第第頁(yè)第十三章三角形全章壓軸突破8個(gè)專題（60題）【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u壓軸突破1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用 1壓軸突破2三角形的面積問(wèn)題 2壓軸突破3三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)的應(yīng)用 2壓軸突破4角度計(jì)算中的分類討論思想 4壓軸突破5含角平分線的復(fù)雜角度計(jì)算 5壓軸突破6三角形的角度計(jì)算與折疊問(wèn)題 9壓軸突破7三角形中多結(jié)論問(wèn)題 11壓軸突破8三角形中角度計(jì)算綜合探究題 13壓軸突破1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用1．現(xiàn)有長(zhǎng)為144cm的鐵絲，要截成n小段（n＞2），每段的長(zhǎng)度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．122．三角形的三邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，其中a＞b，且滿足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c為整數(shù)，則c的長(zhǎng)是（）A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或63．設(shè)△ABC的三邊分別為a，b，c，其中a，b滿足|a+b﹣14|+（a﹣b+2）2＝0，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是（）A．6＜c＜8 B．2＜c＜14 C．8≤c＜14 D．2＜c＜84．為方便勞動(dòng)技術(shù)小組實(shí)踐教學(xué)，需用籬笆圍一塊三角形空地，現(xiàn)已連接好三段籬笆AB，BC，CD，這三段籬笆的長(zhǎng)度如圖所示，其中籬笆AB，CD可分別繞軸BE和CF轉(zhuǎn)動(dòng)．若要圍成一個(gè)三角形的空地，則在籬笆AB上接上新的籬笆的長(zhǎng)度可以為（）A．1m B．2m C．3m D．4m壓軸突破2三角形的面積問(wèn)題5．如圖，G為△ABC三邊中線AD，BE，CF的交點(diǎn)，SABCA．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm26．如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．若△ABC的面積為30，BD＝5，則△BDE中BD邊上的高是（）A．3 B．6 C．12 D．1.57．如圖是一塊面積為10的三角形紙板，點(diǎn)D、E、F分別是線段AF、BD、CE的中點(diǎn)，則陰影部分的面積為．8．已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為cm2．壓軸突破3三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)的應(yīng)用9．如圖，D，E兩點(diǎn)分別在△ABC的兩邊AB，AC上，連接DE，已知∠1+∠2＝α，則∠A＝（）A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣180° D．360°﹣α10．小明把一副三角尺按如圖所示擺放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠α+∠β的度數(shù)為（）A．210° B．235° C．180° D．200°11．如圖，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，則∠D+∠E等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°12．如圖，E，F(xiàn)是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，D是點(diǎn)A上方的一點(diǎn)，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．65° D．70°13．如圖是可調(diào)躺椅示意圖，AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠E的大小，使∠EFD＝130°，則圖中∠E應(yīng)（）A．增加10° B．減少10° C．增加20° D．減少20°14．如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D＝28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為（）A．62° B．152° C．208° D．236°15．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是（）A．180° B．360° C．540° D．720°16．如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F為°．17．如圖，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，連接BC，CD，則∠A的度數(shù)是．18．在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖這樣一個(gè)零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝°．壓軸突破4角度計(jì)算中的分類討論思想19．已知在△ABC（△ABC不是直角三角形）中，∠A＝40°，AC邊的高BD、AB邊的高CE所在直線交于點(diǎn)F，則∠BFC的度數(shù)為．20．如圖，AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，點(diǎn)F為邊AB上一點(diǎn)，當(dāng)△BDF為直角三角形時(shí)，則∠ADF的度數(shù)為．21．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝42°，D為邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BF平分∠ABC，E為射線BF上一點(diǎn)．若直線CE垂直于△ABC的一邊，則∠BEC的度數(shù)為．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．則∠α，∠1，∠2之間的關(guān)系為．23．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)F在BD所在的射線上，若CF垂直于△ABC的一邊，則∠BFC的度數(shù)為．24．在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動(dòng)三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°，40°，20°的三角形是“靈動(dòng)三角形”．如圖∠MON＝40°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C．當(dāng)△ABC為“靈動(dòng)三角形”時(shí)，∠OAC的度數(shù)為度．壓軸突破5含角平分線的復(fù)雜角度計(jì)算25．如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于點(diǎn)D．∠ABD的角平分線BF所在直線與射線AE相交于點(diǎn)G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，則∠DFB的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°26．