期中解答題(40題)(第2L24章)

一.解答題

1.(2025春?肥城市期中)按要求解下列方程：

(1)4x2-8x4-1=0(用配方法)；

(2)(x-1)2-3(x-1)-10=0(自己喜歡的方法)

【答案】—

(2)X|=6,X2=-1-

【解答】解：(1)4x2-8x+l=0,

.1

，2*=一3

、1、3

x2-2Y+1=-了+1，BP(x-1)2=

44

.V3

??x?1=ii，

??X]=1+—,X2=l——；

乙乙

(2)(x-1)2-3(x-I)-10=0,

(x-I-5)(x-1+2)=0,即(x-6)(x+1)=0,

.*.x-6=0或工+1=0,

/?Xj~6>%2=-

2.(2025春?杭州校級(jí)期中)解方程:

(1)x2^-1=0；

(2)(3x+l)2=2(3x+l).

【答案】（1）力=-2+右，功=-2一遍;

11

（2）=一鼻，%2=7-

【解答】解：（I）.r2+4.r-1=0,

AA=42-4xjx(-1)=20,

_-4±V20

.,.x=-2±V5,

2x1

**.Xy=-2+V5?x，2——2—丫5；

(2)(3A-+1)2=2(3x+l),

???(3x+l)2-2(3x+l)=0,

???(3x+l)(3x+l-2)=0,

/.3x+l=0,3x+l-2=0,

11

解得：X1=-T,X=--

J2J

3.(2025秋?銀川校級(jí)期中)解方程：

(1)3x(x-1)=2x-2：

(2)3/-4/1=0；

(3)x2-4x+l=0(配方法).

2

【答案】(1)%i=X2=1;

1

(2)Xi=x=l;

o2

(3)Xi=2+V3,x2=2—

【解答】解：(I)3x(x-1)=2A-2,

(x-1)-2(A--1)=0,

(3x-2)(x-1)=0,

3x-2=0或x-1=0,

2

.'Xi=-,x2=l;

(2)3X2-4X+1=0,

(3x7)(x-1)=0,

3x-1=0s^x-1=0,

1

?*.^i=T?x2=l：

(3)/-4x+l=0,

.V2-4x=-1，

.v2-4x+4=-1+4,

Cx-2)2=3,

???x-2=VI或x-2=-V5,

/.Xi=2+V3,%2=2—V3.

4.(2025春?蜀山區(qū)校級(jí)期中)已知：關(guān)于x的方程〃?F+(w-3)x-3=0(〃靖0).

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：

（2）如果/〃為正整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為整數(shù)，求〃?的侑.

2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：???陽(yáng)翔，

，方程/〃，+(w-3)x-3=0(〃#0)是關(guān)于x的一元二次方程,

(〃？-3)2-4w(-3)

=(〃?+3)2,

V5+3)2>0,即△K),

，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

⑵解：—(m—3)+一(m+3)1

3

Xi=—,X2--1，

m

???〃?為正整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為整數(shù),

m=\或3.

5.(2025春?拱里區(qū)期中)如果關(guān)于x的一元二次方程“『+瓜+c=0(訪第)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且其

中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“2倍根方程”.

(1)若一元二次方程x2-6x+c=0是“2倍根方程”，求出c的值.

(2)若(x?3)(雙?6)=0(存0)是“2倍根方程”，求代數(shù)式匡孕的值.

Na-b

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)設(shè)方程的兩根分別為，，2/,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得f+2f=6,，?2f=c,

解得t=2,

所以c=2x4=8,

即c的值為8；

(2)(x-3)(ax-b)=0,

解得勺=3,X2=g，

當(dāng),=2乂3,即b=6a時(shí)，原式=戶0一；2。=，二；

a\a-6a5

當(dāng)2=；X3,即6=/時(shí)，原式二|3a-3￡=0

a2

2Ja-\a

6.(2025春?瑞安市期中)電影《哪吒之魔童鬧?！窡嵊澈螅倪概c敖丙的聯(lián)名玩偶深受歡迎.某網(wǎng)購(gòu)平

臺(tái)商家3月4日銷售玩偶共2(X)個(gè)，5日、6日銷售量持續(xù)增長(zhǎng)，6日銷量達(dá)到338個(gè).

3

（1）求3月5日、6日這兩天玩偶銷售量的日平均增長(zhǎng)率.

（2）為慶?！赌倪?》全球票房大賣，商家決定做優(yōu)惠活動(dòng).已知玩偶每個(gè)成本30元，售價(jià)為每個(gè)50

元時(shí)，口銷量可達(dá)320個(gè)；每降價(jià)1元，口銷量可增加5個(gè).當(dāng)每個(gè)玩偶降價(jià)多少元時(shí)，當(dāng)口總利潤(rùn)可

達(dá)到5940元？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)3月5日、6日這兩天玩偶銷售量的日平均增長(zhǎng)率為x,

由題意得：200（1+x）2=338,

解得：X[=0.3=30%,.0=-2.3（不符合題意，舍去），

答：3月5日、6日這兩天玩偶銷售量的日平均增長(zhǎng)率為30%：

（2）設(shè)每個(gè)玩偶降價(jià)y元，

由題意得：（5（）-廠3（））（32（）+5y）=5940,

整理得：JA44V-92=0.

