專題08幾何圖形

.全國(guó)各地競(jìng)賽真題試題匯編「

1.（2023九年級(jí)下?福建龍巖?競(jìng)賽）如圖，48是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車站.在

這段路線上往返行車（）種車票.

ABCDE

A.20B.11C.12D.13

【答案】A

【分析】本題考查了線段條數(shù)的計(jì)算，應(yīng)按照?定的順序，才能做到不遺漏，不重復(fù)，還需注意每條線段應(yīng)

印2種車票.根據(jù)線段的定義找出線段的條數(shù)，再根據(jù)車票的起始站的不同，乘以2即可得到車票的種數(shù).

【詳解】解:圖中線段有：AB.AC.AD.AE.BC.BD、BE、CD.CE、DE,

共4+3+2+1=10（條），

?.?何條線段應(yīng)F|J2種車票,

??.共需10><2=20（種），

故選：A.

2.（2023七年級(jí)下?廣東深圳?競(jìng)賽）如圖所示，圖中正六邊形有（）個(gè).

B.13C.11D.10

【答案】C

【分析】本題考查了正六邊形，具備一定的空間想象能力是解題關(guān)鍵.結(jié)合圖形，分別畫出所有可能的正

六邊形，由此即可得.

這樣的圖形有6個(gè).

②如圖，這樣的圖形有3個(gè).

④如圖，這樣的六邊形有1個(gè).

則一共有6+3+1+1=11（個(gè)），

故選：C.

3.（2023七年級(jí)上?遼寧沈陽?競(jìng)賽）你小時(shí)候玩過積木嗎？有關(guān)專家指出，搭枳木游戲可以促進(jìn)孩子視覺

智能的成長(zhǎng).當(dāng)孩子剛開始搭積木時(shí)，首先會(huì)學(xué)習(xí)到的是線條的排列組合，接著則是思考如何運(yùn)用空間的

垂苜件來搭建塔樓.下面就來測(cè)試一下你搭積木的水平吧.在下列四個(gè)積木塊中.能與右圖完全組合拼成

一個(gè)4x4x4的正方體木塊的是：）

【分析】本題考查拼裝幾何體一正方體.根據(jù)題意觀察圖形即可得到本題答案.

【詳解】解：團(tuán)4x4x4的正方體木塊數(shù)為64塊，右圖積木塊數(shù)為35塊,

又區(qū)64-35=29塊，選項(xiàng)中的積木塊數(shù)小于等于29塊,

觀察圖象可知A、D的積木塊數(shù)等于29塊，只有D能與右圖完全組合拼成一個(gè)4X4X4的正方體木塊.

故選：D.

4.（2023七年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?競(jìng)賽）如圖所示的是一個(gè)正方體的表面展開圖，若在正方體上的各面填上數(shù)，

使其對(duì)面兩數(shù)之和為7,貝必+B+C的值是.

[C\2

【答案】14

【分析】本題考查正方體的展開圖，解題的關(guān)鍵是掌握正方體展開圖中對(duì)應(yīng)面的關(guān)系.利用空間想象能力

得出相對(duì)面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到6和2對(duì)應(yīng)，A和1對(duì)應(yīng)，。和4對(duì)應(yīng)，即可求出結(jié)果.

【詳解】解:若B是底面，則4是正面，人是左面,1是右面，。是后面,2是上面，得8=7-2=5,71=7-1=6,

C=7-4=3,

回4+5+C=6+5+3=14?

故答案為:14.

5.（2023七年級(jí)?山東青島?競(jìng)賽）12點(diǎn)整時(shí)，鐘面上的時(shí)針、分針、秒針剛好重合.請(qǐng)計(jì)算再過一分鐘，

鐘面上的時(shí)針和分針再次重合.

【答案】65》等

【分析】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，鐘面角.

設(shè)再過％分鐘，鐘面上的時(shí)針和分針再次重合，分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)一圈，列方程求解即可.

【詳解】解：360。+60=6。,3600+（60X12）=0.5。,

分針每分鐘走6。，時(shí)針每分鐘走0.5。，

設(shè)再過X分鐘，鐘面上的時(shí)針和分針再次重合，

根據(jù)題意可得6%—0.5%=360,

解得％=65（

團(tuán)再過65高分鐘，鐘面上的時(shí)針和分針再次重合，

故答案為:65V.

