專題8.3圓的方程（舉一反三講義）

【全國通用】

題型歸納

【題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程】..................................................................3

【題型2由圓的方程確定圓心和半徑】..................................................................4

【題型3二元二次方程表示圓的條件】..................................................................4

【題型4圓過定點(diǎn)問題】................................................................................5

【題型5判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】.......................................................................5

【題型6與圓有關(guān)的軌跡問題】.........................................................................6

【題型7圓系方程】....................................................................................6

【題型8定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范闈）］................................................................7

1、圓的方程

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年全國乙卷（文數(shù)）：第

11題，5分從近幾年的高考情況來看，高考對(duì)

（1）理解確定圓的幾何要素，在

2023年上海卷：第7題，5分圓的方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、

平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的

2024年北京卷：第3題，4分填空題的形式考查，難度不大；有時(shí)也

標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

2024年天津卷：第12題，5會(huì)與距離公式、圓錐曲線等結(jié)合考查，

（2）能根據(jù)圓的方程解決一些簡

分復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般

單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題

2025年全國一卷：第7題，5方程的求法，學(xué)會(huì)靈活求解.

分

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1圓的定義和圓的方程

1.圓的定義

圓的定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）是圓（定點(diǎn)為圓心，定長為半徑）.

圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:方程（X—4）2+”一切2=,2（/.＞（））叫作以點(diǎn)（〃力）為圓心，廠為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

（3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條性：從方程的形式可以知道.一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母（待定）.因此在一

般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.圓的一般方程

(1)方程/+儼+6+為=0(。2+-4尸>0)叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件:從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在

一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.

下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)Z),E,F；

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入園的方程，將圓心(一條-勻代人圓心所在的直線方程,

求待定系數(shù)。，E,F.

4.二元二次方程與圓的方程

(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程4Y2+8xy+Cy2+Dr+￡>+Q=0,對(duì)比圓的一般方程/十/十必.+切+尸=0

(h+6―4尸>0),我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的

方程.

(2)二元二次方程表示圓的條件：

(A=C^0

二元二次方程力/+反、+6>2+31+&+/=()表示圓的條件是飛.

[(7)+闈-哈)>。

5.圓的參數(shù)方程

圓G—。)2+。，一〃)2=/(/>0)的參數(shù)方程為，其中。為參數(shù).

6.求圓的方程的常用方法

(I)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(。⑼和半徑，?有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出"，爪〃的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,產(chǎn)的方程組，進(jìn)而求出。，E,產(chǎn)的值.

知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(I)如圖所示，點(diǎn)M與圓力有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在圓內(nèi),點(diǎn)在圓外.

(2)圓力的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X—4)2+3—份2=,.2,圓心為力(a,b),半徑為廠(廠>0)；圓4的一般方程為

/+/+6+切+尸=0(。2+6―4“>0).平面內(nèi)一點(diǎn)"(<0,則).

判斷方法

位置關(guān)系

幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)

點(diǎn)在圓上\MA\=r(xo-a)2+(yo-b)2=f2

及+癡+DXQ+Ey。+尸=0

點(diǎn)在圓內(nèi)|M4|<r(xo-a)2+(yo-8)2〈戶就+於+D工o+Ey()+F<0

點(diǎn)在圓處(xo-6f)2+(yo-b)就+褶+。曲>+坳o+F>0

知識(shí)點(diǎn)3軌跡方程

1.軌跡方程

求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軟跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量

xj之間的方程.

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如

圓)時(shí)，常采用定義法:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在己知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法(或稱相關(guān)點(diǎn)法).

(2)求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”：二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等.

2.求軌跡方程的步驟：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(xj)表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)"的坐標(biāo)：

(2)列出關(guān)于工鏟的方程：

(3)把方程化為最簡形式：

(4)除去方程中的瑕點(diǎn)(即不符合題意的點(diǎn))；

(5)作答.

【方法技巧與總結(jié)】

1.以8(x2必)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x—M)(x—通)+(y—y)(y—n)=0.

