/(兀)=-1-4<0,

而/3在(0,冗)單調(diào)遞減，所以存在的￡(0力，使/(3=0,

在。X。)上,/(x)>0,/卜)單調(diào)遞增，

在Gom)上，/(x)<o,/G)單調(diào)遞減，

于是沏是在(0,兀)上的極大值點(diǎn)，

此時(shí)/Go)=cosx()-"=0,即a=cosxo，

_

由題意，_/(■%)>1,HP/Cv0)=siiUo?.vo=siav0-v0cos.vo>1,

設(shè)g(x)=sinx-xcosx,則g(x)=xsinx>0,

于是g(x)在(0,兀)上單調(diào)遞增，又g(9=l，

所以x()￡g,7i),a=cos.v0￡(-1,0).

故選：C.

【變式3-2](2025?江西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(X尸e2+ax2恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-co,-e)B.(-00,-2e)C.(-2e,0)D.(-oo,-2e)U(0,+oo)

【答案】B

【解題思路】函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的根，求導(dǎo)反解參數(shù)，得到只需所?有兩個(gè)不同

的根，引入函數(shù)g(x)=*,求導(dǎo)研究其單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合得到答案.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意/a)=2ax-2cN,若函數(shù)人用氣2+辦2恰有兩個(gè)極值點(diǎn),

則只需2ax-2e-lx=0有兩個(gè)不同的根，

顯然尸0不是方程的根，所以只甯所叱有兩個(gè)不同的根，

X

令gG)=F則g(x)=e會(huì)?-2丫),

當(dāng)-Ja<o時(shí)，g'(x)<0,g(x)是減函數(shù)；

當(dāng)>0時(shí)，g'(.r)>0,g(x)是減函數(shù)；

當(dāng)了v-g時(shí)，g(x)>0,g(x)是增函數(shù)，

極大值g(—J=-2c,

又當(dāng)x->0,,g(x)—>+=0,當(dāng)XT+8g(X)-0,，

當(dāng)X—>0-,g(.v)—>-c?,當(dāng)XT-8,g(x)—?-00,

結(jié)合圖象可得若原函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，需滿(mǎn)足6/<-2C.

故選：B.

【變式3-3](2025?浙江臺(tái)州?二模)已知若函數(shù)/a)=x+(TnA?既有極大值又有極小值，則。的取值

范圍是()

A.（"）B,（0*）c.D.

【答案】C

【解題思路】求得/G）=?F，分析可知，關(guān)于x的方程frp=o有兩個(gè)不等的正根，根據(jù)二次方程根的分

布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)”的不等式組，由此可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)?0=式+：底的定義域?yàn)椋?,+8），

所以垢）=1七_(dá)「手，

因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值，又有極小值，

則關(guān)于工的方程x2r-a=0有兩個(gè)不等的正根小、與，

A=l+4a>0

所以，工1+必=1>0,解得一:<a<0,

因此，實(shí)數(shù)Q的取值范圍是

故選：C.

【題型4由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）】

【例4】（2025?湖北黃岡?三模）已知函數(shù),/（x）=2cosx+sin2x,則?。┑淖钚≈凳牵ǎ?/p>

A.-V5B.-苧C.-2V2D.-3

【答案】B

【解題思路】由解析式可分析得到的一個(gè)周期為2兀，則只需考慮在［0,2花）上的值域即可，利用導(dǎo)函數(shù)求得其

最值即可.

【解答過(guò)程】由題/（十）的一個(gè)周期為7=2兀，故只需考慮/Q）在位2兀）上的值域，

/Cv）=-2sin.Y+2cos2v=-2sinx+2（1-2sin2x）=-2（2sinA—1）（sin.r+1）,

當(dāng)［o,§或*￡仔,2兀］時(shí),當(dāng)x岸/用時(shí)，/（x）vO,

所以函數(shù)/㈤在［0,。，管,2兀］上單調(diào)遞增，在6年）上單調(diào)遞減，

因此/（X）的極小值為/管）=-羊>，極大值為/（*）=竽，

又易知/（0）=2,所以函數(shù)/Q）在［0,2冗）上的值域?yàn)椴纷?引，

結(jié)合函數(shù)的最小正周期為2兀，所以函數(shù)/（幻的值域?yàn)椴敷?，竽?/p>

所以/G）的最小值為-言，

故選：B.

