專題5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型I基底的概念及辨析】..........................................................................3

【題型2用基底表示向量】............................................................................5

【題型3利用平面向量基本定理求參數(shù)】..............................................................7

【題型4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】........................................................................9

【題型5向量共線的坐標(biāo)表示】.......................................................................11

【題型6由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決最值和范圍問題】...........................................12

1、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

平面向量是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，

2023年天津卷：第14題，5屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考

(1)了解平面向量基本定理及

分情況來看，平面向量基本定理、平面向

其意義

2024年新課標(biāo)I卷：第3題，量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要

(2)掌握平面向量的正交分解

5分以選擇題、填空題的形式考查，難度較

及其坐標(biāo)表示

2024年全國甲卷(理數(shù))：第易；有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)

(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的

9題，5分合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等.學(xué)生

加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算

2024年上海卷：第5題，4分在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)對(duì)向量的線性

(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向

2025年全國二卷：第12題，5運(yùn)算法則、向量共線與垂直的條件的理

量共線的條件

分解，熟記平面向量的相關(guān)公式，靈活進(jìn)

行求解.

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1平面向量基本定理的探究

1.平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果3,E是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量五，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)Z,22,

使a=九4十九七.若修，G不共線，我們把｛修，G｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

(2)定理的實(shí)質(zhì)

由平面向量基本定理知，可■將任?向新在給出基底｛2，［｝的條件下進(jìn)行分解——平面內(nèi)的任?向量都可

以用平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量線性表示,這就是平面向量基本定理的實(shí)質(zhì).

2.應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)

應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.?

般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.

3.用平面向量基本定理解決問題的一般思路：

用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的

形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都

是唯一的.

知識(shí)點(diǎn)2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及其解題策略

1.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

（1）T交分解

不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正

交分解.

（2）向量的坐標(biāo)表示

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為:，取行，力作為基底.對(duì)于

平面內(nèi)的任意一個(gè)向量?jī)?yōu)由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)小y,使得五=/+?這樣，平面內(nèi)

的任一向量方都可由x,y啡一確定，我們把有序數(shù)對(duì)（x,用叫做向量石的坐楊，記作刁=（xj）①.其中x叫做力

在工軸上的坐標(biāo)，F(xiàn)叫做五在y軸二的坐標(biāo)，①叫做向量W的坐標(biāo)表示.

顯然，1=（1,0）,/=（0,1）,0=（0,0）.

（3）點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系

表示形

向量五=（叼，）中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)4卬，）中間沒有等號(hào).

式不同

區(qū)點(diǎn)力（x,y）的坐標(biāo)（XJ，）表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位

別

意義宜，層=（xj，）的坐標(biāo)（XJ）既表示向量的大小，也表示向量的

不同方向.另外，（XJ）既可以表示點(diǎn)，也可以表示向?qū)?，敘?/p>

時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)（xJ）或向量（x,y）.

向量的坐標(biāo)與其終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.當(dāng)平面向量的起

聯(lián)系

點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.

2.平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

C）兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示

由于向量4=（X|M，力=（彳2,經(jīng)）等價(jià)于a=工"+必］，1=必”'+'2），所以a+b=（陰+必/）+

（?bi+歹2，）=（工1+X2）i+（y+月）J，即5+1=（M+必,凹+外）.同理可得；-b=（xi—x2,yi-y2）.

這就是說，兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.

（2）向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示

由五=（閃）,可得。=xi+y）,則4。=+'/）=&，+Ayj,即入a=（Zr,Ay）.

這就是說，實(shí)數(shù)與向量的枳的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

3.共線的坐標(biāo)表示

（1）兩向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)1=（為,%，%=（*,?），其中忌0.我們知道，優(yōu)方共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)人使祗工.如果用坐標(biāo)表

示，可寫為（XQ1）=4X2,%），即＜"—消去九得汨外一必凹=0.這就是說，向量蒼，石（1#0）共線的充

凹=2y2

要條件是X1%一不乃=0.

（2）三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示

若/（XQ1）,8（%%），。（孫》3）三點(diǎn)共線,則有方=2數(shù)，從而（必一凡力一珀=2（對(duì)一必必一切），即

（工2—X。（乃—"）=（內(nèi)—x2）（y2-乂），

或由方="就得到（必一M）或一必）=（不一M）（乃一凹），

或由就=yBC得至1」（當(dāng)一汨）（乃一y2）=（x3—x2）（為一切）.

