試卷第=page22頁，共=sectionpages2929頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁拓展專題01直線與圓中對稱問題的十四大題型考點01點關于點對稱(共2小題) 3考點02點關于直線對稱（共4小題）（重點） 4考點03直線關于點對稱(共3小題)（重點） 5考點04直線關于直線對稱（共4小題）（重點） 6考點05圓關于點對稱(共3小題)（?？键c） 8考點06圓關于直線對稱(共3小題）（?？键c） 9考點07圓的自對稱性(共5小題)（?？键c） 11考點08曲線關于點、直線的對稱（共2小題）（難點） 13考點09光的反射問題(共4小題) 15考點10對稱點的存在性問題(共4小題) 19考點11利用對稱求距離之和的最值（共2小題）（難點） 21考點12利用對稱求距離之差的最值（共2小題）（難點） 23考點13對稱性的實際應用(共3小題)（難點） 25考點14與對稱性有關的新定義題(共2小題)（難點） 28【重要方法及結論】1．點關于點的對稱求點P關于點A(a,b)的對稱點P'的問題，主要依據(jù)A是線段PP′的中點來求解.設P(x0,y0)，對稱中心為A(a,b)，則P關于A的對稱點為P'(2a-x0,2b-y0).2．直線關于點的對稱求直線l關于點A(a,b)對稱的直線l'的步驟：(1)由平行直線系設出直線l'的方程；(2)在l上任取一點P(x,y)，求P關于A的對稱點P'(2a-x,2b-y)；(3)將P'的坐標代入直線l'的方程，求出參數(shù)，得到l'的方程.3．兩點關于某直線對稱設點A(x0,y0)關于直線l的對稱點為B(x,y).(1)直線l的斜率不存在時，設直線1：x=t，則.(2)直線l的斜率為0時，設直線l：y=t，則.(3)直線l的斜率存在且不為0時，設點A(x0,y0)關于直線l：Ax+By+C=0的對稱點為B(x,y).則，由此可求出B(x,y).(4)幾種特殊位置的對稱：點對稱軸對稱點坐標P(a,b)x軸(a,-b)y軸(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)4．直線關于直線對稱(1)若已知直線l?與對稱軸l相交于點P，則交點P必在l?關于l對稱的直線l2上，再求出l?上除點P外任意一個已知點P?關于l對稱的點P2，那么經(jīng)過交點P及點P2的直線就是l2.(2)若已知直線l?與對稱軸l平行，則l?關于l對稱的直線l2到直線l的距離和l?到直線l的距離相等，由平行直線系和對稱點即可求出l?關于l對稱的直線l2.5.與圓有關的對稱問題(1)若兩圓關于某點對稱，則這兩圓的圓心關于該點對稱，半徑相等；(2)若兩圓關于某直線對稱，則這兩圓的圓心關于該直線對稱，半徑相等；(3)任意一個圓關于它的任一條直徑所在直線對稱；(4)任意兩個圓關于它們的連心線所在直線對稱;(5)任意兩個等圓關于它們連心線的垂直平分線對稱.考點01點關于點對稱(共2小題)1．（24-25高二上·北京·期中）點與點的對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由中點的坐標公式求解即可.【詳解】點與點的對稱中心是的中點，所以對稱中心的坐標為，故選：C2．（24-25高二上·遼寧鞍山·階段練習）點關于點的對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中點坐標公式求解即可.【詳解】設點坐標為，則由題意可得，解得，所以點坐標為,故選：B考點02點關于直線對稱（共4小題）（重點）3．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知直線：，則點關于對稱的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂直斜率關系，以及中點在直線上即可列方程求解.【詳解】設點關于對稱的點為，則，解得，故選：B4．（24-25高二上·江蘇鹽城·期中）已知直線，則點關于直線的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對稱可知直線，且中點在上，設點坐標，可得方程組，解方程組即可.【詳解】設，則中點，且，由，兩點關于直線對稱，且，則，解得，即，故選：B.5．（24-25高二上·廣東·期中）若點和點關于直線對稱，則．【答案】【分析】由已知可得是線段的垂直平分線，據(jù)此計算可求.