【變式4-1】（2025?江蘇南京?三模）已知函數(shù)心）=木尸，則當(dāng)［0,2］時(shí)，益）的最大值為（）

A.-B.-C.-D.-

CCCC

【答案】B

【解題思路】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)極值，即可求得答案.

【解答過(guò)程】由/（x）=xe可得/（;）=右。在一"=『（1-x）,

當(dāng)0力<1時(shí)，/（x）>0；當(dāng)1CW2時(shí)，/（x）<0；

故氏0=標(biāo)一》在［0,1）上單調(diào)遞增，在（1,2］上單調(diào)遞減，

故當(dāng)工￡02］時(shí)，人工）=此->在x=l時(shí)取得極大值，也即最大值穴1）=：

故選：B.

【變式4-2］（2025?陜西渭南?二模）函數(shù)仆）=|xT|+|x-3|+2c'.的最小值為（）

A.6B.2+2eC.6-21n2D.e2+l

【答案】A

【解題思路】分蟀1,1〃<3,企3三種情況結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單同性求解即可.

【解答過(guò)程】當(dāng)於1時(shí)，（丫）=1-x+3-x+2ev=4-2r+2cx,

WlJ/（-v）=-2+2ev,

令/（x）>0，得0X1;令/G）v（），得x<0,

所以函數(shù)/（x）在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,1］上單調(diào)遞增，

則段）min=/（0）=4+2=6;

當(dāng)l〈x<3時(shí)，/Cr）=xT+3r+2et=2+2e\

函數(shù)/Q）在（1,3）上單調(diào)遞增，則兒r）力U）=2+2e>6；

當(dāng)工23時(shí)，/0）=尸1+工-3+2爐=2刀一4+2^,

貝獷（x）=2+2F>0,函數(shù)/。）在［3,+8）上單調(diào)遞增，

則?min歡3）=6-4+2e3=2+2e3>6.

綜上所述，函數(shù)於）=|尸1|+卜-3|42爐的最小值為6.

故選：A.

【變式4-3］（2025?貴州黔南?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)/（x）=（La）（hu-5）,若/（x）沙，則"的最小值為（）

A.一止B.TC.D.

【答案】D

【解題思路】先分析函數(shù)g(x)=x-a,ha)=hiLb的正負(fù)性，進(jìn)而得出方小,再構(gòu)造函數(shù)9(x)=;d,研究其最小

值即可.

【解答過(guò)程】令gG)=x-dhG)=lnx-b,則/Q)=g(x)h(x),

當(dāng)工￡(一00⑷時(shí)，g(x)<0；當(dāng)》仁(。,+8)時(shí)，g(x)>0；

當(dāng)工￡(0,a)時(shí)，h(.r)<()：當(dāng)x￡(d\+8)時(shí)，h(x)>0,

由J(x)NO,知所所以"=加笈￡火,

令少(x)=xe,則/(x)=(x+l)巴

則，(戈)<0得x<-l；o'(x)>O得.r>-1,

則g(x)在(-oo,T)上單調(diào)遞減，在當(dāng)(-1,+8)上單調(diào)遞增，

所以8(X)min=9(T尸故的最小值為-3

故選：D.

【題型5由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)】

【例5】(2025?遼寧?三模)已知函數(shù)小)=g+1戶(hù)3視).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，判斷過(guò)點(diǎn)(-1,())且與曲線(xiàn)4t)相切的直線(xiàn)有幾條，并求出切線(xiàn)方程：

(2)求人x)的最值.

【答案】⑴只有1條，尸夕H=0

⑵當(dāng)心0時(shí)，/(X)min=/(-2)=-沒(méi)有最大值：當(dāng)。<0時(shí)，./卜皿=/(-2)=-3沒(méi)有最小值.

