集合

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

1、集合與元素

某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集，通常用大寫(xiě)字母A，A，C，?…表

示.集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素，通常用小寫(xiě)字母a,0，c,...表示.

2、集合的分類(lèi)

集合按元素多少可分為：有限集（元素個(gè)數(shù)有限）、無(wú)限集（元素個(gè)數(shù)無(wú)限）、空集（不

含任何元素）；也可按元素的屬性分，如：數(shù)集（元素是數(shù)），點(diǎn)集（元素是點(diǎn)）等.

3、集合中元素的性質(zhì)

對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的元素具有確定性、互異性、無(wú)序性.

4、常用集合符號(hào)

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN?或N_ZQR

5、元素與集合之間的關(guān)系

元素與集合之間用“e”或“任”連接，元素與集合之間是個(gè)體與整體的關(guān)系，不存在

大小或相等關(guān)系.

6、集合與集合之間的關(guān)系

（1）包含關(guān)系：如果對(duì)任意X64，都有A，則稱(chēng)集合A是集合B的子集，記作Au8，

顯然AqA，0工A；

（2）相等關(guān)系：對(duì)于集合人、B，如果同時(shí)43那么稱(chēng)集合A等于集合

B，記作A=8；

（3）真包含關(guān)系：對(duì)于集合人、B，如果八=8,并且Aw"，我們就說(shuō)集合A是集合

B的真子集，記作

（4）空集是任何非空集合的真子集.

7、集合的基本運(yùn)算

（1）交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合8的所有元素組成的集合，稱(chēng)為A與8

的交集，記作8，即=且reB}.

（2）并集：一般地，由所有屬于集合八或?qū)儆诩?的元素組成的集合，稱(chēng)為A與3

的并集,記作AIJ8,即AU3={x|xeA,或.

（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合人，由全集u中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱(chēng)為

集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱(chēng)為集合A的補(bǔ)集，記作即

C，A={x|xeU,Hx￡A}?

8、集合表示方法：列舉法、描述法、Venn圖.

9、集合之間的運(yùn)算性質(zhì)

（1）交集：An〃=《nA，an/qA,A^B^B?A^A=A,4n0=0，

AqBoAflA=A-

（2）并集：A\JB=I3\JA?4U8=A，AU8=B，A\JA=A?A\J0=A，

4三8o4|JA=B-

（3）補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)：Cv（Cb.A）=A，GQ=U，GU=0，人口（。％）=0，

4US）=U?

【解題技巧】

（1）若有限集A中有〃個(gè)元素，則人的子集有2”個(gè)，真子集有2”-1個(gè)，非空子集有

2“一個(gè)，非空真子集有7—2個(gè).

（2）空集是任何集合人的子集，是任何非空集合8的真子集.

（3）Ac8=A0AoD8=AU>4UA.

題型考點(diǎn)一：集合的表示：列舉法、描述法

【方法總結(jié)】

1、列舉法，注意元素互異性和無(wú)序性，列舉法的特點(diǎn)是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

例1.（2023?新疆?校聯(lián)考二模）集合A={—1,0,123,4,5},8={x|x為1~10以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)},

記=M，則（）

A.leMB.2出M

C.3任MD.

【答案】D

【解析】囚為6={人|人為1~10以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)}={2,3,5,7},又A={-1,0,1,2,3,4,5},

則"=4八8={2,3,5},對(duì)比選項(xiàng)可知，1史M.2eM,3wM,4足即D正確，ABC錯(cuò)

誤.

故選：D.

例2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合A={T,0,l},8=同>一］仁4〃?一］壬科，則

集合4中所有元素之和為（）

A.0B.1C.-1D.&

【答案】C

【解析】根據(jù)條件分別令/-1=-1，0』，解得〃?=0,±1,±&,

又〃?—1任A,所以=3=,

所以集合B中所有元素之和是-1,

故選：C.

例3.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合A="|2vx<6,xeN},則集合A的子集的個(gè)

數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】集合4={x|2v_xv6,xeN}={3,4,5},

則集合A的子集有:0,{3},{4},{5},{3.4},{3.5},{4,5},13?4,5},共8個(gè).

所以集合A的子集的個(gè)數(shù)為8.

故選：D

變式1.（2023?廣東茂名?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)集合A={2,4},B={1,2},集合

X

M=<zz=jxwAy￡屏，則M中所有元素之和為（）

）'

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【解析】當(dāng)x=2,y=l時(shí)，Z=2；

當(dāng)x=2,y=2時(shí)，z=l；

當(dāng)x=4,y=l時(shí)，z=4：

當(dāng)x=4,y=2時(shí)，z=2：

所以M={1,2,4},M中所有元素之和為7.

故選：C.