6.（2023七年級(jí)下浙江衢州?競(jìng)賽）如圖，直線/例|C。，CN平分NCNE,FM平分乙4MC,點(diǎn)F,M,￡在同

一直線上，若NG4-=54°,則乙4MG=.

G

CL

N

(3)如圖3,若n=5,設(shè)NAOD=m(用含m的代數(shù)式表示/DOE的度數(shù)).

【答案】(1)69°

(2)2

(3)36°+|m

【分析】本題主要考查了角的計(jì)算、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，弄清角之間的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵.

(1)已知0。平分4400=27°可得乙片。。、乙COD、4BOC的度數(shù)，因?yàn)椋?0C=八4EOC,九=3可

得NCOE的度數(shù)，再根據(jù)=乙COD+即可解答；

(2)因?yàn)閆J90E為直角，g|JzDOC+Z.COE=Z.AOD+^BOE=90°,因?yàn)椤?。平分J40C,所以乙。。。二

乙7100,Z.COE=乙BOE,即=24C0E可得〃的值；

(3)已知。。平分〃。C,Z.AOD=m^LAOC.乙COD、480C的度數(shù)，因?yàn)?80C二九4EOC,九=5可得

△COE的度數(shù)，再根據(jù)匕。。^="0D+乙COE艮可解答.

【詳解】(1)解：團(tuán)。。平分N40C,^AOD=27°,

^/.AOC=2N4OO=54°,Z.COD=^AOD=27°,

IZUBOC=180°-乙40c=180°-54°=126°,

^Z-BOC=nZ-EOC,n=3>

^COE=-z.BOC=42°,

3

團(tuán)/DOE=乙COD+乙COE=69°.

(2)解：團(tuán)NOOE為直角，

0ZDOC+乙COE=^AOD+乙BOE=90°,

團(tuán)。￡)平分N/OC,

團(tuán)/。。0=Z.AOD,

0ZCOE=乙BOE,即48。。=2/.C0E,

0n=2；

(3)解：回。。平分乙力OC,Z.AOD=m,

0Z/WC=2/.A0D=2m,乙COD=Z.AOD=m,

團(tuán)/BOC=180°-Z-AOC=180°-2m,

0ZFOC=nz.EOC,n=5,

^COE=^BOC=36°-|m,

(3ND0E=(COD+乙COE=36°+-m.

8.(2024七年級(jí)下?湖南長(zhǎng)沙?競(jìng)賽)18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(尸)、

棱數(shù)(E)之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式，請(qǐng)為觀察下列幾種多面體模型，解答下列問題

四面體長(zhǎng)方體正八面體正十二面體

⑴根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：

多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）

四面體44—

長(zhǎng)方體8612

正八面體—812

正十二面體201230

你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（尸）、棱數(shù)（￡）之間存在的關(guān)系式是.

（2）如圖，右一種足球是由數(shù)塊黑白相間的牛皮健制而成,，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長(zhǎng)都相

等，求正五邊形、正六邊形的個(gè)數(shù).

【答案】（1）6,6,V+F-E=2

⑵正方動(dòng)形有12個(gè),正六動(dòng)形有20個(gè)

【分析】本題考查根據(jù)表格整理歸納的能力，通過表格的數(shù)據(jù)推導(dǎo)出歐拉公式，通過歐拉公式來解決實(shí)際

問題.

⑴本題通過表格給出的數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出歐拉公式，也就是V+=2；

⑵本題通過設(shè)五邊形的個(gè)數(shù)為％,六邊形的個(gè)數(shù)為y,通過歐拉公式，得到一個(gè)方程組，解出對(duì)應(yīng)的值.

【詳解】（1）由圖中可以數(shù)出，四面體的棱數(shù)為6,正八面體的頂點(diǎn)數(shù)為6,通過表格可以推出，V+F-E=2,

故答案為6,6,V+F-E=2；

（2）設(shè)黑皮有％個(gè),白皮有y個(gè)，

則這個(gè)足球的面數(shù)為：x+y,

棱數(shù)為：學(xué)，

頂點(diǎn)數(shù)為：亨，

由歐拉公式可得：當(dāng)竺+%+y-手=2,

解得：x=12,

???1個(gè)黑皮巳5個(gè)白皮相鄰，1個(gè)白皮與3個(gè)黑皮相鄰，

白皮個(gè)數(shù)為12x5+3=20(個(gè))，

故正五邊形有12個(gè)，正六邊形有20個(gè).