【解題思路】(1)分(-1,0)是切點(diǎn)與不是切點(diǎn)兩種情況求解，當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得對(duì)應(yīng)切

線(xiàn)方程，結(jié)合已知點(diǎn)在切線(xiàn)上可得0=-(打+2)砂。+m(-京-加+1),進(jìn)而求解判斷即；

(2)分心0與。>()兩種情況，可得兒6的單調(diào)性，進(jìn)而可求最值.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=(x+l)巴則/(x)=a+2)e\

由題意可知點(diǎn)(T,0)在曲線(xiàn)人工)上，

①所以當(dāng)(TQ)是切點(diǎn)時(shí)，則切線(xiàn)斜率為/(-1)三

進(jìn)而切線(xiàn)方程為ju1(x+l),即x-cy+l=O,

C

②當(dāng)(-1,0)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為KoGo+iN)，旦工(#-1，

則切線(xiàn)斜率為/(xo)=Go+2)外,

進(jìn)而切線(xiàn)方程為廣?(xo+l)e'o=(xo+2)ex<>(x-xo),

化簡(jiǎn)得>,=Cvo+2)eVox+ex°(一,裔4()+1),

將(TQ)代入上式，得0=-(而+2把'。+1。(-/—％+1),

化簡(jiǎn)得君+2“+1=0,解得x0=T(舍)，進(jìn)而此時(shí)沒(méi)有切線(xiàn)，

綜上所述，過(guò)點(diǎn)(-1,0)且與曲線(xiàn)./U)相切的直線(xiàn)只有1條，切線(xiàn)方程為尸他的=0.

(2)/(x)=a(x+2)eA,

當(dāng)心0時(shí)，由/(x)〈0解得xv—2,由/(x)>0解得Q—2,

?/)在(-co,-2)上單調(diào)遞減，在(-2LO)上單調(diào)遞增，

所以/U)min=/L2)=-9沒(méi)有最大值；

當(dāng)"0時(shí)，由/(x)〈0解得62,由/(外>0解得》<-2,

/(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,-co)上單調(diào)遞減，

所以/(X)max=/b2)=-g沒(méi)有最小道?

綜上，當(dāng)心。時(shí)，於)min=A-2)=T，沒(méi)有最大值；

當(dāng)”0時(shí)，./Wmax=/(-2)=-3，沒(méi)有最小值.

V

【變式5-1](2025?黑龍江齊齊哈爾?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)人工)=鏟3聲儀?！昊?.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求,/(X)在(040))處的切線(xiàn)方程：

(2)討論/(x)的單調(diào)性，并求最值.

【答案】⑴尸2x+2

(2)答案見(jiàn)解析

【解題思路】(1)通過(guò)求導(dǎo)得到切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式即可求得切線(xiàn)方程；

(2)將函數(shù)求導(dǎo)后，根據(jù)參數(shù)。分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷求解函數(shù)的最值.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/Q)=e'+x+l,求導(dǎo)得：/OF+l,

則J(0)=2,左切=/(0)=2,

則j[x)在(0J(0))處的切線(xiàn)方程：廣2=2(x-0),即y=2x+2：

(2)由/{x^^+ax+a求導(dǎo)得：/(x)=e*+〃，

①當(dāng)介0時(shí)，/(x)>0在R上恒成立，故/U)在R上單調(diào)遞增，無(wú)最值；

②當(dāng)a<0時(shí)，由/(x尸0,解得尸1口(-〃)，

當(dāng)HVln(-a)時(shí)，/㈤<0,則人外在(-8刖(-4))上單調(diào)遞減；

當(dāng)Aln(—〃)時(shí)，/(x)>0,在(In”),+8)單調(diào)遞增,

所以/G)在x=ln(-a)有最小值，為/(ln(-a))=em(F)+aln(-a)+a=Hn(-a),無(wú)最大值.

【變式5-2](2025-浙江?模擬預(yù)測(cè))設(shè)a>0,函數(shù)/0<)=?+.^+^(<7-v2).

⑴若小1,討論40的單調(diào)性;

(2)求人外的最大值.

【答案】(1)答案見(jiàn)詳解

(2)答案見(jiàn)詳解

【解題思路】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷/G)的單調(diào)性；

(2)求導(dǎo)，分040和。>1兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷./(X)的單調(diào)性和最值.

