專題2.1函數(shù)的概念(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型1函數(shù)的概念】..................................................................................2

【題型2同一函數(shù)的判斷】.............................................................................4

【題型3具體函數(shù)的定義域的求解】....................................................................6

【題型4抽象函數(shù)的定義域的求解】....................................................................7

【題型5函數(shù)值域的求解】.............................................................................9

【題型6已知函數(shù)定義域、值域求參數(shù)】...............................................................1()

【題型7已知函數(shù)類型求解析式】......................................................................12

【題型8己知/Ig(x))求解析式】........................................................................14

【題型9分段函數(shù)及其應(yīng)用】..........................................................................15

1、函數(shù)的概念

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

函數(shù)的解析式與定義域、值域問題是高

(1)了解函數(shù)的含義，會求考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.從近幾年的高考情

簡單函數(shù)的定義域和值域2022年浙江卷：第14題，5況來看，高考對函數(shù)的概念考查相對穩(wěn)

⑵會根據(jù)不同的需要選分定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變

擇恰當?shù)姆椒?圖象法、列2023年北京卷：第11題，5化不大，函數(shù)的解析式在高考中較少單

表法、解析法)表示函數(shù)分獨考查，多在解答題中出現(xiàn).預(yù)計明年高

(3)了解簡單的分段函數(shù)，2025年北京卷：第7題，4分考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將

并會應(yīng)用以分段函數(shù)、定義域、值域為主，主要

在選擇題中考查.

知識梳理

知識點1函數(shù)的定義域、值域的求法

1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法

求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準則,列出不等式或不

等式組求解；對于實際問題，定義域應(yīng)使實際問題有意義.

2.求抽象函數(shù)定義域的方法

(1)若已知函數(shù),7U)的定義域為［4,句，則復(fù)合函數(shù),/［以⑼的定義域可由不等式友(0求出.

⑵若已知函數(shù)的定義域為［*切，則/(x)的定義域為g(x)在上的值域.

3.求函數(shù)值域的一般方法

(1)分離常數(shù)法；

⑵反解法；

(3)配方法；

(4)不等式法；

(5)單調(diào)性法；

(6)換元法；

(7)數(shù)形結(jié)合法；

(8)導(dǎo)數(shù)法.

知識點2函數(shù)解析式的四種求法

1.函數(shù)解析式的四種求法

(I)配逡法：由已知條件./(g(Y)尸Rr),可將Rr)改寫成關(guān)于g")的表達式，然后以丫替代g(r),便得人》)的表

達式.

(2)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法來求解.

(3)換元法:己知復(fù)合函數(shù)人虱明的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.

(4)方程思想:已知關(guān)于/(》)與/(：)或/(-X)等的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組,

通過解方程組求出大X).

知識點3分段函數(shù)的應(yīng)用

1.分段函數(shù)的應(yīng)用

分段函數(shù)問題往往需要進行分類討論,根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即

分段函數(shù)問題，分段解決.

舉一反三

【題型1函數(shù)的概念】

【例1】(2025?山東?模擬預(yù)測)下列圖象中，能表示函數(shù)y=/(x)圖象的是()

【答案】D

[解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義判斷可得出結(jié)論.

【解答過程】解：???一個X只能對應(yīng)一個y,???①③符合題意，

對于②中，當%>0時，一個“對應(yīng)兩個y,不符合函數(shù)的定義;

對于④中，當％=0時，一個%對應(yīng)兩個y,不符合函數(shù)的定義.

故選：D.

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義判斷.

【解答過程】選項A,C,D的函數(shù)圖象中存在心對應(yīng)多個不同的函數(shù)值，故不可以表示函數(shù)，故B正確.

故選：B.

【變式1-2]（2025高三?全國?專題練習(xí)）下列可以作為集合4到集合B的一個函數(shù)的是（）

A.A=R,B={y\y>0},f:xy=y/xB.A=R,B={y\y>0）,/:x->y=|x|

C.A=（x\x>0},F=R,/:x-?y2=xD.A=R,B={l},/：x->y=1

【答案】D

【解題思路】觀察所給的四個選項是否符合函數(shù)的概念，自變量到因變量對應(yīng)關(guān)系允許“一對一”、“多對一,

不允許“一對多”：自變量元素不允許“剩余”即可判斷.

【解答過程】A選項：當x為負數(shù)時，4中沒有元素與之對應(yīng)，故A選項不正確；

B選項：當工為零時，4中沒有元素與之對應(yīng)，故B選項不正確；

C選項：一個自變量對應(yīng)兩個因變量，不符合函數(shù)定義，故C選項不正確；

D選項：多個自變量對應(yīng)--個函數(shù)值，符合函數(shù)定義，故D選項正確.