【詳解】因為點和點關于直線對稱，所以是線段的垂直平分線，由，可得，解得.又AB的中點坐標為，，所以，解得，.故.故答案為：.6．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知點關于直線的對稱點為，經(jīng)過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的斜率的取值范圍為.【答案】【分析】利用對稱求出點，然后根據(jù)點的坐標得到，最后根據(jù)傾斜角與斜率的變化關系得到范圍.【詳解】設點，有，解得，，所以，，，結合圖可知，.故答案為：.考點03直線關于點對稱(共3小題)（重點）7．（2025高三·全國·專題練習）與直線關于坐標原點對稱的直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出所求對稱直線上的點的坐標，求出關于原點的對稱點坐標，代入已知直線方程，即可.【詳解】設直線上一點關于坐標原點對稱的點為，則，，解得，，代入，得，即所求直線的方程為．故選：D．8．（24-25高二上·山東泰安·期中）已知直線與直線關于點對稱，則恒過的定點為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線所過定點的坐標，求出點關于點的對稱點的坐標，即為所求.【詳解】直線的方程可化為，由得，所以，直線過定點，點關于點的對稱點為，因此，直線恒過的定點.故選：C.9．（24-25高二上·江蘇南通·期中）已知直線關于對稱的直線與圓相離，則（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】由條件求出直線，然后根據(jù)直線與圓的位置關系及表示圓的條件列出不等式求解.【詳解】設直線上任一點為，則其關于的對稱點在直線上，∴，且，∴，即，∴直線，∵圓，即，∴圓心，半徑，且，∴圓心到直線的距離，∵直線與圓相離，∴，即，又，解得.故選：C.考點04直線關于直線對稱（共4小題）（重點）10．（24-25高二上·天津紅橋·階段練習）直線關于直線對稱的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設所求直線上任意一點的坐標為，利用對稱的性質得到點P關于直線對稱的點為代入直線即可求得結果.【詳解】設所求直線上任意一點的坐標為，該點關于直線對稱的點的坐標為，則,故對稱點坐標為，代入直線上，，故選：D11．（23-24高二上·海南?？凇て谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是4B．點關于直線的對稱點為C．直線關于直線的對稱直線的方程為D．直線關于點的對稱直線的方程為【答案】D【分析】求出三角形的面積判斷A；求出兩點的中點坐標判斷B；在直線上取點，求出對稱點判斷C；求出關于點的對稱直線的方程判斷D.【詳解】對于A，直線與兩坐標軸交于，則所求三角形面積為，A錯誤；對于B，點和的中點不在直線上，則點關于直線的對稱點不是，B錯誤；對于C，在直線上取點，設其關于直線的對稱點為，則，解得，而點不在直線上，C錯誤；對于D，在所求方程的直線上任取點，則該點關于點的對稱點為在直線上，于是，即，因此所求的直線方程為，D正確.故選：D12．（24-25高二上·四川涼山·期末）設點，若直線關于軸對稱的直線與圓相切，則的值為（

）A． B．0 C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)對稱求解直線的方程，即可根據(jù)相切關系，結合點到直線的距離公式求解.【詳解】由可得，故直線關于軸對稱的直線斜率為，且經(jīng)過點，故直線方程為，圓的圓心和半徑分別為，由相切可得，解得，故選：A13．（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知的頂點，邊上的中線所在直線的方程為，所在直線方程為.求(1)點的坐標；(2)直線關于直線對稱的直線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)中線和均過點，可聯(lián)立方程求得點坐標；（2）利用點關于直線對稱點的求法可求得點關于直線對稱的點，由此可得直線方程，即為所求對稱直線方程.【詳解】（1）由得：，即.（2）設關于直線對稱的點，則，解得：，，則直線方程為，即，即直線關于直線對稱的直線方程為：.