2.圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.

3.圓心在任一弦的垂直平分線上.

舉一反三

【題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程】

【例1】(2025?海南?模擬預(yù)測(cè))下列方程中表示圓心在直線y=%上，半徑為V2,且過原點(diǎn)的圓的是()

A.(x—I)2+(y—I)2=V2B.(%—I)2+(y+I)2=V2

C.(x—l)2+(y+l)2=2D.(x-l)2+(y-I)2=2

【變式1-lJ(24-25高二上?河南洛陽?期中)已知。(0,0),4(4,3),8(1,-3),則△04B的外接圓方程為()

A.x24-y2-4x-3y=0B.x2+y2-x+3y=0

C.x2+y2-5x-5y=0D.x2+y2-7xy=0

【變式1-2](2025?吉林長春?三模)經(jīng)過4(1,1),C(0,2)三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為()

A.(X+I)?+(y-I)2=2B.(%-I)2+(y-I)2=2

C.x2+(y-I)2=1D.，+(y+i)2=i

【變式1?3】(2025?海南?模擬預(yù)測(cè))如圖是一個(gè)中國古典園林建筑中常見的圓形過徑門，已知該門的最高點(diǎn)

到地面的距離為4米，門在地面處的寬度為4米.現(xiàn)將其截面圖放置在直角坐標(biāo)系xOy中，以地面所在的直

線為%軸，過圓心的豎直直線為y軸，則門的輪廓所在圓的方程為()

A.+(y-1)225B.^2+(y+|)2=T

4

9D.%2+(y+1)2=|

4

【題型2由圓的方程確定圓心和半徑】

【例2】(2025?浙江?一模)圓0，+、2一2%+4、=0的圓心。坐標(biāo)和半徑廠分別為()

A.C(l,-2),r=V5B.C(l,-2),r=5

C.C(-l,2),r=V5D.C(-l,2),r=5

【變式2-1](2025?浙江臺(tái)州?二模)己知圓M：(x-1)2+(y+2)2=4,則圓心坐標(biāo)和半徑分別為()

A.(1,-2),4B.(-1,2),4C.(-1,2),2D.(1,-2),2

【變式2?2】(2025?山西晉中?三模)已知圓。的一般方程為%2+y2—6》+4y+12=0,則圓。的圓心坐

標(biāo)為()

A.(3,2)B.(-3,2)C.(3,-2)D.(-3,-2)

【變式2-3](24-25高二下?云南昆明?期中)已知圓C的方程為為2+、2一2X-4=0,則圓。的圓心和半徑分

別是()

A.C(l,0),r=5B.C(l,0),r=V5

C.C(2,0),r=5D.C(2,0),r=V5

【題型3二元二次方程表示圓的條件】

【例3】(2025?貴州黔南?三模)“關(guān)于居y的方程：、2+丫2+。式+2>+2=0表示圓”是憶>2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式3-1](2025?吉林,三模)已知曲線C：x2+y2+2m%-2y+2=0表示圓，則機(jī)的取值范圍是()

A.(-00,-1)B.(1,+8)C.(-1,1)D.(一oo,-l)u(l,+8)

【變式3-2](2025?貴州貴陽?模擬預(yù)測(cè))“aW0”是“方程/+、2-2以一川=0表示圓，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式3-3](24-25高一下?重慶?期末)若方程Ci+y一2a%+2y+2a2-1=o表示圓，且圓心位于第

四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[-V2,V2]B.(&,+8)C.(O,V2)D.(0,回

【題型4圓過定點(diǎn)問題】

【例J4](24-25高二上?湖北荊州?期末)圓。:必+y2+Q為一2ay-5=0恒過的定點(diǎn)為()

A.(-2,1),(2,-1)B.(一1,一2),(2,1)

C.(-1,-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【變式4-1](24-25高二上?浙江溫州?期中)點(diǎn)P(x,y)是直線2x+y—5=0上任意一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

