10.4三元一次方程組

重難點題型專項練習(xí)

考察題型一解三元一次方程組

2x-y+3z=l

典例1-1.解方程組3x+y-7z=2,如果要使運算簡便，那么消元時最好應(yīng)()

5x-y+3z=3

A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.先消常數(shù)項

x+y+z=3①

變式1-1.解三元一次方程組31+2)，+z=10②，如果消掉未知數(shù)z,則應(yīng)對方程組變形為

2x-y+z=-l(3)

()

A.①+③，①x2-②B.①+③，③*2十②C.②①，②③D.①x2-③

2%+y+3z=11

典例12解方程組：《3x+2)」2z=ll.

4x-3y-2z=4

3x-2y=8......①

變式1-2-1.解方程組：?2＞，+3z=l......②.

x+5y-z=-4.............(3)

2x+3y+4z=15

變式1-2-2.-4x+6y-3z=8.

x-2y+z=-5

典例二解含比例三元一次方程組

〃：：c=2:3:4

典例2-1.解方程組:

3a+b-4c=-\4

x:y=2:3

變式2-1.解方程組：,.1：z=5:4.

x+y+z=33

x_y_z

典例2-2.解方程組：石二行二兄

2x+3y+4z=-26

變式2-2-1.已知@=9=￡W0,且a+0-2c=3,求。的值.

654

x-4y+1z+2

變式2-2-2.解方程組：13一4一5

x-2y+3z=30

考察題型三解輪換式三元一次方程組

x+y=3

典例3-1.已知方程組，y+z=-6,則x+y+z的值是（）

z+x=9

A.3B.4C.5D.6

%+y=8

變式3/-1.如果方程組），+z=6的解使代數(shù)式&+x+y+z=l。，則上的值為（）

z+x=4

A.8B.-8C.1D.-1

'x+y=22

變式3-1-2.解方程組：?y+z=13.

z+x=-27

2x+y+z=5

典例3-2.解方程組：?x+2y+z=3

x+y+2z=4

x+y-z=\\

變式3-2.解下列方程或方程組：x+z-），=1.

y+z-x=5

考察題型四利用三元一次方程組求式

典例4-1.已知4、b、C*的足a+?+3c=10,3a+2b+c=7O,則a+Z?+c=

變式4-1.若a+2Z?+3c=10,且4a+3￡?+2c=15,則a+Z?+c=.

典例4-2.有理數(shù)X、），、z滿足「一"y='貝ijx+2y+5z的值是（）

[x+y+4z=3

A.-4B.3C.4D.值不能確定

x=a

x-by+4z=\

變式4-2-1.若方程組的解是不，=1,則〃+0+&?的值是（）

x-2by+3z=3

z=c

A.—3B.0C.3D.6

:Ml；的解都為非負數(shù)‘若z+7,則卬的最大值是（）

變式4-2-2.已知方程組4

A.-4B.-8C.-2D.以上都不對

4x-3y-6z=0j則之

典例4-3.已知，

x+2y-7z=0y

變式43已知實數(shù)。、b、。滿足為+1的+3c=90,&i+9b+c=72,則必￡

67+2/?

考察題型五構(gòu)造三元一次方程組求解

典例5.己知.y=ad+/?x+c且當(dāng)x=l時，y=5,當(dāng)x=-2時，y=14；當(dāng)x=-3時，＞,=25,求a,b,c

的值.

變式5-1.已知代數(shù)式cY+Zu+c,當(dāng)x=-1時，其值為4；當(dāng)x=l時，其值為8；當(dāng)x=2時；其值為25；

則當(dāng)x=3時，其值為（）

A.4B.8C.62D.52

變式5-2.已知關(guān)于x的整系數(shù)二次三項式ad+加+c,當(dāng)x取1、6、8、12時，某同學(xué)算得這個二次三項

式的值分別是0、15、35、100.經(jīng)驗算，只有一個是錯誤的，這個錯誤的結(jié)果是—.

考察題型六整體思想的應(yīng)用

::Ur：*時’采用了一種嚏體代換”的思想，解法如下:

典例6.閱讀：善于思考的小明在解方程組

解：將方程②變形為&r+20y+2）=10,即2（41+10），）+2），=0勃把方程①代入③得，2x6+2y=10,則

x=4

_y=-l：把），=-1代入①得，x=4,所以方程組的解為：，

試用小明的“整體代換”的方法解決以下問題：

2x-3v=7

（I）試求方程組6—的解.

(2)已知x,y,z,滿足廣一2z+l2y=5,求z的值.