【解答過(guò)程】(1)令0-『>0,且>0,解得論訴，

可知/G)的定義域?yàn)?-倔M，且/。)="a=當(dāng)口，

因?yàn)?<a<1,比一后,則a-x2>0^c2-a+1>0,

當(dāng)-a<x<0時(shí)，/(x)>0：當(dāng)0<工<口時(shí)，/(x)<0；

可知/W在(-y,0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(0,加內(nèi)單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知：/U)的定義域?yàn)?-口,0,且/(幻=當(dāng)/，

若0<處1,可知./(X)在(-舊,0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(0,?內(nèi)單調(diào)遞減，

所以/G)的最大值為,/(0)=a+ln4；

若1,令/(工)>0,解得-1<工<-J〃-1或0<x<y/a-\:

4/G)v0,解得-V^RrvO或7^7*〃；

可知/G)在(-倔-后7),(o,，F(xiàn)T)內(nèi)單調(diào)遞增，在(-g,o),(衍,叮)內(nèi)單調(diào)遞減,

且j(-Va-1)=f(y/a-1)=2a-1,

所以?x)的最大值為2a-1；

綜上所述：若O〈〃W1,/(x)的最大值為1/(0)=a+ln4；

若心1,的最大值為2〃-1.

【變式5-3](2025?河南駐馬店?二模)已知函數(shù)/WfR-千).

(1)討論/&)的最值;

(2)若a=1,且?v)W,求A的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)［加)

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論分析函數(shù)的單調(diào)性，求解最值即可;

(2)當(dāng)4=1時(shí)，人外&一恒成立，分離參數(shù)鼠構(gòu)造函數(shù)11?=勺呵，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性求出最

大值，即可得解.

【解答過(guò)程】(1)由題意得人工)的定義域?yàn)?0,+8),

1

f“(x)\=a--=-"--T--

XX

當(dāng)d()K￡(0,+oo)時(shí)，/G)<0,

所以/(X)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，無(wú)最大值，無(wú)最小值;

當(dāng)心o時(shí)，令/G)=o,得、=-,

當(dāng)工￡(。9時(shí)，/(x)v0,/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)工￡(J+00)時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

故當(dāng)尸夕時(shí)，/(X)取得最小值，且最小值為/g)=l+lna,無(wú)最大值.

綜上，當(dāng)壯。時(shí)，./(X)無(wú)最大值，無(wú)最小值:

當(dāng)”>0時(shí)，/(x)的最小值為1+lna,無(wú)最大值.

(2)當(dāng)。=1時(shí)，由/口把一,

得.r-lrLr<^—

整理得^>V2+X-A1TU-,

/x-.Hnx

n即n

2

人L/、x+.vxlar

令h?=—?―

(2什1Tnv-1)eJ(/+x-xhv)(f

則h'(x)

(■r-hu)(l-x)

由(1)知，當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=x-lav的最

小值為/0）=i>o,

即LlllOO恒成立，

所以當(dāng)（（）,1）時(shí)，h'（x）>O,h（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)工￡（1,+8）時(shí),h'（x）vo,h（x）單調(diào)遞減.

故當(dāng)尸1時(shí)，h（x）取得最大值h（l）=2,即左岸，

CC

故k的取值范圍為R+OO）.

【題型6已知函數(shù)最值求參數(shù)】

【例6】（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）若“F+W的最小值為：，則破（）

A?:B.：C.;或3D.：

【答案】A

【解題思路】令片、2+后1,構(gòu)造,&）=火+:〃，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及分類(lèi)討念研究函數(shù)的最值，結(jié)合已知最小值求參數(shù)

即可.

