專題7.4空間直線、平面的垂直(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型1垂直關(guān)系的有關(guān)命題的判斷】..................................................................5

【題型2證明線線垂直】................................................................................7

【題型3線面垂直的判定】.............................................................................10

【題型4線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】.................................................................15

【題型5面面垂直的判定】............................................................................20

【題型6面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】.................................................................26

【題型7平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用】.................................................................32

【題型8垂直關(guān)系的探索性問題】.....................................................................37

1、空間直線、平面的垂直

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

空間直線、平面的垂直是高考的重

點、熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來

2023年新高考H卷:第20題，

看，主要分三方面進行考查，一是空間

12分

中線面垂直關(guān)系的命題的真假判斷，常

(1)理解空間中直線與直線、直2024年新高考H卷:第17題，

以選擇題、填空題的形式考查，難度較

線與平面、平面與平面的垂直15分

易；二是空間線線、線面、面面垂直的

關(guān)系2025年全國一卷：第9題，6

證明以及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，一般以解答

(2)掌握直線與平面、平面與平分、第17題，15分

題的第一小問的形式考查，難度中等；

面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡2025年北京卷：第14題，5

三是線面平行、垂直關(guān)系的存在性問題，

單應(yīng)用分

難度中等；解題時要靈活運用直線、平

2025年天津卷：第17題，15

面的垂直的判定與性質(zhì)，復(fù)習(xí)備考時要

分

強化定理條件的嚴(yán)謹(jǐn)性，避免忽略定理

核心條件導(dǎo)致失誤.

知識梳理

知識點1線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

1.直線與平面垂直

⑴定義

如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相垂直，記作/J_a.直線/叫做平面

a的垂線，平面a叫做直線/的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點戶叫做垂足.

⑵點到里面的距離

過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，在線段的長度

叫做這個點到該平面的距離.

2.直線與平面垂直的判定定理

(1)自然語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

(2)圖形語言：如圖所示.

(3)符號語言：aUa,bUa,aC\b=P,I-La,/_L8=/_La.

該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理

①自然語言：垂直于同?個平面的兩條直線平行.

②圖形語言：如圖所示.

(2)性質(zhì)定理的隹用

①由線面垂直證明線線平行.

②構(gòu)造平行線.

知識點2面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

1.面面垂直的定義及判定定理

(I)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面。與夕垂直，記

作。_L6.

(2)兩個平面互相垂直的畫法

如圖，畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.

(3)平面與平面垂直的判定定理

①自然語言

如果?個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.

②圖形語言

zdrz

③符號語言

bLa,bU80B工a.

該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.

2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

(1)平面與平面垂直的性質(zhì)定理

①自然語言

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.

a邛,afl/y=Z,aCQ,Q_L/今Q_LQ.

(2)性質(zhì)定理的隹用

①證明線面垂直、線線垂直；

②構(gòu)造面的垂線.

知識點3空間中的垂直關(guān)系的判定方法

1.直線與直線垂直的判定方法

(1)定義法:如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線。與直線6垂

直，記作q_Lb；

(2)利用線面垂直的性質(zhì)定理；

(3)利用面面垂直的性質(zhì)定理；

2.直線與平面垂直的判定方法

(1)定義法：利用定義：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于這個平面(不常用);

(2)利用線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線就和這個平

面垂直(常用方法)；

(3)可作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條直線垂宜于一個平面:那么另一條也垂直于這個平

面(選擇、填空題常用)；

(4)面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于這兩個平面的交線的直線垂直于另

一個平面(常用方法)；

(5)面面平行的性質(zhì)：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則這條直線也垂直于另一個平面：

(6)面面垂直的性質(zhì)：若兩相交平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的交線垂直于第三個平面.

3.面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化

⑴兩種維：

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定理.

(2)一個轉(zhuǎn)化：

在已知兩個平面垂直時，，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后

進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

4.平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論

(1)如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).

(2)如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.

⑶如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi).

(4)如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.

(5)三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.

知識點4空間中位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

1.線、面垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

【方法技巧與總結(jié)】

1.三垂線定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

2.三乖線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.

3.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

舉一反三

【題型1垂直關(guān)系的有關(guān)命題的判斷】

【例1】（2025?重慶?二模）己知n,a,b是兩條不重合的直線，*0是兩個不重合的平面，則下列說法

正確的是（）

A.若？nJ_a,n//p,alp,則mln

B.若mLn,mLa,n//P,則

C.若m//n,m//a,n//p,則a//p

D.若a/la,QU/?,aC\p=b,貝ija//b

【答案】D

【解題思路】利用空間線、面平行或垂直的判定與性質(zhì)，對每個選項逐一判斷，通過舉反例可判斷ABC,由

線面平行的性質(zhì)可判斷D.

