2025版新教材高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)

專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五年高考

高考新風(fēng)向

1.（2024全國(guó)甲理,6,5分，易）設(shè)函數(shù)二中詈，則曲線產(chǎn)次T）在點(diǎn)（0,1）處的切線與兩坐標(biāo)

軸所圍成的三角形的面積為（）

A.iB.iC.-D.-

6323

2.（2024新課標(biāo)/,13,5分，中）若曲線產(chǎn)e'+x在點(diǎn)（0,1）處的切線也是曲線產(chǎn)1心+1）+〃的切

線，則。=.

考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義

1.（2020課標(biāo)/理,6,5分，易）函數(shù)府）=/2尸的圖象在點(diǎn)（1,川））處的切線方程為（）

A.y=2xB.y二B.y2x+1

C.y=2xD.y=D.}=2A+l

2.（2023全國(guó)甲文,8,5分，易）曲線廣三在點(diǎn)（L：）處的切線方程為（）

A.y=x|B.y=xB=|

C.y=x-+^D.y=xD=-+—

,44，Z4

3.（2021新高考/,7,5分，中）若過點(diǎn)（。力）可以作曲線的兩條切線，則（）

A.cb<f/B.caB.ca<b

C.0<a<cbD.0<Z?<e"

4.（2021全國(guó)甲理』3,5分，易）曲線尸寫在點(diǎn)（1,3）處的切線方程為.

5.（2020課標(biāo)唳,15,5分，易）設(shè)函數(shù)抬尸治.若尸⑴=：,則斫.

6.（2022新高考/,15,5分，中）若曲線）=（x+〃）?有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍

是.

7.（2022新高考77,14,5分，中）曲線）=1中|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程

為..

8.（2021新高考〃,16,5分，難）已知函數(shù)於尸|刃|,"<0,9>0,函數(shù)段）的圖象在點(diǎn)A（xi,火為））

和點(diǎn)B3,於2））處的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，則需的取值范圍

是

9.（2022全國(guó)甲文,2012分，中）已知函數(shù)於）=/乂冢刈=*?a,曲線產(chǎn)/⑶在點(diǎn)（KI,於i））處的切

線也是曲線產(chǎn)g（x）的切線.

（1）若加=1,求67；

⑵求Q的取值范圍.

10.（2020北京,19,15分，中）已知函數(shù)段）=12式

⑴求曲線產(chǎn)/⑴的斜率等于2的切線方程；

（2）設(shè)曲線）可處在點(diǎn)億/（f））處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S⑺，求S⑺的最小值.

11.(2020新高考I,21,12分，中)已知函數(shù)段)=相叫nx+lna

⑴當(dāng)a=e時(shí)，求曲線產(chǎn)/W在點(diǎn)(1JU))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

⑵若人x)Nl,求a的取值范圍.

三年模擬

練速度

1.(2024福建廈門一模,3)已知直線/與曲線在原點(diǎn)處相切，則/的傾斜角為()

A.-B.-C.—D—

6446

2.(2024湖北八市聯(lián)考,6)已知函數(shù)兒0為偶函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1,41))處的切線方程為

x2y+1=0，記火幻的導(dǎo)函數(shù)為"(x),則f(i)=()

AiB,C.2D,2

3.(2024廣東茂名一模,4)加線兒i)=e'+ax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線產(chǎn)2x平行，則()

6.（2024河北石家莊模擬,15）已知函數(shù)?￥）=ca，cx）在人=0處的切線為x軸.

（1）求a,b的值；

⑵求凡Y）的單調(diào)區(qū)間.

7.（2024湖北武漢四調(diào),16）已知函數(shù)?x）=lnxcuc+x2.

⑴若斫1,求曲線＞=/5）在點(diǎn)（1,川））處的切線方程;

（2）討論式幻的單調(diào)性.

8.（2024河南新鄉(xiāng)三模,15）已知函數(shù)J[x）=x\n

（1）求?￥）的極值;

（2）若過點(diǎn)（〃⑼可以作兩條直線與曲線尸孔￥）相切，證明:*alna.

