專題23.3解直角三角形（全章分層練習(xí)）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）的負(fù)倒數(shù)是（

）A．1 B． C． D．2．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們給出定義：如果兩個(gè)銳角的和為，那么稱這兩個(gè)角互為半余角．如圖，在中，，互為半余角，且，則的值為（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，B、C分別在x、y軸上，連接AB與y軸相交于點(diǎn)D，已知，且的面積為2，則k的值為（

）

A．2 B． C． D．44．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在A處測得點(diǎn)P在北偏東60°方向上，在B處測得點(diǎn)P在北偏東30°方向上，若AP=6千米，則AB兩點(diǎn)的距離為（

）千米．A．4 B． C．2 D．65．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．6．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，，連接AC，過點(diǎn)O作交AC的延長線于P．若，則的值是（

）A． B． C． D．37．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)B，D，C在同一直線的水平，在點(diǎn)C處測得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點(diǎn)D處測得建筑物AB的頂端A的仰角為β，，則建筑物AB的高度為（

）A． B．C． D．8．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當(dāng)梯子與水平地面所成角為時(shí)，梯子頂端靠在墻面上的點(diǎn)處，底端落在水平地面的點(diǎn)處，現(xiàn)將梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為，已知，則梯子頂端上升了（

）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米9．（2021·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若．，則的值為（

）A． B． C． D．10．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，相鄰兩個(gè)山坡上，分別有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山腳點(diǎn)C處測得通信基站頂端M的仰角為60°，測得點(diǎn)C距離通信基站MA的水平距離CB為30m；乙在另一座山腳點(diǎn)F處測得點(diǎn)F距離通信基站ND的水平距離FE為50m，測得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，點(diǎn)C，B，E，F(xiàn)在同一水平線上，則兩個(gè)通信基站頂端M與頂端N的高度差為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）計(jì)算：．12．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，若，，都是銳角，則是三角形．13．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，矩形的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，對角線軸，交y軸于點(diǎn)D．若矩形的面積是6，，則．

14．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．15．（2020秋·上海靜安·九年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)校考期中）如圖，在平行四邊形中，，垂足為E，如果，，，那么．

16．（2022·遼寧沈陽·沈陽市外國語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在斜坡AB上有一棵樹BD，由于受臺(tái)風(fēng)影響而傾斜，恰好與坡面垂直，在地面上C點(diǎn)處測得樹頂部D的仰角為60°，測得坡角∠BAE=30°，AB=6米，AC=4米．則樹高BD=．17．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC=∠DAC=90°，，則=．18．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，測量船以20海里每小時(shí)的速度沿正東方向航行并對某海島進(jìn)行測量，測量船在A處測得海島上觀測點(diǎn)D位于北偏東15°方向上，觀測點(diǎn)C位于北偏東45°方向上，航行半個(gè)小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)測得海島上觀測點(diǎn)C位于北偏西45°方向上，若CD與AB平行，則CD＝海里（計(jì)算結(jié)果不取近似值）．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2021·山東東營·統(tǒng)考中考真題）（1）計(jì)算：．（2）化簡求值：，其中．20．（8分）（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）（1）計(jì)算：．（2）請從以下不等式中選取兩個(gè)不等式組成不等式組，并解這個(gè)不等式組；；21．（10分）（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，軸，垂足為點(diǎn)B．（1）求m的值；（2）點(diǎn)M是函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作于點(diǎn)D，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．22．（10分）（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）把矩形紙片ABCD，先沿AE折疊使點(diǎn)B落在AD邊上的B'，再沿AC折疊，恰好點(diǎn)E也落到AD上，記為E'．（1）求∠B'EE'的度數(shù)；（2）求∠DAC的正切值．23．（10分）（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時(shí)刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．24．（12分）（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）知識(shí)再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．∵，∴，∴（1）拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請?zhí)骄?，，之間的關(guān)系，并寫出探究過程．（2）解決問題：如圖3，為測量點(diǎn)A到河對岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．參考答案1．D【分析】先求出，再求其負(fù)倒數(shù)即可；解：∵，∴的負(fù)倒數(shù)是．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查特殊三角函數(shù)值、負(fù)倒數(shù)計(jì)算，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】要求的值，想到構(gòu)造直角三角形，根據(jù)已知可得的補(bǔ)角為，所以過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)D，分別在和中利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)D，