9.(2023七年級(jí)下?江蘇南京?競(jìng)賽)已知：^AOB=40°,過點(diǎn)。作射線。C,OM平分ZC。力，如果嚕=匯，

LAOCn

且關(guān)于乃的方程(2m-n)x+3n=2(2x+m)有無數(shù)多個(gè)解，求/BOM的度數(shù).

【答案】32?；?0。

【分析】本題考查角平分線的定義，一元一次方程的解，根據(jù)關(guān)于工的方程(2771--)％+3/=2(2"+7九)有

無數(shù)多個(gè)解，可求出，"、〃的值，再分兩種情況，即OC在乙4OB的內(nèi)部或外部，分別計(jì)算，8?！奔纯?

【詳解】解：團(tuán)關(guān)于x的方程(2m-n)x+3n=2(2x+m)即(2m-n-4)x=2m-3n有無數(shù)多個(gè)解，

團(tuán)2m—71—4=0,且2m—3九=0,

解得m=3,n=2,

即竺”=2=日，

LAOCn2

團(tuán)OM平分乙CO4

團(tuán)4AOM=4COM=-LAOC,

2

當(dāng)OC在，A08的內(nèi)部時(shí)，如圖1,+Z.AOC=Z.AOB=40°,

32

0ZFOC=40°x—=24°,Z.AOC=40°x—=16°,

2+32+3

0Z/WM=乙COM=-x16°=8°,

2

(3NBOM=Z.BOC+乙COM=24°+8。=32°；

當(dāng)OC在440B的外部時(shí)，如圖2,^^BOC-Z-AOC=^AOB=40°,

團(tuán)。M平分立。。4,

SOM=乙COM=40°,

團(tuán)4BOM=400+40°=80°；

所以NBOM的度數(shù)為32。或80。，

故答案為：32?；?0。.

10.(2023七年級(jí)下?河南洛陽?競(jìng)賽)如圖，在中，CD是〃C8的角平分線交于點(diǎn)。，DEIIBC,

交AC于點(diǎn)、E,乙4=60。，^BDC=80°,求△COE各內(nèi)角的度數(shù).

A

LACD=20°

【分析】本題主要考查了角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)

點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵.

由角平分線的定義可得44。。=有。。=>4CB,由三角形外角的性質(zhì)可得48。。=乙力+乙45。，易得

乙4CD=20°；再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，CDE=乙BCD=20°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和可得4OEC=140。即可

解答.

【詳解】解：回CO是匕AC8的角平分線,

(UZ/1CD=乙BCD=:乙ACB,

乂巨48DC是△C7Z4的夕卜角，

0ZFDC=Z.A+Z,ACD,

^ACD=Z-BDC-24=80°-60°=20°,

WEWBC,

⑦乙CDE=乙BCD=20°,

0ZCDE+Z-DCE+乙DEC=180°

0ZDEC=180°-Z.ECD-乙EDC=180°-20°-20°=140°,

0ZDEC=140°,Z.CDE=20°,4ACO=20°.

11.（2023七年級(jí)下?浙江寧波?競(jìng)賽）（1）已知直線4BIICD,點(diǎn)P為平行線48,CD之間的一點(diǎn).如圖1,

若/A8P=50°,Z.CDP=70°,8E平4)乙A8P,DE平乙CDP,求W8ED的度數(shù).

（2）（探究）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在直線/1B的上方時(shí)，若乙ABP=a,乙CDP=0,418P和4CDP的角平分線交

于點(diǎn)Ei，求4邑的度數(shù)；若乙48%與NCO&的角平分線交于點(diǎn)%乙48%與NCO%的角平分線交于點(diǎn)〃3,?…以

此類推，求，琮的度數(shù).

（3）（變式）如圖3,乙48P的角平分線的反向延長(zhǎng)線和“DP的補(bǔ)角的角平分線交于點(diǎn)E,試猜想”與4E的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖3

【答案】⑴60。；

⑵G)%—Q)；

(3)zF=90°-1zP.

【分析】⑴過點(diǎn)E作“IL4B,根據(jù)平行線的判定可知4BIICDIIEF,利用平行線的性質(zhì)可證418E=25。，

乙CDE=35°,再根據(jù)角之間的位置關(guān)系可得乙BED=60°；

(2)過點(diǎn)場(chǎng)作E/iMB,可得48|￡川|瓦巴,利用平行線的性質(zhì)可得："邑0=[(/?—a),同理可得：乙8七2。=

2n

Q)(/?-?),根據(jù)規(guī)律可得：zEn=Q)(/?-a)；

(3)過點(diǎn)￡作EGIIA8,可得：ABWCDWEG,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：乙BED=90。+g(乙ABP-乙PDC),由⑵

可得：乙P=cPDC-乙ABP,所以可得N8ED=90°—(NP.

