蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊3.1勾股定理的探究培優(yōu)訓(xùn)練

一、折疊問題

1.如圖，RtAABC,4A=90。，將4ABC沿DE翻折，使得點C與點B重合。若AB=6,AC=8,則

折痕DE的長為（）

2.如圖，在RtaABC中，448。=90。，AB=4tBC=3.將△4BC折疊，使點C與邊的中點。重合,

折痕為EF,則線段BF的長為（）

7

2D6-

3.如圖，三角形紙片中，AB=AC,BC=24,4c=30。，折疊這個三角形，使點B落在AC的

中點D處，折痕為EF,那么BF的長為.

4.如圖，正方形力BCD的邊長為8,將正方形折疊，使頂點D落在8c邊上的點E處，折痕為GH,若

點E恰好是的中點，則線段CH的長為.

5.長方形ABCO中，48=4,BC=3,P為40上一點，將△ADP沿BP翻折至△EB匕BE與CO相交

于點G,PE與C0相交于點。，且OE=°D.

①求證：OP=EG②求4尸的長

6.如圖1,在RCA48C中，乙4cB=90。，BC=4,點D在力8邊上運動，△COB沿著C。折疊得到

dCDB',直線CB'與直線48相交于E點.

圖1圖2備用圖

（1）如圖2,若力。=3,CBLAB,求CE的長度；

（2）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時，求力。的值；

（3）若AC=3,△EOB'為鈍角三角形，直接寫出80長度的取值范圍.

7.已知在直角三角形4B0中，%=8,08=6,D為斜邊4B中點，C為邊％上一點.

(1)0D=

(2)如圖1,連結(jié)BC交007點E.當(dāng)NCB0=4B40時:

①求證；0D1BC.

②求ABE。的面積.

(3)如圖2,連結(jié)。。，將沿著CO折疊得到△/C“當(dāng)人》與△4B0的一邊平行時，求

4c的長度.

8.如圖，在△49C中，24cB=90。，AB=5cm,BC=3cm,若點p從點力出發(fā)，以每秒lcm的速

度沿射線力C運動，設(shè)運動時間為/秒(亡＞°).

備用圖

(1)把A/BC淋著過點P的直線折疊，使點力與點8重合，請求出此時/的值.

(2)是否存在，值，使得為等腰三角形？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

(3)現(xiàn)把△力8C沿著直線6P翻折，當(dāng)f為何值時，點。翻折后的對應(yīng)點C’恰好落在直線A8上.

二、全等構(gòu)造法(一線三等角、旋轉(zhuǎn)手拉手)

9.(1)如圖1,AABC與△CDE中，/.B=/-E=Z-ACD,AC=CD,B、C、E三點在同一直線上，

加=8,ED=4f求BE的長.

圖1

(2)如圖2,在△ABC中，乙48c=60。，BC=6,以AC為邊在△外部作等邊△/CD,連接

BD,求△8C0的面積.

圖2

(3)如圖3,四邊形ABCO中，^ABC=^CAB=^ADC=45°t若△面積為21且。。的長為

8,求△480的面積.

10.如圖1,P是等邊△48C內(nèi)一點，連結(jié)4P,8P.將線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BP：連

結(jié)CP'.

圖1圖2備用圖

(1)求證：。。臺三△CP'B.

(2)如圖2,連結(jié)CP,PP’.

①當(dāng)乙4P8=130。，且△以‘P為等腰三角形時，求出乙CP8的度數(shù).

②當(dāng)P8=2/8=6,且P8IICP'時，請直接寫出點A到點P'的距離.

11.如圖，△ABC中，/8=90,BC=8,8C上一點。，使8?！?=3:5.

(1)若40平分48AC,求點。到AC的距離；

(2)若點。恰好在AC的垂直平分線上，求△480的周長.

三、手拉手構(gòu)造

12.已知P為等邊內(nèi)一點，。力=1/8=2/4。8=15?！?則。。=

13,如圖，P星等功三角形ABC內(nèi)一點，將線段AP繞點4順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AQ,連

接?Q.若P/=6,=&PC=10,則四邊形APBQ的面積為,

四、等腰三角形分類討論

14.如圖，在△4BC中，乙48。=90。/。=13,84=5,點P從點C出發(fā)，以每秒3個單位長度的速

度沿折線C-4-B運動.設(shè)點P的運動時間為出>0）.