∵，∴設(shè)，，，互為半余角，，，在中，，，，，在中，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了余角和補(bǔ)角，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】先根據(jù)，得，根據(jù)同底等高可以得到，即可求得k的值．解：連結(jié)

，軸，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．4．D【分析】證明AB=PB，在中，求出PC=千米，在中，解直角三角形可求出PB的長，則可得出答案解：由題意知：，在中，千米千米，在中，，千米千米故選：D【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義及方向角是解題關(guān)鍵．5．C【分析】過點(diǎn)C作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．解：過點(diǎn)C作AB的垂線交AB于一點(diǎn)D，如圖所示，∵每個(gè)小正方形的邊長為1，∴，設(shè)，則，在中，,在中，,∴，解得，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．6．C【分析】由可知，OP與x軸的夾角為45°，又因?yàn)?，則為等腰直角形，設(shè)OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他線段進(jìn)而求解．解：∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），則OP與x軸正方向的夾角為45°，又∵，則∠BAO=45°，為等腰直角形，∴OA=OB，設(shè)OC=x，則OB=2OC=2x，則OB=OA=3x，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)推出特殊角是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】設(shè)AB=x，利用正切值表示出BC和BD的長，CD=BC-BD，從而列出等式，解得x即可．解：設(shè)AB=x，由題意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴，，∵CD=BC-BD，∴，∴，即AB=，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)梯子長分別利用三角函數(shù)的正弦定義求出CD=CEsinβ與AD=ABsinα，兩線段作差即可．解：如圖所示標(biāo)記字母，根據(jù)題意得AB=CE=10米，∵sinβ，在Rt△ECD中，sin，∴CD=，在Rt△ABD中，sin，∴，∴AC=CD-AD=8-6=2．故選擇C．【點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的定義，解直角三角形，掌握正弦與余弦的平方關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．9．A【分析】根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解．解：∵在中，，∴在中，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理和三角函數(shù)．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．10．C【分析】分別解直角三角形和，求出NE和MB的長度，作差即可．解：∵，DF的坡度i=1：1.25，∴，解得，∴，∴，∵，，∴，∴頂端M與頂端N的高度差為，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．4【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、算術(shù)平方根的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案．解：原式．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．12．等邊【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出∠A和∠B，繼而可判斷的形狀．解：∵，∴，，∴，，∴∠A=60°，∠B=60°，∴是等邊三角形．故答案為：等邊．【點(diǎn)撥】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．13．//【分析】過A作軸于M，、則