解得：川=2,以=?46（,不符合題意，舍去），

答：每個(gè)玩偶降價(jià)2元時(shí)，當(dāng)日總利潤(rùn)可達(dá)到5940元.

7.（2025春?金安區(qū)校級(jí)期中）隨著貿(mào)州旅游業(yè)的高速發(fā)展，讓越來(lái)越多的人看見了貴州的天好山河.暑

期來(lái)臨，兩隊(duì)?wèi)敉馔讲铰稜I(yíng)愛好者計(jì)劃同?天從貴陽(yáng)市出發(fā)，沿兩條不同的路線徒步游完烏蒙山周邊自

然景觀，最后在九龍鎮(zhèn)匯合.甲隊(duì)走力路線，全程120千米；乙隊(duì)走4路線，全程160千米.由于力路

線的路況沒(méi)有8路線好，甲隊(duì)每天行駛的路程是乙隊(duì)每天行駛路程的看最終甲隊(duì)比乙隊(duì)晚2天到達(dá)九

龍鎮(zhèn).

（1）求甲、乙兩隊(duì)分別計(jì)劃多少天到達(dá)目的地：

（2）在他們的活動(dòng)計(jì)劃中，乙隊(duì)每人每天的平均花費(fèi)都為135元.甲隊(duì)最開始計(jì)劃有8個(gè)人同行，計(jì)劃

每人每天花費(fèi)300元，后來(lái)又有〃?個(gè)人加入隊(duì)伍，經(jīng)過(guò)計(jì)算，甲隊(duì)每增加1人時(shí)，每人每天的平均花費(fèi)

將減少30元.若最終甲、乙兩隊(duì)一起旅行的人數(shù)相同，且旅行天數(shù)與各自原計(jì)劃天數(shù)一致.兩隊(duì)共需花

費(fèi)17640元,求加的值.

【答案】（1）甲隊(duì)計(jì)劃6天到達(dá)目的地，則乙隊(duì)計(jì)劃4天到達(dá)目的地：

（2）777=6.

【解答】解：（1）設(shè)甲隊(duì)計(jì)劃X天到達(dá)目的地，由題意得：

1201160

---=—?----,

x2x-2"

解得x=6,

4

經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解，且符合題意，

/.x-2=4,

答：甲隊(duì)計(jì)劃6天到達(dá)目的地，則乙隊(duì)計(jì)劃4天到達(dá)目的地：

（2）由題意得，135x4（〃?+8）+6（300-30/n）（m+8）=17640,

解得〃?=6或/〃=-1（舍去）.

8.（2025春?諸暨市期中）某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國(guó)空間站”模型.已知該模

型平均每天售出20個(gè)，每個(gè)盈利40元.為了擴(kuò)大銷售，該網(wǎng)店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間測(cè)算，每

個(gè)模型每降低1元，平均每天可以多售出2個(gè).

（1）若每個(gè)模型降價(jià)4元，平均每天可以售出多少個(gè)模型？此時(shí)每天獲利多少元？

（2）在每個(gè)模型盈利不少于25元的前提下，要使“中國(guó)空間站”模型每天獲利120（）元，每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)

多少元？

【答案】（1）28,1008元：

（2）10元.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：20+2x4=28（個(gè)），

（40-4）x28

=36x28

=1008（元）.

答：若每個(gè)模型降價(jià)4元，平均每天可以售出28個(gè)模型，每天獲利1008元；

（2）設(shè)每個(gè)模型降價(jià)x元，則每個(gè)模型可盈利（40-x）元，平均每天可售出（20+2.V）個(gè)，

根據(jù)題意得：（40-x）（20+2x）=1200,

整理得：x2-30.v+200=0,

解得：的=10,工2=20，

又???每個(gè)模型盈利不少于25元，

/?x—10.

答：每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)10元.

9.（2025春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，商場(chǎng)為了在中秋節(jié)和國(guó)慶節(jié)期間擴(kuò)大

銷量，將售價(jià)從原來(lái)的每千克40元經(jīng)兩次調(diào)價(jià)后調(diào)至每千克32.4元.

（1）若該商場(chǎng)兩次調(diào)價(jià)的降價(jià)率相同，求這個(gè)降價(jià)率；

（2）現(xiàn)在假期結(jié)束了，商場(chǎng)準(zhǔn)備適當(dāng)漲價(jià)，如果現(xiàn)在每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)

調(diào)杳發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨不變的情況F,若每千克漲價(jià)1元，日銷量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利

5

6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)這個(gè)降價(jià)率為X，

依題意，得：40（1-X）2=32.4,

解得:X]=0.1=10%,-2=19（舍去）.