C

（1）BC=.

（2）求斜邊4c上的高線長.

（3）①當(dāng)P在上時，AP的長為,t的取值范圍是.（用含I的

代數(shù)式表示）

②若點P在乙8以1的角平分線上，則t的值為.

（4）在整個運動過程中，直接寫出△PR?是以為一腰的等腰三角形時t的值.

15.如圖，己知A/BC中，Z-B=90°,AB=8cm,BC=6cm,p、Q是△4BC邊上的兩個動點，其

中點P從點A開始沿A-B方向運動，旦速度為每秒1加，點Q從點B開始沿B-C-A方向運動,

旦速度為每秒2cm,它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒.

備用圖備用圖

（1）出發(fā)2秒后，求PQ的值；

（2）從出發(fā)幾秒鐘后，第一次能形成等腰三角形？

（3）當(dāng)點Q運動到CA上時，求能使是等腰三角形時點Q的運動時間，求出t的值.

16.如圖，在^ABC中，44。8=90°,4B=5,BC=3,點p從點A出發(fā)，沿射線4c以每秒2個單

位長度的速度運動.設(shè)點P的運動時間為t秒（1>0）.

C/PC/P

A4------------------------、BA乙--------------、B

備用圖

(1)當(dāng)點P在AC的延長線上運動時，CP的長為_；(用含t的代數(shù)式表示)

(2)若點P在的角平分線上，求t的值；

(3)在整個運動中，直接寫出是等腰三角形時t的值.

五、新定義三角形

17.如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“夢想三角形”.

(1)如圖，在△力8C中，AB=AC=ylStBC=2.求證：△A8C是“夢想三角形，，.

(2)在長△ABC中,4c=90。，AC=6,若△是“夢想三角形”,求BC的長.

18.定義：如果經(jīng)過三角形一個頂點的線段把這個三角形分成兩個小三角形，其中一個三角形是等

腰三角形，另外一個三角形和原三角形的三個內(nèi)角分別相等.那么這條線段稱為原三角形的“和諧分

割線”，例如：如圖1,等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線

圖1圖2圖3

(1)判斷命題真假：等邊三角形存在“和諧分割線”是命題；(填“真''或“假”〉

(2)如圖2,在RSABC中，"=9。°,=30。，AC=yj3f試探索Rt/kABC是否存在“和諧

分割線”？若存在，求出“和諧分割線''的長度；若不存在，請說明理由；

(3)如圖3,在△4BC中，4=42。，若線段CD是△從口。的“和諧分割線”，且△BCD是等腰三

角形，求出所有符合條件的乙8的度數(shù).

19.根據(jù)以下素材，探索解決問題.

如何作出“倍角三角形

如果一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的兩倍，則稱這樣的三角形為“倍角三

素材

角形”

問題解決

如圖1,△48C中，AB=AC,44=36。，請將△/WC分成兩個小三角形，使得其

中一個小三角形是“倍角三角形”，并標注該“倍角三角形”三個內(nèi)角的度數(shù).

A

A

項目操作

圖1

項目探索若△A8C是倍角三角形，LA>LB>ZC,￡8=30。，AC=4呢,求△A8C面積.

如圖2,△力8c的外角平分線40與C8的延長線相交于點0,點E在C4延長線上，若

AE=ABfAB+AC=BDf請你找出圖中的倍角三角形，并進行證明.