【解答過(guò)程】令片.d+lNl,則a,

令JW=a什卜a,貝獷⑺=。一

當(dāng)三0時(shí)，/（獷0,則/⑺在口,也）上單調(diào)遞減，顯然無(wú)最小值，不符；

當(dāng)a>0時(shí)，令。-（=0,則1=5,

若』W1,生1時(shí)，/（/）>0,則/⑺在［1,+8）上單調(diào)遞增，故/⑺min=/（1）=1，不符；

若二>1,0<a<l時(shí)，

*

在U,；）_t/（f）<o,即加）在口二）上單調(diào)遞減，

在（4、出）±/"）>0,即/⑺在（右,出）上單調(diào)遞增，

所以/（/）min=/lT）=2口一。，則2夜-4=%

V。4

可得44-8y+3=（2訴-1）（2口-3）=0,又可得。=（；

綜上，

4

故選；A.

【變式6-1](2025?四川自貢?三模)函數(shù)?。=(廠(chǎng)5)2(XT)),若.心)在(4b+3)有最大值，則實(shí)數(shù)6的取值范

圍是()

A.(-4,5)B.卜4,引C.(-4,j)D.(-4,5]

【答案】B

【解題思路】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分芋=5,手>5,一<5三種情況討論求解即可.

【解答過(guò)程】由/(X)=(X-5)2(A-A)=CV2-10.^+25)(^),

貝I1/(X)=(2L10)(X-/?)+(A2-1O.V+25J=(X-5)(3X-5-2Z?),

4/(-v)=0,得尸5或尸一，

當(dāng)停=5,即6=5時(shí)，/G)=3(L5)2NO,

函數(shù)/W在R上單調(diào)遞增，此時(shí)大外在3,什3)上沒(méi)有最大值，不符合題意；

當(dāng)*5,即b>5時(shí)，

令j(x)>0，得x<5或x>芋，

W)<0.得5<x<辭，

則函數(shù)/G)在(-8,5)和(管,+8)上單調(diào)遞增，在(5,個(gè))上單調(diào)遞減，

又大5)=/3)=0.則穴外在(Ab+3)沒(méi)有最大值，不符合題意：

當(dāng)手<5,即X5時(shí)，

令/(x)>0,得不<芋或x>5,

4/(x)〈0,得*x<5,

則函數(shù)危)在(-8,學(xué))和(5,+8)上單調(diào)遞增，在(芋,5)上單調(diào)遞減，

又/管)=(等7)2管⑹「等,

G%(牛-5)2段⑹一第，

要使/(X)在(46+3)有最大值，

貝|Jh<<b+3<解得-4〈人

綜上所述，實(shí)數(shù)/，的取值范圍是14.?].

故選：B.

【變式6-2］（2025?福建?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)?r）=x2-2HiiY（a＞0）.

（1）求函數(shù)/G）的極值點(diǎn)：

（2）若函數(shù)/&）在區(qū)間［l,e］上的最小值為0,求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】（1）極小值點(diǎn)為尸亞無(wú)極大值點(diǎn)

⑵a=e

【解題思路】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn);

（2）分口土、1＜口＜°、危。三種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得解.

【解答過(guò)程】（1）函數(shù)2HnX〃＞0）的定義域?yàn)椋?,+8）,

X/（X）=2X--=2（，-。）=2（x+a）（v-O,

所以當(dāng)0＜x＜夜H、j/（x）＜0,當(dāng)x＞VdH't/（x）＞0,

所以/G）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,〃），單調(diào)遞增區(qū)間為（口,+oo）,

所以x=Q為/5）的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).

（2）當(dāng)代1,即0＜史1時(shí)，＜X）在［1?上單調(diào)遞增,

所以在X=1處取得最小值，/U）mir=/U）=l視，不符合題意；

當(dāng)ivyve,即lvavc2,此時(shí)/㈤在（1、0上單調(diào)遞減，在（收比）上單調(diào)遞增，

所以2a［nG=0,解得6f=c；

當(dāng)、0次，即。次2,此時(shí)?r）在［1?上單調(diào)遞減，

所以/G）min=/（e）=e2-24We2-2e2＜0,不符合題意；

綜上可得折e.

【變式6-3］（2025?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/&）=lnx-a（x-l）,其中q￡R

⑴若a=l,求函數(shù)/（%）的增區(qū)間；

（2）若/G）在（0,1］上的最大值為0.求a的取值范圍.

【答案】（1）（0,1）

（2）｛a\a＜\）

【解題思路】（1）由已知對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0即可求解；

（2）求導(dǎo)，分兇）,0＜aWl和。＞1三種情況,討論危）的最大值,即可求解.