【詳解】(1)解：如下圖所示，過點(diǎn)E作引邛力B,

vABWCD,

二ABKDWEF,

???Z.ABE=乙BEF,乙EDC=乙DEF,

???BE平分乙ABP,DE平分乙CDP,

/.Z.ABE=-Z-ABP,乙CDE=^z_CDP,

22

???2ABp=50°,乙CDP=70°,

Z.ABE=-Z-ABP=25°,"DE=-Z.CDP=35°,

22

???Z.BEF=25°,乙DEF=35°,

々BED=乙BEF+乙DEF=25°+35°=60°：

⑵解:如下圖所示,過點(diǎn)邑作場(chǎng)月138,

vABWCD,

:.ABWCDWE^,

Z.ABE1=乙F]E]B,乙CDE]=Z.F1E1D,

???/.BE1D=4片瓦?！猌.F1E1B,

???乙BE、D=乙CDEq—乙ABE1,

???。&和BE1分另lj是N4BP和4CDP的角平分線，

二“DE1=^Z.CDP,"BEi=\LABP,

???LBEXD=1(ZCDP-Z.ABP)=1(/?-a),

2

同理：2LBE2D=1(zCDFi-/-ABE0=1x1(zCDP-^ABP)=Q)(￡-a),

以此類推，可得：乙扁=6)"(夕-戊)；

(3)解：例7)=90°-2，

理由如下：

如下圖所示，過點(diǎn)E作EGIL4B,

???ABWCD,

4B|￡0||EG,

???Z.GEB=乙MBE=乙ABQ,AGED=乙EDF,

???乙BED=乙BEG+乙DEG=Z.ABQ+乙EDF,

vBQ平分4/IBP,0E平分乙POF,

Z.BEG=乙ABQ=^ABP,Z.EDF=|zPDF=^(180°-乙PDC),

:.1BED=^ABP+1(180°-zfDC)=90。+；(//IBP—4POC),

由(2)可知4P=乙PDC-Z.ABP,

12.(2024七年級(jí)下?江西上饒?競(jìng)賽)如圖,平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為(a,0),(0,b),其中

a,b滿足(a-26)2+/K=0,將點(diǎn)8向右平移24個(gè)單位得到點(diǎn)C.

⑵點(diǎn)P,Q分別為線段BC,。4上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P自3點(diǎn)向C點(diǎn)以1個(gè)單位/秒向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q自從點(diǎn)向。點(diǎn)以2

個(gè)單位/秒向左運(yùn)動(dòng)、設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<￡V13),連接PQ,當(dāng)PQ恰好平分四邊形804。的面積時(shí),

求￡的值.

⑶點(diǎn)。是直線4C上一點(diǎn)，連接作--個(gè)4QDE=120。，邊。E與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,0M平分乙CDE,

DN平分乙4DQ,當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，乙WDN的度數(shù)變不變？如變化.請(qǐng)求變化范圍：如不變，請(qǐng)求出/MDN的度

數(shù).

【答案】⑴4(26,0。8(0,8)

(2)t=1

⑶60?；?50°

【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答即可求解：

(2)由題意可得。(24,8),即得S悌形A。)。=1x(24+26)x8=200,進(jìn)而得到S梯形板”=1X200=100,

又由題意得=t,PC=24-3AQ=2t,OQ=26-2t,根據(jù)梯形的面積公式列出關(guān)于t的方程解答即

可；

(3)分兩種情況：點(diǎn)0在線段的延長(zhǎng)線上或AC的延長(zhǎng)線上；點(diǎn)D在線段4c上，分別畫出圖形，根據(jù)角

平分線的定義解答即可；

本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的定義等，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】(1)解：l?la-26=0,b—8=0,

0a=26?b=8,

0/4(26,0),8(0,8)；

(2)解：團(tuán)軸，BC=24,

0C(24,8),

回$梯形408c=5*(24+26)x8=200,

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為￡時(shí)，BP=t,PC=24-t,AQ=2t,OQ=26-23

回PQ恰好平分四邊形804c時(shí)，

團(tuán)$睇形。BPQ=：x200=100,

弓x(t+26-2t)x8=100,

解得￡=1；

(3)解：當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，乙MDN的度數(shù)不變.