考點05圓關于點對稱(共3小題)（常考點）14．（2024高二·廣東·期中）圓關于原點對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)已知圓與所求圓對稱，求出圓心和半徑，即可得出圓的方程.【詳解】因為所求圓的圓心與圓的圓心關于原點對稱，所以所求圓的圓心為，半徑為，故所求圓的方程為.故選：B.15．（24-25高二上·廣東深圳·期中）若存在點，使得圓與圓關于點對稱，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由兩圓關于點對稱可得圓的半徑相等即可得解.【詳解】由題意，兩圓半徑相等，所以，解得，故選：A16．圓關于點對稱的圓的方程是.【答案】【解析】先將圓，化為標準方程得到圓心，再求圓心關于點的對稱點，即為所求的圓的圓心.【詳解】圓，化為標準方程：，設關于點對稱的圓的圓心為，則，解得，所以圓關于點對稱的圓的方程是：，考點06圓關于直線對稱(共3小題）（?？键c）17．（25-26高二上·河南·階段練習）圓關于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出已知圓的圓心關于直線的對稱點即所求圓的圓心，兩圓半徑相同，得到所求圓.【詳解】由，得圓心為，半徑，設圓心關于直線的對稱點為，則解得故所求圓的方程為．故選：C.18．（24-25高二上·重慶長壽·期末）圓關于直線對稱，則實數(shù)（

）A． B．4 C．或4 D．2或【答案】C【分析】先得出圓的圓心，再根據(jù)圓關于直線對稱得出圓心在直線上計算求參.【詳解】圓的圓心為，且，即，因為圓關于直線對稱，所以圓心在直線上，則，化簡得，所以或，滿足.故選：C.19．若圓與圓關于直線對稱，則直線的方程為.【答案】【分析】由題意，得出直線是兩圓圓心的對稱軸，依次求得的中點坐標和斜率,即可由點斜式方程寫出直線的方程.【詳解】依題意，直線是兩圓圓心的對稱軸.由可得，由可得，則的中點為，因，故直線的斜率為，故直線的方程為：，即.考點07圓的自對稱性(共5小題)（?？键c）20．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知圓關于直線對稱，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)直線經(jīng)過圓心，可求的值.【詳解】由，得，故圓心為，又因為圓關于直線對稱，故圓心在直線上，則.故選：A21．（24-25高二上·廣東東莞·期中）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】由題意可得直線過圓心，將圓心坐標代入直線方程即可求解.【詳解】圓的圓心坐標為，因為直線是圓的一條對稱軸，所以直線過點，所以，解得.故選:A.22．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知圓上存在兩點關于直線對稱，則的最小值是．【答案】16【分析】由題意可得說明直線經(jīng)過圓心，推出，代入，利用基本不等式，確定最小值【詳解】由圓的對稱性可得，直線必過圓心，所以，所以，當且僅當，即時取等號，則的最小值是16故答案為：1623．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知圓關于直線對稱，為圓C上一點，則的最大值為．【答案】20【分析】由圓關于直線對稱列方程求，由此確定圓的圓心坐標和半徑，設，由直線與圓有公共點，列不等式求的范圍及最大值.【詳解】方程可化為，所以圓的圓心為，半徑為，因為圓關于直線對稱，所以，所以，令，則，所以，所以，所以的最大值為20，故答案為：20.24．（23-24高二上·廣東深圳·期中）已知圓關于直線對稱，且在圓上.(1)求圓C的標準方程；(2)若直線與圓C交于點A，B，求面積的最大值，并求此時直線l的方程.【答案】(1)；(2)，或.【分析】（1）根據(jù)題意，圓心在直線，得到，再由在圓上，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到過定點，求得，結合，當時，面積最大，求得面積的最大值，再利用點到直線的距離公式，列出方程求得的值，即可求解.【詳解】（1）解：由圓關于直線對稱，即圓心在直線，滿足，即圓，又因為在圓上，所以，解得，所以圓的方程為.