由此可知，當(dāng)這些條件中有一個(gè)成立時(shí)，48,C三點(diǎn)共線.

4.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

（1響吊的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向最加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來遂行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),

則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

（2）解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程（組）來講行求解.

【方法技巧與總結(jié)】

1.若云與石不共線，且）、a+g=0,則2=〃=0.

2.已知P為線段4B的中點(diǎn)，若題汨,凹），伙不,以），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為

3.已知△ABC的重心為G,若4g,y）,倒、?,乃），。（不,外），則G/十；十不,-十？十二）.

舉一反三

【題型1基底的概念及辨析】

【例1】（2025?上海浦東新?三模）給定平面上的一組向?qū)徔?、否則以下四組向晟中不能構(gòu)成平面向量的基

底的是（）

A.2國+瓦和可一匹B.可+3可和可+3可

C.3可一皆和2筱一6五D.可和西+行

【答案】C

【解題思路】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.

【解答過程】對(duì)A：不存在實(shí)數(shù)；I,使得2可+與=4（百一軍），

故2元+逵和瓦-瓦不共線，可作基底；

對(duì)B：不存在實(shí)數(shù)；I,使得匹+3孩=2（直+3功，

故瓦+3瓦和可+3瓦不共線，可作基底；

對(duì)C：對(duì)3國-孩和2可-6可，因?yàn)榭?，蔽是不共線的兩個(gè)非零向量，

且存在實(shí)數(shù)一2,使得2尻-6西=-2（3打一①），

故3國一五和2a一6q共線，不可作基底；

對(duì)D：不存在實(shí)數(shù)九使得百=4（可+可），故式和瓦十五不共線，可作基底.

故選:C.

【變式1-1]（24-25高一下?湖北黃岡?期中）若無，①是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列各組向量中，不

能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（）

A.可與否一瓦B.匹+2可與2否+冕

C.可―2可與瓦+2,^2D.6可-34與。2-2打

【答案】D

【解題思路】分別驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)中的兩向量是否共線即可選出正確答案.

【解答過程】因?yàn)槎?，哀是平面?nèi)一組不共線的向量，

設(shè)己2二泥1，無解，，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)21+2己=4（2面+襁），則[入=]無解，不平行，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

12=1

設(shè)面+2&=4@1-2&）,則無解，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

6瓦-3蔡=-3（孩-2可），（6百-3遂）〃（運(yùn)一2可），不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，D選項(xiàng)正確:

故選：D.

【變式1-2]（24-25高一下?江西景德鎮(zhèn),期中）若回后｝是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作平

面問量的基底的是（）

A.｛元一蔡，筱一2耳）B.｛西一瓦，可一g瓦｝

C.｛2筱一3區(qū),6國一4與｝D.｛藥+芍，藥+3與｝

【答案】C

【解題思路】根據(jù)基底滿足的條件逐一分析判斷即可.

【解答過程】對(duì)于A,設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)入使無一匹二人（可一2百）=入瓦-22百，

貝Wit：/，此方程無解，故｛云—可，a-2元｝能作為平面向量的基底，故A不符合題意；

對(duì)于B,設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)2使可一諾二入（再一g石）=2百一）可，

1=4

則_1二1力，此方程無解，故｛可-瓦，區(qū)-g可惟作為平面向量的基底，故B不符合題意;

對(duì)于C,由6國-4瓦=-2（2瓦-3百），所以2筱一3瓦與65-4京共線，

故｛2芍-3匹,6匹-4互｝不能作為平面向量的基底，故C符合題意：

對(duì)于B,設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)/I使藥+3筱=Z（e；+/）=%/+A區(qū)，

則｛；二;，此方程無解，故｛編+甌區(qū)+3筱｝能作為平面向量的基底，故D不符合題意.

故選：C.

【變式1-3]（24-25高一卜?河南?期中）若乙方是平面內(nèi)一組不共線的非零向量，則卜列也可以作為一組基底

向量的為（）

?a-石和2025%-2025a@a+石和力-b

③3蒼一21和2蒼-3b@a-3了和6b-2a

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】B

【解題思路】根據(jù)題意，利用向量的共線定理，以及基底向量的定義，逐個(gè)判定，即可求解.

