北京大學2025年強基計劃物理專業(yè)未來發(fā)展趨勢試題及答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試述慣性系和非慣性系在經(jīng)典力學中的地位和作用。請以牛頓第二定律在不同參考系中的應(yīng)用為例，說明非慣性系中如何引入慣性力，并分析其物理意義。二、一個質(zhì)量為$m$的質(zhì)點，在一個半徑為$R$的水平圓形平臺上做角速度為$\omega$的勻速圓周運動。質(zhì)點與平臺間的動摩擦因數(shù)為$\mu$。求質(zhì)點所受的摩擦力大小，并分析當$\omega$增大到何值時，質(zhì)點將開始沿半徑方向運動。三、一束單色光從空氣射入折射率為$n$的介質(zhì)中，發(fā)生折射。請推導(dǎo)折射定律（斯涅爾定律），并說明折射率與光在介質(zhì)中傳播速度的關(guān)系。若光從空氣以入射角$\theta_1$射入介質(zhì)，求折射角$\theta_2$的表達式。四、簡述黑體輻射定律的意義，并說明普朗克量子假設(shè)是如何解決經(jīng)典物理學在解釋黑體輻射中遇到的紫外災(zāi)難問題的。請簡要解釋能量量子化的概念。五、一個由自旋量子數(shù)為$s$的粒子組成的理想自旋系統(tǒng)，處于溫度為$T$的熱平衡狀態(tài)。請推導(dǎo)該系統(tǒng)的平均磁矩表達式，并說明其物理意義。若粒子處于自旋向上和自旋向下的概率分別為多少？六、簡述超導(dǎo)現(xiàn)象的主要特征，并解釋BCS理論中電子配對的形成機制及其對超導(dǎo)特性的影響。請說明什么是“能隙”現(xiàn)象，并解釋其對超導(dǎo)體的直流電阻的影響。七、已知中子的質(zhì)量為$m_n$，質(zhì)子的質(zhì)量為$m_p$，氫原子基態(tài)能量為$E_1$。請估算氫原子核的結(jié)合能（即質(zhì)子和中子結(jié)合成中子的能量）。并簡要說明核結(jié)合能的概念及其對原子核穩(wěn)定性的影響。八、簡述宇宙微波背景輻射(CMB)的發(fā)現(xiàn)及其意義。請說明大爆炸核合成理論如何解釋宇宙早期元素的形成，并簡述其預(yù)言的輕元素豐度。九、簡述量子計算的基本原理，并說明量子比特(qubit)與經(jīng)典比特的區(qū)別。請舉例說明一種量子算法（如量子傅里葉變換或Shor算法），并簡述其相較于經(jīng)典算法的優(yōu)勢。十、設(shè)想一種未來科技，例如基于弦理論或蟲洞的星際旅行。請簡述該科技的物理基礎(chǔ)，并探討其可能面臨的挑戰(zhàn)和局限性。試卷答案一、慣性系是牛頓運動定律成立的參考系，其中物體保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，不受外力作用時不受力。非慣性系是相對于慣性系做加速運動的參考系，牛頓運動定律在其中不直接成立。在非慣性系中，為了形式上保持牛頓第二定律的形式，需要引入慣性力。慣性力是一種假想力，其大小等于物體質(zhì)量與非慣性系加速度的乘積，方向與加速度方向相反。慣性力的引入是為了在非慣性系中方便地分析物體的運動，它本身沒有直接的物理來源，只是非慣性系中慣性效應(yīng)的表現(xiàn)。例如，在以加速度$a$運動的非慣性系中，質(zhì)量為$m$的物體，其受到的慣性力為$-ma$。在分析物體受力時，需要將慣性力也考慮在內(nèi)，然后應(yīng)用牛頓第二定律$F_{\text{合}}=ma$進行分析。二、質(zhì)點做勻速圓周運動，所需的向心力由靜摩擦力提供。向心力大小為$F_c=m\omega^2R$。最大靜摩擦力為$F_{\text{fmax}}=\muN=\mumg$。當$F_c\leqF_{\text{fmax}}$時，質(zhì)點做圓周運動。因此，質(zhì)點所受的摩擦力大小為$F_f=m\omega^2R$，且需要滿足$m\omega^2R\leq\mumg$。解得$\omega\leq\sqrt{\frac{\mug}{R}}$。當$\omega>\sqrt{\frac{\mug}{R}}$時，靜摩擦力不足以提供所需的向心力，質(zhì)點將沿半徑方向運動，此時摩擦力達到最大值，為$\mumg$，方向指向圓心。三、根據(jù)費馬原理，光線在兩點之間傳播的路徑是光程取極值的路徑。設(shè)光在空氣和介質(zhì)中的傳播速度分別為$v_1$和$v_2$，折射率分別為$n_1=1$和$n_2$。光從空氣射入介質(zhì)，入射角為$\theta_1$，折射角為$\theta_2$。在$\theta_1$和$\theta_2$很小時，光程$L$可以近似表示為$L\approx(L_0+R\theta_1+R\theta_2)/v_2=L_0/v_1+R\theta_1/v_1+R\theta_2/v_2$，其中$L_0$為入射點與出射點在介質(zhì)界面上的距離。對$L$求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零，得到$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$，即斯涅爾定律。折射率$n$定義為光在真空中的速度$c$與光在介質(zhì)中速度$v$之比，即$n=c/v$。四、黑體輻射定律描述了黑體在不同溫度下輻射能量的分布規(guī)律。普朗克量子假設(shè)認為，電磁輻射的能量不是連續(xù)的，而是以一份份不連續(xù)的能量子（光子）的形式存在，每個光子的能量$E$與其頻率$\nu$成正比，即$E=h\nu$，其中$h$為普朗克常數(shù)。