變式2.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知集合人=卜,訓(xùn)，集合

8={小仁N"母-1e4},plijB=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{123}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】VA={X|X2<4}=[-2,2],B={x|x€N*jax-l€A},

.?.8={1,2,3},

故選：C

變式3.(2023?河北?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)41,1)、8(2,-2)可用集

合表示為()

A.{(x,y)|xwl,"l,xw2,)，w-2}

B.{(x,.y)H或(}

y^\[y^-2

C.{(x,y)|[(x-l)2+(y-l)2][(x-2.+(y+21]=0)

D.{(x,j)I[(-V-1)2+(y-1)2]+la-2)2+(y+2)2]0}

【答案】C

【解析】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)41,1)、8(2,-2),其余的點(diǎn)全部在集合中，

A選項(xiàng)中除去的是四條線x=l,y=1,r=2,y=-2；

3選項(xiàng)中除去的是41,1)或除去以2,-2)或者同時(shí)除去兩個(gè)點(diǎn)，共有三種情況，不符合題

息；

。選項(xiàng){(x,y)|[(x-l)2+(y-l)2][*-2)2+()，+2)2]w0},則a-1尸+(丁-1)2Ho且

(X-2)2+(J+2)2^0,即除去兩點(diǎn)A(l,l)、8(2,-2),符合題意；

。選項(xiàng){(%,y)l[(x-1)2+()，-1)。+[*-2)2+()，+2)2]/0},則任意點(diǎn)(兒村都不能

[(x-l)2+(>'-l)2]+[(x-2)2+(y+2)2]=0,即不能同時(shí)排除A,B兩點(diǎn).

故選：c

題型考點(diǎn)二：集合元素的三大特征

【方法總結(jié)】

1、研究集合問(wèn)題，看元素是否滿(mǎn)足集合的特征：確定性、互異性、無(wú)序性.

2、研究?jī)蓚€(gè)或者多個(gè)集合的關(guān)系時(shí)，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的

關(guān)系.

例4.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）集合4=加也。中的三個(gè)元素分別表示某一個(gè)三角形的

三邊長(zhǎng)度，那么這個(gè)三角形一定不是（）

A.等腰三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

【答案】A

【解析】根據(jù)集合中元素的互異性得/WCMHC，

故三角形一定不是等腰三角形.

故選：A.

例5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）定義集合={z|z二孫xtA），e8},設(shè)集合

A=B={T,1,3},則中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】因?yàn)榘?{-1,0/},8={-11,3},

所以A*8={-

故人*8中元素的個(gè)數(shù)為5.

故選：B.

例6.（2023.河南新鄉(xiāng).高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知集合力二{4,筋2），},5={-2,x2J-y）,

若A=B,則實(shí)數(shù)x的取值集合為（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2）

【答案】B

【解析】因?yàn)锳=8,所以一2eA.

當(dāng)工=一2時(shí)，2y=\-yt得y=§；

當(dāng)2y=-2時(shí),則x=2.

故實(shí)數(shù)"勺取值集合為卜2,2}.

故選：B

變式4.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合A={-2,-1,123},

?

^={.yb=log2|x|,xe/A},則集合3元素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】當(dāng)文=±2時(shí)，），=1；

當(dāng)工=±1時(shí)，y=（）；

當(dāng)x=3時(shí)，y=log23.

故集合3共有3個(gè)元素.

故選：B.

變式5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合人={2,-5,34+1,4},8=卜+5,9,1-

若Ac8={4},則實(shí)數(shù)。的取值的集合為（）

A.{1,2,-2}B.{1,2}C.{1,-2}D.{1}

【答案】D

【解析】??.集合4={2,-5,3〃+1,〃},8=卜/+5,9,1-〃,4},

又4c8={4}，3a+1=4或/=4,解得a=1或。=2或。=-2,

當(dāng)〃=1時(shí)，4={2,-5,4,1},"={690,4},AcB={4},符合題意；

當(dāng)〃=2時(shí)，A={2,-5,7,4},B={7,9,-1,4}?Ac8={7,4},不符合題意：

當(dāng)。=-2時(shí)，＞4={2,-5-5,4},5={3,9,3,4},不滿(mǎn)足集合元素的互異性，不符合題意.

.?.“=1,則實(shí)數(shù)，的取值的集合為{1}.

故選：D.

題型考點(diǎn)三：元素與集合間的關(guān)系

【方法總結(jié)】

1、一定要牢記五個(gè)大寫(xiě)字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別.

2、當(dāng)集合用描述法給出時(shí)，一定要注意描述的是點(diǎn)還是數(shù)，是還是.

例7.（2023?貴州黔東南?凱里一中?？既＃┮阎?/p>

S={yly=x2-l},T={（x,），）|x+y=0},下列關(guān)系正確的是（）

A.-2GSB.(2,-2)C.-USD.(-U)€T

【答案】D

【解析】因?yàn)镾={y|y=f—1}=3”一]},

所以A、C錯(cuò)誤，

因?yàn)?+(-2)=0,所以(2,-2)￡丁，所以B錯(cuò)誤，

又7+1=0,所以(Tl)eT,所以D正確，

故選:D.

Q

例8.(2023?新疆?校聯(lián)考二模)集合A=b-->l,xeZ,

x+2

B={x|x為1~10以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)},記Ac6=M,則()

A.1G；WB.2更MC.3&MD.4任M

【答案】D

Q

【解析】由后>1，解得—2vxv6,又xeZ,所以4={-1,0,123,4,5},

而8={2,3,5,7},則A|V={23,5},即"={2,3,5},

對(duì)比選項(xiàng)可知，D正確，而A、B、C錯(cuò)誤.