答：這個(gè)降價(jià)率為10%.

（2）設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)y元，則每天可售出（500-20），）千克，

依題意，得：（10+），）（500-20v）=6000,

整理，得：產(chǎn)-15八50=0,

解得：71=10,-2=5.

??,要使顧客得到實(shí)惠，

???尸5.

答：每千克應(yīng)漲價(jià)5元.

10.（2025春?杭州校級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程W-（女+2）x+2A=0.

（1）求證：上取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若斜邊長(zhǎng)。=3,另兩邊長(zhǎng)江。恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求A48。的周長(zhǎng).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】（1）證明：（K2）2-詼=（A-2）2>0,

則々取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：???Rt△43C斜邊長(zhǎng)。=3,另兩邊長(zhǎng)江c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，

:.a2=b~+c2,

則9=（b+c）2-2bc,

9=（k+2）2-2x2）1,

解得：k=±Vs,

由b+e=2+A=2+通（不可能取負(fù)數(shù)），

故4ABC的周長(zhǎng)C=5+V5.

11.（2025春?包河區(qū)校級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下列材料：

已知方程/+x-3=0,求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設(shè)所求方程的根為y,則j=2x,所以x

6

把x"代入已知方程，得（務(wù)+；3=0.

化簡(jiǎn)，得爐+2y-12=0,故所求方程為爐+2y-12=0,

這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法

（1）已知方程/儀-2=0,求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為:

u12―7-2=0；

（2）已知方程2爐-7/3=0,求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)：

（3）已知關(guān)于x的一元二次方程。了+6什c=0（存0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為3,-2,求一元二次方程砂2?

C2a-b）y+a-b+c=0的兩根.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解.：（1）設(shè)所求方程的根是乃則卜=?＞，所以x=-y,

把x=-y代入F+x-2=0,

得產(chǎn)~y~2=0，

故答案為:y2~y~2=0；

（2）設(shè)所求方程的根是乃則y=±

X

所以x=F，

1

把代入方程入2?7"3=0,得

11

2（-）2-7--+3=0,

化簡(jiǎn)，得3爐-7盧2=（）；

（3）一元二次方程整理后可得：a（y-1）2+bCy-\）+c=0,

?.?令y-]=X,

^.y=x+\?

則方程a（y-1）2+b（），?1）+c=0的兩根比ax2+bx+c=0（。/））兩根大h

所以方程。（y-1）2+/,（y?]）+c=o的兩根分別是4、-1.

12.（2025春?張店區(qū)校級(jí)期中）己知內(nèi)，刈是關(guān)于x的一元二次方程（〃?+2）『+2（m-2）x+〃?+10=0的

兩實(shí)數(shù)根.

（1）求〃?的取值范圍；

（2）已知等腰△力8c的底邊BC=4,若修，町恰好是△力8C另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

（3）閱讀材料：若三邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,那么可以根據(jù)秦九韶■海倫公式可得：S&M=

7

.___________________a+b+c

Jp(p—a)(p—Z?)(p—c),其中p=—~—,在(2)的條件下，若N8/C和N/3。的角平分線交于點(diǎn)

乙

!,根據(jù)以上信息，求△8/C的面積.

C

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解?：(1)由題意得：△=房?4。。=[2(/?-2)]2-4(加+2)(w+10)>0,且加+2翔,

化簡(jiǎn)得:64TM<-64,

解得:m<-1且m*-2；

(2)由題意知：為，*恰好是等腰△力的腰長(zhǎng)，

?___

?.X]-X2?

?；孫，X2是關(guān)于x的一元二次方程(m+2)/+2(/?-2)x+〃?+10=0的兩實(shí)數(shù)根,

：,^=b2-4ac=[2(w-2)]2-4(m+2)(w+10)=0,

解得m=-1,

Ax2-6x+9=0,

解得勺=32=3,

V5C=4,

???△48C的周長(zhǎng)為：3+3+4=10；

(3)由(2)知：△ABC的三邊長(zhǎng)為3,3,4,

3+3+4

-P=~-=5,

:?S△ABC~dP(P—Q)(P—5)(P—c)=J5x(5—3)x(5—3)x(5-4)=2V5>

過(guò)/分別作〃?,力臺(tái)，ID1BC,/E_L/C,垂足分別為ED,E,

???/是△48C角平分線的交點(diǎn),

11111L

：?跖，=2AB7F+2BC」D+-AC-IE=-ID-(AB+BC-AC)=-/Dx(34-3+4)=SID=2瓜

解得ID=半，

112A/54A/5

:.S"ic=-BCID=-x4x-^-=拳

13.(2025春謙州市期中)已知關(guān)于x的一元二次方程(w+1)x+2m-2=0(m為常數(shù)).