【解答過程】對于A,如圖所示：m1a,n//P，al/?,但n〃m,故A錯誤;

對于B.,如圖所示：滿足mln,m1a,n///?，但a〃￡,故B錯誤;

對于C,滿足m〃n,7?i〃a,n///?,但a,/?不平行，故C錯誤;

對于D,Q〃a,QU/?,a（\p=b,由線面平行的性質(zhì)可和a//b,故D正確.

故選：D.

【變式1-1]（2025?重慶?三模）已知直線m,ri和平面%其中mua,則是“n_La”的（）

A.充要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解題思路】由線面垂直判定定理及線面垂直的性質(zhì)即可判斷得出結(jié)論.

【解答過程】由mua,mln,則可能有〃ua,n〃a或者九與a相交，不能推出n_La,

若n1a,muQ,則有幾Im,

所以1n”是“n1a”的必要不充分條件.

故選：C.

【變式1-2]（2025?天津濱海新?三模）已知相，九是兩條不同的直線，防6是兩個不同的平面，則下列命題

正確的是（）

A.若m/Ja,nua,則m〃九B.若血〃戊，m//n,則九〃a

C.若m_La,n1/?,?n1n,則a_L0D.若a_L0,aC8=I,mil,則m_La

【答案】C

【解題思路】根據(jù)線面平行的位置關(guān)系判斷AB：根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)判斷CD.

【解答過程】對于A,由?7"/。，nua,則771〃"或777,71異面，故A錯誤；

對于B,由T71〃1,m//n,則九〃a或nua,故B錯誤；

對于C,由m1a,mln,則n//a或〃ua,

則在平面a內(nèi)存在直線a〃九，而"10,則Q_L￡,所以a■!"/?,故C正確；

對于D,由a_L0,aC8=I,mLL

只有當(dāng)mu夕或m〃0時,m1a,故D錯誤.

故選:C.

【變式1-3]（2025?天津和平?二模）已知小〃是空間兩條不同的直線，a,/?,y為三個不同的平面，則下

列命題正確的為（）

A.若。邛，aca,buB，則allbB.若aIIa,a1p,則a1夕

C.若aC8=a,ynp=b,a\\b,則allyD.若aL0,aca,則QJ.0

【答案】B

【解題思路】利用空間中點、線、面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)逐項判斷可得正確的選項.

【解答過程】對于A,若all/?,aaa,bu0,則a||b或a,b異面，故A錯誤;

對于B,若aIIa,則存在直線cua,使得a||c,

由于Q_L/?,則C1￡,可得a1￡,故B正確；

對于C,若an/?=Q,yap=b,a\\bt則ally或a,y相交，故C錯誤：

對于D,若al/?,aua,設(shè)anA=],

只有當(dāng)a?1!時，才能得到a1夕，故D錯誤.

故選:B.

【題型2證明線線垂直】

【例2】（2025高二下?湖南株洲?學(xué)業(yè)考試）在正方體力BCD-4/iGDi中，連接4C,幽,則直線AC,BD1

位置關(guān)系是（）

A.異面且聚直B.異面但不垂直

C.相交且垂直D.平行

【答案】A

【解題思路】易知AC與8〃互為異面直線，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明.

【解答過程】如圖，易知4C與BQ互為異面直線.

連接。8，則AC108,

又D￡）［L^iABCD,AC<=WlABCD.

所以O(shè)D11AC,又D/CDB=D,DD］、DB

所以力Cl面又BDiu面

所以4C_LBDi.

故選：A.

【變式2-1］（24-25高二上?貴州?階段練習(xí)）如圖，在長方體力8，。一4身'。力巾，直線44’與0C的位置關(guān)系

是（）

D1廠

A

A.平行B.相交C.異面且垂直D.異面但不垂直

【答案】C

【解題思路】根據(jù)圖形結(jié)合線面垂直的性質(zhì)判斷即可.

【解答過程】在長方體/18。。一力為'。6中，力力」平面48。。，

因為DCu平面/BCD,所以A4'_L0C,

又直線A4'與DC不相交且不平行，

所以直線A4'與0C異面且垂直.

故選：C.

【變式2-2]（24-25高二上?云南昭通?期中）如圖所示,在正方體A8C0-4iB￡Di中,48=1證明:

⑴犯1BC

（2用。1與/C是異面直線.