故選：D.

例9.(2023?河北石家莊?統(tǒng)考模)設(shè)全集〃={2,46,8),若集合用滿(mǎn)足。M={2,8},則

()

A.4cMB.6QMC.41MD.6名歷

【答案】C

【解析】由題意可得：M={4,6},

顯然4是M中的元素，故ABD錯(cuò)誤，C正確.

故選：C

變式6.(2023?河南?開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè))已知八={4*一辦+]<()},若2金人且

3史A,則〃的取值范圍是()

(5}(510]「510)(10'

A.不，+8B.C.D.-00,—

(2)123J[23)13J

【答案】B

【解析】由題意，2?-2a+lv0且32-3〃+1之0,

解得K哼

故選：B

變式7.（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合A={-2,-1,1,3,5},集合

B={M-f+5>0,xeZ},則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.卜2,-1,1}B.{0,3,5}

C.{0,1}D.{0,2}

【答案】D

【解析】因?yàn)?={刈一/+5<0M￡2}={巾—石<%〈有,“￡2}={-2,-1,0,1,2},

易知圖中陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為且不任A}={0,2},選項(xiàng)D正確，

故選：D

變式8.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）給出下列關(guān)系：①;R；②R；@|-3|eN；④

|-3|eQ.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】g是有理數(shù)，8是無(wú)理數(shù)，均為實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；

|-3|=3,為自然數(shù)及有理數(shù)，③④正確.

故選：C.

題型考點(diǎn)四：集合與集合之間的關(guān)系

【方法總結(jié)】

1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.

2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：

（I）定義法進(jìn)行判斷

（2）數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷

例10.（多選題）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若非空集合M.MP滿(mǎn)足：

McN=N、M2P=P,則（）

A.P『MB.M\P=M

C.NuP=PD.McbpN=0

【答案】BC

【解析】由McN=N可得：NqM,由MUP=。，可得Mu。，則推不出尸a”,

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由M=P可得MIP=M,故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)镹=M且所以NqP,則NuP=尸，故選項(xiàng)C正確；

由N=何可得：Mc%N不一定為空集，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：BC.

例11.（多選題）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合A={d-lKxK7},

B={x\a+2<x<2a-]},若使8uA成立的實(shí)數(shù)。的取值集合為M,則M的一個(gè)真子集

可以是（）

A.（-00,41B.（-00,3]C.（3,4]D.[4,5）

【答案】BC

【解析】由題意集合A={.vl-lVx?7},B={x\a+2<x<2a-}},

因?yàn)?=A,所以當(dāng)8=0時(shí)，a+2>2a-\,即a<3；

當(dāng)時(shí)，W-l<a+2<2?-l<7,解得3?aW4,

故M=（YO,4],則M的一個(gè)真子集可以是（F,3]或（3,4],

故選：BC.

例12.（多選題）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合M=N6/_5X+1=O},集合

P={x|av=l）,若McP=P,則實(shí)數(shù)。的取值可能為（）

A.0B.IC.2D.3

【答案】ACD

【解析】由6V—5x+l=0得（2、-1）（3工-1）=0,解得x或x=：,故M

因?yàn)樗訮qM,

當(dāng)尸=0時(shí)，得a=0,滿(mǎn)足題意；

當(dāng)PH0時(shí)，得〃。0,則尸=卜卬x=-

所以廠5或廠屋得〃=2或〃=3；

綜上：〃=0或。=2或。=3.

故選：ACD.

變式9.（多選題）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)Z表示整數(shù)集，且集合

M={〃*〃=5%-2,攵eZ},N={H〃=10Z+8,Z￡Z},貝ij（）

A.MuN=MB.McN=0

C.⑼M）UN=ZD.（則工（ZM

【答案】AD

【解析】???〃=10攵+8=5x2攵+5x2—2=5（2k+2）—2,由AeZ,則2k+2eZ,

即N中元素都是M中元素，有N=M；.

而對(duì)于集合M,當(dāng)〃=1時(shí)，小=3,故3wM,但3EN,:.NUM

由2。何，有MuN=M,A選項(xiàng)正確；McN=N,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由“。"，有（駟）1）（7的，???（》V）UN=Z,（3W）|JNHZ,C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正

確.

故選：AD.