故選：D.

【變式1-3](24-25高一上?黑龍江大慶?期中)若函數(shù)y=f(x)的定義域為M={x|-2WxW2},值域為N=

(y|0<y<2},則函數(shù)y=/(%)的圖象可能是(

【答案】C

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的概念以及定義域與值域判斷各個選項的圖象即可.

【解答過程】解：函數(shù)y=/(%)的定義域為M={x|-2WxW2},值域為N={y|O工yW2},

可知A圖象定義域不滿足條件;

B圖象不滿足函數(shù)的值域;

C圖象滿足題目要求;

D圖象，不是函數(shù)的圖象:

故選：C.

【題型2同一函數(shù)的判斷】

【例2】(2025?江西九江?模擬預(yù)測)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=岑*，g(x)=xB.f(x)=x,g(%)=叱

C./W=1,g(x)=￡D.f(x)=%,g(x)=J

【答案】A

【解題思路】根據(jù)同一函數(shù)的定義，逐項驗證定義域和對應(yīng)法則是否相同，即得.

【解答過程】對于A中，函數(shù)/(%)=岑*二%的定義域為R,函數(shù)g(x)=%的定義域為R,定義域相同，對

應(yīng)法則相同，所以是同一個函數(shù)；

對于B中，函數(shù)/'(%)=x和g(x)=yfx^=\x\=[X,X的定義域都是R,但對應(yīng)法則不同，所以不是同一

—X,X<U

個函數(shù)；

對于C中，函數(shù)/'(%)=1的定義域為R,函數(shù)g(%)=Y的定義域為(-8,0)u(0,+8),定義域不相同，所

以不是同一個函數(shù)；

對于D中，函數(shù)/(%)=》的定義域為R,g(x)=亍的定義域為(-8,0)u(0,+8),定義域不相同，所以不

是同一個函數(shù).

故選：A.

【變式2-1](24-25高一下?河北保定?階段練習(xí))下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()

A./(x)=l,g(%)=X0B.f(x)=B,g(x)=(游)3

C./(x)=x+l,g(x)=^-D.f(x)=4x1,g(x)=(Vx)2

【答案】B

【解題思路】利用同一函數(shù)的定義，逐項分析判斷.

【解答過程】對于A,7(無)的定義域為R,g(x)的定義域為(—8,0)u(0,+8),A不是；

對于B,f(x),ga)的定義域均為R,且竊=(證)3,B是；

對于C,/(%)的定義域為R,或刈的定義域為(一8,i)u(l,+8),C不是;

對于D,f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為[0,+8),D不是.

故選：B.

【變式2-2](24-25高一上?甘席甘南?期末)下列四組函數(shù)：①/⑺=9，g(x)=V?；②/(幻=蕓,=

(版)3；③/(%)=%2-2%+l,g(t)=(t-1)2；?/(x)=l,g(x)=(x4-1)°；其中表示同一函數(shù)的是()

A.②④B.②③C.??D.③④

【答案】B

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則進行判斷即可.

【解答過程】對于①，函數(shù)fa)==的定義域為"|工工0},函數(shù)目(%)=小的定義域為XER,

其定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故錯誤；

對于②，函數(shù)/?(%)=蕓=x,gM=(返)3=X,兩個函數(shù)定義域都是XeR,

對應(yīng)法則也一樣，是同一函數(shù)，故正確:

對于③，函數(shù)，(%)=x2—2x+l,g(t)=(t—I)2=t2—2t+1,

兩個函數(shù)定義域和對應(yīng)法則一樣，是同一函數(shù)，故正確；

對于④，函數(shù)/'(x)=l的定義域為XER，函數(shù)以工)=。+1)0=1定義域為卜|工中一1},

兩個函數(shù)定義域不一樣，不是同一函數(shù)，故錯誤.

故選:B.

【變式2-3](24-25高一上?江西贛州?開學(xué)考試)下列各組中的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的是()

A./W=：,g(x)=去2B.f(x)=|x|,g(x)={上；%、

x[\/X)I匹“&U

c./(x)=1,9(%)=D./(x)=x2,g(x)=(x4-I)2

【答案】B

【解題思路】求出兩個函數(shù)定義域以及化簡對應(yīng)關(guān)系，若兩個函數(shù)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，則這兩個函數(shù)

相同，從而得到結(jié)果.

【解答過程】對A,f(x)的定義域為{x|x工0},g(x)的定義域為">0},故A錯誤；

對B,/(%)和g(x)的定義域均為R,且f(x)=|x|={二;H，故B正確；

對C,/(%)的定義域為R,g(%)的定義域為0},故C錯誤；

對D,/(%)和g(x)的定義域均為R,但/(%)+g(x)，對應(yīng)關(guān)系明顯不同,故D錯誤.