【答案】（I）證明見解析

（2）證明見解析

【解題思路】（1）根據(jù)當(dāng)兩直線所成的角是直角時，兩直線垂直即可證明

（2）根據(jù)異面直線的定義可得

【解答過程】（1）如圖所示，連接BQ,

???ABCD-力隹￡。[為正方體,

AB||D]的,

.評面4BCW1為平行四邊形，

AD-y||BC1,AD1—BC-y.

???BCG8]為正方形，

**?BC][B[C,

AD}1BXC.

（2）由/Diu面4DZ）遇i，BiCu面BCCiBi，且面力D。]/!"/面BCgBi，

又HO】與BiC不平行，???/Di與BiC是異面直線.

【變式2-3]（24-25高一下?吉林長春?期末）如圖，在直三棱柱44C-/1|&G中，ABA.AC,。,￡分別為4C,

小&的中點.

（1）求證：ABIDE.

（2）若力小=3,AB=AC=2,求三棱錐的體積.

【答案】（1）證明見解析

（2）2

【解題思路】（1）取力8中點〃.連E//J/D.由中點性質(zhì)知垂直垂直〃。，根據(jù)線面垂直判定得4A

垂直平面E/〃），進而得

（2）利用三棱錐體積公式算出體積.

【解答過程】（1）取力5中點“，連接HD,

在直三棱柱小與。中，AB1AC,D,E分別為8C,小片的中點，

故EH1/BBi，DH//AC,乂因3當(dāng)_L48,則44_LE〃，ABLHD,

因EH,HDU平面EHD,

故,44J_平面因為QEU平面所以44_LQE：

(2)因力力i=3,AB=AC=2,4小_1_平面力4C,貝七〃_L平面力AC,

則三棱錐A-BCE的體積為：VA-BCE=yE-ABC=\s^ABC-EH=|xlx2x2x3=2.

【題型3線面垂直的判定】

【例3】（2025?上海青浦?模擬預(yù)測）如圖，己知四棱錐S-A8CD的底面為菱形，^BAD=^,AS=CS.

（1）求證：4。1平面4。5：

（2）若48=2,BS=V3,DS=1,求四棱錐S-/BC。的體積.

【答案】（1）證明見解析

（2）1

【解題思路】（1）由菱形與等腰三角形的性質(zhì)，可得線線垂直，根據(jù)線面垂直判定，可得答案;

（2）由菱形的性質(zhì)與勾股定理，根據(jù)（1）可分割三棱錐的底與高，結(jié)合體積公式，可得答案.

【解答過程】（1）設(shè)/。與8。相交于點0,

因為底面49CO為菱形，所以/1C_L8D,且。為4?、8。中點.

又因為AS=CS,所以S。1AC,SOC\BD=0,S0,BDu平面BDS,

所以力Cl平面80S.

（2）因為底面48CO是菱形，^BAD=^,AB=2,所以△48。是等邊三角形，則8。=4B=2.

在ABOS中，BS=V3,DS=l,BD=2t滿足對+OS2=如，

根據(jù)勾股定理逆定理可知NBS。=90°,即SD1SB.

由（1）知力CL平面80S,所以匕-八8co=，4C,

cV3xl百AVrB

S〉SBD——3,4c=2V3.

則NS-ZIBCD=gxJx2V3=1.

【變式3-1]（2025?山西?三模）如圖所示，在三棱錐力-BCD中,AB=CD,AC=AD=BC=BD,BC=2AB,

點E,F,G分別在棱BC,AC,4。上運動，且48〃平面EFG,CD〃平面EFG,M,N分別是線段CD和4B的

（1）證明:直線MN1平面EFG：

（2）當(dāng)三角形￡FG面積的最大值為:時，求三棱錐4-BCD的體積.

【答案】（1）證明見解析

（2厚

【解題思路】（1）即證MNJ.E凡FG1MN,利用線面垂直的判定定理即可得證；

（2）利用三角形EFG面積的最大值為點即可求出各棱長，利用三棱錐的體積公式即可求解.

【解答過程】（1）因為AB〃平面EFG,4Bu平面力8C,A8C平面￡7環(huán)，

平面48Cn平面E"G=EF,所以4B//EF,同理CD//FG,

連接力M,BM,

?：AC=AD=BC=BD,所以△ZCDMZiBC。，

又因為M,N分別是線段CD和48的中點，

所以AM=8M,所以MN_LAB,所以MN_LE凡

又因為AMICD,BMLCD,力Mu平面AM8,BMu平面AM8,AMC\BM=M,

所以CD1平面4M8,所以CD_LMN,所以尸G1MN,

因為EFu平面E/G,FGu平面￡FG,EFnFG=F,

所以MNJ■平面EFG.