以0P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【變式4-2](24-25高二下?上海徐匯?期中)對(duì)任意實(shí)數(shù)771,圓d+y2-3mx-6zny+9m-2=0恒過定

點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【變式4?3】(24?25高三下?上海國行?期中)若拋物線丫=/+以+6與坐標(biāo)軸分別交于三個(gè)不同的點(diǎn)力、B、

C,則△48C的外接圓恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【題型5判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】

【例5】(24-25高二上?安徽?期中)若點(diǎn)(一2,1)在圓x2+y2+x—y+Q=。的外部，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是

()

A.(—2,+8)B.(—8,—2)

C.(-2,0D.(-8,-2)ug+8)

2

[變式5-1](2025?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè))”>2或k<一3”是“定點(diǎn)4(1,2)在圓“2+y2+kx+2y+k-15=0

的外部”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式5-2](24-25高二上?山東青島?階段練習(xí))已知點(diǎn)P(0,-1)關(guān)于直線為-y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)Q在圓C:/+

y24-mx+5=0±,則加=()

A.4B.5C.-4D.-5

【變式5-3](2025?貴州黔南?二模)已知直線y=x+2k與直線y=—x的交點(diǎn)在圓/+/=4的內(nèi)部，則實(shí)

數(shù)A的取值范圍是()

A.-l<k<lB.-2<k<2C.-3<k<3D.-y/2<k<y/2

【題型6與圓有關(guān)的軌跡問題】

【例6】(2025?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè))已知線段48的端點(diǎn)8的坐標(biāo)是(5,3),端點(diǎn)A在圓X2+丫2=4上運(yùn)動(dòng),

則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.m-步】B.酸丁+(”丁=]

C.(Tf+(y+*】D.(T-

【變式6-1](2025?內(nèi)蒙古赤峰?一模)在平面內(nèi)，兩定點(diǎn)力、B之間的距離為4,動(dòng)點(diǎn)M滿足|M4|=3|MB|,

則點(diǎn)M軌跡的長度為()

A.3nB.6TTC.9irD.12n

【變式6-2](25-26高二上?重慶?開學(xué)考試)點(diǎn)P在圓/+y2=36上運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)Q(4,0)所連線段中點(diǎn)為M,

則點(diǎn)M軌跡方程為()

A.(x-2Y+yL=9B.(x4-2)2+y2=9

C.x2+(y-2)2=9D.x2+(y+2)2=9

【變式6-31(24?25高一下?浙江?期中)已知點(diǎn)4(1,0)、8(4,0),點(diǎn)P滿足18Pl=2|AP|,記P的軌跡為C,下

列說法正確的是()

A.曲線C的方程為無2+y2=iB.曲線。的方程為“2+y2=4

C.點(diǎn)P的軌跡所圍成的面積為2n□.點(diǎn)。的軌跡所圍成的面積為8n

【題型7圓系方程】

【例7】(24-25高二上?江蘇淮安?階段練習(xí))已知兩直線>-2y=0和％+y-6=0的交點(diǎn)為則以點(diǎn)M

為圓心，半徑長為1的圓的方程是()

A.(%+4)2+(y+2)2=1B.(%-4)2+(y-2)2=1

C.(x+4)2+(y4-1)2=1D.(x-2)2+(y-I)2=1

【變式7-1](24-25高二下?湖南長沙?階段練習(xí))過圓42Iy2y2=0和/|丫2=5的交點(diǎn)，且圓

心在直線3x+4y-1=0上的圓的方程為（）

A.x2+y2+2x-2y-ll=0B.x24-y2-2x+2y-11=0.

C.x2+y2-2x-2y-11=0D.x2+y2+2x+2y-11=0

【變式7-2]（2025高二?遼寧?學(xué)業(yè)考試）過圓*2+、2-2丫一4=0與％2+丫2一4%+23/=0的交點(diǎn)，且圓

心在直線Z:2x+4y-l=0上的圓的方程是.