【解答過程】對(duì)于①中，由五一E和2025石一2025優(yōu)可得2025萬一20253=一20250—石），

所以五一石和2025了一2025元是共線向量，不能作為一組基底向量；

對(duì)于②中，設(shè)方+石=/10-石），可得｛，[L），方程組無解，

所以2+石和近一石不共線，可以作為一組基底向量；

對(duì)于③中，設(shè)3五一2萬二〃（2/35），可得｛一北22,方程組無解，

所以3a-2了和萬一3石不共線，可以作為一組基底向量；

對(duì)于④中，設(shè)五一3l=m（6石-2砌，可得｛/解得租=一號(hào)

所以蒼-和6石-2五是共線向量，不能作為一組基底向量.

故選：B.

【題型2用基底表示向量】

【例2】（2025?海南三亞?一模）已知/18C0為平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，記說=瓦而=石，則籥=（）

A.a+^bB.a-^bC.-^a+bD.-^a-b

【答案】C

【解題思路】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【解答過程】因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以而=g而，

所以說=BC+CE=BC+1CD=AD-^AB=-^a+b.

故選：C.

【變式2-1］（2024?山東濟(jì)南?二模）在△4BC中，E為邊A8的中點(diǎn)，麗=|麗，則屁=（?

A.--AB+^ACB.yAB+^-AC

6363

C.^AB+^ACD.^AB-^AC

6363

【答案】D

【解題思路】借助平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理計(jì)算即可得解.

【解答過程】因?yàn)镋為邊力8的中點(diǎn)，麗=|近，

所以瓦=DB+BE=^CB-^AB=^（AB-AC）-g而=^AB-1而.

【變式2-2］（2025?甘肅慶陽?一模）在平行四邊形/4CO中，AB=2AE,BF=2BC,則麗=（）

A.2AB+-2ADB.-2AB+-2AD

C.-2AB+2ADD.2AB+2AD

【答案】c

【解題思路】由平面向量的基本定理求解即可.

【解答過程】

如圖：~EF=~EB+~BF=^AB4-2AD.

故選：C.

【變式2-3X2024福建福州模擬預(yù)測(cè)）如圖，梯形/WCD的腰CD的中點(diǎn)為Z7,且。C=3AD,記而=沆，而=五,

則BE=()

-m+2nC.-2沅+》D,+

【答案】A

【解題思路】根據(jù)圖形，利用向量的兒何運(yùn)算得到而=-訪-2%，即可求解.

(解答過程】因?yàn)?c=3ADf又同+BC+CD+DA=O,所以而=-AB-BC-DA=-m-3n+n=-m-

2n,

又E為腰CD的中點(diǎn)，所以近=JC+CE=BC+1CD=3n--n=--m+2n,

4LL

【題型3利用平面向量基本定理求參數(shù)】

【例3】(2025?湖南?三模)在△ABC中，點(diǎn)。是線段BC上一點(diǎn)，若說=4灰，而=；府+,石，則實(shí)數(shù)4=

44

()

【答案】D

【解題思路】由向量的線性運(yùn)算得而二(1-2)而+4；花，結(jié)合平面向量基本定理即可得解.

【解答過程】因?yàn)辂?/I近，

>

所以荷=AB+BD=AB+ABC=AB+A(<-AB+AC)=(<1-/)而+AAC,

因?yàn)槎?；萬+：而，所以入=：.

444

故選：D.

【變式3-1](2025?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知在△ABC中，點(diǎn)D滿足4DB+3DC=0,設(shè)而=AAB+〃尼(尢〃eR),

則4+2〃=()

cW

A.1B-IJ7D.2

【答案】C

【解題思路】由平面向量基本定理結(jié)合4礪+3尻=6,可得瓦=：前，而=-彳前,再由同=入同+

〃版（尢〃6/?）,即可求出2+24的值.

【解答過程】由4而+3反=6,可得前=?近，而=-?近，

則而=AB+BD=AB+^BCfAD=AC+CD=AC-軻,

則2而=而+尼一萍=四+而函-砌=海+師

故亦=；而+討，

所以4+2〃=g+2x'=與

故選：C.

【變式3-2］（2025?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè)）在4力8。中，點(diǎn)。為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足在=2EA,若而=AAD+

〃麗，貝4的值為（）

A"C--D.V

。2

【答案】D

【解題思路】利用平面向最基木定理根據(jù)題意將荏用而，前表示出來，從而可求出入?yún)n進(jìn)而可求得結(jié)果.