變式10.（多選題）（2023?云南昆明?昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知條件p：

{x|X2+x-6=0},條件q：{x|xm+l=0},且〃是q的必要條件，則用的值可以是（）

A.gB.-C.-工D.0

232

【答案】BCD

【解析】設(shè)A={x|x2+x-6=0}={-3,2},B={x\xm+]=0]i

因?yàn)椤ㄊ莋的必要條件，所以8=A,

當(dāng)B=0時(shí)，由〃次+1=0無(wú)解可得m=0,符合題意；

當(dāng)3H0時(shí)，8={2}或8={-3},當(dāng)8={2}時(shí)，由2/〃-1=0解得〃?=一（，

當(dāng)4={一3}時(shí)，由一3切+1=（）解得〃1=]

綜上，小的取值為0,-1，

故選：BCD

變式11.（多選題）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合

M={x\x=6k+2,kGZ）.N={x|x=6A+5,keZ},P={x\x=3k+2,AcZ},則

（）

A.McN*0B.MuN=PC.M=PD.bpM=N

【答案】BD

【解析】

M={x|x=6.+2,/eZ},N={x\x=6k2+5,k2eZ},P={x\x=3k3+2tk3eZ},

對(duì)A,由6勺+2=6&+5=勺=&+3，等式不成立，故McN=0,A錯(cuò)；

對(duì)BCD,當(dāng)［為奇數(shù)時(shí),可令。=2e+1—+2=6&+5：當(dāng)網(wǎng)為偶數(shù)時(shí),可令

&=2K,l|lij3女3+2=6k\+2.

故MDN=尸，且N=5M,BD對(duì)C錯(cuò)；

故選：BD

變式12.（多選題）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（）

A.0e{O}B.{2}c{l,2）C.D.OeZ

【答案】AC

【解析】A選項(xiàng)由于符號(hào)w用于元素與集合間，0是任何集合的子集，所以應(yīng)為0之{0},

A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)根據(jù)子集的定義可知正確；

C選項(xiàng)由于符號(hào)G用于集合與集合間，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)Z是整數(shù)集，所以O(shè)eZ正確.

故選：AC.

變式13.（多選題）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)4=卜,2-9%+|4=。},

B={x|av-l=0},若4n5=8,則實(shí)數(shù)。的值可以為（）

A.2B.gC.-D.0

27

【答案】BCD

【解析】集合A={X|/-9X+14=0}={2,7},Z?={A|OV-1=0},

又ACB=B,

所以8=4,

當(dāng)4=0時(shí)，8=0,符合題意，

當(dāng)。工0時(shí)，則8=山，所以，=2或，=7,

aaa

解得或〃=；,

綜上所述，4=0或g或;，

故選：BCD

變式14.（多選題）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合4=卜€(wěn)如2-318<0},

B=^GR|x2+ar+?2-27<0},則下列命題中正確的是（）

A.若4:3,貝3=-3B.若八貝3二-3

C.若8=0,則或D.若"UA時(shí)，則-6<。4一3或

【答案】ABC

【解析】A={xeR|-3<A<6|,若A=8,貝1」々=一3,且/-27=78,故A正確.

。=—3時(shí)，A=8,故D不正確.

若A=8,KiJ（-3）2+?.（-3）+a2-27<0JgL62+6f/+a2-27<0，解得a=-3,故B正確.

當(dāng)3=0時(shí)，?2-4（?2-27）<0,解得aK-6或心6,故C正確.

故選：ABC.

變式15.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合4={-1,1.3},B={G+20,3=A,則

實(shí)數(shù)。的值是

【答案】1

【解析】因?yàn)樵?{-113},8={6+2,〃},日

所以yfci+2w4,aeA,

因?yàn)镚+222,a>0,

所以G+2=3,解得a=l.

當(dāng)a=l時(shí)，8={1,3},滿(mǎn)足要求.

所以a=l.

故答案為：1.

變式16.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合加=卜,+..6=0},N={M〃“-1=0},

若NqM,則實(shí)數(shù)團(tuán)的取值構(gòu)成的集合為.

【答案”嶺T

【解析】???集合M={#:+1一6=0},

???集合M={2,—3},

,:NjM,N={x|/nxT=O},

:.N=0,或%={2},或"={—3}三種情況，

當(dāng)N=0時(shí)，可得機(jī)=0：

當(dāng)汽={2}時(shí)，VN—1=0|,x=—=2,.?.〃?=g；

當(dāng)汽={-3},x=—=-3,m=--；

m3

，實(shí)數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為

故答案為:

題型考點(diǎn)五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算

【方法總結(jié)】

1、注意交集與并集之間的關(guān)系

2、全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個(gè)概念

例13.(2023?安徽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知集合

4={x|b?(x-2)<0},B={x|5-2x)0),則ADB=()

A.7120yl.B.-x||<x<3-C.-A|1<A<1?D.{x|l<x<2}

【答案】A

【解析】由題意得，ln(x-2)<0=>2<x<3,5-2x>0=>x<|,

所以A={x[2<r<3},fi=[x|x<1),

所以Ac8={x|2vxv』}.

故選：A.

例14.(2023?寧夏銀川?銀川一中?？级?已知集合同={工|-1W3},

8=卜y=ln(4-,則入4=()

A.(-<?,-1]D[2,+00)B.[—1,2)

C.[-1,3]D.(-2,3]

【答案】D

【解析】由題意可得：4—￡>0n8=(—2,2)nA|J8=(—2,3]

故選：D

例15.(2023?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末)已知U=R,集合A={-3,-1,0,1,3},

B={x||x-l|>l},則AI%B=()

A.{-1,0,1}B.{-3,3}C.{-3,-1,3}D.10,l|

【答案】D

【解析】因?yàn)?={琲”41}="|工<0或1>2},

所以電刀="|0W2},又4={-3,-1,0,1,3}

所以41^5={0,1}.