【變式7-3]（24-25高二上?安徽銅陵?期中）經(jīng)過直線工一2丫=0與圓%2+丫2-4%+2>,-4=。的交點(diǎn)，且

過點(diǎn)（1,0）的圓的方程為.

【題型8定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）】

【例8】（2025?陜西銅川?三模）已知圓。（%—。）2+（7-6）2=1.經(jīng)過點(diǎn)4（3,4）,則其圓心到原點(diǎn)的距離的

最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式8-1]（2025?河北秦皇島?一模）已知圓。過點(diǎn)時(shí)1（-3,-2）,時(shí)2（—2,—1）,加3（-2,-3）,點(diǎn)4在圓。上，

過點(diǎn)Ni（2,0）的直線L與過點(diǎn)N2（0,2）的直線?；ハ啻怪保掖棺銥槭蟿t陰的最大值為（）

A.3^2+1B.3魚+2C.4V2+1D.472+2

【變式8-2]（2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M（0,2）,/vQ,0）,過點(diǎn)M作直線交圓。：d+丫2=9于4B兩

點(diǎn)，48的中點(diǎn)為Q,則|NQ|的最小值為（）

124

A.-3B.3-C.1D.3-

【變式8-3]（2025?寧夏吳忠?二模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)4,8的距離的比值

為定值A(chǔ)。01）的點(diǎn)的軌跡是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.若

平面內(nèi)兩定點(diǎn)力，E間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P滿足黑=百，則|P川2+|尸引2的最大值為（）

A.16+8V3B.8+4百C.7+473D.3+百

過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2025?北京海淀?二模)圓心為(一1,2)且與x軸相切的圓的方程是()

A.(%-+(y+2)2=2B.(%+1/+(y-2/=2

C.(x-I)2+(y+2)2=4D.(x+I)2+(y-2)2=4

2.（2025?四川眉山?三模）方程爐+}/2-2%+2丫=。表示圓，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是（)

A.[2,4-oo)B.(2,+oo)C.[-2,+oo)D.(-2,+co)

3.12024?河南信陽,模擬預(yù)測(cè))己知圓O：x2+y2=2,點(diǎn)A(m,n)和點(diǎn)B(p,q)在圓0上，滿足mp+nq=-1,

則m+n+p+q最大值為()

A.V2B.2C.2V2D.4V2

4.(2025?河北邯鄲?一模)(-8,-3)U(2,+8)”是“點(diǎn)(一1,一2)在圓好十,2一6一一15=0

外部”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.(2025?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè))已知圓好+y2=%直線y=x+b,若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線1的距離等

于I,則方的值為()

A.0B.±1C.±V2D.±3V2

6.(2025北京西城一模)在平面直角坐標(biāo)系％0y中，若從點(diǎn)A[0")發(fā)出的光線經(jīng)過點(diǎn)3(1,0),且被尤軸反

射后將圓C:(x-4)2+(y-3)2=1平分，則實(shí)數(shù)￡=()

A.1B.2

C.3D.4

7.(2025?全國一卷?高考真題)已知圓“2+3+2)2=廠2「>0)上到直線、=巡％+2的距離為1的點(diǎn)有且

僅有2個(gè)，則,,的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+oo)D.(0,+8)

8.(24-25高二下?湖南?期中)曲線|y|=cosx+1(0<x<IT)和曲線d+(|y|-l)2=l(x<0)組合圍成“心

形圖”(如下圖所示)，記“心形圖”為曲線C,曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于()

C.31rD.4n

二、多選題

9.(2025?遼寧葫蘆島?一模)已知圓。:，+、2+43/-5=0的圓心。到直線工+2丫+771=0與距離為2遙,

則實(shí)數(shù)m的值為()

A.-6B.-2V5C.14D.2V5

10.（2025?陜西咸陽?二模）己知圓。的方程為X2+3/2-8%+12=0,點(diǎn)時(shí)（%0，%）是圓。上任意一點(diǎn)，O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓C的半徑為2

B.滿足|OM|=5.5的點(diǎn)M有1個(gè)

C