計(jì)數(shù)原理II---加法原理主講人：1.通過實(shí)例,學(xué)習(xí)和掌握計(jì)數(shù)原理II----分類加法原理，2.區(qū)分分步與分類的差別,理解乘法與加法原理的異同點(diǎn),掌握解決計(jì)數(shù)問題的最基本方法:“枚舉法”或“樹型圖”在乘法和加法原理中的區(qū)別3.利用加法原理解決簡單的實(shí)際問題教學(xué)目標(biāo):一.引入問題1.在長江上游的某城市,連接兩岸有4座橋、3條公路隧道、2條地鐵隧道和1條觀光隧道.,有多少種不同的過江走法?長江橋4條隧道3條地鐵2條觀光隧道1條岸北岸南有4+3+2+1=10種不同的走法二.分類加法原理:③“類與類”之間是“或”的關(guān)系;而“步與步”之間是“且”的關(guān)關(guān)系;“分類加法”原理:如果完成一件事需要n類辦法,在第1類辦法中有m1種不同方法,在第2類辦法中有m2種不同方法,

…,在第n類辦法中有mn種不同方法,那么完成這件事共有:N=m1+m2+…+mn種不同辦法.“分類”理解:①類與類之間不能重復(fù)也不能遺漏;②“分類”與“分步”的不同點(diǎn):“分類”中的每一類方法都能獨(dú)立完成一件事;“分步”中的每一部的方法都無法獨(dú)立完成一件事;④“分類”與“分步”的圖示區(qū)別:完成“從A到B”事件第1類第2類第n類AB……分類分步AB第1步第2步第n步……三.計(jì)數(shù)原理II—分類加法原理的簡單應(yīng)用例1.從甲地到乙地可以乘火車,也可以乘汽車或輪船.如果一天中火車有6班、汽車有5班輪船有3班,那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?解:由題意知:獨(dú)立坐火車(或汽車或輪船)可以完成從甲到乙事件,故分三類:共有6+5+3=14種走法.火車6汽車5輪船3甲乙分類例2.用紅黃藍(lán)的小旗各一面掛在旗桿上表示信號,每次可以掛一面或二面或3三面,并且不同的順序表示不同的信號,共可表示多少種不同的信號?解:N=P3+P3+P3=15種不同的信號123析:題意中出現(xiàn)的數(shù)字是一個(gè)四位數(shù),其限制條件是首位是3~7之間的整數(shù),末位是奇數(shù)的各位數(shù)上數(shù)字均不同.完成四位奇數(shù)必須分二類:①首位是3~7的奇數(shù);②首位是3~7的偶數(shù)例3.在3000到8000之間,有多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)?解:第①類首位選取的數(shù)是3,5,7之一的數(shù)有P3種,此時(shí)末位只能在余下4個(gè)奇數(shù)中選1個(gè)放末位有P4種,在余下8個(gè)數(shù)中選2個(gè)排放在十、百位上有P8種,∴有P3P4P8種;112112

第②類首位選取的數(shù)是4,6之一的數(shù)有P2種,此時(shí)末位是5個(gè)奇數(shù)中選1個(gè)放末位有P5種,在余下8個(gè)數(shù)中選2個(gè)排放在十、百位上有P8種,∴有P2P5P8種;112112∴P3P4P8+P2P5P8=1232個(gè)112112P82P31P41P82P21P51例4.如果從7名運(yùn)動(dòng)員中選4名運(yùn)動(dòng)員組成接力隊(duì),參加4×100接力賽,那么甲、乙兩人不跑中間兩棒的安排方法有多少種?析:按照4名運(yùn)動(dòng)員中,①含甲、乙兩人;②含甲、乙兩人之一;③不含甲、乙兩人進(jìn)行分類解:①含甲、乙兩人,但甲、乙兩人不跑中間兩棒有:P2P5種22②含甲、乙之一,但該人不跑中間兩棒有:P2P2P5種113③不含甲、乙,有:P5種4由加法原理得到:共有P2P5+P2P2P5+P5=400種121234中間兩棒有:P52中間兩棒有:P53③不含甲、乙的有P54①甲、乙跑1、4棒有P22②甲、乙之一跑1、4棒有P2P211例5.用數(shù)字0、1、2、3、4、5可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比240135大的整數(shù)析:按首位數(shù)字:比2大且小于等于5和等于2(再按次首位數(shù)字比4大或等于4分類;…)進(jìn)行大分類;解:1.首位

3的六位數(shù)有:P3P5

15

2.首位=2的六位數(shù)分:2

(1)次首位

5的六位數(shù)有:P1P4

14

(2)次首位=4的六位數(shù)分:4

此時(shí)千位數(shù)字若

1的六位數(shù)有:P3P3

13若=0的六位數(shù)分:021百位數(shù)字若

2的六位數(shù)有:P2P2

1百位數(shù)字若=1的六位數(shù)有:P113由加法原理:P3P5+P1P4+P3P3+P2P2+P1=40714111152析:采用排除法使解決問題的過程簡化∴符合題意的數(shù)有:P3P5+P2P4-1

=4071514◎善于觀察,在24××××中,注意到0135是符合條件的四位數(shù)中最小數(shù),換作其它的數(shù),還是要按前面解法.②首位是2,則第二位是4,5的數(shù)有P2P4=48;142其中要排除240135一個(gè)數(shù),4解:①首位是3,4,5的六位數(shù)都符合題意P31P5515P3P5=360;例5.用數(shù)字0、1、2、3、4、5可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比240135大的整數(shù)例6.將a、b、c、d、e、f六個(gè)不同元素排成一列,其中a不排在首位,b不排在末位,有幾種排法?分析:該問題有2個(gè)特殊元素,同時(shí)有2個(gè)特殊位置,應(yīng)符合優(yōu)先原則,先排.

注意:a不排在首位,a可排在末位,b同理解:①a不在首位,a在末位,有:P55a②a不在首位且a不在末位,則a排放方法有:P4,11再考慮元素b不在末位,有:P4,其余元素的排放方法有:P4

4∴符合題意排法有:P5+P4P4P