故選：D.

變式17.(2023?江西吉安,統(tǒng)考一模)已知全集。=氏設(shè)集合

A={Rlog2(x+2)?l},8=?x-vl「則(4A)U8=()

A.3-2〈工<0}B.{中4-2或不>1}

C.{小<-2或x>。}D.{小工。}

【答案】D

【解析】由不等式log2(x+2)41n0vx+2W2,

解得A={x[—2<x<。},

???a，A={4rW-2或x>0}；

由不等式上<1=>=<0,

xx

解得6=卜,<0或x>l},

?，?向人)口4={小工()}.

故選:D.

變式18.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考二模)設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},41，4={1,3},

4(AUB)={2,4},則集合8為()

A.{1,3,5,67,8}B.{2,4,567,8}

C.{5,6,7,8}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】因?yàn)槿玣feU={123,456,7,8},

由4(4J8)={2,4}知,2任8,4m

由41。/={1,3}知，1任8,3任8,

則集合A={5.6,7,8},

故選：C.

變式19.（2023?貴州?校聯(lián)考二模）已知全集〃=1<,集合A={疝og2XK2},

8={Hvxv5},則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{x|x<5}B.{x|0<x<1}C.{x|x<4}D.{x|l<x<5|

【答案】B

【解析】由圖可得，圖中羽影部分表示的集合為（Q；8）nA,

因?yàn)閘og2X42=log24,所以A={x|0<xW4},

囚為8={知〈人〈5},所以j3={八卜5或大之5},

所以@rB）cA={H0<xG}.

故選：B.

變式20.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）我們把含有有限個(gè)元素的集合A叫做有限集，用

card（4）表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù).例如，A={a,b,c},則card（A）=3.容斥原理告訴我

們，如果被計(jì)數(shù)的事物有AH三類(lèi)，那么，card（AU?UC）=

ciirdA+card8+cardC-c<uil（Ap|B）-card（BnC）-ctird（40。）+以面（408口。）.某校初一四

班學(xué)生46人，寒假參加體育訓(xùn)練，其中足球隊(duì)25人，排球隊(duì)22人，游泳隊(duì)24人，足球

排球都參加的有12人，足球游泳都參加的有9人，排球游泳都參加的有8人，問(wèn)：三項(xiàng)都

參加的有多少人？（教材閱讀與思考改編）（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】設(shè)集合AG參加足球隊(duì)的學(xué)生）,

集合3=｛參加排球隊(duì)的學(xué)生）,

集合C=｛參加游泳隊(duì)的學(xué)生｝,

則card（/A）=25,card（B）=22,card（C）=24,

card（Ap|3）=12,card（8RC）=8,card（An。）=9

設(shè)三項(xiàng)都參加的有x人，即card（An8nC）=x，card（/UB|JC）=46,

所以由card（4U2UC）=

CiirdA+cardB+cardC-card（A口區(qū)）一card（8。一card（Ap]C）+card（AQBQC）

即46=25+22+24-12-8-9+x,

解得x=4,

三項(xiàng)都參加的有4人，

故選：C.

變式21.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，/為全集，M、P、S是/的三個(gè)子集，則陰

影部分所表示的集合是（）

R.(AYDnUS

C.(McP)cSD.(McP)uS

【答案】C

【解析】由Venn圖可得，集合表示M,P的交集與S的補(bǔ)集的交集，即（McP）cX.

故選：C

題型考點(diǎn)六：集合與排列組合的密切結(jié)合

【方法總結(jié)】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個(gè)數(shù)的問(wèn)題，需要運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的思

想方法

例16,(2023?全國(guó)?百三專(zhuān)題練習(xí))已知集合X={1,2,3},設(shè)

S.={(a/)la整除b或b整除a，asX，beYtl},令/(〃)表示集合S“所含元素

的個(gè)數(shù)，則“2022)=.

【答案】3709

【解析】“2022)表示集合&必所含元素的個(gè)數(shù)，

其中々￡{1,2,3},^€{1,2,3,...,2022},

b整除〃的有(1,1),(2J),(3,1),(2,2),(3,3)共5個(gè).

。整除。的：

(1)1整除6的有2022個(gè)；

(2)2整除方的有20華2^=1011個(gè)；

2

(3)3整除〃的有2三02二2二674個(gè).

重復(fù)的有(1,1),僅2M3,3)共3個(gè).

所以“2022)=5+2022+1011+674-3=3035+674=3709.

故答案為：3709

例17.(2023?上海?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)非空集合QqM,當(dāng)。中所有元素和為偶數(shù)時(shí)(集合

為單元素時(shí)和為元素本身)，稱(chēng)。是M的偶子集，若集合M={123,4,5,6.7},則其偶子集

Q的個(gè)數(shù)為.