練風(fēng)向

1.（新定義理解）（多選）（2024山東濟(jì)南一中等校聯(lián)考,10）假設(shè)直線L與曲線M相切,若切點(diǎn)

唯一，則稱直線L與曲線M單切;若切點(diǎn)有兩個(gè)，則稱直線L與曲線M雙切;若L還與曲線

M相交，則稱直線L與曲線M交切.已知函數(shù)火幻=內(nèi)3.扎則（）

A.直線產(chǎn)2與曲線尸/㈤雙切

B.直線）=44+1與曲線），=危）單切

C.直線）=2與曲線y=*c）交切

D.存在唯一的直線,與曲線廣式幻單切且交切

2.（創(chuàng)新考法）（2024山東淄博一模』3）已知定義在R上的函數(shù)/5）,/。）為人處的導(dǎo)函數(shù)，

2024

f。）定義域也是R,於）滿足7U+1012）/0013x）=4x+l,則2i=if\i）=.

專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

五年高考

高考新風(fēng)向

x

1.（2024全國(guó)甲理,6,5分，易）設(shè)函數(shù)次x）二：e+2sinx，則曲線），=/5）在點(diǎn)（0,1）處的切線與兩坐標(biāo)

1+X2

軸所圍成的三角形的面積為A)

2.（2024新課標(biāo)/,13,5分，中）若曲線產(chǎn)e'+x在點(diǎn)（0,1）處的切線也是曲線y=ln（x+l）+a的切

線，則a=In2

考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義

1.（2020課標(biāo)/理,6,5分,易）函數(shù)小）=/2戶的圖象在點(diǎn)（1,川））處的切線方程為（B）

\.y=2x\B.y=2x+l

C.y=2x3D.y=2x+\

2.（2023全國(guó)甲文,8,5分，易）曲線廣三在點(diǎn)（1，0處的切線方程為（C）

A.y=^YB.y=1x

-ee八e3e

C.號(hào)+zD..v=/+z

3.（2021新高考/,7,5分，中）若過點(diǎn)（。力）可以作曲線的兩條切線，則（D）

A.e”<。B.e"vb

C.0<a<cbD.0<Z?<e"

4.（2021全國(guó)甲理』3,5分.易）曲線尸會(huì)在點(diǎn)（1.3）處的切線方程為y=5x+2.

414

5.（2020課標(biāo)0文15,5分，易）設(shè)函數(shù)尸三.若尸⑴=：,則a=1.

6.（2022新高考/,15,5分，中）若曲線）=（x+〃）?有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍

是（8,4）U（0、+8）.

7.（2022新高考〃,14,5分,中泄線產(chǎn)Inld過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為產(chǎn)L.

e

V=I（不分先后）.

8.（2021新高考〃,16,5分，難）已知函數(shù)/U）=|e”|,xi<0陽>0,函數(shù)#處的圖象在點(diǎn)A（xi,/xi））

和點(diǎn)8（X2,兀⑵）處的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，則黑的取值范圍是

(0,1)

9.(2022全國(guó)甲文,20,12分，中)已知函數(shù)人燈三戶》以外二不”。,曲線尸式幻在點(diǎn)(孫人工。)處的切

線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若用=1,求a\

(2)求a的取值范圍.

解析解法一:由題意可知/'(x)=3f1,1)二%"|,則曲線產(chǎn)/(x)在點(diǎn)(xi,,/Ui))處的切線方程

為y(%江1)=(3后1)(*1),即)=(3*1)x2%i，

因?yàn)榍€產(chǎn)式r)在點(diǎn)(八段。)處的切線也是曲線產(chǎn)g(x)的切線，所以《二盥-1"-2珞

有且僅有一組解，

即方程『(3*1以+2君+〃=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

從而/二(3*1戶4(2町+〃)=0W=9短8以60+1.