【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)。為線段8C的中點(diǎn)，點(diǎn)￡滿足胃=2瓦5,

(AD=^(AB+AC)

所以］2AD=AB+AC

所以屁=AE-AB=/-AB

3BE=AC-3AB

消去而，得2而一3露=4而,

所以而=\AB-^-BE=AAD+熊

24

所以4=H=-1,所以a+〃=_(.

故選：D.

A

E

BD

【變式3-3](2025?北京朝陽?二模)在矩形71BC。中,IB1=2,AB=遮，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn),BE

與4c交于點(diǎn)E設(shè)而=心5+心祓(ki，&ER)，其中可，芍分別是與前，前方向相同的單位向量，則()

A.的=:也=乎B.的=?也=：

C.卜1=/#2=『D.kx=\,k2=1

【答案】B

【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算，用品,與來表示而，然后利用平面向量基本定理即可確定選項(xiàng).

【解答過程】

在矩形力88中，因?yàn)辄c(diǎn)￡為線段力。的中點(diǎn)，所以喋=^=J=MF=0C,

rCoC/5

則有而=[前=+而)=g而+g而，

因?yàn)?。=2,AB=&，國與分別是與而，而方向相同的單位向氧

所以而=2匹，前=企耳，

則/=+：而=彳可+，匹，

?J?3JJ

又因?yàn)槎?向西+心瓦(的也WR),所以為

OO

故選：B.

【題型4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】

【例4】(2025?天津紅橋?模擬預(yù)測(cè))若向量益=(一1,0),b=(0,l),則列+21的坐標(biāo)為()

A.(-1,2)B.(-1,1)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】A

【解題思路】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得結(jié)果.

【解答過程】由五=(一1,0),b=(0,1),

則萬+2石=(-1,0)+(0,2)=(-1,2).

故選：A.

【變式4-1](2025?云南曲靖?二模)已知4(-2,1),8(—5,3),?3,4),若點(diǎn)。滿足荏=沆，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為

()

A.(2,2)B.(3,1)C.(1,3)D.(5.5)

【答案】A

【解題思路】設(shè)點(diǎn)。(%y),求出而，比，再列出方程，即可得解.

【解答過程】設(shè)點(diǎn)。(%,v),

則而二(1,2)辰=(3,4-y),

又屈=反，所以

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,2),

故選:A.

【變式4-2】(2025?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè))已知向量記，式五在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，瘠而繞著起點(diǎn)

順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到向量五，若五=ma-nvt則m+n=()

【答案】A

【解題思路】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示求解即可;

【解答過程】

由圖可得瓦=而，以A為原點(diǎn)，4C為y軸，力E為“軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

C(0,3),4(0,0),E(3,0),8(3,1),。(3,2),G(5,-2),

所以N=(2,-2),u=AB=(3,1)*=CD=(3,—1),

因?yàn)槲?nia-nv,即(3,1)=m(2,-2)—n(3,-1)=(3,1)=(2m-3n,-2m+n),

所以｛3=2m-3n=1n=一；

tl=-2m4-n=-->

所以m+n=-|.

故選:A.

【變式4-3](2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)兒B,C,。為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若麗二2a一3反,

且元=(-2,1),則布=()

A.(4,-2)B.(-4,2)C.(6,-3)D.(-6,3)

【答案】D

【解題思路】由已知整理可得而=3尼，然后由坐標(biāo)運(yùn)算可得.

【解答過程】由前=2萬？-3反得而+萬5=3而一3麗，UPFX=3CA,即麗=3而，

又而=(-2,1),所以宿=3后=(-6,3).

故選：D.

【題型5向量共線的坐標(biāo)表示】

【例5】(2025?天津紅橋?模擬預(yù)測(cè))已知向量d=(1,2),b=(-l,y),若可/A則》的值為()

A.—B.——C.2D.—2

22

【答案】D

【解題思路】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.

【解答過程】由力萬，則lxy=2x(-1),解得y=-2.

故選：D.

【變式5-1](2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知向量五=(0,1),b=(l,l),若五+m石與方一超共線，貝U()

A.m+n=0B.m+n=1C.mn=0D.mn=1

【答案】A

【解題思路】由題意G+m石=(m,l+m),五一7函=(一洱1-九)，結(jié)合向量共線的充要條件即可求解.

【解答過程】因?yàn)橄蛄课?(0,1),b=(1,1)?所以五+癡=(m,1+m),N—岫=(一九,1一九)，

因?yàn)槲迨甿b與五一nb共線，則力1(1—n)=-n(l十力1),即TH+7i=0.