這個假設(shè)成功地解釋了黑體輻射的實驗規(guī)律，特別是解決了經(jīng)典物理學在紫外區(qū)域出現(xiàn)的“紫外災(zāi)難”問題。能量量子化是指能量不是連續(xù)變化的，而是以離散的數(shù)值跳躍式變化的，這個概念是量子力學的基石。五、單個自旋量子數(shù)為$s$的粒子，其自旋角動量在$z$方向的投影可以取$s\hbar,(s-1)\hbar,\ldots,-s\hbar$共$2s+1$個值。在熱平衡狀態(tài)下，根據(jù)玻爾茲曼分布，處于自旋態(tài)$m$的概率為$P_m=\exp(-E_m/kT)/Z$，其中$E_m$為自旋態(tài)$m$的能量，$k$為玻爾茲曼常數(shù)，$T$為溫度，$Z$為配分函數(shù)。對于自旋系統(tǒng)，通常只考慮自旋向上$(m=s)$和自旋向下$(m=-s)$兩個能級，其能量分別為$\pm\muB$，其中$\mu_B$為玻爾磁子，$B$為外部磁場。此時，配分函數(shù)$Z=\exp(\muB/kT)+\exp(-\muB/kT)=2\cosh(\muB/kT)$。平均磁矩$\bar{\mu}=\frac{\mu_B(\exp(\muB/kT)-\exp(-\muB/kT))}{2\cosh(\muB/kT)}=\mu_B\tanh(\muB/kT)$。其物理意義表示在磁場中，自旋系統(tǒng)平均指向磁場方向的程度。自旋向上和自旋向下的概率分別為$\cosh(\muB/kT)/2\cosh(\muB/kT)=\frac{1}{2}\tanh(\muB/kT)$和$\cosh(\muB/kT)/2\cosh(\muB/kT)=\frac{1}{2}\coth(\muB/kT)$。六、超導(dǎo)現(xiàn)象的主要特征是零電阻和完全抗磁性（邁斯納效應(yīng)）。BCS理論解釋了常溫下金屬超導(dǎo)現(xiàn)象。該理論認為，在低溫下，電子由于晶格的振動（聲子）相互作用，會形成電子對（庫珀對）。庫珀對的兩個電子自旋相反、動量近似相等，因此整體動量為零，可以在晶格中無阻力地移動，從而表現(xiàn)為零電阻。電子配對的形成機制是：一個電子與晶格振動相互作用，散射另一個電子，使得兩個電子之間的有效吸引力大于庫侖排斥力。能隙是指超導(dǎo)體體內(nèi)電子能量分布中存在的能量區(qū)間，其中沒有電子態(tài)存在。能隙的存在使得超導(dǎo)體在低于臨界溫度時，電子需要獲得足夠的能量才能躍遷到正常態(tài)，因此表現(xiàn)出零電阻。七、質(zhì)子和中子的質(zhì)量之和約為$m_p+m_n\approx1.674\times10^{-27}\text{kg}+1.675\times10^{-27}\text{kg}=3.349\times10^{-27}\text{kg}$。氫原子基態(tài)能量為$E_1\approx-13.6\text{eV}=-13.6\times1.602\times10^{-19}\text{J}\approx-2.18\times10^{-18}\text{J}$。核結(jié)合能可以通過質(zhì)能方程$E=mc^2$進行估算。質(zhì)子和中子結(jié)合成中子時，釋放的能量為$\DeltaE=(m_p+m_n-m_{\alpha})c^2$，其中$m_{\alpha}$為氦核（由2個質(zhì)子和2個中子組成）的質(zhì)量，約為$6.644\times10^{-27}\text{kg}$。$\DeltaE\approx(3.349\times10^{-27}-6.644\times10^{-27})\times(3\times10^8)^2\approx2.2\times10^{-12}\text{J}=13.6\text{MeV}$。核結(jié)合能是指將原子核中所有核子（質(zhì)子和中子）分離成自由狀態(tài)所需的能量。核結(jié)合能越大，原子核越穩(wěn)定。八、宇宙微波背景輻射(CMB)是宇宙大爆炸留下的“余暉”，在宇宙年齡約為38萬年時，溫度從極高下降到約3000K時，宇宙變得透明，當時的熱輻射被釋放出來，經(jīng)過漫長的膨脹，今天已經(jīng)冷卻到約2.7K，遍布整個宇宙，且在空間上基本均勻。CMB的發(fā)現(xiàn)證實了大爆炸理論，并為研究宇宙早期演化提供了重要線索。大爆炸核合成理論解釋了宇宙早期（從幾分鐘到幾十分鐘）元素的形成。在極高溫高密度的早期宇宙中，質(zhì)子和中子可以通過核反應(yīng)形成輕元素，如氫、氦、鋰等。該理論預(yù)言了宇宙中輕元素的豐度，與觀測結(jié)果基本一致。九、量子計算的基本原理是利用量子比特(qubit)進行計算。量子比特可以處于0、1或兩者的疊加態(tài)$|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$，其中$\alpha$和$\beta$是復(fù)數(shù)，滿足$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$。量子比特的疊加和糾纏特性使得量子計算機可以并行處理大量信息，從而在某些問題上具有超越經(jīng)典計算機的潛力。量子算法是利用量子力學的特性設(shè)計的算法，例如量子傅里葉變換可以高效地計算信號的頻譜，Shor算法可以高效地進行大數(shù)分解，這些都是經(jīng)典算法無法做到的。量子算法的優(yōu)勢在于其指數(shù)級的加速效果，可以顯著提高某些問題的計算效率。十、基于弦理論的星