(1)若xi=1,則4a=12<=?=3.

(2)40=9%18xf6%i+1,

令/?(x)=9d8.F6*+l,

則力Q)=36F24/12A-=12x(x1)(3尤+1),

令〃。)>0,得［<x<0或Ql,

令〃。)<0,得1或0<r<l,

3

所以〃⑴在(一jo)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(一8,-3和(0,1)上單調(diào)遞減，

又又)=4/(-：)嚼所以松巨4

所以a>l.

解法二:由題意可知f,(v)=3.rl,J(x\)=x^x\，則曲線y=J(x)在點(diǎn)(x\,人M))處的切線方程為

y(%i.ri)=(3%il>(xxi),即)=(3好1)工2行①，

設(shè)公切線與曲線產(chǎn)g(x)的切點(diǎn)為⑴,堤十㈤，

又g'(X2)=2x2,

則切線可表示為y(x^+a)=2x2(xx2)9

即y=2t以據(jù)+。②，

因?yàn)棰佗诒硎就恢本€方程，所以；1=

1—2%；=—%2+Q,

則(3*1戶8君=4au4a=9垃8好6好+1.

下面同解法一.

易錯(cuò)警示

不能認(rèn)為兩曲線的公切線切點(diǎn)相同.

10.(2020北京,19,15分，中)已知函數(shù)危尸12?.

(1)求曲線)，=/□)的斜率等于2的切線方程；

⑵設(shè)曲線)=/1)在點(diǎn)("(/))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(/),求S")的最小值.

解析(1)因?yàn)?)=12?,所以尸(幻=2%,

令2尸2,解得尸1,

又41)=11,所以所求切線方程為貝1=2(公)，

整理得2x+yl3=0.

(2)由⑴可知/Q)=2x,所以曲線)，=/5)在點(diǎn)Q,八。)處的切線斜率42，,又八。二12凡所以切線

方程為)，(⑵2)=2心7),整理得2/工+)，(戶+12)=0,當(dāng)戶0時(shí)產(chǎn)尸+12,所以切線與y軸的交點(diǎn)為

(0/+12),

當(dāng))=0時(shí)，尸等，所以切線與X軸的交點(diǎn)為(等,0).

①當(dāng)>0時(shí),S?)W誓.(尸+12尸5箸，

則S，⑺正吟2

當(dāng)0<r<2時(shí)S⑺<(),此時(shí)S⑺在(0,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)/>2時(shí),S")>0,此時(shí)S⑺在(2,+8)上單調(diào)遞增，

所以S?)min=S(2)=32.

②當(dāng)r<0時(shí),S⑺=笥魯，則SQ)=3?U；；2+i2),

當(dāng)/<2時(shí)S(/)<0,此時(shí)5(。在(8,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)2</<0時(shí)S")〉o,此時(shí)5(。在(2,0)上單調(diào)遞增,

所以SSmin=S(2)=32.

綜上所述，當(dāng)t=±2時(shí),S⑺取最小值，為32.

名師點(diǎn)撥

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義.本題第⑵問先求

出切線與x軸和)，軸的交點(diǎn),再求出三角形的面積表達(dá)式，分/>0和/<0兩種情況，也可以只

研究/>0時(shí)5⑺的最小值，由上面解析知當(dāng)1=2時(shí),5(。取最小值,S(f)min=S(2)=32,利用

f(x)=I2A2是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，得出t<0時(shí),S(f)min=S(2)=32.

11.(2020新高考I,21,12分，中)已知函數(shù)四nx+lna.

⑴當(dāng)好c時(shí)，求曲線產(chǎn)/⑺在點(diǎn)(i網(wǎng)))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

⑵若凡gl,求a的取值范圍.

解析於)的定義域?yàn)?0,+8)J

⑴當(dāng)左e時(shí),人幻二印門+1,八1)飛1,曲線)守3在點(diǎn)(1川))處的切線方程為堆+1)=?)。1),

即y=(el)x+2.