(I)若方程的一個(gè)根為1,求，〃的值及方程的另一個(gè)根；

(2)求證：不論“為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

【答案】(1)m=2,另一個(gè)根為2；

(2)證明見解析.

【解答】解：(1)把工=1代入方程可得1-(〃什1)+2機(jī)-2=0,

解得〃?=2,

當(dāng)〃?=2時(shí).原方程為#-3什2=0.

:.(x-1)(x-2)=0,

解得X[=l,X2=2,

即方程的另一根為2；

(2)b=~("+1),c=2m-2,

???△=[-(w+1)]2-4xlx(2W-2)

一-6;M+9

=Cm-3)2>0,

???不論m為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

14.(2025春?灘溪縣期中)設(shè)可，/是方程2_/+敘-3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式

的值.

(1)5+1)6+1)；

11

(2)—+—

XiX2

【答案】見試題解答內(nèi)容

43

【解答】解：根據(jù)題意得X1+X2=—5=-2,修工2=-5，

35

(1)原式=X]X2+X]+X2+1=一弓一2+1=—5；

X1+X2-24

()原式=—?===]

2八1八/2o

9

15.（2025春?珠海期中）已知關(guān)于x的一元二次方程『-2（/-1）X+〃?2-5=0.

（I）當(dāng)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，求/〃的取值范圍.

（2）當(dāng)方程的兩個(gè)根xi、X2滿足君+xl=x1x2+12時(shí),求m的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：⑴???關(guān)于x的一元二次方程/-2（〃L1）工+加-5=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

b1-4ac=[-2（〃？?1）]2-4（w2-5）=-8/z:+24>0,

解得：〃￡3,

即〃?的取值范圍是〃區(qū)3：

（2）.??方程的兩個(gè)根為司、X2，

.*.X]+X2=2（〃？-1）?X|X2=w2-5,

???旺+君一X]》2=（X1+X2）2_2X\X2~X]X2=[2（m-1）]2-3（m2-5）=m2-8m+19,

VXj+送=盯0+12.

：.m2-8/w+19=12,即混-8M+7=0,

解得m=\或m=7,

Vw<3,

??"7=1,

故/〃的值為1.

16.（2025春?宜昌期中）閱讀下列材料：把形如a/+以的二次三項(xiàng)式（或其一部分）配成完全平方式

的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即。2±2"+房="±6）2.配方法可以解

決代數(shù)式值的最小（或最大）問(wèn)題.

例如：當(dāng)工取何值時(shí)，代數(shù)式P+2x-4有最?。ɑ蜃畲螅┲?？

.d+2x-4=（X2+2X+1）-5

—（x+1）2-5

???（x+1）2>0,???（x+l）2-5>-5

?,?當(dāng)x=-l時(shí)，代數(shù)式『+2”4有最小值-5.

【直接應(yīng)用】

（1）仿照上述例子解決問(wèn)題：當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式P-4x+5有最小（或最大）值；

【類比應(yīng)用】

（2）已知N=〃-2（。為任意實(shí)數(shù)），判斷歷與N的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖，要圍成一個(gè)矩形雞場(chǎng)，一邊靠墻(墻長(zhǎng)24米)，另三邊用總長(zhǎng)為40米的竹籬笆圍成.

①請(qǐng)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍：

②當(dāng)x為何值時(shí)，圍成的矩形雞場(chǎng)的面積最大？最大面積是多少？

【答案】(1)當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式，-4x+5有最小值1；

(2)M>N,理由見解析；

(3)?y=-Zv+40(8<￥<20)；

②當(dāng)x=10時(shí)，圍成的矩形雞場(chǎng)的面積最大，最大面積是200平方米.

【解答】解：(1)F-4/5=(x2-4,v+4)+1=(x-2)2+1,

V(x-2)2>0,

，(x-2)2+1>1,

???當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式，-4x+5有最小值1；

(2)M>N,理由如下：

■:N=a-2,M=a2?a,

AM-N=cr-a-(a-2)=c?-2a+2=(A-1)2+l>0,

:,M>N；

(3)①根據(jù)題意可得，2x+y=40,

??y—~2x+40,

A0<-2r+40<24,

A8<r<20,

：.y=-Zv+40(8<r<20)；

②設(shè)雞場(chǎng)的面積為S平方米，則

S=(-2x+40)?x

=-2(x-10)2+200,

??.當(dāng)x=l()時(shí)，圍成的矩形雞場(chǎng)的面積最大，最大面積是200平方米.

17.(2025春?東臺(tái)市期中)某商店決定購(gòu)力，4兩種“冰墩墩”紀(jì)念品進(jìn)行銷售.已知每件4種紀(jì)念品比每

件B種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)高30元.用1000元購(gòu)進(jìn)X種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相同.