【解答過(guò)程】⑴當(dāng)。=1時(shí)，/（x）=lrLv-（A—1）,

其定義域?yàn)椋?,+8）,

—

</?>0,解得0a<1,

???函數(shù)/W的增區(qū)間為(0,1).

(2)由/(x)=lma(x-1),彳5/(》)=一—〃，

若芯0,則/(力>0,g)單調(diào)遞增;

若心0,/(x)=："

當(dāng)OCV—時(shí)，/(.v)>0,/G)單調(diào)遞增，

當(dāng)，時(shí)，/(x)<0,/G)單調(diào)遞減；

???當(dāng)a<0時(shí)，/(X)在(0,1］上單調(diào)遞增，

，危)max=/U)=O,滿(mǎn)足題意；

當(dāng)R時(shí)，即0<。01時(shí)，火工)在(0,1］上單調(diào)遞增，

?\Ax)max=/U)=。，滿(mǎn)足題意；

當(dāng)0<*1時(shí)，即心1時(shí)，/(X)在(09)上單調(diào)遞增，在(J1］上單調(diào)遞減,

???/［x)max=/C)=<n；-l+a=a-\na-l,

令g(6/)=a-lna-l,貝加'(“)=1'=八，

當(dāng)心1時(shí)，g(〃)>0，gQ)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

???gQ)>g(l)=O，即/)max=aTnaT>0,不滿(mǎn)足題意,

綜上，a的取值范圍是｝.

【題型7函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】

【例7】(2025?江西上饒?一模)利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目的，同學(xué)們利用

我們所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，探究函數(shù)/￡(0,+oo)，下列說(shuō)法正確的是()

A./")有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)B./㈤在(()、)上段調(diào)遞增

C.存在實(shí)數(shù)?！?0,+8),使得/g)=gD./(x)有最小值，最小值為:

【答案】D

【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式將函數(shù)/(戈)=力變形轉(zhuǎn)化為小)=9叫利用導(dǎo)函數(shù)研究g(x)=xlnx的的調(diào)性，再由

及合函數(shù)單調(diào)性得(大)單調(diào)性、極值與最值，再分別判斷選項(xiàng)即可.

【解答過(guò)程】由Q0,則收)，

令g(x)=xlnxK>0,則g'(x)=l+lnx,令g'(x)=O,解得x=%

當(dāng)0vxv，時(shí)，g(x)<0,四)在(0，)上單調(diào)遞減：

當(dāng)工時(shí)，g(x)>0,g(x)在G，+co)上單調(diào)遞增：

府)由函數(shù)尸e"與〃=g(x)復(fù)合而成,而產(chǎn)e"在(ro,+8)上單調(diào)遞增；

故小)在(0*)上單調(diào)遞減，在Q,+8)上單調(diào)遞增；

所以/(x)在尸［處取極小值/(L)=eT=；,且無(wú)極大值，

CC-CC

又J(x)mi七/G)=eFeT=g,故不存在實(shí)數(shù)?！?0,+8),使得/⑷=：

故ABC錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

【變式7-1］(24-25高二下?廣東惠州?階段練習(xí))函數(shù)/?=?+12-+員〃￡1</>￡10的兩個(gè)極值點(diǎn)542滿(mǎn)足

ATI<X2<2A-|,則2修+%2的最小值為()

A.41n2B.4C.31n2D.61n2

【答案】A

【解題思路】由已知函數(shù)求導(dǎo)，令/(x)=0則可得由巴代入極值點(diǎn)后兩式作商，可得到必內(nèi)的關(guān)系，作商得

到的結(jié)果指對(duì)互換，便可解出冷/，根據(jù)題目所求2X1+X2,代入后便可構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)可求得最小

值.