直線)=(el)x+2在x軸j軸上的截距分別為三2

VJL

因此所求三角形的面積為三1易錯(cuò):容易忽略三角形的面積應(yīng)大于。而把結(jié)果寫成三.

(2)解法一:當(dāng)()<〃<1時(shí),J(l)=a+ln〃<1.

當(dāng)a-1時(shí),Xx)=ev,lnf,(x)=etl^.當(dāng)x&(0,1)時(shí)/Q)<();當(dāng)x￡(1,+8)時(shí)，JQ)>().所以當(dāng)x=1

時(shí),心)取得最小值，最小值為川)=1,從而/5)“

當(dāng)〃>1時(shí),J(x)=aexi}nx+lna>exl\nx>\.

綜上,〃的取值范圍是[1,+8).

解法二:由火X巨1,可得。eTnx+lna>\,

即e'T+in'nx+lna>\9

InalnA

g|jex-i++jna+xiN]nx+.r=e+lnx.

令g⑺=d+f,則g⑺*+l>0,

.??g⑺在R上單調(diào)遞增.

?.?g(lna+xl)>^(lnx),

.*.lnt?+xl>lnx,

即Intz>lnxx+\.

令/?(x)=lnxr+1,AA'(x尸?干，

當(dāng)(KY<I時(shí)力")>(),函數(shù)〃㈤單調(diào)遞增，

當(dāng)QI時(shí)”(犬)<0,函數(shù)〃(x)單調(diào)遞減，

.'.Ina>0,.'.a>],

故。的取值范圍為[1,+8).

思路導(dǎo)引

⑴根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程，可得三角形的面積；

⑵解法一:對(duì)a進(jìn)行分類討論，看哪種情況下可使

解法二:小等式等價(jià)于eXT+ma+]n^+xl>lnx+x=elnx+lnx,令g(f)=e，+，,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得

InaNlnxt+l,再構(gòu)造函數(shù)力(工)=lnxt+1,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可求出a的取值范圍.

三年模擬

練速度

1.（2024福建廈門一模,3）已知直線/與曲線產(chǎn)口在原點(diǎn)處相切，則/的傾斜角為（C）

A.-B.-C.—D.—

6446

2.（2024湖北八市聯(lián)考,6）已知函數(shù)人劃為偶函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（1,7（D）處的切線方程為

x2y+1=0,id段）的導(dǎo)函數(shù)為/則/（1）=（A）

A.iB.iC.2D.2

22

3.（2024廣東茂名一模,4）曲線段）二厘+”在點(diǎn)（0,1）處的切線與直線y=2x平行，則a-

（C）

A.2B.lC.lD.2

4.（2024山東名校考試聯(lián)盟我考,6）若曲線火幻=已'在x=l處的切線與曲線g（x）=Inx+a也相

切，則（D）

A.iB.lC.-D.2

22

5.（2024湖南衡陽一模,7）若函數(shù)yU）=r+4與g。）722x圖象的交點(diǎn)為A,則曲線在點(diǎn)A

處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（B）

A.4B.6C.-D.-

33

6.（2024遼寧葫蘆島學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)⑻己知直線尸axl與曲線產(chǎn)竽相切，則。的值為

（A）

A.1B.-C.上四D.2e2

e4

7.（多選）（2024河北質(zhì)量監(jiān)測(cè),10）過點(diǎn)A（l,2）與曲線危尸小+x相切的直線為（CD）

A.2v+y4=0B.3xyl=0

CAxy2=0D.7"y+l=0

練思維

1.（2024湖南長(zhǎng)沙適應(yīng)性考試,7）已知直線尸?與函數(shù)心）二匕四）=Inx的圖象分別相交于

A,B兩點(diǎn).設(shè)ki為曲線產(chǎn)上）在點(diǎn)A處切線的斜率尼為曲線產(chǎn)g（x）在點(diǎn)B處切線的斜率,

則左色的最大值為（A）

A.-B.lC.eD.ee

e

2.（2024河北唐山期末,7）已知函數(shù)於）=$in（0,2）的圖象與百?線產(chǎn)心1）有3個(gè)交點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍為（D）