（1）求48兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）該商場(chǎng)通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，整理出力型紀(jì)念品的售價(jià)與數(shù)量的關(guān)系如表，

售價(jià)X元/件50<r<6060V讓80

銷售量（件）100400-5x

求當(dāng)x為何值時(shí)，售出力紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？

【答案】（1）4紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是50元，8紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是20元;

（2）當(dāng)x=65時(shí)，售出力紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1125元.

【解答】解:（1）設(shè)8紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是x元，則4紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是（x+30）元,

1000400

由題意,得------=——

ex+30x

解得：x=20,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=20是原方程的解,

當(dāng)x=20時(shí)：、30=20+30=50,

???力紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是50元，B紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是20元；

（2）設(shè)利潤(rùn)為w元，由表格得：

當(dāng)50M吐60時(shí)，w=（x-50）xl00=100x-5000,

VZr=100>0,

???w隨著x的增大而增大，

???當(dāng)售價(jià)為:60元時(shí)，利潤(rùn)最大為：100x60-5000=1000元；

當(dāng)60〈爛80,w=（x-50）（400-5x）=-5x2+650x-20000=-5（x-65）2+1125,

'：a=-5<0,

工當(dāng)工=65時(shí)?，利潤(rùn)最大為：1125元；

綜上：當(dāng)x=65時(shí)，售出力紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利澗為1125元.

18.（2025春?陜西期中）鄉(xiāng)村振興關(guān)鍵在產(chǎn)業(yè).近年來(lái)，某縣區(qū)通過(guò)建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化大棚，種植圣女果、普羅

旺斯西紅柿、草莓等，讓大棚*業(yè)照亮農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)致富路.實(shí)現(xiàn)村民穩(wěn)定增收.如圖2,某農(nóng)戶的大

棚截面上半部分可近似看作拋物線力以九下半部分可看作矩形力。CQ,以O(shè)C所在直線為x軸，。力所在

直線為y釉建立平面直角坐標(biāo)系，已知大棚棚頂最高點(diǎn)E到地面OC的距離為7米，40=6=3米，棚

寬OC=12米.

（1）求拋物線4EO的函數(shù)表達(dá)式；

（2）為了加固棚頂，現(xiàn)需在力。上方的拋物線部分加裝一根橫梁P。（點(diǎn)P、。均在拋物線上），且P0

//AD,若橫梁P0與地面0C的距離是彳米，則橫梁P0的長(zhǎng)度是多少米？

14

【答案】（1）y=一員2+鏟+3；

（2）橫梁尸。的長(zhǎng)度是9米.

【解答】解：（I）以O(shè)C所在直線為x軸，04所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，四邊形4OCO是

矩形，4O=CO=3米，OC=12米,

工點(diǎn)力（0,3）,月。=0。=12米，

???頂點(diǎn)E（6,7）,

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-6）?+7,把點(diǎn)力的坐標(biāo)代入得：

36。+7=3,

1

解得：a=

1c1c4

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=--（X-6）2+7=--X2+-%+3；

19

（2）由題意知，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為彳，

19191、

當(dāng)y=7-時(shí)＞彳=一3（%-6）+7,

解得勺=1.5,X2=10.5,

A10.5-1.5=9（米）,

???橫梁P0的長(zhǎng)度是9米.

19.（2025春?慈溪市期中）在愛心義賣活動(dòng)中，某班的店鋪準(zhǔn)備義賣小蛋糕，當(dāng)每個(gè)小蛋糕的售價(jià)定為6

元時(shí)，平均每小時(shí)的銷售數(shù)量為30.細(xì)心的小亮發(fā)現(xiàn)，售價(jià)每提高1元，平均每小時(shí)的銷售數(shù)量就會(huì)減

少2,但售價(jià)不能超過(guò)10元.

（1）若小蛋糕的售價(jià)在6元的基礎(chǔ)上連續(xù)兩次漲價(jià)，兩次漲價(jià)后的售價(jià)為8.64元，且每次漲價(jià)的百分

率均相同，求漲價(jià)的百分率是多少.

（2）若平均每小時(shí)的銷售總額為216元，求此時(shí)小蛋糕的售價(jià)為多少元.

（3）要使平均每小時(shí)的銷售總額最大，小蚩糕的售價(jià)應(yīng)定為多少元？并求出最大銷售額.

13

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)漲價(jià)的百分率是X,

由題意得:6（1+x）2=8.64,

解得：X］=20%,x2=-220%（不合題意，舍去），

答：漲價(jià)的百分率是20%；

（2）設(shè)小蛋糕的售價(jià)提高。元，則每小時(shí)的銷售數(shù)量就會(huì)減少2“個(gè)，

由題意得：（6+。）（30-2a）=216,

整理得：94+18=0,

解得：。］=3,々2=6,

，小蛋糕的售價(jià)為：6+3=9（元）或6+6=12（元），

:售價(jià)不能超過(guò)10元，

???小蛋糕的售價(jià)為9元.

答：此時(shí)小蛋糕的售價(jià)定為9元.