故選：A.

【變式5-2](2025?廣東東莞?模擬預(yù)測(cè))已知向量N=(l,2)是=(2,d)，則“0+石)〃0—是“％=2”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解題思路】利用向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值，結(jié)合充分、必要性定義判斷關(guān)系即可.

【解答過程】由題設(shè)4+1=(3,2+，),五一石=(一1,2—7)，

若@+了)〃0—石)，則3(2-必)=一(2+%2),可得工=±2,

所以“伍+b)//(a-石)”是“3=2”的必要不充分條件.

故選：B.

【變式5-3](2025?遼寧盤錦?三模)已知4(0,0),6(矣,1),CQ,-2),0(2,-1),若南與沅共線，貝〃二

()

A.1B.2C.-1或2D.-2或1

【答案】D

【解題思路】首先求出而與反的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.

【解答過程】因?yàn)?(0,0),8(",1),CQ-2),。(2,-1),

所以通=(",1),DC=(A-2,-1),

又通與反共線，故一"=a-2,解得入=-2或4=1.

故選：D.

【題型6由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決最值和范圍問題】

【例6】(24-25高三?全國?階段練習(xí))在直角梯形"C。中而?而=0/8=30。，AB=2W,BC=2,點(diǎn)、E

為3c邊上一點(diǎn)，且族二%而+?而，則xy的取值范圍是()

A(F)B.[0,1]C.[0,?]D.[1,2V3]

【答案】B

【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.

【解答過程】建立如圖所示的直角坐角坐標(biāo)系，過C作CF14B,垂足為凡

因?yàn)?8=30°,8C=2,

所以有sinB=―,cosB=—^>CF=2sin300=1,BF=2cos30°=遍,

71(0,0),F(2V3,0),C(V3,1),D(0,l),設(shè)E(a,b),BE=mBC(me|O,1J),

因此有(a_2V5,b)=m(-V5,l)=卜一275=-=卜=2百—,

因?yàn)闃?biāo)=%而+丫而，

所以有(a,b)=x(2V3,0)+y(0,l)=(2臼乂y)=卜：2y^x=卜=譽(yù)，

(b=yy=b

而[a=2>/3-V3m

Ib=m

所以xy==(2g-y[3m)m=(1-1m)m=-1(m-I)2+1,

當(dāng)執(zhí)=1時(shí)，xy有最大值當(dāng)m=0,xy有最小值0,

所以盯的取值范圍是卜日

故選：B.

【變式6-1]（24-25高一下?廣東韶關(guān)?期末）如圖，四邊形力BCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E,使得DE=C。.若

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中壽=4萬+〃荏，下列判斷正確的

A.滿足入+〃=2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn).

B.滿足〃=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè).

C.4+〃的最大值為3.

D.4+〃的最小值不存在.

【答案】C

【解題思路】建立生標(biāo)系，討論P(yáng)C4B,PCBC,PCCD,PU,4。四種情況，出AI〃的范圍，再判斷每個(gè)

選項(xiàng)的正誤，即可得出結(jié)果.

【解答過程】如圖建系，取力8=1,-：AE=AD+DE=AD-AB,

：.AP=AAB+liAE=(A-〃)而+nAD=(A-〃)(l,0)+〃(0,l)=("〃,〃),

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)力出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，

當(dāng)PW4B時(shí)，有0工/1一〃工1且〃=0,0<A<1,0<A4-//<1,

當(dāng)PW8C時(shí)，有=1且OWaWl,則/l=〃+l,A1<A<2,.\1</1+^<3,

當(dāng)PWCD時(shí)，有0工/1一〃工1月以=1,則/.1<1<2,/.2<A+^<3,

當(dāng)P640時(shí)，有2—〃=0且0工〃工1,則;l=〃，AO<1<1,AO<A+<2,

綜上，owa+〃工3,

選項(xiàng)A,取/1=〃=1,滿足4+〃=2,此時(shí)而=而+荏=而，因此點(diǎn)P不一定是8C的中點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B,當(dāng)點(diǎn)P取8點(diǎn)或4。的中點(diǎn)時(shí)，均滿足入+〃=1,此時(shí)點(diǎn)P不唯一，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,當(dāng)點(diǎn)P取C點(diǎn)時(shí)，4一〃=1且〃=1,解得入=2,〃取得最大值為3,故C正確；

選項(xiàng)D.當(dāng)P取點(diǎn)力時(shí)，入+〃取得最小值0,故D錯(cuò)誤：

故選：C.