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段。4的延長(zhǎng)線上或4c的延長(zhǎng)線上時(shí)，

團(tuán)DAf平:分NCDE,DN5Y^AADQ,

國(guó)乙NDC=\^QDA,乙MDC=\乙CDE,

團(tuán)NWDN=乙NDC+Z-MDC=^(AQDA+zCDE)=^Z-QDE=60°；

當(dāng)點(diǎn)0在線段4C上時(shí)，

(30M平分NCOE,ON平分乙4DQ,

團(tuán)NNOQ=：NQZZ4,Z-MDC=^Z-CDE,

設(shè)“DE=a,則NMDC=(a,LQDC=120°-a,

^ADQ=180°-(120°-a)=60°+a,

OiNDQ=3(6。。+。)，

配MDN=Z.MDC+乙QDC+乙NDC=+120°-a+1(60°+a)=150°；

綜上所述，匕MDN=60?；?50。.

.全國(guó)聯(lián)賽真題試題匯編r

1.（2024七年級(jí)?全國(guó)?競(jìng)賽）如圖，匕BAC=82°,“DE=68,4/平分NB4C,若4尸1OE,則44CD的

A.18°B.19°C.20°D.21°

【答案】B

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，垂直的性

質(zhì)，合理作出平行線是解題的關(guān)鍵.

如圖所示，作DGIIAF^AC^G,作CHIIAF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出乙4CH的度數(shù)，根據(jù)垂直的性質(zhì)可求

出乙。G的度數(shù)，最后根據(jù)=4ACH-4C”即可求解.

【詳解】解：如圖所示,作DGI"戶交AC于G,作CHIIAF,

EL4F平分NBg

0ZMF=82°4-2=41°,

而乙AGD=Z.ACH=LCAF=41°,

WE1AF,^CDE=68°,

團(tuán)"CH=Z.CDG=900-68°=22°,

0Z/1CD=Z.ACH-乙DCH=41°-22°=19°.

2.（2024七年級(jí)?仝國(guó)?競(jìng)賽）將如圖的正方體展開后，不可能是（）

【答案】A

【分析】本題主要考查正方體的平面展開圖，根據(jù)正方體的平面展開圖中三個(gè)有陰影的面的位置關(guān)系進(jìn)行

判斷.根據(jù)正方體中三個(gè)陰影矩形在正方體的同一個(gè)頂點(diǎn)的位置，所以正方體的平面展開圖中含有陰影的

面不可能出現(xiàn)在相對(duì)面上，觀察4個(gè)選項(xiàng)中的平面展開圖中三個(gè)有陰影的面的位置關(guān)系判斷不可能是哪一個(gè).

【詳解】解：A選項(xiàng)：???正方體展開圖中上面和下面兩個(gè)面是相對(duì)面，兩個(gè)面中的陰影不可能在正方體的

同一個(gè)頂點(diǎn)的位置，可知正方體展開后不可能是A選項(xiàng)；

B選項(xiàng)：把平面展開圖折疊后三個(gè)陰影在一個(gè)頂點(diǎn)的位置，可知正方形展開后可能是B選項(xiàng)；

C選項(xiàng)：把平面展開圖折疊后三個(gè)陰影在一個(gè)頂點(diǎn)的位置.，可知正方形展開后可能是C選項(xiàng)；

D選項(xiàng)：把平面展開圖折疊后三個(gè)陰影在一個(gè)頂點(diǎn)的位置，可知正方形展開后可能是D選項(xiàng)；

故選:A.

3.（2024七年級(jí)?全國(guó)?競(jìng)賽）如圖，A,B,C,。四點(diǎn)在同一直線上，M是AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn),

MN=a,CD=b,則=（）

AMCDNB

IIIIII

A.a+bB.a+2bC.2a—bD.2a

【答案】C

【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差計(jì)算，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義及線段的和差計(jì)算是解

答本題的關(guān)鍵.先求出CM+ON=a—b,再由線段中點(diǎn)的定義，可得=BD=2DN,由此即可

求得48的長(zhǎng).

【詳解】MN=a,CD=b,

CM+DN=MN-CD=a-b,

???M是4C的中點(diǎn)，N是線段8。的中點(diǎn),

二AC=2cM,BD=2ON,

???AB=AC+BD+CD

=2cM+2DN+CD

=2(a-b)+b

=2a—b.