（3）設(shè)小蛋糕的售價(jià)為加元，

???平均每小時(shí)的銷售總額為：M（30-2（w-6）］

=-2m2+42m

=-2Cm-10.5）2+220.5

,售價(jià)不能超過(guò)1（）元，

???小蛋糕的售價(jià)為10元，

當(dāng)/”=10時(shí)，平均每小時(shí)的銷售總額最大，最大銷售額為-210.5）2+220.5=220元

答：此時(shí)小蛋糕的售價(jià)定為10元，最大銷售額為220元.

20.（2025春?海淀區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸坐標(biāo)為（x,y）,當(dāng)x>a時(shí)，點(diǎn)。坐標(biāo)為

（7,-?）；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)。坐標(biāo)為（r,-y+3）,則稱點(diǎn)。為點(diǎn)夕的變換點(diǎn)Q為常數(shù)）.

例如：點(diǎn)（2,0）是點(diǎn)（-2,3）的0-變換點(diǎn)，點(diǎn)（-5,-7）是點(diǎn)（5,7）的1-變換點(diǎn).

⑴點(diǎn)（b-1,3）的1-變換點(diǎn)在直線尸"3上，求力值：

（2）點(diǎn)〃在函數(shù)y=『?4x+3的圖象匕點(diǎn)N是點(diǎn)M的2■變換點(diǎn).

①設(shè)點(diǎn)N（〃?，〃），求〃與/〃的函數(shù)關(guān)系式；

②點(diǎn)A（-4,c）,B（1,c）,線段與①中的函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出c的取值范圍.

【答案】⑴7；⑵0n=｛二整二偏郎務(wù)-2）；②一5十〈一3或QV4.

【解答】解：(1)由題意，分兩種情況討論：

①當(dāng)1>1時(shí)，即〃>2,

???點(diǎn)(b-1,3)的1-變換點(diǎn)是(1-/),-3),

???點(diǎn)(1-〃，-3)在直線y=x+3上，

:.-3=1-6+3,

：.b=7.

②當(dāng)人-1VI時(shí)，即/Y2,

???點(diǎn)(31,3)的1■變換點(diǎn)是(1-Z),0),

???點(diǎn)(1?b,0)在直線y=x+3上，

???0=1-力+3,

:?b=4,不合題意，舍去.

綜上所述.力的值是7.

(2)①當(dāng)-m>2時(shí)，即mV-2,

則點(diǎn)〃(-加，-〃)在函數(shù)y=W-4x+3的圖象上，

-〃=〃於+4"7+3,

即〃=-nr-4”？-3；

當(dāng)-m<2時(shí)，即機(jī)>-2,

則點(diǎn)M(<-m,-??+3)在函數(shù)y——-4x+3的圖象上，

?〃+3=〃a+4〃i+3,即〃=-m2-4ni.

與m的函數(shù)關(guān)系式為"=｛二黑二緇袍"工一2)

②c的取值范圍為1<曰或-5TV-3；理由如下：

如圖所示，”=-(w+2)2+4(m>-2),

15

IJ=-(m+2)2+l(w<-2)，

當(dāng)〃?=-2時(shí)，n以人=1;

當(dāng)1±V4時(shí)，線段48與圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；

u=-(m+2)2+4(/??>-2),

當(dāng)m=\時(shí)，〃=?5；

n=-(m+2)2+1(〃?<-2)，

當(dāng)〃?=-4時(shí)，〃=-3.

當(dāng)-5±V-3時(shí)，線段48與圖象只有一個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，c的取值范圍為1土<4或-5<c<-3.

21.(2025春?資中縣期中)某商店決定購(gòu)甲，乙兩種商品進(jìn)行銷售.已知每件甲商品比每件乙商品的進(jìn)價(jià)

高30元.用2000元購(gòu)進(jìn)甲商品的數(shù)量和用800元購(gòu)進(jìn)乙商品的數(shù)量相同.

(1)求甲，乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

(2)該商場(chǎng)通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，整理出甲商品的售價(jià)與數(shù)量的關(guān)系如卜.表，

售價(jià)X(元/件)50<v<6060〈爛80

銷售量(件)100400-5%

①當(dāng)x為何值時(shí)，售出甲商品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？

②該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種商品共200件，其中甲商品的件數(shù)小于乙商品的件數(shù)，但不小于50件.若乙商

16

品的售價(jià)為每件加(加>30)元時(shí)，商場(chǎng)將甲，乙商品均全部售出后獲得的最大利潤(rùn)為280。元，直接寫

出m的值.

【答案】(1)甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是50元和20元；(2〉①當(dāng)x=65時(shí)，售出力紀(jì)念品所

獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為1125元;②〃7=32.

【解答】解：(1)由題意，設(shè)乙商品每件的進(jìn)價(jià)是6元，則甲商品每件的進(jìn)價(jià)是(6+30)元，

.2000800

%+30=

：?b=20.