如圖，BE是∠ABD的角平分線，CF是∠ACD的角平分線，BE與CF交于點(diǎn)G，∠BDC＝150°，∠BGC＝112.5°，則∠A的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．85°27．如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是∠A2BD的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線，若∠A＝α，則∠A2025＝（）A．122023α B．122024α28．如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC．若∠DAC的平分線與∠EBC的平分線的交于點(diǎn)P，則∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠2=150°?16∠1 C．∠2＝175°﹣∠1 D．∠2＝115°+∠129．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O為∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，連接OA，OB，OC，作△AOB的一條角平分線AD．若∠BAC＝α，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90°+34α B．120°+1230．如圖，△ABC中∠BAC的外角的平分線AE與∠ABC的平分線AD相交于點(diǎn)P，∠C＝80°，則∠APB的度數(shù)是．31．如圖，∠ABC，∠ADC的角平分線交于點(diǎn)F，若∠A＝15°，∠C＝65°，則∠F的度數(shù)為．32．已知△ABC中，∠A＝α．在圖（1）中∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)O1，則可計(jì)算得∠BO1C=90°+12α；在圖（2）中，設(shè)∠B、∠C的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2，則∠BO2C=60°+23α；以此來(lái)推，∠B、∠C的三條四等分角線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2、O3，則∠BO3C=45°+34α；請(qǐng)你猜想，當(dāng)∠B、∠C同時(shí)n等分時(shí)，（n﹣1）條等分角線分別對(duì)應(yīng)交于O1、33．如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，CD平分外角∠ACF，交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)E是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)．若∠BOC＝130°，則∠E﹣∠D的度數(shù)為．34．如圖，AD、BC相交于點(diǎn)F，AE、CE分別平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝25°，∠E＝30°，則∠D＝．35．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG與BG交于點(diǎn)G，若∠A＝40°，則∠G的度數(shù)為．36．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AC上，∠FEC＝28°，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分線與∠AEF的角平分線交于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)為．壓軸突破6三角形的角度計(jì)算與折疊問(wèn)題37．如圖，在△ABC中，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．32° C．35° D．60°38．如圖，將△ABC沿DE、EF翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，則∠C的度數(shù)為（）A．38 B．39 C．40 D．4139．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC上兩點(diǎn)，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，若∠A＝α，∠FDB＝β，則∠FEC的度數(shù)是（）A．α+β B．α+2β C．2α+β D．90°+40．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．110°41．在三角形紙片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，點(diǎn)D為AC邊上靠近點(diǎn)C處一定點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿DE折疊三角形紙片，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處．有以下四個(gè)結(jié)論：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C'落在BC邊上時(shí)，∠ADC′＝44°；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)C′落在△ABC內(nèi)部時(shí)，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如圖3，當(dāng)點(diǎn)C′落在△ABC上方時(shí)，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④當(dāng)C′E∥AB時(shí)，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)42．已知△ABC中，∠A＝65°，將∠B、∠C按照如圖所示折疊，若∠ADB′＝35°，則∠1+∠2+∠3＝°．43．如圖，將△ABC紙片先沿DE折疊，再沿FG折疊，若∠1+∠2＝228°，則∠3+∠4＝．壓軸突破7三角形中多結(jié)論問(wèn)題44．如圖，∠ABC和∠BAC的平分線交于點(diǎn)O，連接CO，△ABC的外角∠ACG的平分線與O的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，OD⊥OC交BC于點(diǎn)D．下列四個(gè)結(jié)論：①OD∥CE；②∠E=90°?12∠BAC；③∠AOB＝∠BDO；④∠ACGA．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④45．如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結(jié)論：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB=12∠A．1 B．2 C．3 D．446．如圖，AD交BC于點(diǎn)O，∠BAD的平分線與△OCD的外角∠OCE的平分線交于點(diǎn)P，∠B＝∠D，則下列結(jié)論：①∠PAO+∠PCE＝90°；②∠PAB=12∠BCD；③∠P＝90°+∠D；④∠P＝90°+1A．1 B．2 C．3 D．447．如圖，D是△ABC的邊AC上點(diǎn)，連接BD，CM平分∠ACB交BD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M．