故選C

4.（2024七年級(jí)下?全國(guó)?競(jìng)賽）如圖，下午3時(shí)，時(shí)鐘上的時(shí)針和分針?biāo)傻慕菫?0。，那么下一次時(shí)針與

分針成直角，要經(jīng)過的時(shí)間是（）

OA.揖■小時(shí)B.5小時(shí)C.言小時(shí)D.看小時(shí)

【答案】C

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和鐘面角問題，此類題目貼近生活，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解

決生活中熨際問題的能力.

根據(jù)實(shí)際問題，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)速度為黑度/分鐘，分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度為瞥=6度/分鐘，設(shè)再次轉(zhuǎn)成直角的時(shí)間

IAXOUZoU

間隔為X分鐘，可以列出方程，從而求解下一次時(shí)針與分針成直角的時(shí)間.

【詳解】解：設(shè)再次轉(zhuǎn)成直角的時(shí)間間隔為X分鐘，則由題意得：

（6-JX=90X2,

解得無=325.

32看分鐘小時(shí).

故選：c.

5.（2023九年級(jí)下?全國(guó)?競(jìng)賽）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：

多面體頂點(diǎn)的曲率等于2TL與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角稱為多面體的面角，角度用

弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，則正八面

體（八個(gè)面均為正三角形）的總曲率為（）.

A.27rB.4TTC.6TTD.8n

【答案】B

【分析】本題考查新定義問題，解題的關(guān)鍵是理解曲率的定義，結(jié)合正八面體的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

根據(jù)曲率的定義，先求出正八面體一個(gè)頂點(diǎn)的曲率，再結(jié)合正八面體頂點(diǎn)的數(shù)量，求出總曲率.

【詳解】解：由正八面體的性質(zhì)，每個(gè)面均為等邊三角形，

回在一個(gè)頂點(diǎn)處的四個(gè)角均為g故一個(gè)頂點(diǎn)的曲率等于2n—4X；==,

故正八面體的總曲率等于6x^=4n.

故選：B.

6.（2024七年級(jí)?全國(guó)?競(jìng)賽）如圖，乙408=100。，OM平分乙WC,ON^^-￡BOC,則zMON=

【答案】50。/50度

【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算，幾何圖中角度的計(jì)算，由角平分線的定義得出乙COM=\LAOC,

乙CON=^BOC,再由zMON=Z.COM-乙CON=\LAOC-\LBOC=^AOC-乙BOC）=g乙/OB計(jì)算

可得出答案.

【詳解】解：團(tuán)OM平分乙力。。，ON平分乙8。。，

團(tuán)4COM=-/.AOC,Z.CON=-Z-BOC,

22

團(tuán)ZMON=乙COM—乙CON=-Z.AOC--Z-BOC=-（Z/1OC-Z-BOC）=-/.AOB=50%

2222

故答案為:50°.

7.(2023七年級(jí)上?全國(guó)?競(jìng)賽)如圖，在四邊形力BCD中，線段8c長(zhǎng)6sn,為直角，NBCD為135。,

而且點(diǎn)人到邊CD的垂線段4E的長(zhǎng)為12cm,線段ED的長(zhǎng)為5cm,則四邊形4BC。的面積為.

【答案】84cm2

【分析】本題考查鄰補(bǔ)角，等腰直角三角形，不規(guī)則圖形的面積.

延長(zhǎng)DC,交「點(diǎn)兒可得等腰直角三角形CBF和等腰直角三角形HE幾從而可得^力川麻以C8產(chǎn)的面積,

相減即可得四邊形的面積.

【詳解】解：延長(zhǎng)48,DC,交于點(diǎn)F,

為直角，

^Z.ABC=90°,

回乙CBF=90°,

團(tuán)4BCD為135。，

fflzFCF=45。,

0ZF=180°-90°-45°=45°,

^LBCF=ZF,

團(tuán)8產(chǎn)=BC=6,

^AE1CD,

13乙1EC=90°,

0ZF/1F=180°-90°-45°=45°,

0ZF/1F=4F,

^FE=AE=12,

團(tuán)S因邊形A8CD

=5&ADF~S^CBF

=(12+5)xl2x——6x6x—

=102-18

=84(cm2)

故答案為：84cm2.

A

8.（2023七年級(jí)上?全國(guó)?競(jìng)賽）如果Na和N/?互補(bǔ)，且Na＜乙夕，則下列表示4a的余角的式子正確的有_

個(gè).