，先根據(jù)矩形性質(zhì)求得，，再根據(jù)余弦定義得到，證明求得，利用求解k值即可．解：過A作軸于M，、則

，

∵四邊形是矩形，面積是6，∴，，∵，∴，∵軸，∴，又，∴，∴，∴，又，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，利用相似三角形的性質(zhì)求得的面積是解答的關(guān)鍵．14．【分析】過點(diǎn)D作于，過點(diǎn)C作于，首先通過勾股定理及求出AE,BE的長度，然后根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等得出，然后通過銳角三角函數(shù)得出，進(jìn)而可得出，最后利用即可求值．解：如圖，過點(diǎn)D作于，過點(diǎn)C作于．∵，∴，∵，設(shè)，，∴，∴，∴或（舍棄），∴，∵，，，∴（等腰三角形兩腰上的高相等）∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為,故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等，學(xué)會(huì)添加輔助線并利用轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵．15．/【分析】先解直角三角形求得、，再利用平行四邊形的性質(zhì)證得，然后利用等角對等邊證得，在中求解即可求解．解：∵在中，，，∴，則，∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，，∴，，∴，在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，證明是解答的關(guān)鍵．16．（2+4）米/（4+）米【分析】過A作AM⊥AB交CD于M，再過M作MN⊥BD于N，可得△MCA是等邊三角形；再由ABNM是矩形求得BN和MN的長；然后解Rt△DMN求得DN的長即可解答.解：如圖，過A作AM⊥AB交CD于M，再過M作MN⊥BD于N，∵∠CAM=180°-∠MAB-∠BAE=60°，∠C=60°，∴△MCA是等邊三角形，∴AM=AC=4米，∠AMC=60°，∵∠ABN=∠MAB=∠MNB=90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=6米，BN=AM=4米，∠AMN=90°，Rt△DMN中，∠DMN=180°-∠AMN-∠AMC=30°，∴DN=MN?tan∠DMN==米，∴BD=BN+ND=（+4）米，故答案為：（+4）米.【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形；正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．17．【分析】過B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，證明，得到再證明利用設(shè)利用三角形的面積公式可得答案．解：過B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，BE⊥AD，，∴∴由，∴設(shè)則故答案為：18．/【分析】過點(diǎn)D作DE上AB，垂足為E，根據(jù)題意求得，進(jìn)而求得90°，然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，設(shè)DE=x海里，再在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長，在Rt△DEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EC，DC的長，最后根據(jù)AC=52海里，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：如圖：過點(diǎn)D作DE上AB，垂足為E，依題意得，，，=90°，在中，，設(shè)海里，在中，海里，，，在中，海里，海里，海里，海里，海里，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．19．（1）；（2）．【分析】（1）先化簡二次根式、特殊角的正切三角函數(shù)、化簡絕對值、零指數(shù)冪、積的乘方的逆用，再計(jì)算實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可得；（2）先計(jì)算分式的加法運(yùn)算，再根據(jù)得出代入求值即可得．解：（1）原式，，；（2）原式，，，，，∵，∴，∴原式．【點(diǎn)撥】本題考查了化簡二次根式、特殊角的正切三角函數(shù)、零指數(shù)冪、分式的化簡求值等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．20．（1）；（2）或或【分析】（1）首先根據(jù)零指數(shù)冪運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算、化簡絕對值符號(hào)，進(jìn)行運(yùn)算，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，即可求解；（2）組成不等式組，解不等式組，即可求解．解：（1）（2）由解得，，由解得，，所以，此不等式組的解集為；由解得，，由解得，，所以，此不等式組的解集為；由解得，，由解得，，所以，此不等式組的解集為．【點(diǎn)撥】本題考查了零指數(shù)冪運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算、化簡絕對值符號(hào)、解一元一次不等式組，熟練掌握和運(yùn)用各運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．21．（1）24；（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，利用k=xy計(jì)算m即可；（2）利用分類思想，根據(jù)正切的定義，建立等式求解即可.解：（1）∵點(diǎn)P縱坐標(biāo)為4，∴，解得，∴，∴．（2）∵，∴，設(shè)，則，當(dāng)M點(diǎn)在P點(diǎn)右側(cè)，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴（6+2t）（4-t）=24，解得：，（舍去），當(dāng)時(shí)，，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)M點(diǎn)在P點(diǎn)的左側(cè)，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴（6-2t）（4+t）=24，解得：，，均舍去．綜上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)解析式的確定，三角函數(shù)，一元二次方程的解法，熟練掌握函數(shù)圖像交點(diǎn)的意義，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義，構(gòu)造一元二次方程并準(zhǔn)確解答是解題的關(guān)鍵．22．（1）22.5°；（2）tan∠DAC＝【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可證明四邊形ABEB'為正方形．△AEE'為等腰三角形．故AE＝AE'，由∠B'AE＝∠AEB'＝45°，可推出∠AEE'＝∠AE'E＝67.5°，進(jìn)而∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝22.5°；（2）設(shè)正方形ABEB'的邊長為a，由勾股定理得AE＝＝AE'，B'E'＝AE'﹣AB'＝，由同角的余角相等可推出∠DAC＝∠B'EE'，由此tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝，即可求得答案．（1）解：由折疊性質(zhì)可知，∠ABE＝∠AB'E＝90°，AB＝AB'，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAB'＝90°，∴四邊形ABEB'為矩形，又∵AB＝AB'，∴四邊形ABEB'為正方形，∴∠B'AE＝∠AEB'＝45°，又∵沿AC折疊，點(diǎn)E也落到AD上，∴AE＝AE'，∴∠AEE'＝∠AE'E＝＝67.5°，∴∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝67.5°﹣45°＝22.5°．（2）設(shè)正方形ABEB'的邊長為a，如圖所示：則AB＝BE＝EB'＝B'A＝a，AE＝＝AE'，∴B'E'