（2）由（1）及已知可礁+1=1,因為案=《？=張

CACAARCACDAC

所以笑+蕓=1，乂因為二CD,所以EF+%=4B,

又因為CD1平面4MB,所以CD1.48,

所以CDIE",所以FG1EF,

所以S^EFG=\EF.FG4（號勺2=1x^=1,當(dāng)且僅當(dāng)￡T=”時等號成立,

所以48=2,又BC=2AB,^iAC=AD=BC=BD=4,

因為CD1平面24M8，所以V/l-bCD=C-ABM+D-ABM='CD

因為4M=BM=y/AC2-CM2=V15,所以MN=>/AM2-AN2=V14,

所以VGBCD=gx；x2xgx2=罕.

所以三棱錐A-BCD的體積為咿.

J

【變式3-2］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-/15CD中，底面4BCD是邊長為2的正方形，且

CB1BP,CD1DP,P4=2,點E,尸分別為PB,PD的中點.

(1)求證:(4_L平面48皿

(2)求點P到平面/EF的距離.

【答案】(1)證明見解析；

(2承

【解題思路】(1)根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.

(2)利用等體積法求出點到平面的距離.

【解答過程】(1)由底面4BCD為正方形，得又CB_L8P,48nBp=8,48,8。(=平面48幾

于是CB1.平面48P,而P/lu平面4BP,則CBJ.R4,同理CD1P4,

又CBHCD=C,CB,CDu平面4BCD,

所以P4_L平面21BC0.

(2)由(1)得/Ml點E為尸8的中點，在RtZ\P力B中，AE=應(yīng),點/為PD的中點，同理AF=魚，

在△P80H」，EF=\BD=V2,因此低乂或乂,二,，

在直角力8中，S^APE=|x|x2x2=l,

Ftl(1)知C8_L平面48P,則AZ)1平面A8P,于是點F到平面APE的距離為"。=1

設(shè)點P到平面4E戶的距離為比由力.4"二，尸-4"，得gx與xh=3xlxl,解得h二手，

所以點P到平面4"的距離為竽.

【變式3-3](2025?四川雅安?三模)四棱錐P-4BC。中,AP=AC,底面力BCO為等腰梯形，COIIAB,AB=

2CD=2BC=2,E為線段PC的中點，PC1CB.

AB

(I)證明:4EJ?平面PC8；

(2)若PB=2,求直線P。與平面4BCD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

。嚕

【解題思路】(1)分析題意，利用線面垂直的判定定理求解即可.

(2)利用線面垂直找到線面角，放到三角形中求解正弦值即可.

【解答過程】(1)因為力P=4&E為線段PC的中點，所以AE1PC,

在等腰梯形4BCD中，作。尸_148于凡則由48=2。。=28。=2得/8=38。,

所以cos^CBA所以乙CB4=60°,Z.FCB=30°,

BC2

因為48=28。，所以些=竺二工，所以△8CF?△8/C,

ABBC2

所以48CF==30°,所以zACB=90°,所以4C1BC,

因為PC_LC8,PCn/C=C,P&/CU平面PC4,所以8C_L平面PC4,

因為在平面PC4內(nèi)，所以BCJ.4E,

因為PCnBC=&PC,BC在平面PCB內(nèi)，所以力■平面PC8.

(2)因為P8=2,BC=1,所以PC=V5,AP=4C=V5,

取的中點M,連接PM,則PM_LAC,

因為8CJL平面P&4,PMu平面PC/L所以PMJL8C,

又BCnAC=C,BCfACc^ABCD,所以PM1平面ABCD,

所以4PDM為直線PD與平面48C。所成的角，

在正中，PM=^,又因為UM=g8C=$

在RtZiPOM中，。。2=PM2+。02=去所以巴)二孚

所以sinzPDM=霏=孟=甯.

所以直線P。與平面力BCD所成角的正弦值為嚓.

【題型4線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】

【例4】(2U25?上海楊浦?模擬預(yù)測)如圖，在四校錐，一48(；〃中，底面為直角梯形,

48Ao=90°,AD//BC,AB=2,40=1,=BC=4,R4J_平面力BCO.

(I)求證:直線8D1PC；

(2)求直線PC與平面R48所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析

、

(/2r\)arctan—2V5

【解題思路】(1)利用線面垂直的判定定理證明801平面PHC，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；

(2)先證明8cl平明248,從而得到NCP8為直線PC與平面P4B所成角，再在Rt△CPB中求解NCP8即可.