經(jīng)檢驗(yàn)：6=20是原方程的解.

當(dāng)6=20時(shí)：6+30=20+30=50.

???甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是50元和20元.

(2)①由題意，設(shè)利潤(rùn)為卬元，由表格得：當(dāng)50夕W60時(shí)，w=(x-50)x100=lOOx-5000,

VAr=100>0,

???w隨著x的增大而增大，

???當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，利潤(rùn)最大為：100x60-5000=1000元；當(dāng)60V爛80,w=(x-50)(400-5x)=

-5x2+650x-20000=-5(x-65)2+1125.

,:a=-5<0,

???當(dāng)x=65時(shí)，利潤(rùn)最大為1125元.

綜上：當(dāng)工=65時(shí)，售出甲商品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1125元.

②設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲商品。件，則購(gòu)進(jìn)乙商品(200-。)件，

A50<a<200-a.

A50S?<100.

由①可知：由表格可知400-5x=a,x=80--a.

KJ

設(shè)甲、乙兩種商品均全部售出后獲得的總利潤(rùn)為y元，

1

Z.y=(80--a-50)a+(m-20)(200-a),

o

y=——a24-(50—m)a+200m—4000,

5

???對(duì)稱軸為直線Q=125-^m,

V/M>30,

17

5

:.125—pn<50,

，對(duì)稱軸在50<a<100的左側(cè)：

???當(dāng)。=50時(shí)利潤(rùn)最大，

，當(dāng)。=50時(shí)，y有最大值，最大值為：y=-1x502

x（50-m）X50+200m-4000=150m-2000=2800.

/./n=32>30.

22.（2025春?灘溪縣期中）已知拋物線y=/+6x+c經(jīng)過(guò)力（-2,〃），B（3,〃）兩點(diǎn).

（I）求b的值;

（2）當(dāng)-2姿2時(shí)，拋物線與入?軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍；

2

（3）若方程方+加汁。=0的兩實(shí)根町，入2滿足1V〉?工2與5,且p2求〃的最大值.

【答案】（1）b=-1；

1

（2）c=1或-6<c<-2；

（3）〃的最大值為17.

【解答】解：（1）???拋物線什c經(jīng)過(guò)/（-2,〃），8（3,〃）兩點(diǎn)，

b-2+3

'~2=21

：,b=-1.

（2）由（1）知拋物線為y=x2-x+c,

???拋物線與x軸有公共點(diǎn)，

，對(duì)于方程，-x+c=O，判別式A=l-4cX）,

1

c<—,

4

①當(dāng)c="時(shí)，由方程工2一%+*=0,解得不二%2='|，此時(shí)拋物線y=/與X軸只有一個(gè)公共

點(diǎn)4,0）；

②當(dāng)時(shí)，勺=-2時(shí)，為=4+2+c=6+c；X2=2時(shí)，以=4-2+c=2+c由已知-2方工2時(shí)，該拋物線與

1

》軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為X=弓，應(yīng)有），心0且及<0即6+它0,且2+c<0,解得：-6土

<-2.

綜合①②，得c的取值范圍是c=；或-6MV-2.

18

（3）由（1）知b=-1,

*x2-x+c=O的兩實(shí)根為X\,工2，

.拋物線-x+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x\,工2,

.%1+%21

***2=2*

，X]+X2=1，即X2=1-X，

*.*1<X]-%2<5?

/.I<X|.<i.Xj>-X2<5>

??1

222

:?p=+2X2=%i2+2（1-Xj）2=3（xj--）+~,

2Jo

???當(dāng)1<X]<3flt,p隨修的增大而增大，

???當(dāng)勺=3時(shí)，p的最大值為17.

23.（2025春??？谄谥校┮阎獟佄锞€y=W+bx+c交x軸于力（-1,0）,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C（0,

-3）.

（1）求該拋物線的表達(dá)式和史稱軸.

（2）若拋物線y=W+公與直線p=機(jī)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求利的取值范圍.

（3）設(shè)點(diǎn)尸是拋物線的頂點(diǎn)，求四邊形胡C尸的面積.

【答案】（1）y=『-2x?3,對(duì)稱軸為直線x=l；

（2）m>-4；

（3）9.

【解答】解：（1）由題意得：｛；二1*。=0，

解得:lc=-l

則拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2r-3=（x-1）2-4,

即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1,-4）,即對(duì)稱軸為直線工=1；

（2）當(dāng)直線），=〃?在點(diǎn)〃之上時(shí)，都符合題設(shè)要求，

19

故m>-4；

（3）作PH〃y軸交BC于點(diǎn)H,

由（1）知，點(diǎn)尸（1,-4）,

由點(diǎn)4（3,0）、C的坐標(biāo)得，直線5c的表達(dá)式為y=x-3：則點(diǎn)“（1,-2）,則尸”=2,

1111

則四邊形BACP的面積5xABxCO+~xPHxOB=-x4^3+-x2x3=9.