①90°-，a：@z/7-90°；③*上。+2/?）；④：（/夕一4a）

【答案】3

【分析】本題考查了余角，補(bǔ)角的定義，根據(jù)余角，補(bǔ)角的定義逐項(xiàng)判斷即可求.

【詳解】解：0za+（9O°-za）=90°,

的0。一za是的余角，故①正確；

團(tuán)4a和47互補(bǔ)，

0za=180°-乙B，za+=180°,

0za+（z/7-90°）=（180°-邛）+（邛-90°）=90°,故②正確：

回乙。+4?=180°,

□za+；（za+z/?）=za+90°,放③錯(cuò)誤，不合題意；

+z/?=180°,

@za+1（z/?-za）=1（za4-z/?）=90°,故④正確.

故答案為：3

9.（2024七年級(jí)?全國(guó)?競(jìng)賽）已知線段上有一點(diǎn)C,AC,BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N.

AMCNB

圖1

AMCNB

圖2

⑴如圖1,若點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，力8=20,求線段MN的長(zhǎng)度：

⑵如圖2,若點(diǎn)、C為AB上任意一點(diǎn),求的值.

【答案】⑴10

【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義及線段的和差的推理計(jì)算是

解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)點(diǎn)C，M,N分別為AB,AC,8C的中點(diǎn)，可得點(diǎn)C,M,N是線段AB的四等分點(diǎn)，可求得CM=CN=5,

即可得到答案；

(2)根據(jù)點(diǎn)M,N分別為AC,BC的中點(diǎn)，可推得即得答案.

【詳解】(1)?.?點(diǎn)C,M,N分別為力B,AC,BC的中點(diǎn)，

回點(diǎn)C,M,N是線段48的四等分點(diǎn)，

?"M="=""卜2。=5,

???MN=2cM=2x5=10；

(2)?.?點(diǎn)M,N分別為/IC,的中點(diǎn)，

???MN=CM+CN=\AC+^BC="/C+BC)=^AB,

?,MM*.

10.(2024七年級(jí)?全國(guó)?競(jìng)賽)如圖1,兩條直線43、CD相交于點(diǎn)0,且乙4OC=乙4OD,射線OM從。。開

始繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為2。/，，射線ON同時(shí)從開始繞。點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),速度為2。/,.運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為亡秒.(0WtW60,本題出現(xiàn)的角均不超過平角).

AA

I

L

B''B

圖1圖2

⑴若OM所在的直線平分乙CON,求t的值；

⑵如圖2,直線“ICD交。M于點(diǎn)E,交。4于點(diǎn)F,交射線ON的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，當(dāng)射線OM在乙4。0內(nèi)部，且

上器黑絲是定值時(shí)，求C的取值范圍，并求出這個(gè)定值.

ZOPF

【答案】(1)56.25

⑵當(dāng)0VtV18時(shí)，3"2:P°E是定值,定值為7.

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，角的和差運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，注意分類討論.

(1)分0M在"ON外部和OM在ZCON內(nèi)部?jī)煞N情況列出方程解答即可；

(2)先確定iMONV180。時(shí)/的值，再分0V￡V18和tN18兩種情況進(jìn)行計(jì)算，解題即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)OM在ZT。抵外部時(shí)，*90-2t)=3%

解得：t=11.25；

當(dāng)0M在4CON內(nèi)部H寸，2t-90=2(180-3t),

解得:t=56.25.

(2)解：當(dāng)點(diǎn)夕在點(diǎn)七的左邊時(shí)，2°t+3°t+90°<180°,

解得t<18,

，秒時(shí)，NOPE=NCOP=90。+2",Z.POE=180°-90°-3°t-2℃=90°-5°t,

乙OPF=￡P(guān)OD=90。一2。3

3ZOPE+4ZPOE_3(90。+2")+4(90。-5。0_630°-14℃

=7.

AOPF-90°-2°t-900-2℃

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)E的右邊時(shí)，4OPE=乙OPF=乙NOC=90°-2°3/POE=CPOF+乙EOD-90°=5°t-90°,

g3/OPE+4"OE3(900-20t)4-4(5°t-90<>)7°t-45°

l?j--不是定值.

ZOPF900-2°t45°-t°

回當(dāng)0V￡<18時(shí)，3"需P°E是定值,定值為7.