【變式6-2](2024?湖南常德?一模)如圖，四邊形為BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)C。至￡，使得DE=2CD.動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)力出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到4點(diǎn)，而=4萬+〃荏，貝「+〃的取值范圍

為.

【答案】[0,4]

【解題思路】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，討論「€484￡8&「6。?！ā?。力四種情況，即可求出入+〃的

取值范圍.

【解答過程】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系:

則B(1,O),E(-2,1),所以而=板+屈=(4-2〃,〃),

當(dāng)PG/B時(shí)，有二會(huì),1，印owawi,〃=o，此時(shí)入+〃的取值范圍為[o,i]，

當(dāng)PWBC時(shí)，有口工?：：，即1W4+4=Q—2〃)+3〃=l+3〃W4,此時(shí)4+〃的取值范圍為[1,4],

當(dāng)P6CD0寸，有｛°&即3<4+〃=(/1一2〃)+3〃=(/1一2〃)+344,此時(shí)Y+〃的取值范圍

為[3,4],

當(dāng)P6ZM時(shí)，有｛1｝?；：，即04/1+〃=。-2〃)+3〃=3〃工3,此時(shí)入+〃的取值范圍為[0,3],

綜上所述，4+〃的取值范圍為[0,4].

故答案為：[0,4].

【變式6-3](2025?廣西柳州?三模)在△4BC中，41=90。，18=2,AC=3,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)、,ELAP=1.

若麗=AAB+〃正，則2A+3〃的最大值為.

【答案】V2

【解題思路】利用平面向顯的坐標(biāo)運(yùn)算以及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過程】

如圖，因?yàn)?4=90。，所以以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，

AB,AC方向?yàn)榘謞軸建立平面直角坐標(biāo)系,則4(0,0),8(2,0),C(0,3),

設(shè)/248二仇則66[0,3，

過點(diǎn)P作不軸的垂線,垂足為Q,則4Q=cos。,PQ=sin。,

所以P(cose,sin。)，

所以而=（cosasin。）,荏=（2,0）,m=（0,3）,

因?yàn)镼=/l通+〃n，所以（cos6,sin。）=（2尢3〃），

所以24=cos。,3〃=sin。，

則24+3〃=sin。+cosO=V2sin

。中圖，所以。+：6片卦

所以當(dāng)￡+：=*即。=灑，24+3〃有最大值為企,

故答案為：V2.

過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2025?山西?二模）若｛可，與｝是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（

A.｛可一石，五一百｝B.｛2否一匹一百+,右｝

C.｛品+&2,67+4^2）D.｛3仇262,—6西+462）

【答案】C

【解題思路】根據(jù)共線向量定理逐項(xiàng)判定向量是否共線即可.

【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A,可一匹=一（祓-可），兩向量共線，不符合基底的定義，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,26一無二一2（一百十g豆），兩向量共線，不符合基底的定義，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,不存在實(shí)數(shù)九使得嬴=4（酉+4初，故C正確：

對(duì)于選項(xiàng)D,-6可+4/=-2（3百-2孩），兩向量共線，不符合基底的定義，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.（2025?安徽馬鞍山?二模）已知平面向量蒼，石滿足蒼=（1,一冉），b=（2,x）,若必不，則”二（）

A.-V3B.-2>/3C.V3D.2百

【答案】B

【解題思路】由向量平行坐標(biāo)表示可得答案.

【解答過程】\^]a//b,a=（1,-V3）,b=（2,%）,則一2百=七

故選：B.

3.（2025?甘肅甘南?三模）△力8c中，若方=益，AC=b,BD=3DC,則向量而可用五，石表示為（）

A.^a+-bB.a+'-b

444

C.-a+-bD.-a+-b

4444

【答案】A

【解題思路】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算直接求解即可.

【解答過程】在△ABC中，BD=3DC,

則而=亞+麗=荏+河=而+3函一硝

=四+次一加=；萬+沛.

4444

又因?yàn)槎?而二及所以而=9元+5江

44

故迄A.

4.（2025?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知向量五=（1,4）,b=（2,%）,若匕〃（2,+b）,則％=（）

A.8B.4C.2D.-8

【答案】A

【解題思路】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.