2x+z+8y=8

變式6.解二元一次方程組的關(guān)鋌是“消元”，即把“二元"轉(zhuǎn)化為"一元"，同樣，我們可以用“消元''的方法解

三元一次方程組.下面，我們就來解一個三元一次方程組：

x+y+z=2,①

解方程組,2%+3)，一z=8.②

3x-2y+z=3,③

小曹同學(xué)的部分解答過程如下：

解：+得：3A+4J=IO??

+得：5x+y=ll⑤，

3x+4)，=10

與聯(lián)立＜

5x+y=\\

(1)請補全小曹同學(xué)的解答過程:

m+n+p+q=4

(2)若利、n>p、q滿足方程組《2(陽+〃)+3〃一q=16,則加+〃一2〃+q=

3(〃?+〃)-2p+q=6

10.4三元一次方程組

重難點題型專項練習(xí)

考察題型一解三元一次方程組

2x-y+3z=\

典例1」.解方程組3x+y-7z=2,如果要使運算簡便，那么消元時最好應(yīng)()

5x—y+3z—3

A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.先消常數(shù)項

【詳解】解：觀察未知數(shù)x,y,z的系數(shù)特點發(fā)現(xiàn)：

未知數(shù)y的系數(shù)要么相等，要么互為相反數(shù)，

所以要使運算簡便，那么消元時最好應(yīng)先消去y.

故本題選：B.

x+y+z=3(1)

變式1-1.解三元一次方程組卜x+2)，+z=10②，如果消掠未知數(shù)z,則應(yīng)對方程組變形為

2x-y+z=-1(3)

()

A.①+③，①x2-②B.①+③，③x2+②C.②?,②③D.??,①x2-③

x+y+z=3①

【詳解】解：解三元一次方程組,3x+2)，+z=10②，如果消掉未知數(shù)z,

2x-y+z=-1③

則應(yīng)對方程組變形為②①，②③.

故本題選：C.

2J+y+3z=11

典例12解方程組：⑶+2旦-2z=ll.

4J-3J-2Z=4

2x+y+3z=11?

【詳解】解：<3x+2y-2z=U②,

4x-3y-2z=4@

①x2+②x3得：13x+8y=55④，

@@得：x-5y=-7⑤，

由??組成方程組產(chǎn)：”=55得：[a：,

x-5y=-l[>'=2

把x=3,y=2代入①得：64-2+3z=11>解得：z=1.

彳=3

原方程組的解為），=2.

z=I

3x-2y=8...........①

變式1?2?1.解方程組：-27+32=1...........②.

x+5y-z=-4..........（3）

【詳解】解：③x3-①得：17y-3z=-20④，

②+④得：19y=-19,解得：＞=-1,

把y=-l代入②得：—2+3z=l,解得：z=1,

把y=-l,z=l代入③得：x-5-l=-4,解得：x=2,

x=2

原方程組的解為卜=T.

z=1

2x+3_y+4z=15

變式1-2-2.*4x+6y-3z=8.

2x+3y+4z=15?

【詳解】解：，4#+6y-3z=8②，

x-2y+z=-5③

①x2得：4x+6.y+8z=30④，

@@得：llz=22,解得：z=2,

③x2得：2x-4y+2z=-IO?,

??得：7y+2z=25⑥，

把z=2代入⑥得：7），+4=25,解得：），=3,

把），=3,z=2代入③得：3-6+2=-5,解得：x=-h

x=-l

原方程組的解為卜=3.

z=2

典例二解含比例三元一次方程組

a:b:c=2:3:4

典例2-1.解方程組:

3G+6-4c=-14

a:b:c=2:3:4①

【詳解】解:

3a+h-4c=-14?

設(shè)a:〃：c=2:3:4=&,

:.a=2k,b=3k,e=4A,

將a=2々，b=3k,c=4太代入②中得:

解得：k=2,

a=4

原方程組的解為卜=6.

c=8

=2:3

變式2-1.解方程組：,x:z=5:4.

x+y+z=33

【詳解】解：設(shè)x=10M

_y-15k>z=8k，

將x=10Z,y=15k,z=8攵代入x+y+z=33中得：，

解得：k=\,

x=10?y=15,z=8,

x=10

原方程組的解為、y=15.

z=8

xyz

典例2-2.解方程組：p=3=4

2x+3y+4z=-26

x_y_z

【詳解】解：^2=3=4，

2x+3y+4z=-26

則x=2&,y=3攵，z=4k,

把x=2攵，y=3&,z=4k代入方程2x+3y+4z=-26得：，

52

x=------

29

78

原方程組的解為y=------

29

1(K

z=-------

29

變式2-2-1.已知@=2=￡￡（）,且〃十人-2（：=3,求a的值.