【答案】63

【解析】集合Q中只有2個(gè)奇數(shù)時(shí)，則集合。的可能情況為：{L3}、{1,5}、{1,7}、

{3,5}、{3,7}、{5,7},共6種,

若集合。中只有4個(gè)奇數(shù)時(shí)，則集合Q={1,3,5,7},只有一種情況，

若集合。中只含1個(gè)偶數(shù)，共3種情況；

若集合。中只含2個(gè)偶數(shù)，則集合?？赡艿那闆r為{2,4}、{2,6}、{4,6},共3種情況；

若集合。中只含3個(gè)偶數(shù)，則集合Q={2,4,6},只有1種情況.

因?yàn)?。是M的偶子集，分以下幾種情況討論：

若集合Q中的元素全為偶數(shù)，則滿(mǎn)足條件的集合。的個(gè)數(shù)為7；

若集合。中的元素全為奇數(shù)，則奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，共7種；

若集合。中的元素是2個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù)，共6x3=18種：

若集合Q中的元素為2個(gè)奇數(shù)2個(gè)偶數(shù)，共6x3=18種；

若集合。中的元素為2個(gè)奇數(shù)3個(gè)偶數(shù)，共6x1=6種；

若集合。中的元素為4個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù)，共1x3=3種；

若集合。中的元素為4個(gè)奇數(shù)2個(gè)偶數(shù)，共1x3=3種：

若集合。中的元素為4個(gè)奇數(shù)3個(gè)偶數(shù)，共1種.

綜上所述，滿(mǎn)足條件的集合。的個(gè)數(shù)為7+7+18+18+6+3+3+1=63.

故答案為：63.

例18.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))對(duì)任何有限集5,記p(S)為S的子集個(gè)數(shù).設(shè)/=

{1,2,3,4},則對(duì)所有滿(mǎn)足的有序集合對(duì)(A,B),p(A)p(B)的和為一

【答案】2401

【解析】當(dāng)8為〃(0。￡4)元集時(shí)，則〃(5)=2n,且8集合的個(gè)數(shù)為

又AUB

則①A為〃元集時(shí)，則p(A)=2〃且A的個(gè)數(shù)為C：

②A為〃-1元集時(shí)，則p(A)=2〃"且A的個(gè)數(shù)為CT

以此類(lèi)推

③人為。元集時(shí)，p(A)=2。且A的個(gè)數(shù)為

則〃(A)p(B)=C；2n(C^2°+C；2,+...+C：2w)

=C；2"(l+2)n

=C：6"

當(dāng)〃依次取0,1,2,3,4時(shí)

p(A)p(B)的和為C：6°+C：6+…+C：6'=2041

故答案為：2401.

變式22.(2023?高三課時(shí)練習(xí))從集合例={1,2,3,…』0}選出5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5

個(gè)數(shù)的任兩個(gè)數(shù)之和都不等于11，則這樣的子集有個(gè).

【答案】32個(gè)；

【解析】集合{12…,10}中和是11的有:

1+10,2+9,3+8,4+7,5+6,

選出5個(gè)不同的數(shù)組成子集，就是從這5組中分別取一個(gè)數(shù)，而每組的取法有2種，

所以這樣的子集有：

2x2x2x2x2=32

故這樣的子集有32個(gè)

故答案為：32

題型考點(diǎn)七：集合的創(chuàng)新定義

【方法總結(jié)】

1、集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意.讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識(shí)，一般情況下，它所涉

及到的知識(shí)和方法并不難，難在轉(zhuǎn)化.

2、集合的創(chuàng)新定義題,主要是在題干中定義“新的概念,新的計(jì)算公式，新的運(yùn)算法則，

新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)為了有助于理解，還可以用類(lèi)比的方法進(jìn)

行理解.

例19.（2023?湖南長(zhǎng)沙?高三校聯(lián)考期中）若一個(gè)非空數(shù)集廠滿(mǎn)足：對(duì)任意。力€/，有

a+b,a-b,abcF,且當(dāng)〃工0時(shí)，有「F,則稱(chēng)/為一個(gè)數(shù)域，以下命題中：

b

（1）0是任何數(shù)域的元素；（2）若數(shù)域/有非零元素，則2021G廠；

（3）集合尸={x|x=3AMwZ}為數(shù)域；（4）有理數(shù)集為數(shù)域：

真命題的個(gè)數(shù)為

【答案】3

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，。-6=0屬于數(shù)域，故（I）正確，

（2）若數(shù)域尸有非零元素，則［=

b

從而l+l=2eF,2+lwE…,2020+1=202"〃，故（2）正確；

（3）由集合尸的表示可知得x是3的倍數(shù)，當(dāng)"6/=3時(shí)，?=。=2紀(jì)P,故（3）錯(cuò)

b3

誤，

（4）若尸是有理數(shù)集，則當(dāng)“，beF,則〃+〃，a-b,absF,且當(dāng)時(shí)，feb”

b

都成立，故（4）正確，

故真命題的個(gè)數(shù)是3.