【解答過程】2元+9=（4,8+十）,

由2〃（2M+5）得4%=2（8+%）,解得x=8.

故選：A.

5.（2025?甘肅甘南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，麗=2祝,N為線段上一點(diǎn)，且麗=一;I）而+/,

則實(shí)數(shù);I的值為（）

【答案】D

【解題思路】先利用基底而，尼表示麗，再設(shè)麗二摘而，即可構(gòu)造關(guān)于九t的方程組.

【解答過程】因由=2流，則麗=:近，

故俞=AB+~BM=AB+萍=荏+久而-通）=^AB+翔，

因AN,M三點(diǎn)共線，故設(shè)前=￡祠，則前=5萬+=而，

?3?5

1-1=-A

3

因麗=(1-A)AB+g/lC,則|A_2t,解得/I二

I3~~

故選：D.

6.(2025?河南?二模)在△力8?？冢?。是AC邊的中點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足麗=3兩，若宿=入而+〃而，則

/+〃=()

A禺B.1C.|D.|

【答案】D

【解題思路】由平面向量的基本定理結(jié)合圖形計(jì)算即可.

【解答過程】因?yàn)榍?而+麗=而+?而①，祠=而+兩=3而一,而②，

由①x2+②，得3宿=2而十1而，所以病=2荏+白正，

236

即幺=j1所以a+“=?

3oo

故選：D.

7.(2025?河南?模擬預(yù)測(cè))已知兩個(gè)不相等的向量五=(2,7n+1),5=(2-4?n,1),若五〃(22-b),則巾=

()

A.-B.0C.--D.--

224

【答案】C

【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得2方-石=(2+4m,2m+1),然后根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得m=0

或m=一提再代入驗(yàn)證即可求解..

【解答過程】因?yàn)橄蛄縃=Q,m+1),d=(2—4m,1),所以2d—5=(2+4zn,2m+1),

由Z〃(2d—石)得2x(2m+1)—(m+1)x(2+4m)=0,即mx(14-2m)=0,

解得m=0或m=—I，當(dāng)m=0時(shí)，a=(2,1),h=(2,1),此時(shí)N=b,不符合題意，

當(dāng)加=一決寸，a=(2,1),b=(4,1),此時(shí)五,氏符合題意.

故選：C.

8.(2025甘肅甘南模擬預(yù)測(cè))向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若W=/l五十〃了(九〃€/?),

則4+〃的值為()

C.-2.5D.-3

【答案】C

【解題思路】建立坐標(biāo)系，然后用坐標(biāo)法計(jì)算即可

【解答過程】

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，

則H=(-1,1)5=(6,2),c=(-1,-3)

所以(—1,—3)=入(—1,1)+〃(6,2)

則｛二二7；2彳，則｛:二匚則入+〃=-25

故選：C.

二、多選題

9.(24-25裔一下?四川成都?期中)在下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.藥=(0,0),夙=(1,一2)B.e；=(-1,2),e；=(5,7)

C.國=(3,5),正=(-6,10)D.可=(2,-3),正=Q,-習(xí)

【答案】BC

【解題思路】根據(jù)平面向量基底的定義，以及向量共線的條件，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【解答過程】對(duì)于A：零向量與任意向量都共線，故其不可以作為它們所在平面內(nèi)所有向量的基底，故A錯(cuò)

誤；

對(duì)于B：(-1)x7-2x500,所以耳=(一1,2),筱=(5,7)不共線，所以其可以作為表示它們所在平面內(nèi)

所有向量的基底，故B正確：

對(duì)于C：3x10-5x(-6)^0,所以百=(3,5)與孩=(一6,10)不共線的，所以其可以作為它們所在平面內(nèi)

所有向量的基底，故C正確;

對(duì)于D：2x(-1)-(-3)xl=0,所以無=(2,-3)與石二質(zhì)一3是共線的，故其不可以作為它們所在平

面內(nèi)所有向量的基底，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.(24-25高二上?湖南株洲?階段練習(xí))已知近=(-1,2),石=(2,5),下列選項(xiàng)中關(guān)于市石論坐標(biāo)運(yùn)算正

確的是()

A.a+~b=(7,1)B.a-2b=(-5,-8)

C.若而=N且4(2,3),則B⑶1)D.2a+3^=(4,19)

【答案】BD

【解題思路】利用平面向量的電標(biāo)運(yùn)算，逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.