【解答過程】(1)由題意知tan乙4cB=2=tan/BAC,所以乙4D8=N8/1C,

又因為乙R4C+Z?&4。=90°,所以4/WB+ZC/ID=90°,所以4C1BO；

又因為尸力L平面/BCD,BOu平面/18C0,所以R4_L8。，

又因為ACCPA=A,AC,PAU平面P/1C,

所以801平面PAC,又qC在平面24。內(nèi)，

所以直線801PC；

(2)因為PA1平面ABC。，BCu平面A8CD,所以P4_LBC,

因為BC_L/18,ABdPA=A,AB,PRu平明P4B,所以BC1平面PAB,

所以aPB為直線PC與平面24B所成角，

在RtZXCPB中，因為。8=2通,5。=4,

所以tanz.BPC=9=竿

ru5

所以直線PC與平面P4B所成角的大小為arctan等.

【變式4-1］（2025?湖南長沙?一模）在多面體力BG9E中，已知48=BC=2,AC=2a,ZX4=DB=EB=EC=

V5,且平面BCE與平面D4B均垂直于平面718&r為DE的中點.

(1)證明：DE||AC；

（2）求直線"與平面4CE所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析

Q殍

【解題思路】（1）取為8,BC的中點M,N,證明四邊形。ENM為平行四邊形即可得證。E||4C：

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運用法向顯求解即可.

【解答過程】（1）如圖，分別取的中點M,N,連接DM,MN,NE,

因為=故DMJLAB,又平面DAB1平面ABC,且平面DABCl平面ABC=力8,

因此DM1平面;4BC,

同理可知，EN1平面力BC,

因此。M||EN且OM=EN,故四邊形DENM為平行四邊形，所以DE||MN,

又因為MN||AC,所以O(shè)E||AC.

(2)因為人8=8C=2,HC=2&,所以482+8。2=%。2,所以乙人8。=90。，

以8為原點，BA為%軸，BC為y軸，過8且與平面力BC垂直的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

由題意知,B(0,0,0),4(2,0,0),＜7(0,2,0),以1,0,2),F(0,l,2),

F(??2)-

所以配=(-2,2,0),荏=(-2,1,2),而=

設(shè)平面4CE的法向量為五=(x,y,z),

則有0TC=6即］-2x+2y=0'

［五?荏二0,l-2x+y+2z=0,

令％=2,則y=2,z=l,即平面ACE的一個法向量為元=(2,2,1).

設(shè)直線8尸與平面ACE所成角為仇

則sine=|cos＜麗五＞|=磊=說=華，

即直線BF與平面4CE所成角的正弦值為殍.

【變式4-2］(2025?全國?模擬預(yù)測)如圖所示，平面四邊形486中，皿=8,CD=3舊,ED=9,〃DC=90。,

△B4D=30。，點E,F滿足族=，而，而=日麗.將/沿EF翻折至尸，使得PC=12.

(1)證明:EF1PD；

(2)求直線CD與平面PBF所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

【解題思路】（1）根據(jù)題意先計算AE,力凡利用余弦定理可得EF=2%,結(jié)合勾股定理有EF1AE,根據(jù)

翻折的不變關(guān)系和線面垂直的判定定理證得線面垂直，進而得到線線垂直；

（2）利用空間向量法計算線面夾角；

【解答過程】（1）由題意可知，AE=|ED=6,AF=^-AB=4V3,乂48/10=30。，

所以由余弦定理得￡戶=AE2+AF2-2AE-AF?cos30°=12,故EF=2百.

又￡尸+力守二力尸，所以E/_LHE.由EF14E及翻折的性質(zhì)知EF_LPE,EF1ED,

又EDnPE=E,ED,PEu平面PED,所以￡T1平面PE。，

又PDu平面PED,所以EFlP。

（2）如圖所示，連接CE,由題可知DE=9,CD=36，乙CDE=9。。,

故CE=VDF2+CD2=6V3.

又PE=AE=6,PC=12,所以PE2+。產(chǎn)=PC2,故PE1CE.

又PE1EF,CEC\EF=E,CE,EFu平面力BCO,所以PEJ_平面/SCO.

以E為原點，E匕ED,PE所在直線分別為%軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P（0,0,6）,0（0,9,0）,F（2V3,0,0）,/（0,-6,0）,。（38,9,0）.

由M=N而得8（4,4百一6,0）,1CD=（-373,0,0）,而=（2乃,0,—6）,麗=（4,4百一6,一6）.