故答案為：3

例20.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于非空集合

A=｛q,%%?.?M〃｝（qN0,i=123,???〃）,其所有元素的幾何平均數(shù)記為E（A）,即

E（A）=M%??…4.若非空數(shù)集〃滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①8A；②E（8）=E（A）,則

稱(chēng)〃為A的一個(gè)“保均值真子集”，據(jù)此，集合｛124,8,16｝的“保均值真子集”有一個(gè).

【答案】6

【解析】因?yàn)榧螦=｛1,2,4,8,16｝,則E（4）=%x2x4x8xl6=4,

所以,集合｛124,8,16｝的“保均值真子集，，有:｛4｝、｛1,16｝、｛2,8｝、｛1,4,16｝、

｛2,4,8｝,｛1,2,8,16｝,共6個(gè).

故答案為：6.

例21.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）非空集合G關(guān)于運(yùn)算十滿(mǎn)足：（1）對(duì)任意a、blG,都

有。十匕eG；（2）存在eeG,使得對(duì)一切aeG,都有。十e=e十“=〃，則稱(chēng)G關(guān)于運(yùn)算

十為“融洽集現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：

①弓二｛非負(fù)整數(shù)｝,十為整數(shù)的加法；

②G=｛偶數(shù)｝,十為整數(shù)的乘法：

③G=（平面向量）,畬為平面向量的加法;

④G=｛二次三項(xiàng)式｝,十為多項(xiàng)式的加法；

⑤仃=｛虛數(shù)｝,十為復(fù)數(shù)的乘法

其中G關(guān)于運(yùn)算十為“融洽集”的是_____________.（寫(xiě)出所有“融洽集”的序號(hào)）

【答案】①③

【解析】對(duì)于①，G=｛非負(fù)整數(shù)｝,?為整數(shù)的加法；當(dāng)。，〃都為非負(fù)整數(shù)時(shí)，4，b通

過(guò)加法運(yùn)算還是非負(fù)整數(shù)，且存在一整數(shù)OeG有0+。=。+0=。，所以①為“融洽集”；

對(duì)于②，G=｛偶數(shù)｝,十為整數(shù)的乘法，由于任意兩個(gè)偶數(shù)的積仍是偶數(shù)，故滿(mǎn)足條件

（1）,但不存在偶數(shù)外使得一個(gè)偶數(shù)與。的積仍是此偶數(shù)，故不滿(mǎn)足條件（2）,故不滿(mǎn)足“融洽

集”的定義；

對(duì)于③，G=｛平面向量｝,十為平面向量的加法；若2,7；為平面向量，兩平面向量相加仍

然為平面向量，且存在零向量通過(guò)向量加法滿(mǎn)足條件（2）；所以③為“融洽集”；

對(duì)于④，G=（二次三項(xiàng)式｝,十為多項(xiàng)式的加法；由于兩個(gè)二次三項(xiàng)式的和不一定是二次

三項(xiàng)式，如o?+"+c與-?2—次+c的和為2。，不滿(mǎn)足條件（1）,故不滿(mǎn)足“融洽集”的定

義；

對(duì)于⑤，G=（虛數(shù)｝,十為復(fù)數(shù)的乘法；兩個(gè)虛數(shù)相乘得到的可能不是虛數(shù)，例如：

ii=-l，故不滿(mǎn)足“融洽集”的定義；

故答案為：①③

變式23.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)集合AqR,如果滿(mǎn)足：對(duì)任意。>0,都存

在xeA,使得。<門(mén)-不|<。，那么稱(chēng)方為集合A的聚點(diǎn)，則下列集合中：

⑴Z+DZ、⑵R'u/r；(4){-\neN*}.

n+\n

以0為聚點(diǎn)的集合有(寫(xiě)出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào))

【答案】(2)(4)【解析】對(duì)于(1)：當(dāng)。=1時(shí)，0<U-0|vlo-l〈xv0或Ovx<l,

顯然{x|T<xvO或0c<1}C(Z+UZD=0,

即不存在xe(Z+S),使得OVx-OKL故⑴錯(cuò)誤;

對(duì)于⑵：：0<k-0|<〃0-4<工<0或0<x<〃，

此時(shí)令{x|-a〈x<?；?<x<a}q(R+uR),

故對(duì)任意。〉0,都存在XC(R+DR),使得0<卜-0k。成立，故Q)正確;

對(duì)于⑶：因?yàn)闊?/p>

所以當(dāng)°=，時(shí)，0<|x-0|<—<=>―-<x<0^0<x<—,

211222

此時(shí){xI--<x<0sg0<J<—}C{—^―\neN*}=0,

22〃+1

即不存在“?{yi/zcN.},使得0<U—0|<!，故(3)錯(cuò)誤；

〃+12

對(duì)于(4)：V0<|x-0|<?<=>-?<x<Owg()<.r<?,

故當(dāng)_L<a時(shí)，即〃_時(shí)，總有_Le"|—a<xvO或Ovxv。},故(4)正確.

nan

故答案為；(2)(4).