（2）解：由，可得，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點，又由由（1）圓心為，可得，因為，所以當時，面積最大，此時為等腰直角三角形，面積最大值為，其中為圓的半徑，此時點C到直線l的距離，，所以可以取到，所以，解得或，故所求直線l的方程為或.考點08曲線關于點、直線的對稱（共2小題）（難點）25．（24-25高二上·上?！るA段練習）以原點為中心，對角線在坐標軸上，邊長為1的正方形的四條邊的方程為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設分析知，方程所得圖形關于原點、軸對稱且點在圖形上，即可得.【詳解】由題設，方程所得圖形關于原點、軸對稱，若在圖形上，則、、均在圖形上，顯然、滿足，、不滿足，又圖形是對角線在坐標軸上，邊長為1的正方形，所以，點在圖形上，故方程為.故選：D26．（23-24高三下·內蒙古鄂爾多斯·期中）已知函數(shù)的圖象上有且僅有兩個不同的點關于直線的對稱點在的圖象上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將題設轉化為的圖象和的圖象有兩個交點，求出直線和相切時的值以及直線過點時的值，結合圖象即可求解.【詳解】關于直線的對稱直線為，則題設等價于函數(shù)的圖象和的圖象有兩個交點．令等價于，設直線和相切，由，解得或（舍），又當直線過點時，解得，所以k的取值范圍是.故選：A．考點09光的反射問題(共4小題)27．（24-25高二上·浙江杭州·階段練習）已知光線從點射出，經(jīng)直線反射，且反射光線所在直線過點，則反射光線所在直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出關于直線的對稱點為的坐標，由都在反射光線所在直線上得直線方程.【詳解】設關于直線的對稱點為，則，解得，即，所以反射光線所在直線方程為，即.故選：B.28．（2025高三·全國·專題練習）在等腰直角中，是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點（如圖）．若光線經(jīng)過的重心，則等于（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】建立直角坐標系，設點P的坐標，可得P關于直線BC的對稱點的坐標，和P關于y軸的對稱點的坐標，由四點共線可得直線的方程，由于光線經(jīng)過的重心，代入可得關于a的方程，解得P的坐標，即可求解.【詳解】以為坐標原點，建立如圖直角坐標系，可得，故直線BC的方程為，則的重心為，即，設,其中，則點P關于直線BC的對稱點，滿足，解得，即，易得P關于y軸的對稱點，由光的反射原理可知四點共線，直線的斜率為，故直線的方程為，由于直線過重心，代入得，化簡得或（舍去），故，所以.故選：D29．（2025高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知射線，，半圓，現(xiàn)從點向軸上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線時會發(fā)生鏡面反射．設光線在發(fā)生反射前所在直線的斜率為，若光線始終與半圓沒有交點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設反射前光線所在直線方程為，分四種情況討論，即①當光線不發(fā)生反射時；②當光線只發(fā)生一次反射時，；③當光線發(fā)生兩次反射時，④當光線發(fā)生三次反射時，利用幾何法即圓心到直線的距離大于半徑，通過分析進而求解；【詳解】由題意知半圓的圓心為，半徑為1，設反射前光線所在直線方程為．①如圖：當光線不發(fā)生反射時，光線所在直線的斜率，若此時光線與半圓無交點，則半圓圓心到光線所在直線的距離，解得，即．②當光線只發(fā)生一次反射時，反射光線不與軸非負半軸相交，由，得則反射光線所在直線方程為，即，所以，解得．令半圓圓心到反射光線所在直線的距離1，解得，又，所以此時要使光線與半圓沒有交點，則．③當光線發(fā)生兩次反射時，討論如下．當時，第一次反射后光線所在直線與軸非負半軸有交點，交點為，則第二次反射后光線所在直線方程為，所以，解得．令半圓圓心到第二次反射光線的距離，得，故此時要使光線與半圓無交點，則．當時，易知第一次反射后光線過點，第二次反射后光線所在直線方程為，與半圓沒有交點．