故選：B.

【題型3具體函數(shù)的定義域的求解】

【例3】(2025?湖南岳陽?模擬預(yù)測)函數(shù)丁=々+的定義域是()

A.(0,1)B.[0,1]C.[0,+8)D.{0,1}

【答案】B

【解題思路】根據(jù)開偶數(shù)次方根號里的數(shù)大于等于零即可得解.

【解答過程】由丫二6+代口，

得{Co,解得0JW1，

所以函數(shù)y=F的定義域是[0,1].

故選：B.

【變式3-1](2025?河北衡水?模擬預(yù)測)已知函數(shù)、=外五)的定義域為[0,4],則函數(shù)、=等+(%-2)。的

定義域是()

A.(1,5]B.(1,2)U(2,5)C.(1,2)U(2,3]D.(1,3]

【答案】C

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)有意義并結(jié)合復(fù)合函數(shù)的意義列出不等式組，求解不等式組作答.

【解答過程】因為函數(shù)y=/(x)的定義域為[0,4],又函數(shù)丫=等+(%-2)。有意義，

(0<x+1<4

則有]x-1>0,解得1vx<2或2VxW3,

(%-200

所以函數(shù)y=智+(%-2)。的定義域是(1,2)U(2,3].

vx—1

故選:C.

【變式3-2】(2025?海南?模擬預(yù)測)函數(shù)/(%)=或二代匕的定義域為()

A.(-oo,l]B.(1,2]C.(-8,2]D.(-8,1)U(1,2]

【答案】D

【解題思路】根據(jù)表達式有意義列出不等式組求解即可

【解答過程】由題知解得且%工1

即函數(shù)/(x)=VTG+土的定義域為(-81)U(1,2]

故選:D.

【變式3-3](24-25高一下?浙江金華?階段練習(xí))函數(shù)/■(>)=/+/。+4)(1--的定義域是()

A.(-co,-4]U[2,+8)B.(-4,0]U(0,1)

C.[-4,0)U(0,1]D.[-4,0)U(0,1)

【答案】C

【解題思路】由題意可得1+4、：_°約？0,求解即可.

【解答過程】由4弦匕>0,得｛G+WU1)<0,解得一4工"?；?VK1,

所以函數(shù)/'(x)=x°+J(x+4)(1-x)的定義域是[-4,0)U(0,1].

故選：C.

【題型4抽象函數(shù)的定義域的求解】

【例4】(2025?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測)若函數(shù)y=/(2外的定義域為[-2,4],則y=/(%)-/?(一%)的定義域為()

A.[-2,2]B.[-2,4]

c.[-4,4]D.[-8,8]

【答案】C

【解題思路】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可求出函數(shù)/?(%)的定義域，對于函數(shù)曠=/'(%)-“-切，可列

出關(guān)于工的不等式組，由此可得出函數(shù)y=fM-/'(-%)的定義域.

【解答過程】因為函數(shù)y=f(2x)的定義域為[—2,4],則一2可得一4W2xW8,

所以，函數(shù)y=f(幻的定義域為

對于函數(shù)y=/(%)-/(-%),則有{二解得一4W%W4,

1—4S—XSo

因此，函數(shù)y=/(x)-/(一%)的定義域為[-4,4].

故選：C.

【變式4-1](24-25高二下?江蘇無錫?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)的定義域為(-LD，則函數(shù)9(%)=答的定

Vx—1

義域為()

A.(-1,1)B.{1}C.(1,3)D.(1,2)

【答案】D

【解題思路】根據(jù)八幻的定義域以及分式中分母不為o和平方根式;下大于0即可直接計算出結(jié)果.

【解答過程】因為函數(shù)/■(%)的定義域為(-1,1),

所以g(x)的定義域需滿足：

vx-1

解得l<x<2.

故選：D.

【變式4-2](2025?江西九江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)丫=八劃的定義域為則函數(shù)、=/(2必一1)的定義

域為()

A.[0,3]B.[-3.3]C.[-V3,V3]D.[-3,0]

【答案】C

【解題思路】由題可知解一1<2x2-1<5即可得答案.

【解答過程】解：因為函數(shù)y=fG)的定義域為[-1,5],

所以，一1W2%2-1工5,即0工，工3,解得一HwxwVS,

所以，函數(shù)丫=/(2%2一1)的定義域為[一百,述]

故選：C.