【解答過(guò)程】由函數(shù)/(x)=?+lnx+伙/(、尸-：(令f(x)=O,

則ax=cx,因?yàn)楹瘮?shù)/(》)=￡+lnx+〃3￡R、bGR)兩個(gè)極值點(diǎn)小用，

則e'i=3①，*=〃必②，得小-力=%)，設(shè)幺=心

Xi-VI

則￡(1,2］且巧=為，代入③得修=4得=4??2爐2=答+詈=*，

設(shè)g(x尸心詈(1X2),貝ijg'(x尸曰M(1位2),

1(.1)

gh(x)=x-31nv-1+l(l<x<2),則

h'(x尸］十3=(「［尸<(),；.h(x)在(1,2］單調(diào)遞減,Ah(x)<h(l)=O,

從而g'(x)v(),，以外在(1,2］單調(diào)遞減，Ag(x)>g(2)=41n2,：.2x}+x2=g(t)>4\n2,

故+x2的最小值為41112.

故選：A.

【變式7-2］(2025?北京?二模)已知函數(shù)De'-hit,其中心0.

(1)若曲線(xiàn)產(chǎn)叭?在點(diǎn)(141))處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),求。的值；

(2)證明：函數(shù)/U)存在極小值；

(3)記函數(shù)人工)的最小值為g(〃)，求g(a)的最大值.

【答案】⑴片上

C

(2)證明見(jiàn)解析

(3)0

【解題思路】(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線(xiàn)方程，進(jìn)而可求解；

(2)通過(guò)二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求證；

(3)由(2)得到g(a)=/Go)=與構(gòu)造函數(shù)hG)==-hu,求導(dǎo)確定單調(diào)性，進(jìn)而可求解.

【解答過(guò)程】(1)求導(dǎo)，得/G)="e'-%

所以7(1)=0，/(l)=ae-l,

故曲線(xiàn))=於0在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為尸(aeT)(xT),

將點(diǎn)(2,2)代入切線(xiàn)方程，得所士

C

(2)函數(shù)/⑺的定義域?yàn)?0,+8)/(x)=U］.

設(shè)函數(shù)/〃(x)=ax2e'T,則加(x)=a(x2+2x)e',

由x>0,得，〃(x)>0,

所以函數(shù)〃心)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?0)=—1<0,wg)=e^-l>0,

所以存在唯一的x()￡(0,9)，使得m(xo)=0,即/(Xo)=O.

當(dāng)x變化時(shí)，/G)與/G)的變化情況如下：

X(0/03(工0,+8

./(-V0+

,/?X極小值/

所以函數(shù)/㈤在(OKo)上單調(diào)遞減，在(4，+8)卜.單調(diào)遞增.

故函數(shù)/(X)存在極小值人.”).

(3)由(2)知，函數(shù)/(X)有最小值/(X)min可(X0)=g(“).

由/(戈0)=劭”-；=0，得4=金?

r

所以gG/)=/(x0)=fl(x0-1)e°-ln.￥0=^—1ILV0.

設(shè)函數(shù)h(x尸U-ln-則h，(x)=一(,號(hào)E.

今h'(x)=O,得尸-2(舍)或x=l.

當(dāng)工變化時(shí)，hG)與h(x)的變化情況如下：

(0,11(1,+8

h(x十0-

h(x)/極大值

所以函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)％=1時(shí)，h(X)max=h(l)=0，即當(dāng)；V°=l時(shí)，，/&o)max=°.

結(jié)合。=了，常知當(dāng)x()=l時(shí)，a=g.

由函數(shù)尸W(X>°)的導(dǎo)數(shù)戶(hù)竽町知其在區(qū)間((),+00)上單調(diào)遞減,

故當(dāng)且僅當(dāng)a=觸o=l.

所以當(dāng)4=g時(shí)，g(“)取得最大值0.

【變式7-3](2025?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知")=盧+(尸伙>0).

⑴若尸0是人工)的極值點(diǎn)，求左的值，并判斷x=0是火冷的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn);

(2)設(shè)火x)的最小值為g?.

(i)求g(左)的解析式：

(ii)證明：g代)的最大值為2.

【答案】⑴E，x=0是心)的極小值點(diǎn)

(2)(i)跳尸E+g(ii)證明見(jiàn)解析

【解題思路】(1)對(duì)“X)求導(dǎo)，根據(jù)40)=0算出4值，再分析導(dǎo)數(shù)正負(fù)確定單調(diào)性，進(jìn)而得到極小值點(diǎn).

