8/8專題07直線與圓錐曲線的綜合問題考點01求直線與圓錐曲線的交點（共3小題） 1考點02直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（共3小題）（重點） 2考點03弦長問題（共2小題）（重點） 2考點04中點弦問題（共2小題）（?？键c） 2考點05圓錐曲線的切線問題(共2小題) 3考點06定點問題(共2小題)（重點） 4考點07定值問題（共2小題）（重點） 4考點08最值問題（共2小題）（重點） 4考點09取值范圍問題（共2小題）（重點） 5考點10定直線問題（共2小題） 5考點11存在性問題（共2小題）（?？键c） 6考點12證明問題（共2小題）（難點） 6考點13與向量的綜合問題（共2小題）（常考點） 7考點14新定義問題（共2小題）(難點) 7考點01求直線與圓錐曲線的交點（共3小題）1．（24-25高二上·江蘇揚州·期中）已知橢圓的焦點坐標分別為和，長軸長為4，則直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定2．（23-24高二下·廣東·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，直線與雙曲線的右支交于點，則（

）A． B．0 C．1 D．23．（2025高三·全國·專題練習）已知拋物線，經(jīng)過其焦點的直線交曲線于兩點，且滿足，則（

）A． B． C． D．考點02直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（共3小題）4．（23-24高二上·江西·期末）直線與橢圓（）的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定5．（多選）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直線l：，拋物線C：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l過定點B．當時，直線l與拋物線C相切C．當時，直線l與拋物線C有兩個公共點D．當直線l與拋物線C無公共點時，或6．(多選)（24-25高三上·甘肅武威·期末）已知雙曲線的兩個焦點為，，點在雙曲線上，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的離心率為C．直線與雙曲線只有一個公共點D．直線與雙曲線的左支和右支各有一個交點考點03弦長問題（共2小題）7．（25-26高三上·廣東潮州·開學考試）已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點分別為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，分別求的周長和面積．8．（25-26高三上·江蘇·階段練習）已知雙曲線的離心率為，且過點.(1)求的方程；(2)直線過且交于兩點，若弦的長度為的實軸長的兩倍，求的方程.考點04中點弦問題（共2小題）9．（24-25高二上·廣東惠州·期中）已知雙曲線，過點作直線l.(1)若直線l與雙曲線相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？為什么？(2)若直線l的斜率k存在，且l與雙曲線左右兩支都相交，求直線l斜率k的取值范圍.10．（25-26高三上·陜西西安·開學考試）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點．(1)求拋物線的方程；(2)當點為弦的中點時，求直線的方程；(3)求的最小值．考點05圓錐曲線的切線問題(共2小題)11．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知是雙曲線上一動點，為坐標原點.設(shè)雙曲線在點處的切線和兩條漸近線的交點分別為.(1)設(shè)到兩條漸近線的距離分別為，求的值；(2)證明：；(3)求的值.12．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習）在平面直角坐標系中，動點到的距離等于到直線的距離.(1)求M的軌跡方程；(2)P為不在x軸上的動點，過點作（1）中的軌跡的兩條切線，切點為A，B；直線AB與PO垂直(O為坐標原點)，與x軸的交點為R，與PO的交點為Q；（?。┣笞C：R是一個定點；（ⅱ）求的最小值.因此，時取等號.考點06定點問題(共2小題)13．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知雙曲線的左頂點為，離心率為3，是上的兩點.(1)求的標準方程；(2)若線段的中點為，求直線的方程；(3)若（不在直線上），證明：直線過定點.14．（25-26高二上·廣西南寧·階段練習）已知橢圓，，分別是左、右焦點，是橢圓上一點，的最大值為3，當為橢圓上頂點時，為等邊三角形．(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)，分別是橢圓的左、右頂點，若直線與交于點，，且．證明：直線過定點．考點07定值問題（共2小題）15．（24-25高二下·云南·期末）已知兩條平行直線，分別與雙曲線的左、右兩支相切，且交的兩條漸近線于，兩點，交的兩條漸近線于，兩點，點，都在軸上方，當且僅當與軸垂直時，．