【變式4-3](24-25高一上?云南楚雄?期末)已知函數(shù)/(外的定義域為(-1,2),則函數(shù)g(x)=等的定義域

vx—1

為()

A.(-1,1)B.{1}C.(1,3)D.(-1,3)

【答案】C

【解題思路】由抽象函數(shù)定義域及具體函數(shù)定義域的概念構(gòu)造不等式求解即可；

【解答過程】由題意：要使9(%)=華岑有意義，則{-

Vx-1IX1,

解得IV。V3所以g(%)的定義域為(1,3).

故選：C.

【題型5函數(shù)值域的求解】

【例5】(2024?北京懷柔?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)二比牙則對任意實數(shù)x,函數(shù)/(外的值域是()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【答案】C

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)求出函數(shù)值域得解.

【解答過程】依題意，f(X)=盤-2=2_/,

顯然232+1工1,則0V元片工2,于是0W2一又占＜2,

所以函數(shù)/(%)的值域是[0,2).

故選：C.

【變式5-1](24-25高一上?遼寧朝陽?期末)函數(shù)/(均二7711一2x的值域為()

A.(-00,-1]B.(-8,_彳C.(-co,-2]D.(-8,一高

【答案】D

【解題思路】換元法，令=t二0,得到y(tǒng)=—2{—*)2—蔡，從而得到函數(shù)值域.

【解答過程】令后口=￡20,則％=￡2+1,

2

則:X=￡-2(t2+1)=-2t2+￡-2=-2(t-0一蔡，

故當”的寸，fax—zG—》一日取得最大值，最大值為一字

所以/(X)=2%的值域為1-8,-耳.

故選：D.

【變式5-2](24-25高一上?北京?期中)下列函數(shù)中，值域為[0,4]的是()

A./(%)=x—1,x6{1,2,3,4,5}B./(x)=—%2+4

C./(x)=V16—x2D.f(x)=x+：-2(%>0)

【答案】C

【解胭思路】根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、對勾函數(shù)值域的求法依次判斷各個選項即可.

【解答過程】對于A,/(%)的值域為{0,1,234},A錯誤；

對于B,/(%)的值域為(-8,旬,B錯誤;

對于C,由16—％2得：-4WXW4,即/(￡)的定義域為[-4,4],

當％W[—4,4]時，16—x2E[0,16]?/(x)6[0,4],C正確；

對于D,當％>0時，x+^>2(當且僅當％=1時取等號)，???/(X)W[0,+8),D錯誤.

故選：C.

【變式5-3](2025?北京?高考真題)已知函數(shù)/?(%)的定義域為。，則力x)的值域為R”是“對任意M6R,存

在沏W。，使得的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【解題思路】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.

【解答過程】若函數(shù)f(x)的值域為R,則對任意MER,一定存在勺CD,使得/'ajMlMl+l,

取沏=打,則|/(沏)|=網(wǎng)+1>M,充分性成立；

取/(x)=23D=R,則對任意MWR,一定存在修€0,使得/(不)=|M|+1,

取須=多，則=+但此時函數(shù)/X%)的值域為M,+8),必要性不成立；

所以"(%)的侑域為R“是“對任意MGR,存在陽)G0，使得|/(%o)|>M”的充分不必要條件.

故選：A.

【題型6已知函數(shù)定義域、值域求參數(shù)】

【例6】(24-25高一上?江蘇常州?期中)若函數(shù)/(%)=修=^的定義域為R,則實數(shù)〃的取值范圍是()

+收+1

A.(0,4)B.(0,4]C.[0,4)D.々<0或Z>4

【答案】C

【解題思路】由題意可知不等式以2+/^+1>0的解集為口，分情況討論，即可求解.

【解答過程】當xWR時，不等式依2+kx+l>0恒成立.

當A=0時，1>0恒成立：

當我00時，則需滿足.2>乙，八，二0<攵<4，

綜合可得攵的取值范圍是[0,4).

故選:C.

【變式6-1](25-26高一上?全國?課后作業(yè))函數(shù)y=]的定義域為R,則實數(shù)k的取值范圍為()

,7kx6T^2kx+l

A.(-oo,0)U(l,+oo)B.(-oo,0]u[l,+oo)C.(0,1)D.[0,1)

【答案】D

【解題思路】k=0時直接代入；k工0時利用A<0可得答案.

[解答過程】因為函數(shù)，的東義域為R，

所以關(guān)于工的方程匕2+2依+1=0無實數(shù)解，

當A=0時，1=0顯然無解，符合題意；

當AH0時，則4=4k2-4kV0,解得0VkV1.

綜上可得0L

故選:D.