設(shè)平面P8F的法向量為五=（x,y,z）,則嚴(yán)變二°,即LJ嚕一

令%=百，則五=（遮，-1,1）.

設(shè)直線與平面P8?所成角為仇0<0<\,

sin0=Icos<而,可=留=包警普=平，

II同3exA5

故直線與平面P8F所成角的余弦值為號.

【變式4-3]（2025?全國?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-/1BCD中，底面48co為直角梯

形，AB//CD,Z.BAD=90°,2AB=AD=DC=DP=2,PA=2A/2,PC=273.

（1）若M,尸分別是P4BC的中點，證明：MF1AD；

（2）求二面角P-BC-。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

(2嚕

【解題思路】（1）取4）中點￡連接ME,FE,以MEIIP。，EF||CD,結(jié)合勾股定理的逆定理可證力。_LPD,

進而可得力。1平面MFE,利用線面垂直可得線線垂直；

（2）首先可得。4DC,川/兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，并求得平面PBC的一個法向量，平面4BCD

的一個法向量，利用向量法求得二面角P-BC-。的余弦值.

【解答過程】（1）取40中點E,連接ME,FE,

因為M,尸分別是P4BC的中點，所以ME||PC,EFIICD.

因為力。222所以

+PD=Q=pAtAD±PD.

所以4DJ.ME,又所以力。J.EE

因為EFCME=E,又EF,MEu平面MFE,

所以力。1平面MrE,

因為M/u平面MFE,所以MFIHD.

(2)在平面PDC內(nèi)過點。作DH1.CD,交PC于點H,

因為4840=90。，所以84_LAD,又因為4B〃CD,所以4。_LDC,

因為力OJLP。，PDCDC=D,PD,OCu平面POC,

所以4。上平面POC,又DHu平面POC,所以710_LOH,

所以ZM,DC,DH兩兩垂直，

以D為原點，分別以DC,所在直線為%軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

又所以COS4PDC=22+：;(2”=_；,所以乙PDC=g,

/X/XCL-J

則P(0,-1,百)，8(2,1,0),C(020),所以方二(2,2,一何，PC=(0,3,-V3).

設(shè)平面PBC的法向量為五=(%y,z),

則:2、+2y/z=0,令]，蛹=&L⑹

易知平面為BCD的一個法向量為布=(0.0,1),所以cos(m,n)=需彳=筆?.

向17

由圖知，二面角P—BC—0的平面角為銳角，故其余弦值為嚕

【題型5面面垂直的判定】

【例5】(2025?江西南昌?二模)在三棱柱力8c-418心中，側(cè)面力CCi4是邊長為4的正方形,8C[=2?AB=

2,AB1BC.

（1）求證：平面_L平面ABC；

（2）求二面角8-ACX-C的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

【解題思路】（I）由題意，根據(jù)勾股定理及其逆定理可證得CG_LBC,結(jié)合線面垂直與面面垂直的判定定

理即可證明；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.

【解答過程】（1）因為側(cè)面4CG兒是邊長為4的正方形，

所以CgLAC,ClC=AC=4,

因為48=2,AB1BC,

貝IJ8C='AC2一）82=2次,因為=2V7,gC=4,

所以C底+8。2=8底，即CQIBC,

因為8CnAC=&8C、4Cu平面A8C,

所以CCi1平面48C,又egu平面ACC/i，

所以平面/CC1&1平面4BC；

以HC,4為為y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為AC=4,48=2,8。=2百，所以484c=%

所以4(0,0,0),3(75,1,0),Ci(0,4,4),

則而=(百,1,0),宿=(044),

設(shè)平面4BG的法向量為污=(x,y..z),

由｛霖I可得濟北,令…則*0,一低血

平面4CC］的法向量為通=(1,0,0),

所以Icos匹初=劇=今

又二面角B-ACi-C為銳角,所以其余弦值為

【變式5?1】(2025?廣東廣州?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐P-48CD中，底面力BCD為矩形，AB=2,BC=4,

側(cè)面P4D為等邊三角形，平面P4D1平面4BCD,E為PB中點.

(1)證明：平面24。1平面P48；

(2)求平面瓦4c與平面ACD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

觴

【解題思路】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得出Pr_L平面48CD,接著求證B4，面PAD,再根據(jù)面面垂直的

判定定理即可得證.

(2)根據(jù)幾何體的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角的向量方法，求出面的法向量即可計算求出面

與面夾角的余弦值.