654

【詳解】解：設(shè)且=2=￡=攵，

654

則。=6攵，b=5k,c=4xr>

a+b—2c=3f

.?.6k+5Z-8k=3,

.\k=l，

：.a=6k=6.

x-4_y+1_z+2

變式2-2-2.解方程組：亍=:~=丁.

x-2y+3z=30

x—4j+1=z+2①

【詳解】解：3-4一5，

x-2y+3z=30@

由①可設(shè)1="1=2=&,

345

則x=3k+4,y=4k-\,z=5Z—2,

代入方程②得：3%+4—2（4左-1）4-3（5女-2）=30,

去括號得：，

解得：k=3,

x=3x3+4=13,y=4x3—1=11?z=5x3—2=13?

x=13

原方程組的解為卜=11.

z=13

考察題型三解輪換式三元一次方程組

x+y=3

典例3-1.已知方程組，y+z=-6,則x+y+z的值是（）

z+x=9

A.3B.4C.5D.6

x+y=30

【詳解】解：,y+z=-6②，

z+x=9（3）

①+②+③得：2x+2y+2z=3+（-6）+9,

：.x+y+z=3.

故本題選：A.

x+y=8

變式3-1-1.如果方程組y+z=6的解使代數(shù)式&+x+），+z=10,則上的值為（）

z+x=4

A.8B.-8C.ID.-1

x+y=8①

【詳解】解：y+z=6@,

z+x=4③

①+②+③得：2x+2y+2z=18,

/.x+y+z=9,

vAr+x+y+z=10.

.?M+9=10,

:.k=\.

故本題選：C.

x+y=22

y+z=13.

z+x=-27

x+y=22I①

【詳解】解：.y+z=13②,

z+x=-27@

①+②+③得：2x+2y+2z=8,

整理得：x+y+z=4④，

④①得：z=-18,

@@得：x=-9,

@@得：y=31＞

x=-9

方程組的解為y=31.

z=-18

2J+y+z=5

典例3-2.解方程組：＜x+2），+z=3

x+丁+2z=4

2x+y+z=5?

【詳解】解：＜x+2y+z=3②,

x+y+2z=4@

①+②+③得：4x+4y+4z=l2,

/.x+y+z=3?,

@@得：x=2,

②④得：y=0?

③?得：z=l,

x=2

原方程組的解為卜=0.

z=1

x+y-z=11

變式3-2.解下列方程或方程組：x+z-y=l.

y+z-X=5

x+y-z=\\?

【詳解】解：,x+z-y=1②,

y+z-x=5③

①+②+③得：x+y+z=\7,

:.x+y+z=3④，

@(D得：2z=6,

解得：z=3,

@@得：2y=16,

解得：y=8,

④③得：2x=12,

解得：A=6?

x=6

原方程組的解為y=8.

z=3

考察題型四利用三元一次方程組求式

典例4-1.已知〃、〃、c滿足a+2Z>+3c=10,3〃+2Z?+e=70,則a+〃+c=

【詳解】解：u、b、c滿足a+2Z/+3c=10①3"+2b+c=7。②，

①+②得：4。+4"+4c=80,

所以a+〃+c=20.

故本題答案為：20.

變式4-1.若a+2Z?+女=10,且4t/+3Z?+2c=15,則a+Z?+c=.

【詳解】解：,/〃+2Z?+3c=10,〃+3/>+2c=15,

兩式左右相加得：5a+5〃+5c=25,

匕式左右兩邊同時除以5得：a+b+c=5.

故本題答案為：5.

典例4-2.有理數(shù)1、y、z滿足1"一）'+5=\則x+2y+5z的值是（）

x+y+4z=3

A.-4B.3C.4D.值不能確定

x-y+2z=l?

【詳解】解:

x+y+4z=3②

①+②得：2x+6z=4,

x+3z=2@,

②?得：

2)，+2z=2④，

③+④得：

x+2y+5z=4,

故本題選：C.

變式421.若方程組?一?+'=1的解是）,=],則〃+"6c?的值是（）

x-2by+3z=3

A.-3B.0C.3D.6

fx=a

【詳解】解一?方程組，=1的解是y=],

x-2bv+3z=3

[z=c

J?-Z?+4c=1?

\a-2b+3c=3@，

由①@得：〃+c=-2,

Z?=—2—c,

把Z?=—2-c代入①得：?-(—2—<?)+4c=1?

ci+5c=-1?