(1)求雙曲線的方程；(2)證明：四邊形的面積為定值．16．（25-26高二上·云南玉溪·階段練習）已知橢圓：的離心率為，長軸為4．(1)求橢圓的標準方程；(2)直線：與橢圓交于，兩點，求弦長；(3)點在上，過點的直線交橢圓于，兩點（異于點），設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值．考點08最值問題（共2小題）17．（24-25高二上·江蘇南通·期中）已知點為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，且直線與直線斜率之和為0．(1)求拋物線的方程；(2)若為拋物線上一動點，直線，且，求到直線距離的最小值．18．（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線的左、右頂點分別為，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點的直線l與雙曲線C的右支交于M，N兩點．（i）記直線，的斜率分別為，，證明：是定值；（ii）設(shè)G為直線和的交點，記，的面積分別為，，求的最小值．考點09取值范圍問題（共2小題）19．（25-26高三上·江蘇南京·開學考試）已知橢圓過點，短軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)已知點，若橢圓上的點到的距離的最小值是，求正實數(shù)的值；(3)橢圓與軸的交點為、（點位于點的上方），直線與橢圓交于不同的兩點、.設(shè)直線與直線相交于點，求的最小值.20．（24-25高二下·貴州銅仁·期末）已知拋物線過點，焦點為．(1)求拋物線的標準方程；(2)過點且斜率為1的直線交拋物線于A、兩點，若在以為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍．考點10定直線問題（共2小題）21.(25-26高二上·全國·單元測試）已知定點，動點滿足．(1)求動點的軌跡的方程．(2)設(shè)過點且與軸不重合的直線交曲線于E，F(xiàn)兩點．①過點作與直線垂直的直線交曲線于G，H兩點，求四邊形EGFH面積的最大值；②設(shè)曲線與軸交于P，Q兩點，直線PE與直線QF相交于點，證明：點在定直線上．22．（24-25高二下·上海·階段練習）已知，，等軸雙曲線：的左、右頂點分別為、，左、右焦點分別為、，且．點為雙曲線的左支上異于點的一個動點．(1)求雙曲線的方程；(2)若，求點的坐標；(3)設(shè)點，直線交雙曲線的右支于點．試判斷直線與直線的交點是否在一條定直線上？若是，請求出該直線的方程；若不是，請說明理由．考點11存在性問題（共2小題）23.（25-26高二上·全國·單元測試）在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，，直線與的另一個交點分別為．(1)判斷直線的斜率與直線的斜率之比是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由．(2)證明：直線經(jīng)過定點．24.（24-25高二下·湖南衡陽·期末）已知拋物線C：經(jīng)過點，C的焦點F在x軸的正半軸上，點A，B在C上運動．(1)求C的方程．(2)若直線AB的方程為，求內(nèi)切圓的半徑r．(3)設(shè)點，且EF平分，試問直線AB：是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．考點12證明問題（共2小題）25．（25-26高二上·江西贛州·階段練習）矩形的長為4，寬為2，其四邊的中點恰為橢圓的頂點．(1)求的方程；(2)若，，三點在以為直徑的圓上，且直線，均與有且只有一個公共點，證明：是直角三角形．26．（2025·四川成都·模擬預(yù)測）已知點，，P是直線AB外的一個動點，，垂足為Q，且Q在線段AB外，，記點P的軌跡為曲線C．不過原點的直線l交C于M，N兩點，M關(guān)于x軸的對稱點為T，直線TB和NB的斜率之積為6．(1)求C的方程；(2)判斷l(xiāng)是否過定點，若是請求出該定點坐標，若不是請說明理由；(3)試判斷的形狀（銳角、直角或鈍角三角形），并給出證明．考點13與向量的綜合問題（共2小題）27．（24-25高二下·貴州黔西·階段練習）已知雙曲線的離心率是，焦距為6．(1)求的方程；(2)若直線與相交于兩點，且（為坐標原點），求的方程．28．（24-25高二上·吉林長春·期中）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，過點的直線與拋物線相切，且切點為，點為拋物線C上的點．(1)求直線的方程；(2)若直線不與軸垂直，點在軸上，軸，．若直線QP與拋物線和直線分別交于M，N兩點，求證：．考點14新定義問題（共2小題）29．（24-25高二下·上海楊浦·階段練習）在平面直角坐標系中，雙曲線．(1)求的兩條漸近線的夾角；(2)給定點，其中正數(shù)，求上的動點到點的距離的最小值；(3)對平面內(nèi)不在上的任意一點，記為過點且與有兩個交點的直線的全體．對任意直線，記、為與的兩個交點，定義．若存在一條直線滿足：與的兩個交點位于軸異側(cè)，且對任意不同于的直線，均有，則稱為“好點”．求所有“好點”所構(gòu)成的區(qū)域的面積．30．（24-25高二下·上海·期中）如圖所示，平面直