【解答過程】(1)

如圖所示，作線段A〃的中點人連接―

因為側(cè)面尸力。為等邊三角形，所以PF_L4。，

因為平面產(chǎn)力0JL平面力BCD,平面PADn平面48co=/0,PFa^PAD,

所以PF1平面A8C0,因為/Mu平面力8c0,所以PF184

因為底面48co為矩形，所以841AD,

因為P尸CAD=尸，PFu面PAD,ADcffiP/lD,所以841面PAD,

因為84u平面P48,所以平面PAB1面PAD.

(2)

如圖所示，作8c中點G,連接FG,^\FG//BA

由(1)可得，PF1面ABC。，BAl^PAD,所以尸G_L面PAD,

則可以尸為坐標(biāo)原點，以FG/DIP分別為x,y,z軸，建立空間直用坐標(biāo)系；

貝i]P(0,0,26),8(2,—2,0),E(l,-1,V3)M(0,-2,0),C(2,2,0),

可得荏=(1,1,⑹，元=(2,4,0),

設(shè)面E4C的法向量為五=(a,瓦c),則/1=。，得佇匕+?

I；.AC=0(2a+4b=0

令a=2,解得b=—l,c=一?，所以面￡\4C的一個法向量為元=(2,—1,一?),

易知面ABCD得一個法向量為訪=(0,0,1),

設(shè)平面E4C與平面力CO夾角為。，則cos。=|cos<m,n>|=―,=-

ix￡74

所以平面區(qū)4c與平面ACD夾角的余弦值為"

4

【變式5-2］（2025?海南三亞?一模）在多面體4%-/IBC中，ZBB/i為平行四邊形，力1平面=

=4ABC=90°,。為&C的中點.

（）證明:平面818cl平面4BB遇I；

（2）已知多面體4%-48C的體積為千，求力。與平面B］BC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

【解題思路】（1）根據(jù)題意，分別證得1BC^WBC1AB,利用線面垂直的判定定理，證得8C1平面力8當(dāng)4,

進而證得平面BSC1平面AB%4；

（2）由力-&8也=匕>/1/8］，利用錐體的體積公式，求得BC=遂，以8為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系,

求得向量而=（一或，弓,白）和平面CB4的法向量五二（1,0,1）,結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【解答過程】（1）證明：因為&B1平面4BC且8Cu面ABC,所以48J.8C,

又因為448。=90。，可得8C148

因為C\AB=B^.AYB,ABu面ABB1力i，則BC1平面ABBMi

又因8cU平面面所以平面_L平面力夕/%.

（2）解:因為四C=/CT|8B］，由⑴可知三棱錐C-A1BB1中,由8cl面48%，

則V=^SA1ABB.xBC=^Xy/2xV2xBC=^-,解得BC=W,

JJo

由（1）可知I8C,BA,BA1兩兩相互垂直，

以B為坐標(biāo)原點，以B4BC,B4所在直線分別為“軸，y軸和z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

由（I）可知,8/1=%=企,可得B（0,0,0）,A（豆,0,0）,C（0,V3,0）,A1（0,0,⑨,當(dāng)（一四,0,V2）,D（0,y,y）,

則元=（0,8,0）,西=（-V2,0.V2）,AD=（-/，苧,當(dāng)）,

設(shè)面為BC的法向量五=（%y,z）,則[_H_-fiC=V3y=0,

%?BBi=-x/2x+x/2z=0

令x=l,可得y=0,z=l,所以元=（1,0,1）,

設(shè)HO與平曲8鳳所成角為。，則sin。=\cos（n,AD）\=卷*=等，

所以4D與平面所成角的正弦值為理.

【變式5-3]（2025?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測）如圖，四棱錐P—/1BCO的底面為正方形，48=A尸=2,/M_L平

面44CQ,E,產(chǎn)分別是線段尸8,的中點，G是線段QC上的一點.

（1）求證：平面EFG1平面以C；

（2）若直線力G與平面力￡尸所成角的正弦值為右求CG的長.

【答案】（1）證明見解析

（2年或后

【解題思路】（1）連接8。，由線面垂直的性質(zhì)得到EF124,再由面面垂直的判定定理證明可得：

（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)方=2近（0〈入VI）,求出平面力￡產(chǎn)的一個法向量，代入空間線面

角公式計算可得.

【解答過程】（1）連接8。，因為E,尸分別是線段P8,PO的中點，所以EF//BD.

R

8y

因為P41平面u平面力SCO,所以24BD,即E尸_LP4

又，4BCD為正方形,所以8D_L4C,即EF14C

又P4n/lC=4P44Cu平面HC,所以EHJ_平面以C,

又￡Fu平面EPG,所以平面￡7環(huán)，平面RIC.