故本題選：A.

2r—v-3z=-5

變式4?2?2.已知方程組:；的解都為非負數(shù)，若卬=3x—2v-7z+7,則卬的最

x+2y+z=5

大值是（）

A.-4B.-8C.-2D.以上都不對

2x-y-3z=-50

【詳解】解:

x+2y+z=5@

①x2+②得：5x-5z=-5，

解得：x-z=-l,BPx=z-1?

把x=z-1代入②得:z-\+2y+z=5f

解得：y=-z+3,

代入得：M^=3(Z-1)-2(-Z+3)-72+7=3Z-3+2Z-6-72+7=-2Z-2.

???z為非負數(shù),即z..l,

「.2,-2,即-2z-2,-4,

則卬的最大值為

故本題選：A.

典例43已知產(chǎn)[3)二6z：0,則“一

[x+2y-iz=Oy

【詳解】解：方程組整理得：尸"一”=6￡),

②x4—①得：1ly=22z,即y=2z,

把y=2z代入②得：x+4z=7z,即x=3z.

則f=更=3

y2z2

故本題答案為：1.

變式4-3.已知實數(shù)。、b、c滿足為+1肪+3c=90,&i+9b+c=72,則比上=

4+2〃

2a+130+3c=90@

【詳解】解:

134+9〃+C=72②

②x3-①得：，

7々+14/?=126,即a+2Z>=18,

①x3-②x2得：，

3〃+c=270-144=18,

3b+c_18.

a+處—濟-

故本題答案為：1.

考察題型五構(gòu)造三元一次方程組求解

典例5.已知y=ad十"+c且當(dāng)x=l時，y=5?當(dāng)x=-2H'h>=14；當(dāng)工=-3時，y=25.

求a,b,c的值.

【詳解】解：把x=l,y=5；x=-2,y=14；x=-3,y=25代入），=012+/>+。得:

a+b+c=5?

<4a-2/?+c=14②，

9a-3b+c=25③

a-h=3

②①，③①得:

2a-b=5

解得：a=2，b=—\>

將a、b的值代入①得：c=4.

則a,b,c的值分別為：2,—1,4.

變式5-1.已知代數(shù)式+當(dāng)x=—l時，其值為4；當(dāng)x=l時，其值為8；當(dāng)x=2

時，其值為25；則當(dāng)x=3時，其值為()

A.4B.8C.62D.52

a-b+c=40

【詳解】解：由題意得知?〃+力+。=8②，

4a+2b+c=25(3)

用①+②得：a+c=6④，

用②?得：b=2,

把〃=2代入③得：4?+4+c=25,即4a+c=21⑤，

用⑤?得：為=15,解得：a=5,

把a=3代入④得：3+。=6,解得：c=1?

/.ax2+bx+c=5x2+2x+l,

當(dāng)x=3時，ar2+/zr+c=5x3?+2x3+l=45+6+l=52.

故本題選：D.

變式5-2.已知關(guān)于.r的整系數(shù)二次三項式ar?+加+c,當(dāng)工取1、6、8、12時，某同學(xué)算

得這個二次三項式的值分別是0、15、35、100.經(jīng)驗算，只有一個是錯誤的，這個錯誤的結(jié)

果是—.

【詳解】解：?當(dāng)”=1時,a+b+c=0①，

當(dāng)x=6時，36a+6b+c=\5?,

當(dāng)x=8時，癡+助+。=35③，

當(dāng)x=12時，l44a+12/，+c=100④，

@@得：80a+劭=65,

???〃和。都是整數(shù)，

.?S而+助只能是偶數(shù).

故③和④中有一個錯誤；

??得：108?+的=85,

???0和b都是整數(shù),

.?.10&/+劭只能是偶數(shù)，

故②和④中有一個錯誤；

④錯誤，

錯誤的結(jié)果是100.

考察題型六整體思想的應(yīng)用

典例6.閱讀：善于思考的小明在解方程組廠=6?時，采用了一種，，整體代換，，的思

8x+22y=IO@

想，解法如下：

解：將方程②變形為8x+20y+2y=10,即2(4x+10)，)+2y=10③，把方程①代入③得,

x=4

2x6+2y=10,則)，=一1；把)，二一1代入①得，x=4,所以方程組的解為：-.

),=一1

試用小明的“整體代換”的方法解決以下問題：

(1)試求方程組124-3尸7的解.

6,v-5j=9

(2)已知x,y,z,滿足，

2x-3y=7&

【詳解】解：(1)

6x-5y=9@

將②變形得：3(2x-3y