11.(2024七年級(jí)下?全國(guó)?競(jìng)賽)【理解新知】

如圖①，已知〃08,在〃OB內(nèi)部畫射線OC,得到三個(gè)角，分別為乙4OC、乙BOC、/-AOB.若這三個(gè)角中

有一個(gè)角是另外一個(gè)角的兩倍，則稱射線0C為乙4。8的“2倍角線〃.

(1)角的平分線這個(gè)角的“2倍角線”；(填”是〃或"不是”)

(2)若乙4OB=90。.射線。仁為￡力。/?的〃2倍角線〃,則N4OC二.

【解決問題】

如圖②，已知4108=60。，射線。P從。/1出發(fā)，以每秒20。的速度繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；射線OQ從。8出發(fā),

以每秒10。的速度繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線。P、0Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一條射線回到出發(fā)位置的時(shí)候，整個(gè)運(yùn)動(dòng)

隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).

(3)當(dāng)射線OP、0Q旋轉(zhuǎn)到同一條直線上時(shí)，求，的值；

(4)若04OP,0Q三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“2倍角線〃，直接寫出所有

可能的t值.(本題中所研究的角都是小于等于180。的角.)

【答案】(1)是

(2)30c或45c或60c

(3)4或10或16

(4)2或12

【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，找等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵，屬于

中考?？碱}型.

(1)由角平分線的定義和“2倍角線”的定義可得；

(2)分三種情況討論,由“2倍角線〃的定義，列出方程可求t的道;

（3）分三種情況討論，列出方程可求￡的值；

（4）分六種情況討論，由“2倍角線〃的定義，列出方程可求t的宜.

【詳解】解：（1）團(tuán)一個(gè)角的平分線平分這個(gè)角，且這個(gè)角是所分兩個(gè)角的2倍,

團(tuán)一個(gè)角的角平分線是這個(gè)角的“2倍角線〃；

故答案為：是：

（2）有三種情況：

①若4/?。。=2/40CH寸，且Z40C+Z-BOC=90°,

團(tuán)4AOC=30°；

②若4A08=2乙4。。時(shí)，且4408=90。，

二Z.AOC=45°；

③若Z40C=24BOCH'j,H.AA0C+乙BOC=90°,

AZ.A0C=60°；

故答案為：30?；?5。或60。；

（3）山題意得，運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍為；0<￡三18,

則有①60+20t+10￡=180,

解得：t=4；

②60+20t+10t=360,

解得：t=10；

③60+20t+10t=180+360,

解得：t=16；

綜上，C的值為4或10或16；

（4）在整個(gè)過程，有如下幾個(gè)臨界點(diǎn)：

當(dāng)OP,OQ共線時(shí)，由（3）知，￡=4或10或16,

當(dāng)0尸為。4的反向延長(zhǎng)線時(shí)，e二嗡=9,

當(dāng)0Q為。4的反向延長(zhǎng)線時(shí)，t=嗤絲=12,

故一共分成6種情況，①當(dāng)0vtW4時(shí)，如圖①，

若440Q=2440P時(shí)，Z.AOP=Z.AOQ.

即20t=60+103

解得：￡=6（舍去）；

若4/OP=2AA0Q,

則20t=120+203無解；

若2N4OP=Z40Q,

則40t=60+103

解得：t=2,

②當(dāng)4Vt<9時(shí)，如圖⑦，沒有任何一條射線在另外兩條射線組成的角內(nèi);

團(tuán)匕QOP=360°-60°-20t°-10t°=300°-30t°,則乙4OQ=60°+10t°,

若KP。/=244。（？時(shí).，乙QOP=LAOQ,

則300-30t=60+10t,

解得：t=6（舍去）：

若乙QOP=2/40Q時(shí)，則300-30t=120+20t,

解得：t=3.6（舍去）；

若2/QOP=440Q時(shí)，則600-60t=60+103

解得：￡=竽（舍去）；

④當(dāng)10<t<12時(shí)，如圖④，

則“OP=（20°+10°）（C-10）=30t°-300°,^AOP=360°-20尸，

若乙4OQ=24A0P時(shí)，￡QOP=^AOP,則30t—300=360—203

解得：t=13.2（舍去）；

若乙QOP=2乙4OP時(shí),則30t-300=720-403

解得：t=14?（舍去）；

若24QOP=4力OP時(shí)，貝I]60t-600=360-20t,

解得：t-12；

⑤當(dāng)12<￡V16時(shí)，如圖