24.（2025春?石景山區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系X0F中，點(diǎn)（-1,為）、（1,為）、（3,乃）是拋

物線歹=~+及+1卜=個(gè)點(diǎn).

（I）直接寫出拋物線與），軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)為=為時(shí)，求〃的值；

（3）當(dāng)力>y>1>力時(shí)，求b的取值范圍.

【答案】（1）（0,1）；

（2）-2；

（3）-2<b<-1.

【解答】解：（1）對(duì)于卜=/-6"1,

當(dāng)x=0時(shí)，y=\,

則拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）;

—1+3

（2）當(dāng)月=為時(shí).，拋物線的對(duì)稱軸為x=-乙7一=1，

b

-2=1，

解得：b=-2；

b

（3）當(dāng)力>刈時(shí)，對(duì)稱軸在x=l的左側(cè)，即一5<1，

解得：b>-2,

當(dāng)1>處時(shí)，1>1+b+1，

解得：b<-1,

:.當(dāng)y3>yi>1>y2時(shí)，-2<b<-1.

20

25.(2025春?漳州期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△彳8c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4(-2,-4),B(0,

-4),C(1,-1).

(1)畫出△/IBC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的圖形△小與C,一寫出出的坐標(biāo)(4,-4)；

(2)將“/C先向左平移4個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到△力282Q，直接寫出C2的坐標(biāo)_(-3,

【解答】解：(1)畫出△力4。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的圖形△小囪。如圖所示,

21

y

其中，A\的坐標(biāo)為（4,-4）；

故答案為：（4,-4）:

（2）將△小5c先向左平移4個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到△兒的分如圖所示，

26.（2025春?夷陵區(qū)校級(jí)期中）如圖1,將邊長(zhǎng)為我和3的兩個(gè)正方形放置在直線/上，連結(jié)力。、CF,

經(jīng)觀察分析，發(fā)現(xiàn)絲△COP,從而可進(jìn)一步證出力。=3,ADA.CF,

（1）如圖2,將正方形OQE/7繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，求證：AD=CF,ADVCF,

（2）如圖3,將正方形。。后/繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線/上，直接寫出。尸的長(zhǎng).

【答案】（1）見解答

22

(2)V17.

【解答】(1)證明：AD交CF于點(diǎn)、G,交。。于點(diǎn)〃，如圖2所示:

;四邊形和四邊形O4BC均為正方形,

：.AO=CO,OD=OF,ZAOC=ZDOF=90°,

???N4OC+NQOC=NDOF+NDOC,

即N4OO=NCOF,

在"OO和△(%>/中，

AO=CO

乙40。=Z-COF,

OD=OF

：.^AOD^ACOF(SAS),

:?AD=CF,NOAD=NOCF,

???//OC=90°,

J△力OH是直角三角形，

在Rt△4OH中,/O4D+/OHA=90。,

?：/CHG=/OHA,

：.ZOCF+ZCHG=90°,

在aa/G中，NCG〃=180。-(ZOCF+ZCHG)=90°,

：.ADLCF；

(2)解：連接DF交OE于K，如圖3所示：

???四邊形O0EF和四邊形O4BC均為正方形,且邊長(zhǎng)分別為心和3,

23

：,OD=V2,04=3,

???OE和DF是正方形ODEF的對(duì)角線,

1

???。凡LOE,DK=OK=-OE.

乙

在RlAOOK中，由勾股定理得：OD=70K2+D"=yfiOK,

：,OK=DK=￥0。=xV2=1,

???4K=O/+OK=3+1=4,

在RtZk/KO中，由勾股定理得：AD=VD/C2+AK^=Vl2+42=V17,

同（1）證明：△AOD9ACOF（SAS）,

：.AD=CF,

：.CF=AD=>/17.

27.（2025春?吳江區(qū)期中）如圖，AJ8C的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格格點(diǎn)上.

（1）將△48。向左平移4格，畫出平移后的對(duì)應(yīng)△小々G；

（2）將△48C繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)△/%Q；

13

（3）第（2）問(wèn)中A48C旋轉(zhuǎn)過(guò)程中邊48“掃過(guò)”的面積為_不一.

【答案】（1）見解析；

（2）見解析：

13

（3）”.

【解答】解：（1）如圖所示，△N[9[C]即為所求;

24

(2)如圖所示，AJ&C2即為所求;

(3)根據(jù)題意得，力亦=32+2?=13,

??,△48C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△力生。2,

1

旋轉(zhuǎn)過(guò)程中邊48“掃這”的部分是以點(diǎn)力為圓心，以48為半徑的工圓,

1rl13

工不xAB2=/x13=彳凡

13

答：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中邊力勿掃過(guò)”的面積為了7T.

13

故答案為：彳兀

28.(2025春?成都期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中^力〃。三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為力(5,4),A(1,2),

C(3,0).小聰把ZV18C平移后得到了△/1歸］。］,