【變式6-2](24-25高一上?北京?階段練習(xí))已知函數(shù)/?(%)=|/-4"+3|在[m,詞上的值域為[0,1],ffln-m

的取值范圍是()

A.[1,2]B.[V2-1,2]C.[1,2?D.[V2-1,272]

【答案】D

【解題思路】令人為)=1,求出相應(yīng)的％的值，即可畫出/(無)的圖象，數(shù)形結(jié)合求出--血的最值，即可得解.

【解答過程】由好一4%+3>0,即(X-1)(%—3)>0,解得無>3或

所以歡)=儼一軌+3|=『-軌+(二,1)版+切，

11(-x2+4x-3,xe[1,3]

當為6[1,3]時，f(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,所以/(2)=1,

當XE(-8,1)u(3,+8)時，令/"口)=1,即%2―4%+3=1,解得打=2-VLx2=2+V2,

則/(%)的圖象如下所示：

因為函數(shù)/(%)=\x2-4x+3|在的,九]上的值域為[0,1],

當仇=2—四，n=1(或m=3,n=2+V2)時九一瓶取得最小值，

即(n-m)min=1-(2-V2)=V2-1；

當m=2—Ti=2+加時n-m取得最大值，

即(ri-m)max=(2+V2)-(2-V2)=2-y2；

所以〃-m的取值范圍是[近一1,2碼.

故選：D.

【變式6-3](24?25高一上?貴州畢節(jié)?期末)已知函數(shù)/~(%)=,「2：「、「的定義域是R，則。的取值范圍

(a-l)x4+(a-l)x+2

是()

A.(L9)B.(1,8)C.[1,9)D.[1,8)

【答案】C

【解題思路】將定義域是R的問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，對a-1是否為零進行分類討論即可求得結(jié)果.

【解答過程】根據(jù)題意(a-l)x2+(a-l)x+2>0對于V%eR"亙成立；

當a-1=0時，2>0顯然成立，可得a=1符合題意；

當a—l>。時，若滿足題意可得;AMg.iflli/a-Dvo,解得l<a<9；

,

當a-1V0時，若滿足題意可得=(a_1)2Zjx2(a-l)<0此時無解；

綜上可得，Q的取值范圍是口,9).

故選：C.

【題型7已知函數(shù)類型求解析式】

【例J7X24-25高一上?福建福州?期中)若函數(shù)/(%)是二次函數(shù)，滿足/(0)=2,f(x+2)-f(x)=4%,則/(%)=

()

A.x2+x+2B.x2-2x+2C.x2-x+2D.x2+2x+2

【答案】B

【解題思路】利用待定系數(shù)法，由題意建立方程組，可得答案.

【解答過程】設(shè)/(%)=。/+以+(：(。工0),由/■(())=2,則c=2,

由f[x4-2)-/(x)=4x,則Q(X+2)2+b(x+2)+2-(ax2+bx+2)=4x,

整理可得4依+4a+2b=4%,則。廣獲to,解得｛/二A：

所以/(無)=x2-2x+2.

故選：B.

【變式7-11(24-25高一上?天津?期中)已知函數(shù)/(%)=kx+b為一次函數(shù),且/'(2)=-1/(4)=3,則/(一1)=

()

A.3B.-3C.-7D.7

【答案】C

【解題思路】根據(jù)條件求出k,b,得/?(%)的解析式，進而代入求值即可.

【解答過程】???f(2)=-1J(4)=3,???2k+b=-1且4k+b=3,解得k=2,b=一5,

A/W=2%—5,/./(-I)=2x(-1)-5=-7.

故選：C.

【變式7-2](23-24高一上?浙江嘉興?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)是一次函數(shù)，且/[/(%)-2x]=3,則/(5)=

()

A.IlB.9C.7D.5

【答案】A

【解題思路】設(shè)fO)=QX+b(QH0),根據(jù)/[/(%)-2對=3恒戌立可得a,b,然后可解.

【解答過程】設(shè)f(x)=Q%+b(a工0),

則/Lf(x)-2對=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=3,

整理得(a2-2a)x+ab+b-3=0,

所叱息駕射＜=?■

所以/(X)=2x+l,所以/(5)=2x5+1=11.

故選：A.

【變式7-3](24-25高一上?全國?課后作業(yè))圖象是以(1,3)為頂點且過原點的二次函數(shù)/⑺的解析式為()

A./(x)=-3x2+6xB.fM=-2x2+4x

C.f(x)=3x2—6xD.f(x)=2x2-4x

【答案】A

【解題思路】由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式問題，根據(jù)題意可以設(shè)二次函數(shù)的頂點式，然后根據(jù)函數(shù)過原點,

將(0,0)代入即可.