【解答過程】向量不=(-1,2),t=(2,5),則五+5=(1,7),A錯(cuò)誤;

a-2b=(-1,2)-(4,10)=(-5,-8),B正確;

令0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則麗=工？+而=(2,3)+(—1,2)=(1,5),點(diǎn)8(1,5),C錯(cuò)誤；

2萬+3了=(-2,4)+(6,15)=(4,19),D正確.

故選：BD.

II.(2025高三?全國?專題練習(xí))如圖，在四邊形"CD中，近=2而，E為CO的中點(diǎn)，BE與4c交于點(diǎn)八

8。與力C交于點(diǎn)G,設(shè)荏=優(yōu)AD=b,則下列結(jié)論正確的是()

A.GD=^BD

B.GF=FC

C.而一為+"

22

D.若BF=疝+貝）,則24—〃=—1

【答案】AC

【解題思路】對(duì)于A,根據(jù)條件，利用幾何關(guān)系得到G0=；BG=；8D,即可判斷選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B,

先假設(shè)而=而，從而可得EF〃DG,與題設(shè)條件相矛盾，即可判斷選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C,結(jié)合條件，利

用向量的中線公式，即可求解；選項(xiàng)D,法一，設(shè)標(biāo)二771元，根據(jù)條件，利用向量的線性質(zhì)運(yùn)算，再結(jié)合

條件，即可求解；法二，利用共線向量定理的推論，再結(jié)合條件，即可求解.

【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)榍岸?而，所以40〃8C,RAD=^BC,

所以GD=：BG=/D,所以而=?前，故選項(xiàng)A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B,若不=而，則尸為CG的中點(diǎn)，因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，

所以EF〃OG,與E居0G相交于點(diǎn)B矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)镋為6的中點(diǎn)，所以而=*點(diǎn)+前)=乂2了+石-五)=-軟+|反故選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D,解法一：由題意可設(shè)方=小刀，me(0,1)?

所以方=AF-AB=niAC-AB=m(AB+BC)-AB=(m-1)AB+inBC=(?n-l)a+2m石，

又5尸二疝+〃］，所以4=m—1,R=2m,所以2a—〃=2(m—1)—2nl=—2,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

解法二：因?yàn)?吃C三點(diǎn)共線，所以加=%瓦？+y正，且％+y=l,

又xb/十y8C=一4五十2yb,BF=Aa+fib,所以入=—4，pi-2y,22一〃=-2,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：AC.

三、填空題

12.(2025?上海崇明?二模)已知3=(1,0),5=(2,1),則位+2同=.

【答案】V29

【解題思路】寫出益+2石坐標(biāo)，由坐標(biāo)得到|五+2瓦.

【解答過程】a+2b=(5,2),A|a+2b\=V52+22=V29.

故答案為：V29.

13.(2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè))已知向量員=(2,1),石=(1#),7=(-k,2),若0+2〃(2近一司，則

【答案】5或一1

【解題思路】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)形式可求參數(shù)的值.

【解答過程】由題得4+4=(2-A,3),2a-b=(3,2-fc),

又0+Z)〃(2五一司，則(2-k)x(2-k)-3x3=0,解得k=5或一1.

故答案為：5或一1.

14.(2025?寧夏銀川三模)在直角梯形48co中，AB||CD,CD=2AB.ABLAD,七是CD的中點(diǎn)，若m=

ABD+nAE,則％+〃=.

【答案】1

【解題思路】首先用AD,DC將向量表述出來，然后化簡(jiǎn)原等式，從而可求出入,〃的值，從而得到答案.

【解答過程】AC=ABD+nAE=4(一g辰+后)+〃(G+g辰)=-g/l)法+(4+〃)G,

ffTfl1/_12—1(U=~

而4c=AD+DC,所以5“5,解得1"

M+A=l[A=-1

所以;l+〃=1.

故答案為：1.

四、解答題

15.(24-25高一下?甘肅白銀期末)如圖，在△4BC中，。是4c的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，設(shè)瓦？=五，BC=c.

(1)用五，W表示向量

(2)若點(diǎn)F在AC上，且麗=；五+；已求/W:OF.

7A

【答案】(1)荏=五

44

(2)7:5

【解題思路】⑴利用向量基本定理得到而=抵一初荏=公一濟(jì)

(2)設(shè)而二a？，所以而二(1一/1)五十左，結(jié)合條件得到a=三從而得到4D:DF