(2)如圖，以力為原點，分別以力/AD,力產(chǎn)所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則

71(0,0,0),E(l,0,l),F(0,l,l),P(0,0,2),C(2,2,0),AE=(1,0,1),而=(0,1,1),

設(shè)記=XPC(Q<A<1),則血=AP+PG=(0,0,2)+(2九2兒—2/1)=(2九24,2—2/1).

設(shè)平面力"的一個法向量為元=(%,y,z),則［竺？="+z=?,令z=-l得詁=(1,1,一1).

(AF-n=y+z=0

設(shè)直線4G與平面4E廠所成角為e,則

加=如＜元前＞1二回受U//⑸/一

|n|-\AC\V3?1422+4-+(2—22)23

解得;I=:或5所以CG=(1-A)PC=(1-A)-2V3=苧或百.

【題型6面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】

【例】?全國?模擬預(yù)測)如圖，四棱錐中,底面。為直角梯形,

6(2025P-4BCDABCAD//BC,CDLADfAD=

CD=2BC=2,平面24。1平面48。江且△是以P為直角頂點的等腰直角三角形.

A

（1）證明：CD1平面PAD；

（2）求二面角4-PB-C的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）J

【解題思路】（1）根據(jù)條件，利用面面垂直的性質(zhì)，即可求解；

（2）取中點。，連接。P,。。，根據(jù)條件，建立空直角坐標(biāo)系，分別求出平面AP8,CPB的法向量，利用面

面角的向量法，即可求解.

【解答過程】（1）因為平面P/W1平面4BCD,平面R4Dn平面=

又CDLAD,。。（=面48。。，所以CZ）_L平面PAD.

（2）取4。中點0,連接0P,。。，

因為△P40是以P為直角頂點的等腰直角三角形，則P。1AD,

由（1）知平面PH0,又POu面所以PO_LC。，

又ADCCD=D,AD,CD（z^\ABCD,所以POJ■面力BCD,

又AD=CD=2BC=2,且AD〃8C,又0。=1,所以四邊形08C。為平行四邊形,

所以O(shè)B//CD,則08L面PAD,又4Du面P4Q,則OB14D,

建立如圖所示的空間直角星系，

又24=PD=V2,所以P。=&=1,

則4(1,0,0),B(0,2,0),C(-l,2,0),P(RO,1),

所以麗=(0,2,-1\PA=(1,0,-1YPC=(-1,2,-1),

設(shè)平面4PB的一個法向量為五=（x,y,z）,

取x=2,得y=l,z=2,所以五=(2,1,2),

［一方n=2b-c=0

設(shè)平面CPB的一個法向量為沆=（Q,瓦c）,則

fp??n=—a+2b-c=0

取6=1,得％=0,c=2,所以沆=(0,1,2),

所以cos值，沆）=*=黑=g,

設(shè)二面角/一PB—C的大小為仇則sin。=-cos?伉沅）=/1-1=-|.

【變式6-1]（2025?福建廈門?三模）在三棱錐P—力BC中，ACLBC,AP1CP,AP=CP=2,。是/IB的中

點，且平面PRC_L平面218c.

（1）證明：4Pl平面8CP；

（2）已知平面a經(jīng)過直線PC,且4B〃a,直線與平面a所成角的正弦值為求三棱錐P-4BC的體積.

【答案】（I）證明見解析

（2^72

J?5

【解題思路】（1）由平面H4CJ■平面ABC,得到平面PAC,再結(jié)合力戶1CP即可求證；

（2）建系，設(shè)8C=2m求得平面法向量及直線方向向量，代入夾角公式即可求解m,利用體積公式計計算得

出結(jié)果.

【解答過程】（1）因為平面P4CJ■平面4BC,平面PACn平面ABC=A&BCu平面ABC,AC1BC,

所以8cL平面PAC.

又RPu平面P4C,所以BOP.

乂AP1CP,BC,CPu平面BCP,BCCCP=C,

所以/IP_L平面BCP.

（2）記4C的中點為。，連接P。,。。，

因為AP=CP,所以P0_L4C,

因為平面P4C1平面力BC,所以P01平面ABC.

因為。,0分別是4cMB的中點，所以0C〃BC,又BC14C,所以。。14c.

以0為坐標(biāo)原點，040。,。「所在直線分別為H丫,2軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)BC=2m,則力(加,0,0),B(一應(yīng),2m,0),C(-V2,0,0),P(0,0,⑨