【解答過程】設(shè)圖象是以(1,3)為頂點的二次函數(shù)/(0=以%—1)2+3(。00).

因為圖象過原點，所以0=Q+3,a=-3,所以/(x)=-3(%-1)2+3=-3%2+6x.

故選：A.

【題型8已知%(*))求解析式】

【例8】(2025?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(1一劃=詈。。0),則/(%)=()

A?g)21GH°)B?(二產(chǎn)

C.(%舊。)D?(二)21(K1)

【答案】B

【解題思路】利用換元法令￡=1-不求解析式即可.

【解答過程】令亡二1一人則無二1一匕且X40,則tHl,

可得/(￡)=日=小一1，("1)'

所以/(%)二白豆一1(%K1).

故選：B.

【變式8-1](2025?遼寧沈陽?二模)已知/a-1)=眇，則，(2)=()

A.eB.2eC.e2D.e3

【答案】D

【解題思路】先由換元法求得函數(shù)八%)的解析式，然后代入計算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】令3—1=tWR,則工=￡+1,所以/(￡)=^+1，即/(x)=e"+i,

則/(2)=e3,

故選：D.

【變式8-2](24-25高一上?湖南衡陽?期中)函數(shù)fO)滿足若/■(g(x))=9X+3,^(%)=3%+1,則/'(x)=

()

A./(x)=3xB./(x)=3

C./(x)=27x+10D./(x)=27x+12

【答案】A

【解題思路】對/'(g(%))的式子適當變形，即可直接求出/(%).

【解答過程】因為f(g程))=9%+3,g(x)=3x+l,

所以f(3x+1)=9%+3=3(3x+1),則/(%)=3x.

故選：A.

【變式8-3](24-25高一上?浙江?期中)己知函數(shù)/?(依一2)="-4《+5,則f(x)的解析式為()

A./(%)=x2+l(x>0)B.f(x)=x2+1(%>-2)

C./(x)=x2(x>0)D.f(x)=x2(x>-2)

【答案】B

【解題思路】應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式，注意定義域.

【解答過程】令《=近一2之一2,則x=(t+2)2,

所以f。)=(C+2乃一4Q+2)+5=~+1，

綜上，/(X)=X2+1(X>-2).

故選:B.

【題型9分段函數(shù)及其應(yīng)用】

【例9】(2025?吉林長春?三模)已知函數(shù)/(乃={/(：；])%0，則/'(—3)=()

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入求值即可.

【解答過程】由函數(shù)可得，/(-3)=/(-1)=/(I)=21=2.

故選：B.

【變式9-1](2025?江西上饒?一?模)設(shè)若/(m)=/(巾+1)，則血=()

A禺B-JC.2D.±

【答案】C

【解題思路】分0Vm<1和m之1兩種情況解方程/"(m)=f(m+1)即可求解.

【解答過程】由題意可知m>0,

當OVmVl時，ni+1>1,所以由/(m)=f(m+1)得訴7=3m=>m

當m時，771+1>1,所以由f(m)=f(m+1)得3(?n-1)=3?n,無解.

綜上，m=

故選：C.

【變式9-2】(2025?江西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)滿足/■(x+l)=［與')(")為偶數(shù)'若fQ)=3,則

(3/(x)+l"(x)為奇數(shù).

/(2U24)=()

A.1B.4C.5D.2024

【答案】A

【解題思路】通過計算求得函數(shù)的周期即可得到答案.

【解答過程】因為/'(1)=3,所以f(2)=10,f(3)=5,/(4)=26,/(5)=8,"6)=4,/(7)=2,/(8)=1,

/(9)=4,/(10)=2,/(II)=1,/(12)=4,/(13)=2,/(14)=1,/(15)=4,f(16)=2....發(fā)現(xiàn)

從第6項開始就是以3為周期的周期函數(shù)，2024—5=2019,為3的倍數(shù)，則f(2024)=1.

故選：A.

2*Tx<1

百’若/⑷=1,則實數(shù)a的值為()

{T,X-L

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

【解題思路】分aVI和a之1,求解/'(a)=l,即可得出答案.

【解答過程】當aVI時，f(a)=20-1=1,則a—1=0,解得：a=l(舍去)：

當aZl時，/(。)=弓=1,則乃=2,解得：a=4.

故選：B.

過關(guān)測試

一、單選題

1.(2025,山東?一模)函數(shù)/?(%)=8一1|一3的定義域是()

A.[4,+oo)B.(-co,-2]

C.[-2,4]D.(-co,-2]U[4,+8)

【答案】D

【解題思路】先由函數(shù)有意義得氏-1|-3之0,解該不等式即可得解.