變式24.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))給定數(shù)集M,若對(duì)于任意。、bwM,有

。+b?M,且則稱(chēng)集合M為閉集合，則下列所有正確命題的序號(hào)是

①集合M={-2,-1,0,1,2}是閉集合;

②正整數(shù)集是閉集合；

③集合M={n\n=3k,keZ)是閉集合；

④若集合A、4為閉集合，則為閉集合.

【答案】③

【解析】對(duì)于①，-2+（-1）=-3,—3/M,所以錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)檎麛?shù)減正整數(shù)可能不為正整數(shù)，所以錯(cuò)誤，

對(duì)于③，當(dāng)"={川〃=3A,2eZ}時(shí)，設(shè)4=3人切=3七人/2€2,

則。+。=3依+內(nèi)卜”,〃-6=3優(yōu)一向）€”,所以集合M是閉集合，所以正確；

對(duì)于④，設(shè)A=?=3A,MeZ},A?={川〃=24,&eZ},

由③可知，集合44為閉集合，2,3e（AuA）,而（2+3）定（AD4）,故不為閉

集合，所以錯(cuò)誤.

故答案為：③.

變式25.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為〃的所有整數(shù)組成一

個(gè)“類(lèi)”，記為四，即因={4〃+?〃GZ}/=0,123.給加下列四個(gè)結(jié)論.

①2021川；②一1?小③Z=[0]31]32]U[3]；④“整數(shù)。力屬于同一“類(lèi)的充要條件

是“〃-〃￡網(wǎng)”.

其中正確的結(jié)論是__________（填所有正確的結(jié)論的序號(hào)）.

【答案】①③④

【解析】對(duì)于①，?.?2021=4x505+1,則2021e[l],①正確；

對(duì)于②，???T=4x（T）+3,則Te[3],②不正確；

對(duì)于③，???任意整數(shù)除以4,余數(shù)可以且只可以是012,3四類(lèi)，

則Z=[0]31]32]33]，③正確；

對(duì)于④，若整數(shù)〃屬于同一“類(lèi)”，

則整數(shù)。、人被4除的余數(shù)相同，可設(shè)。=4々+左，》=4〃2+”,其中〃-々eZ,

&c{0J2,3},

則-%），故。-八網(wǎng),

若4一。?0],不妨令〃=4〃]+4力=4丐+&（〃1,丐cZ&ee{0,1,2,3}）,

則a_Z?=4（/一應(yīng)）+（《一B），

顯然〃「均￡乙％-&|w{0J2,3},于是得--可=0,.??匕=右，即整數(shù)〃力屬于同一

“類(lèi)。

???“整數(shù)〃力屬于同一“類(lèi)””的充要條件是④正確.

???正確的結(jié)論是①③④.

故答案為：①③④.

【鞏固提升】

一、單選題

1.(2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)集合4={(謖)的￡心/可，

3={(xj)k+y=8},則集合4cB中元素的個(gè)數(shù)為()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】因?yàn)榧螦={(x,)，),,)，￡N'jNx},B={(x,y)|x+y=8),

所以集合AcB中元素為(4,4),(3,5),(2,6),(1,7)，共4人.

故選：C

2.(2023?陜西榆林?統(tǒng)考三模)已知集合人={川0。<16}淖={)，|-4<4)，<16},則

AuB=()

A.(-1,16)B.(0,4)C.(-1,4)D.(-4,16)

【答案】A

【解析】因?yàn)锳=(0/6),B=(—l,4),所以AU8=(-1/6).

故選:A.

3.(2023?新疆喀什?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知集合從={-2,-31,0,1},B={^\x>0}t則

AC|8二()

A.{-1,1}B.{-1,0}C.{1}D.{0,1}

【答案】D

【解析】由人={一2,-3,-1.0,1},5={小20}知AC|8={0,l}.

故選：D

2

4.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知集合5=卜|5=2〃+1,”2},T={x|x-x-6<0}t

則snr的子集的個(gè)數(shù)是'：)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因?yàn)闋t-”-6v0,所以-2Vx<3,

即7={A]一2<4<3},S={s|s=2〃+l,〃eZ},

所以sn7={-l/},所以sn7的子集個(gè)數(shù)為2?=4.

故選：D

5.(2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考二模)己知全集^=口|-3V,《3),集合

2

A={x\x+x-2<0}t則Q/=()

A.(-2,1]B.(-3,-2]o[l,3)C.[-2.1)D.(-3,-l)U(l，3)

【答案】B

2

【解析】A={x\x+x-2<0]={x\-2<x<\}f則64=(-3,-2]。[1,3).

故選：B

6.(2023?陜西寶雞?統(tǒng)考三模)已知集合4={?)，)k+產(chǎn)5},集合

B={(x,y)|x-y=-l},貝!等于()

A.{2,3}B.{(2,3)}C.{x=2,y=3}.D.(2,3)

【答案】B

x+y=5[x=2

【解析】由J解得、，

因?yàn)榧?={(工,力k+》=5},集合8={(乂)，),一)，=一1},

所以An8={(2,3)}.

故選：B

7.(2023?山東荷澤?統(tǒng)考二模)已知全集〃=次|X“