綜上，．④當光線發(fā)生三次反射時，由得則第三次反射光線所在直線方程為，即，所以，即．令半圓圓心到第三次反射光線的距離，得，故此時要使光線與半圓無交點，則．綜上，的取值范圍為．故選：A．30．（24-25高三上·全國·階段練習）在平面直角坐標系中，點的坐標為，圓，點為軸上一動點.現(xiàn)由點向點發(fā)射一道粗細不計的光線，光線經(jīng)軸反射后與圓有交點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作點關于軸的對稱點，方法一、利用直線與圓的關系計算圓心到反射光線的距離即可；方法二、利用反射光線與圓相切作臨近值，借助兩點距離公式、正切的和差角公式計算反射光線的斜率范圍，再利用截距的意義計算即可.【詳解】方法一：作點關于軸的對稱點，則直線與圓有交點．又，所以直線的方程為，即．由題知圓的圓心為，半徑為1，直線與圓有交點，即圓心到直線的距離小于等于1，所以，解得．方法二：作點關于軸的對稱點，則直線與圓有交點，臨界情況為直線與圓相切．設切點為，令，易得，所以．因為直線的斜率為，所以直線的斜率．易得直線的方程為．所以．

故選：A【點睛】思路點睛：對于光線的反射問題一般作對稱點由入射光線得出反射光線所在直線，再利用直線與圓的位置關系計算即可，法二、計算反射光線與圓相切時的斜率從而得出反射光線的斜率范圍，再結合直線的截距意義計算，計算略顯復雜，但也是一種很好的方向.考點10對稱點的存在性問題(共4小題)31．（24-25高二上·陜西安康·期中）若存在點，使得圓與圓關于點對稱，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由兩圓關于點對稱可得圓的半徑相等即可得解.【詳解】由題意，兩圓半徑相等，所以，解得，故選：A32．已知直線，若圓上存在兩點關于直線對稱，則的值為（

）A． B． C． D．5【答案】A【分析】根據(jù)題意可知圓的圓心坐標為，又圓上存在兩點P，Q關于直線對稱，所以直線經(jīng)過圓心，將圓心坐標代入直線方程，即可求出結果.【詳解】∵圓：，∴圓的圓心坐標為，又圓：上存在兩點P，Q關于直線對稱，∴直線經(jīng)過圓心，∴，解得.故選：A.33．已知直線，圓，若圓C上存在兩點關于直線l對稱，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．20【答案】D【分析】由題意，直線l過圓心，有，則，利用配方法求最小值.【詳解】圓的圓心坐標為，圓C上存在兩點關于直線l對稱，則直線l過圓心，即，有，，當時，有最小值20.故選：D34．（23-24高二上·安徽·期末）已知圓：及圓：，若存在點P，使得，關于點P對稱，則，的位置關系是（

）A．相離 B．相交 C．外切 D．內切【答案】C【分析】要存在點P，使得，關于點P對稱，則，的半徑相等，再利用圓與圓的位置關系判斷即可.【詳解】結合題意：圓的標準方程為，圓心，圓的標準方程為，圓心，要存在點P，使得，關于點P對稱，則，的半徑相等，所以，，此時，的半徑都是，又，所以，外切．故選:C.考點11利用對稱求距離之和的最值（共2小題）（難點）35．（25-26高一上·河北石家莊·開學考試）在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為，，點C的坐標為（），則的最小值是（

）A．6 B． C． D．5【答案】C【分析】求出點所在直線方程，再求關于直線的對稱點，轉化為求的最小值即可得解.【詳解】如圖，

，在直線上，設點A關于直線的對稱點為A'，則所在直線為，代入點，可得，解得，故所在直線為，聯(lián)立，解得，故直線與直線交點，則點關于直線的對稱點的坐標為，，因為，所以的最小值是，故選：C36．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知點是坐標原點，點是圓上的動點，當動點在直線上運動時，的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】先求點關于直線對稱的點為，結合圓的性質可得，再結合幾何性質即可得結果.【詳解】設點關于直線對稱的點為，則，解得，即，由題意可知：圓的圓心為，半徑，則，當且僅當點在線段上時，等號成立，又因為，當且僅當三點共線時，等號成立，綜上所述：當且僅當時，的最小值為6.故選：C考點12利用對稱求距離之差的最值（共2小題）（難點）37．