【解答過程】要使函數(shù)有意義，則反一1|一320,即以一1|N3,

所以％—123或%—1工一3,解得％24或欠4―2,

所以函數(shù)的定義域為(-8,-2]U[4,+co).

故選：D.

2.(2025?山西?模擬預(yù)測)己知/(/(%))=d一%+1,則/(1)=()

A.0B.IC.0或1D.2

【答案】B

【解題思路】將/■(/(I))看成一個整體，利用/'(fa))=爐一%+1求解即可.

【解答過程】/(/(X))=x2-x+l,

故/(/⑴)=1-14-1=1,

所以/(/(/(D))=/(D=產(chǎn)⑴-/(I)+1,

故尸(1)-2/(1)+1=0,解得/⑴=1.

故選：B.

3.(2025?北京東城一模)下列函數(shù)中，定義域為(0,+8)的函數(shù)是()

A./(x)=y/xB./(x)=InxC.f(x)=2，D.f(x)=tanx

【答案】B

【解題思路】利用各個選項中函數(shù)的定義及要使得函數(shù)有意義即可求得定義域，由此得出答案.

【解答過程】對于A,要使得根號下有意義，則即定義域為[0,+8),故A錯誤；

對于B,要使得對數(shù)有意義，則真數(shù)％>0,即定義域為(0,+8),故B正確：

對于C,由指數(shù)函數(shù)的定義可知其定義域為R,故C錯誤；

對于D,要使得正切函數(shù)有意義，則+即定義域為卜故D錯誤；

故選:B.

4.(2025?湖北黃岡?一模)已知函數(shù)八幻二"2的定義域AER,值域8={9},則滿足條件的戶比)有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解題思路】先計算/=9,得出％=±3,再根據(jù)函數(shù)的定義即可寫出所有符合條件的函數(shù).

【解答過程】令/(%)=d=%則》=±3,

則滿足條件的f(x)有：

/(A)=x2,xE{3}：/(x)=x2,xe{-3)；/(x)=x2,xe(-3,3},

故滿足條件的f(x)有3個.

故選：C.

5.[2025?江西萍鄉(xiāng)?三模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對于任意實數(shù)x,y均有f(xy)=y/(x),且2/(2)=

/(1)+6,則f(2025)=()

A.675B.1350C.2025D.4050

【答案】D

【解題思路】根據(jù)賦值法，用x替換替換x得到牛=攀，故竽是常函數(shù)，設(shè)fa)=cx,再結(jié)合2/(2)=

/(I)+6可解/(%)即可求/(2025).

【解答過程】用x替換y,y替換x可得/?(xy)=yf(x)=xf(y),當yHO時，，故可知少是常函數(shù),

于是知當工工0時，/(%)=ex,其中c為常數(shù)，故4c=c+6,解得c=2,于是/'(2025)=2x2025=4050.

故選：D.

6.(2024?江西?模擬預(yù)測)已知對任意的％y€R都有+y+f(x))=6%+2y+任則一次函數(shù)y=/(x)

的解析式為()

A.y=x+1B.y=2x

C.y=2x4-1D.y=x

【答案】C

【解題思路】利用待定系數(shù)法，設(shè)f(x)=kx+b(k00),根據(jù)題意運算求解即可.

【解答過程】設(shè)/(%)=依+b(kI0),

則/(%+'+/(%))=f(x+y+kx+b)=k(x+y+kx+b)+b=(k24-k)x+ky+kb+b,

因為/(%+y+/(x))=6x+2y+3,BP(k24-k)x+ky+kbb=6x+2y+3,

上2+憶=6

k=2，解得，所以y=2x+l.

!kb+b=3lb=1

故選：C.

7.(2024?貴州銅仁?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,3].記f(x)的定義域為集合4/(2、-1)的定義域

為集合B.則七eA”是“％68”的()

A.充要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解題思路】先利用函數(shù)的定義域求得集合48,再利用充分條件、必要條件的定義判斷.

【解答過程】???函數(shù)f(x)的定義域為[0,3],

所以4=[0,3],

令0工2，一143,解得142*44,BP0<%<2,即3=[0,2],

VZ2B,

6力”是七G8”的必要不充分條件，

故選：C.

8.(2025?云南紅河?三模)定義在R上的函數(shù)y=/(%)滿足:VX6R都有f(%+1)-f(%)<x,f(x+2)-/(%)>

2x4-1,且f(1)=1,則/(10)=()

A.45B.46C.91D.92

【答案】D

【解題思路】將/(無+1)-fW<工中的%替換為％+1得到新的不等式，再和/(%+2)-fW>2x+l運算,

即可得出％<f(x+1)—/(x)<X,進而確定關(guān)系式/(%+1)-/(x)=x,再賦值x=1,2,-,9得出關(guān)系式，

再相加即可.