E

項目拓展

DBc

圖2

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】B

28

3.【答案】3

4.【答案】3

5.【答案】證明：①???四邊形ABCD為矩形

???4A=4D=90。，AB=CD=4,AD=BC=3

由翻折可得：zA=zE=ziD=90o

VOD=OE,zDOP=zEOG

.,.△PDO=AGEO

ADP=EG

@VAPDO=AGEO

???OG=OP

VOD=OE

，DG=PE=PA

設(shè)AP=x,則PD=EG=3-x,DG=AP=x

:.BG=BE-EG=1+x,CG=DC-DG=4-x

在RtABCG中，BC2+CG2=BG2

即32+(4-x)2=(l+x)2

解得：x=2.4

，AP=2.4

6.【答案】(1)解：?.ZCB=90。，,.?BC=4,AC=3f

22

;.45=^C+5C=5>

?.?C8'1AB,

AC-BCAB-CE

??.F=F,

.?.CE=2.4

(2)解：根據(jù)翻折可得BC=BC,BD=B'D,當(dāng)△力B'C為等腰直角三角形時,

如圖，當(dāng)點「在4c的右側(cè)時,

貝小4c2=AB7+CB?=2CB，?^AC?十AB7=CB'?,

;tAC=也B,C=yl2BC=4隹或4c=2BC=\BC=2^.

當(dāng)點爐在4。的左側(cè)時，

222，222，2

IJ1IJ.4C=AB'+CB=2CB^AC+AB=CBt

(2,12

.?.AC=h2BC==2、歷或=^.BC=y^BC=4、2

綜上所述，4,=2、2或甸2

(3)解：如圖，當(dāng)時，過點C作則ZHCO=/HOC=4S。,

0<^￡><0.8

：.HD=CH=24,

I.HB=^BC2-CH2=(42-2.42=3.2,

,-.BD=3.2-2.4=0.8,

.??當(dāng)0cBOV0.8時，△B'DE為鈍角三角形.

如圖，當(dāng)時，△EDB’是直角三角形,

B'

A

3b^x

C4B

(3.2-x)2+1.62=/

x=2

則CE=2.4,~^BC2—CE2=^42—2.42=3.2^BE=4—2.4=1.6,

設(shè)BO=x,則8。=x,EO=3.2-%

;,x2=(3.2-x)2+1.62,

解得：％=2,即8。=2；

如圖.當(dāng)8D=3.2時，點°、E直合，翻折后8’、D、E不能構(gòu)成二角形，即△EDB,不存在.

"。二3.2

三角形不存在

如圖，當(dāng)80=4時，BD=BC=BC=BD=4,

“BCD=乙BDC=乙BCD=/.BCD,

???C8’|M8,不存在點E,交點E不存在,

AB〃B，C,BD=4

△BED不存在

在此之間，△?DE為鈍角三角形，即2VBOV3.2或3.2VBDV4.

、、/

如圖，當(dāng)點D運動到點A時，30的長為5,aEOS為鈍角三角形.

??.△E08'為鈍角三角形時，8。長度的取值范圍為0VBDV0.8或2<BD<3.2或3.2V80<4或

4<BD<5

7.【答案】(1)5

(2)①證明：???△4°8=90。

???乙ABO+Z.BAO=90°

YD為斜邊A8中點，

：.0D=BD=ADt

;,LDOB=Z.DBO.

,:乙CBO=iBA。,

"OEC=乙DOB+Z.CBO=乙DBO+乙BAO=90°,

即OOJ.8C：

②解：由(1)知，0D=BD=5；

設(shè)0E=x,貝ijDE=5-x；

由①知，0D1BCt

由勾股定理得：B^2=BD2-DE2=52-(5-X)2,BE2=OB2-OE2=62-X2,

/.52-(5-X)2=62-X2,

18

x=---

解得：5,

c_ln/7oc._l1824_216

：^BOE-^E-BE=-K—X—=—

(3)解：當(dāng)/OIIOA時，如圖，則乙4'DC=Z4C。,

由折疊知,^ADC=Z-ADCf

;,LADC=LACD,

：,AC=AD=5.

則乙。瓦4=乙BOA=90°.

1

0D=AD=-AB=5

???2,

.AE=OE=^OA=4

由勾股定理得：OE=｛標二店=3；

由折疊知，AD=AD=5,AC=ACf

,\AE=AD-DE=2.