（24-25高二上·廣東清遠·期中）已知點P在直線上，點，則的最小值為【答案】【知識點】求點關于直線的對稱點后可求線段差的最小值.【詳解】如圖，設關于直線的對稱點為，則，解得，則，于是，結合圖形知，當三點共線時，此時取得最小值，即取得最小值為故答案為：38．（25-26高二上·河南駐馬店·階段練習）已知直線和點．(1)在直線l上求一點P，使的值最小；(2)在直線l上求一點P，使的值最大；(3)若點B的坐標變?yōu)椋俜謩e求（1），（2）問中的結果．【答案】(1)P點坐標為(2)P點坐標為(3)當P點坐標為時，的值最??；當P點坐標為時，的值最大【分析】（1）求出點A關于直線l對稱點坐標，根據(jù)三點共線時，的值最小，求出直線的方程，與直線l聯(lián)立，即可得答案.（2）因為點A、B在直線l同側，分析可得當三點共線時，的值最大，求得直線AB方程，與直線l聯(lián)立，即可得答案.（3）若點B的坐標變?yōu)?，此時A、B在直線l的兩側，當三點共線時，的值最小，求出直線AB方程，與直線l聯(lián)立，即可得答案；由（1）可得點A關于直線l的對稱點的坐標，分析可得當三點共線時，的值最大，求出直線的方程，與直線l聯(lián)立，即可得答案.【詳解】（1）設點A關于直線l對稱點為，則，解得，即，因為點P在直線l上運動，所以，當且僅當三點共線時等號成立，此時的最小值等于，即點P為直線與直線l的交點，因為，，易得直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以交點（2）因為點A、B在直線l同側，且點P是直線l上一點，所以，當且僅當三點共線時等號成立，此時的最大值為，即P為直線AB與直線l的交點，因為，所以，所以直線AB方程為，聯(lián)立，解得，故所求點P的坐標為（3）若點B的坐標變?yōu)?，此時A、B在直線l的兩側，且P為直線l上一點，所以，當且僅當三點共線時等號成立，即點P為直線AB與直線l的交點，因為，所以，所以直線AB的方程為，即，聯(lián)立，解得，故使的值最小時，P點坐標為.由（1）可知點A關于直線l的對稱點為，且P為直線l上一點，所以，當且僅當三點共線時，等號成立，此時取得最大值，即點P為直線與直線l的交點，因為，，易得直線的方程為，所以，解得，所以交點考點13對稱性的實際應用(共3小題)（難點）39．（24-25高二上·廣西南寧·期中）唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出點關于直線的對稱點，則所求最短總路程為.【詳解】設關于直線對稱的點為，則，解得：，即，“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：D.40．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）剪紙藝術是中國民間藝術之一，很多剪紙作品都體現(xiàn)了數(shù)學中的對稱美，如圖所示的剪紙是一幅中心對稱圖形，以中心對稱點為坐標原點將其放入平面直角坐標系中，若圖中點坐標為，其關于軸對稱的點的坐標為，其關于坐標原點對稱的點的坐標為，則．【答案】【分析】根據(jù)點關于坐標軸以及原點對稱的點坐標，構造方程組可解得結果.【詳解】因為，其關于軸對稱的點坐標為，則，解得；又點關于原點對稱的點坐標為，所以，解得，則．故選：41．（多選）（2025·河北秦皇島·模擬預測）如圖，在一處四周都是鏡子的暗房里，在點平行于地面發(fā)出一條射線，與的夾角為，在中點處有一個感應器（體積忽略不計），已知，，則下列說法正確的是（

）A．若，射線經(jīng)過一次反射就被感應器捕捉到，則B．若，射線第一個反射點在邊上，則最少需要折射三次才能被感應器捕捉到C．無論長度如何變化，必定存在使得射線反射兩次就可以被感應器捕捉到D．存在，使得射線依次經(jīng)過，，三個面的反射后能被感應器捕捉到【答案】BC【分析】利用點線對稱與光線鏡面反射的虛像原理作出圖像，數(shù)形結合，可一一得到答案.【詳解】由于該射線平行于地面，根據(jù)題意可視為射線在平面四邊形內部發(fā)生反射，對于A，當時，發(fā)出射線使其反射點在靠近端的四等分點，反射后再正好被感應器捕捉，所以，則，故A錯誤；對于B，當時，第一次反射在邊上，所以不可能只反射一次就被感應器捕捉；如圖1，假設反射兩次后被感應器捕捉，則第二次反射一定在邊上，將平面依次向右、向上翻折一次，到達，觀察線