【解答過程】由f(欠+程一/(%)WX?,得：/(%+2)-/(%+1)Wx+1②，

②x(―1)得:—/(X+2)+f(x+1)>—x—1③,

又/o+2)-fa)之2%+i④

?+④得：/(x+1)-/(x)>x@,

由①和⑤,得：/(X+1)-/(X)=X,

所以八2)-/(1)=1,/(3)-/(2)=2,八4)一/(3)=3,…，)(10)-/(9)=9,

以上式子相加得f(10)-/(I)=1+2+3+…+9=45,

則/(10)=f(l)+45=46.

故選：B.

二、多選題

9.(2024?湖南益陽?模擬預(yù)測)下列命題中，正確的是()

(1,當%>0時

A.函數(shù)出)=4與〃(x)={0,當％=0時表示同一函數(shù)

(-1,當％V0時

B.函數(shù)v(x)=x2-2x+2與u(t)=t2-2t4-2是同一函數(shù)

C.函數(shù)y=/■(%)的圖象與直線》=2024的圖象至多有一個交點

D.函數(shù)"%)=|%—1|一人則/'(/G))=0

【答案】BC

【解題思路】根據(jù)相等函數(shù)的定義判斷A、B,根據(jù)函數(shù)的定義判斷C,由函數(shù)解析式求出函數(shù)值，即可判

斷D.

【解答過程】對于A：貝%)=更={1/二因為兩函數(shù)的定義域不相同，故不是同一函數(shù)，故A錯誤;

x1—1,x<0

對于B：函數(shù)式x)="2-2%+2與認。=脛-21+2定義域相同，解析式一致故是同一函數(shù)，故B正確;

對于C：根據(jù)函數(shù)的定義可知，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線％=2024的圖象至多有一個交點，故C正確；

對于D：因為/(無)=|無一1|一工，所以==

W(/Q))=/(0)=10-11-0=1,故D錯誤.

故選：BC.

10.(2025?新疆喀什?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=隹p則()

A./(x)+/(-x)=0B./(%)<2

C./?+/(；)=2D./(3)+/(2)+/(1)+/(1)+/(1)=5

【答案】BCD

【解題思路】根據(jù)/'(%)的解析式，進行相關(guān)的運算判斷各個選項即可.

【解答過程】對于A,/■(%)+/■(-工)=島+m7T="/0,故A錯誤；

對于B,由/'(%)=*■工彳=2,故B正確；

對于C,作)+花)=目+扁=端2=2,故C正確；

對于D,由選項C知/?(>)+/?&)=2,且/'(1)=1,

??./(3)+/(2)+/(1)+/(|)+/(1)=2+2+1=5,故D正確.

故選：BCD.

11.(2025?全國?模擬預(yù)測)已知定義域為R的函數(shù)f(%)滿足/CO?f(y)=f(x+y)+f(2-x)?f(2-y),

且/(O)=1,/1(-2)=0,則()

A./?=/(-%)

B-/(x+4)=/(x)

C.f(2)+f(4)4-f(6)+/(8)4-/(IO)+…+/(2026)=1012

D.D(切2+[/(2+切2=i

【答案】AD

【解題思路】利用賦值法，對選項逐一判斷即可求解.

[解答過程]由題意f(%)?r(y)=f(x+y)+f(2-%).f(2-y),

得：f(x+y)=/(x)./(y)-/(2-x)"(2-y).

令％=y=1,

則"2)=/(l)-/(l)-/(I)-/(l)=0.

令x=2,y=-2,

可得：f(0)=/(2)-/(-2)-/(Ci)?/(4)=-f(0)./(4),

由“0)=1,得/(4)=一1H/(0),故選項B錯誤；

令％=-2,y替換為-y,

W(-2-y)=/(-2)./(-y)-/(4)/(2+y),

因為/'(4)=-1，/(-2)=0,

所以f(-2-y)=/(2+y),即/㈤=/(一、)，

故選項A正確：

令x=2,y替換為x,

可得：f(2+x)=f(2)-fM-f(2-2)?f(2-x),即/(2+x)=-/(2-x)=-f(x-2),

所以/(x+2)+/(x-2)=0,

所以f(4)+f(8)=。/(6)+/(10)=0,...?/(2022)+/(2026)=0,

故/(2)+/(4)+/(6)+/(8)+/(IO)+…+/(2026)=/(2)=0,故選項C錯誤;

令y=-x,

可得:/(0)=fW?/(-%)-