(2)(i)先對(duì)/(》)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0求出極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性，得出g(與表達(dá)式.

(ii；要證g⑻最大值為2,先注意到虱1)=2,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明(什1嚴(yán)?小小,構(gòu)造函數(shù)

h(x)=(x+1)\n2+x\nx-(x+1)ln(x+1),對(duì)其求導(dǎo)判斷單調(diào)性，得出h(Z)2h(l)=0,從而證明不等式，得出現(xiàn)〃)最大

值為2.

【解答過(guò)程】(1)由/々)=片/~一”,</(0)=0,得QI.

當(dāng)Qi時(shí)，於)在(-8,o)上單調(diào)遞減，(0,+s)上單調(diào)遞增，

所以-0是.加)的極小值點(diǎn).

(2)(i)f(x)=kckl:-ex=kc~x村一；)，%(x)=0,得c“+〔”一(=°，即產(chǎn)"^，

所以7U)在(-co,券)上單調(diào)避減，(含”)上單調(diào)遞增，

MMhiikI

所以雙歸(含)=e77+介7=人不7+癡7.

(ii)證明：注意到g(l)=2,要證g(外的最大值為2,只需證明上告+舄W2,

即證(芾+扁)島2扁，即1+的2扁，等價(jià)于(%+1嚴(yán)52爪.

設(shè)函數(shù)h(x)=(x+1)ln2+xlar-(x+l)ln(x+l)x>0,

則h(x)=ln2+lnxTn(x+l)=ln』，令h(x尸0,得In-=0,即x=l,

x+1x+1

所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，(1,+oc)上單調(diào)遞增，

所以h(A0>h(l)=O,

(Hl)ln(Hl)<(Hl)ln2+ZrlnAs即(>1產(chǎn)得證.

綜上所述，g伏)的最大值為2.

過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2025?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè))已知是函數(shù)/(x)=(ad+3.L3戶(hù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)/(x)的極小值為()

A.-3B.-eC.0D.e

【答案】A

【解題思路】求出函數(shù)?r)的導(dǎo)數(shù)，利用給定極值點(diǎn)求出。，進(jìn)而求出極小值.

【解答過(guò)程】函數(shù)/MTaf+BxTM的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得/。)=(“1+2奴+3入"',

由尸1是函數(shù)｛x)的極值點(diǎn),得/⑴=(3a+3)e=0,解得a=T,

函數(shù)人工)=(一/+3x-3)e:/(x)=(-x2+-x)cv=-r(x-1)cx,

當(dāng)了<0或x>l時(shí)，/(x)<0；當(dāng)0<x<l時(shí)，/(jr)>0,

所以函數(shù)/W的極小值/(0)=-3,

故選：A.

2.(2025,河南駐馬店?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=x+cosx在區(qū)間卜旨］上的最大值為()

A.兀B.；+1C.TD.71-1

【答案】D

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/G)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得最大值.

【解答過(guò)程】*</(.r)=x+cosx,，/(x)=l-sinx,

,.he卜)，/.l-sinve［0,2］,即/(x)NO,

*,?./!?在［一，兀］上單調(diào)遞增，工/⑴max=/S)F+C0S71=71-1.

故選：D.

3.(2025,重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)HMMna+D-ax2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-a)-2)B.(-oo,-^)C.(F,-JU(0,+8)D.(-p+oo)

【答案】A

【解題思路】由題意可得;=x("l)在x￡(T,+8)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)艱，求解即可.

2a

【解答過(guò)程】由題意，由/(x)=±-2”=0,可得;=x(x+l)

函數(shù)/(x)=ln(x+l)-ad有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程?=x(x+l)在x￡(T,-8)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，

即函數(shù)g(x)=x(x+1)與尸5在x￡(-1,+oo)上有兩個(gè)交點(diǎn)，

因g(x)=x(x+l)=x2+x=(x+；)J,g(-l)=O,gL；尸一5

所以;W(一:，解得aW(-co-2).

2a\4/

故選：A.

4.(2025?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知言L(fǎng)