A.(8,0)B.(1,O)

C.(8,兀)D.E,O)

3.(2024福建部分地市質(zhì)量檢測(cè),7)若直線y=ax+b與曲線產(chǎn)ev相切，則a+b的取值范圍為

(A)

A.(oo,e]B.[2,e]

C.[e,+oo)D.[2,十8)

4.(2024湘豫名校聯(lián)考一模15)己知曲線)=e'1與llll線y=/5)關(guān)于直線孫二0對(duì)稱，則與兩曲

線均相切的直線的方程為x尸0.

5.(2024山東日照聯(lián)考)已知函數(shù)?r)r+sinx的圖象上存在三個(gè)不同的點(diǎn)A,8,C,使得曲線

v=Ax)在ABC三點(diǎn)處的切線重合.則此切線的方程為yr+1(或y=xl).(寫出符合要

求的一條切線即可)

6.(2024河北石家莊模擬,15)已知函數(shù)公尸狀e功在尸0處的切線為五軸.

(1)求a,b的值；

(2)求的單調(diào)區(qū)間.

解析⑴因?yàn)楦?二。唯心所以/。尸i'e,

依題意40)=0且/'(0)=0,

所咪;==°。解得心：

⑵由(1)可得ZU尸eqexl,定義域?yàn)镽,

又fr(-v)=eex+Ie=e(ecvl),

令且。)可'。)=?吁%，則^，U)=ecx+2>0,

所以以處在定義域R上單調(diào)遞增，即/?)在R上單調(diào)遞增.又廣(0)=0,所以當(dāng)歡0時(shí)

當(dāng)Q0時(shí)/'(外>0,

所以於)的單調(diào)遞減區(qū)間為3,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8).

7.(2024湖北武漢四調(diào),16)已知函數(shù)./U)=Inxax+x2.

⑴若折1,求曲線產(chǎn)信)在點(diǎn)(1,川))處的切線方程；

(2)討論兀E)的單調(diào)性.

解析(I)a=1時(shí),/(x)=lnX+X+JT2,/'(尤)=91+21，

則/(1)=4,川)=2,

所以所求切線方程為尸4。1)+2,整理得)=4x2.

C、1zx2-ax+l

(2)f(x)=-a+2x=---,

因?yàn)閤＞0,所以a＜0時(shí),/。）＞0,於）在（0,-18）上單調(diào)遞增，

當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)于y=2.rcix+1,Z=?28,

若0字把22，則在0,此時(shí)也危）在（0,+oo）上單調(diào)遞增,

若〃＞2企,令2Aa+l=0,得l?！?：-8〉0,04＜丁、：-8時(shí),/甘）＞“外幻單調(diào)遞增;

心s尹時(shí)ja）＞o,./u）單調(diào)遞增;

a-y/a2-8a+Va2-Q

-------<t<時(shí),/。）＜0,兀￥）單調(diào)遞減.

4-------4

綜上所述，區(qū)2魚時(shí)，段）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

心2或時(shí)加在（0,竺苧三）,（空尹,+8）上單調(diào)遞增，在（土苧三,竺等）上單調(diào)遞減.

8.（2024河南新鄉(xiāng)三模,15）已知函數(shù)fix）=x\nx.

（1）求於）的極值;

⑵若過點(diǎn)30可以作兩條直線與曲線）=/5）相切,證明為vzlna.

解析（1）因?yàn)閥（x）=xlnx,所以八x）=lnx+1.（1分）

令"（無）=0,得x=3當(dāng)xe（0*）時(shí)JQ）＜O,/U）單調(diào)遞減，當(dāng)+8）時(shí)JQ）＞O,/U）單調(diào)遞

增，（3分）

故當(dāng)0時(shí)，段）取得極小值，且極小值為店后,無極大值.