設(shè)AC=4C=%貝ijCE=AE-AC=4一與

在中，由勾股定理得：22+(4-X)2=X2,

_5

解得："=2,

AC=1

5

綜上，4c的長度為5或2

8.【答案】(1)解：根據(jù)勾股定理，可得：ACf%82—BC2=、仁守=4,

由折疊性質(zhì)知；DP垂直平分AB,

.?.AP=BP=t,CP=4-t,

在直角三角形BCP中：BP2-CP:=BC2,

At2-(4-t)2=32,

25

圖1

(2)解：存在，△A8P為等腰三角形分三種情況：①當(dāng)AP=AB=5時，t=5；

25

②當(dāng)PA=PB時，由(1)知：t=8；

③當(dāng)AB=BP時：AP=2AC=8

At=8,

25

綜上所述，當(dāng)△ABP為等腰三角形時，t的值為5或9或8；

(3)解：分成兩種情況：①當(dāng)點P在線段AC上時，如圖2,由折疊性質(zhì)知:

PC=PC\ZACT=ZACB=9O°,BC,=BC=3,

VAP=t,

APC=PC,=4-t,BC'=BC=3,

???AC=5-3=2,

在直角三角形APC'中：AP2-PC，2=AC，2,

At2-(4-t)2=22,

5

圖2

②點P在AC的延長線上時：如圖3,由折疊性質(zhì)知：PC=PC,ArC=AC=4,A'B=AB=5,

VAP=t,

???PC=PC'=t-4,AC=AB+BC=5+3=8,

在直角三角形A'CP中：A'P2-PC2=AC2,

At2.(t.4)2=82,

解得：t=10.

5

綜上，t的值為5或10時，點C翻折后的對應(yīng)點。‘恰好落在直線48上.

9.【答案】解：(1)?.?△8==ZJ1CZ),Z.B+Z.ACB+z.A=Z-ACB+Z.ACD4-Z,DCE=180°,

J.LACB+Z-A=Z.ACB+Z.DCE,

.?.乙4=4DCE,

在△ABC和ZkCED中

/乙4=Z.DCE

)乙B=￡E

\AC=CD

三

/.△ABC△CED(AAS)t

,\AB=CE=S,BC=ED=4,

.?.BE=BC+CE=12.

(2)延長BC,作乙OFC=60。，過點D作。，工BC于H,如圖所示：

圖2

???△4CD是等邊三角形，

：,LACD=60°=乙ABC=Z.DFC,AC=CD,

.?.乙AC8+Z.BAC=LACB+乙FCD=120°,

：,LBAC=LFCD,

在AABC和ZkCFD中

/BAC=乙FCD

乙ABC=4DFC

AC=CD

.?.AABC^△CFD(AAS),

?,.BC=F0=6,

V^DHF=90°zDFC=60°,

HF=1DF=3

J2,

...DH=^DF2-HF2=^62-32=3強

.S△BCD=]BC,DH=2x6X=9#.

(3)分別過點A、B作4M_LCD,BNJ.CD,垂足分別為M、N,如圖所示:

\-LABC=Z.CAB=乙ADC=45°,

.?.△ACB,△4Mo都為等腰直角三角形，

AC=CB,AM=DM/ACB=90°,

:?△AC。面積為21且CO的長為8,

…2x2121…

：.84,

CM=CD-DM=8-=￥

44,

?JLACM+Z.BCN=AACM+Z.CAM=90°,

工人BCN=^CAM,

在AACM和^CBN中

乙CAM=乙BCN

Z.AMC=Z.CNB

AC=BC

.?.△ACM二△CBN(AAS),

AM=CN=—,CM=BN=—

44,

22222

BC=BN+NC=(^)+(^)=S^BCD=^CDBN=^X8X^.=11

SXACB=^BCAC=^BC2=瑞

s_Q.._281_617

)四邊形力8C0-3a/ICB十3△4C。一石石"十Z1一萬石"

s-cc_61711_441

.〉^ABD~)四邊形)△BCD~■—11--77~

???

10.【答案】(1)由題意可得：PB=PB.LPBP=60°,

是等邊三角形，

???AB=BC/ABC=60°,

LABC=乙PBP,

?.LABP=Z.CBP\

在△4P8和△CP8中，

AB=BC

/-ABP=ACBP

PB=PB9

???△APB三△CPB(SAS),

(2)(1)VPB=PB.Z.PBP=60°,

?MBPP'是等邊三角形，

:?乙BPC=LBP'P=60。，

由(1)知：ABAPedBCP',

???乙CP'B=^APB=130°,

LCPP=130°-60°=70°,

???ACPP為等腰三角形，

PC=PP'或PC=PC或PP'=CP：

當(dāng)PC=pp'時，Z-PCP=Z.CPP=70°,

ALCPP=180°-70°-70°=40°,

???LCPB=40°+60°=100°.