△ABC的外角∠ACE的平分線CF所在直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．當(dāng)∠CBD＝∠A時(shí)，有下列四個(gè)結(jié)論：①∠CHD與∠G互余；②∠CBD＝∠BCG；③∠MHD﹣∠G＝90°；④∠MHD＝90°+∠A．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①③48．如圖，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF，以下結(jié)論：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)49．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，△ABC的外角的平分線CD所在直線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，與△ABC的外角的平分線BE交于點(diǎn)E．有下列結(jié)論：①∠DBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)50．如圖，△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)H⊥BE，交BD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H．下列結(jié)論：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝∠BAC﹣∠C；其中正確的是．壓軸突破8三角形中角度計(jì)算綜合探究題51．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線BE和CD交于點(diǎn)F．（1）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖①，若∠A＝100°，求∠BFC的度數(shù)；（2）【問(wèn)題推廣】如圖②，將△ABC沿MN折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，若∠1+∠2＝160°，則∠BFC＝°；（3）【問(wèn)題拓展】若P，Q分別是線段AB，AC上的點(diǎn)，若∠AQP＝α，∠ACB＝70°，射線CF與∠APQ的平分線所在的直線相交于點(diǎn)H（不與點(diǎn)P重合），直接寫(xiě)出∠PHC與∠BFC之間的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）．52．已知∠MAN＝52°，點(diǎn)B，C分別在AM，AN上．（1）如圖1，連接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠MBC的平分線與∠BCN的平分線交于點(diǎn)O，則α+β＝°，∠O＝°；（2）如圖2，點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AN，垂足為點(diǎn)F，∠MAN與∠CEF的平分線交于點(diǎn)D，求∠ACE與∠ADE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，若點(diǎn)G在∠MAN內(nèi)部（點(diǎn)G不在線段BC上），∠CGB＝108°，連接BG與CG，∠GBM與∠GCN的平分線交于點(diǎn)H，求∠BHC的度數(shù)．53．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)理證明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試寫(xiě)出∠P與∠D、∠B之間數(shù)量關(guān)系．（3）在圖3中，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB，試問(wèn)∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為（用（4）在圖4中，直線BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P與∠A、∠C的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論．54．綜合與實(shí)踐在△ABC中，∠C＝40°，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．【問(wèn)題初探】（1）如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且∠α＝60°，則∠1+∠2＝°；【問(wèn)題再探】（2）如圖2，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題解決】（4）如圖4，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC的內(nèi)部，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系．55．如圖，△ABC中，∠B＝90°，點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動(dòng)，DE⊥AD交射線AC于點(diǎn)E．（1）如圖1，若∠BAC＝60°，當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，求∠EDC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①判斷∠EDC與∠BAD的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分線相交于點(diǎn)G，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，∠G的度數(shù)會(huì)變化嗎？如果不變，求出∠G的度數(shù)；如果變化，說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分線和∠DEF的角平分線的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，∠G的度數(shù)會(huì)變化嗎？如果不變，求出∠G的度數(shù)；如果變化，說(shuō)明理由．56．在ABC中，AE平分∠BAC，∠ACB＞∠ABC．（1）如圖①，若AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，則∠EAD的度數(shù)；（2）如圖①，根據(jù)（1）的解答過(guò)程，猜想并寫(xiě)出∠ABC，∠ACB，∠EAD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖②，在線段AE上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ABC，∠ACB，∠EPD之間的數(shù)量關(guān)系．57．閱讀下面的材料，并解決問(wèn)題．△ABC內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，稱為△ABC的外角．三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．圖1中∠ACD＝∠A+∠B．（1）已知在△ABC中，∠A＝66°，圖2﹣圖4的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O，請(qǐng)直接求出下列角度的度數(shù)．如圖2，∠O＝；如圖3，∠O＝；如圖4，∠O＝；（2）在（1）的條件下，如圖5，∠ABC，∠ACB的三等分線交于點(diǎn)O1，O2，連接O1O2，則∠BO2O1＝；（3）如圖6，△ABC中，∠ABC的三等分線分別與∠ACB的角平分線交于