當(dāng)PC=PC時，Z.CPP=Z.CPP=70°,

LCPB=60°+70°=130°.

1800-70°

Z-CPP=乙PCP'==55。

當(dāng)PP'=CP'時,~17

.??乙。尸8=55。+60°=115。?.

綜上，當(dāng)△CP'P為等腰三角形時，乙CP8的度數(shù)為100?；?30?；?15。；

②圖+1

1L【答案】(1)3

(2)12

12.【答案】

13.【答案】24+9G

14.【答案】（1）12；

（2）解：如圖1,過點B作BD1.4C于點D,

圖1

'0'S△力BC=2AB,BC=—/IC,BD

ccAB-BC5x1260

AC1313,

60

???斜邊4c上的高線長為

13_26

(3)①3￡-13,,②￡=可

(4)解：???是以4B為一腰的等腰三角形，

，分以下兩種情況：

①如圖，當(dāng)=40=5時，^CP=AC-AP=13-5=8,

圖3

CP8

.*.t=—=—

33.*

②如圖，當(dāng)力8=80=5時，過點8作80J.4CF點。,

圖4

由(2)知13,

???AD=^AB2-BD2=忸一償＞=登

JLOJLD

?:AR=RP,BD±ACt

AP=2AD=

1J,

CP=AC-AP=13-52=111

CP119

8119

綜上所述，△P4B是以/IB為一燃的等腰三角形時t的值為W或利.

15.【答案】（1）解：出發(fā)2秒后，AP=1x2=2cm,BQ=2x2=4cm,

所以8P=AB-AP=8-2=6cm.

因為乙8=90°,根據(jù)勾股定理，PQ=廊2+BQ?=忖+42=V52=2yil3cm

（2）解：設(shè)從出發(fā)t秒鐘后，AP08第一次能形成等腰三角形.

此打BP=8BQ=2t.

=8

當(dāng)BP=8Q時，8-t=2t,解得t一3秒.

（3）解：①當(dāng)CQ=BQ時（圖1）,則“="BQ,

.??乙CBQ+/ABQ=90。，44+乙C=90。，AC=^BC2+AB2=^'6+82=10cm,

LA=ZJ1BQ,

??.BQ=4Q,

:.CQ=AQ=5cm,

;,BC+CQ=11cm,

./=11+2=5.5秒，

②當(dāng)CQ=8c時（如圖2）,則BC+CQ=12cm,

③當(dāng)BC=BQ時（如圖3）,過B點作BE1"C于點E,

E

Q

B'A

“ABBC6x824

BE=----------=--------=——cm,

則AC105'

所以但麻G=18

~5

故CQ=2CE=7.2cm,

所以BC+CQ=13.2cm,

???t=13.2+2=6.6秒,

由上可知，當(dāng)￡為53秒或6秒或6.6秒時，△8CQ為等腰三角形.

16.【答案】(1)21

5

(2)4

255

(3)￡的值為正或2或4

17.【答案】(1)證明：如圖，過點A作力0,8C于點。，

-AB=AC,ADIBC,BC=2,

“D是BC邊上的中線，BD=；BC=：X2=1

乂?.?AB=AC=衽,

AD2222

由勾股定理得：=\^B-BD=X'Q5)-1=2,

：.AD=BC,

???△ABC是“夢想三角形，，；

(2)解：如圖，若是?，夢想三角形，，,

A

;直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，

???只能是宜角邊的中線等于對應(yīng)的宜角邊,

有以下兩種情況：

①當(dāng)4c邊上的中線BD=4C=6時，C°=24C=2X6

此時，BC=[BD,2—CD?=、辰―二3、3,

CE=—RC

②當(dāng)BC邊上的中線4E=8c時，-2

62=8c2_儂邛

222

此時,AC=AE-CEf即

解得：BC=4平（負數(shù)值舍去）,

綜上所述，BC=3?3或8C=4、8.

18.【答