專題3.3探索與表達(dá)規(guī)律

目錄

一.知識梳理與題型分類精析

知識引入1：

知識點(diǎn)（一）日歷中的數(shù)字規(guī)律

【題型1】日歷中的數(shù)字規(guī)律

知識引入2：

知識點(diǎn)（二）數(shù)字規(guī)律

【題型2】數(shù)字問題

【題型3】楊輝三角數(shù)字規(guī)律

【題型4】其他數(shù)字規(guī)律問題

知識點(diǎn)（三）圖形規(guī)律

【題型5】圖形規(guī)律——火柴棒、桌子擺放、三角形拼圖問題

【題型6】圖形規(guī)律——點(diǎn)陣問題

二.同步練習(xí)

【基礎(chǔ)鞏固（20題）】

【能力提升（20題）】

【中考真題10題】

一.知識梳理與題型分類精析

知識引入1：

這是2025年10月的日歷，探究下列問題

—?二三四五六日

123

45678910

11121314151617

18192021222324

試卷第1頁，共22頁

15262728293031

（1）日歷圖中的數(shù)有什么規(guī)律？

（2）日歷圖的套色方框中的9個(gè)數(shù)之和與該方框正中間的數(shù)有什么關(guān)系？

（3）這個(gè)關(guān)系對任何一個(gè)月的日歷都成立嗎？為什么？

（4）你還能發(fā)現(xiàn)這樣的方框中9個(gè)數(shù)之間的其他關(guān)系嗎？請用代數(shù)式表示.

一二三四五六日

123

45678910

11121314151617

18192021222324

15262728293031

知識點(diǎn)（一）日歷中的數(shù)字規(guī)律

。一8a-1a-6

f7-1a4+1

a+6a+7a+8

a-7

a-1aa+1

a+7

圖1圖2

如圖1,設(shè)正中間一個(gè)數(shù)為。，則這九個(gè)數(shù)字之和為：

（6?—8）+（a-7）+（。―6）+（-1）+。+（。+1）+（。+6）+（a+7）+（。+8）=9a

如圖2,設(shè)正中間一個(gè)數(shù)為4,則這五個(gè)數(shù)字之和為：

（a-7）+（?-1）+。+（。+1）+（a+7）=5a

【題型1】日歷中的數(shù)字規(guī)律

【例題1】（24-25七年級上?北京?期中）

1.觀察下列日歷中“階梯框”中的數(shù)字規(guī)律，回答問題.

試卷第2頁，共22頁

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

(1)若像這樣在任意一個(gè)日歷中用“階梯框”圈出6個(gè)數(shù)，請根據(jù)規(guī)律補(bǔ)全“階梯框”;

(2)請通過列式說明日歷中“階梯框”中的數(shù)字之和一定是3的倍數(shù)；

(3)在(1)的條件下，。可能等于7或26嗎？請說明理由.

【變式1】(24-25七年級上?湖北孝感?期中)

2.將連續(xù)的偶數(shù)2,4,6,8,10,…，按下表進(jìn)行排列.

246810

1214161820

2224262830

3234363840

(1)十字框(即黑線框)內(nèi)的五個(gè)數(shù)的和，與中間的數(shù)16有什么關(guān)系？

(2)若將十字框上下左右移動，框住另外的五個(gè)數(shù).

①設(shè)此時(shí)十字框中間的數(shù)為x,用代數(shù)式表示十字框中的五個(gè)數(shù)的和；

②這五個(gè)數(shù)的和能否恰好等于2210?若能，直接寫出這五個(gè)數(shù)，若不能，請說明理由.

【變式2】(22-23七年級上?云南紅河?期末)

3.如圖是2022年11月的日歷.

(1)帶陰影的方框中的9個(gè)數(shù)的和與方框正中心的數(shù)有什么關(guān)系？

(2)不改變帶陰影方框的大小，將方框移動幾個(gè)位置試--試，你能得出什么結(jié)論？你能證明

這個(gè)結(jié)論嗎？

知識引入2：

試卷第3頁，共22頁

任意寫出一個(gè)位數(shù)，然后交換這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，又得到一個(gè)數(shù)，并求這兩

個(gè)數(shù)的和.

設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為X,個(gè)位數(shù)字為y,則這個(gè)兩位數(shù)為lOx+y,交換后的兩位數(shù)為

10j，+x,它們的和是(iOx+y)+(l()y+x)=1lx+1=1l(x+y),所以得到以下規(guī)律：

知識點(diǎn)(二)數(shù)字規(guī)律

任意兩位數(shù)，交換個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字后所得的兩位數(shù)與原數(shù)的和一定是個(gè)位數(shù)字和H立數(shù)

字的11倍.

【題型2】數(shù)字問題

【例題2](24-25七年級上?湖北恩施?期末)

4.定義：對于任意一個(gè)兩位數(shù)，交換個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的位置得到一個(gè)新數(shù)，我們把這

樣的兩個(gè)數(shù)稱之為互為“友好數(shù)”；如63的“友好數(shù)”是36.

(1)填空：27、68的“友好數(shù)”分別是：

(2)對于任意一個(gè)兩位數(shù)，設(shè)它的個(gè)位數(shù)字為。，十位數(shù)字為八試說明這個(gè)數(shù)與它的“友好

數(shù)”之和一定能被11整除.

【變式1](24-25六年級上?上海?期末)

5.小麗是個(gè)愛思考的學(xué)生，最近，她發(fā)現(xiàn)?些特殊的兩位數(shù)乘法，

如：21x29=60923x27=621

31x39-120952x58-3016

⑴根據(jù)上述算式的規(guī)律請計(jì)算：87x83==_

(2)試寫出一個(gè)與上述算式具有同樣特征的算式：_

(3)為了反映上述規(guī)律，如果設(shè)其中一個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)字為加，個(gè)位上的數(shù)字為〃，那么該

因數(shù)可表示為：另一個(gè)因數(shù)可表示為」計(jì)算結(jié)果可表示為一

【變式2](24-25七年級匕上海奉賢?階段練習(xí))

6.觀察下列各式：

21-12=9；75-57=18；96-69=27；84-48=36；45-54=-9；27-72=-45；

19-91=-72；

(I)請用文字補(bǔ)全上述規(guī)律：把一個(gè)兩位數(shù)的H立數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置，原來兩位數(shù)與

新的兩位數(shù)的差是：

(2)你能用所學(xué)知識解釋這個(gè)規(guī)律嗎？

解：設(shè)原米兩位數(shù)的十位數(shù)字為“，個(gè)位數(shù)字為人，原來兩位數(shù)可表示為IOa+b,則新的兩

試卷第4頁，共22頁

位數(shù)的十位數(shù)字為力，個(gè)位數(shù)字為。，新兩位數(shù)可表示為,（在下面空白處，請繼

續(xù)完成解釋該規(guī)律的理由）

【題型3】楊輝三角數(shù)字規(guī)律

【例題3】（24-25七年級上?福建漳州?階段練習(xí)）

7.我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三角從圖中取一列

數(shù)：1,3,6,10,…，記〃|=1,%=3,%=6，“4=1°，…，那么〃4一2勺0+10的

值是.

1

1I

I21

1331

14641

15101051

1615201561

【變式1］（24-25七年級下?湖南岳陽?開學(xué)考試）

8.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形數(shù)表，我們稱之為“楊輝三角圖中兩線

之間的一列數(shù)：1,3,6,10,15....我們把第一個(gè)數(shù)記為q，第二個(gè)數(shù)記為的,第三

個(gè)數(shù)記為外，…，第”個(gè)數(shù)記為4，則的值是（）

A.17B.27C.39D.45

【變式2】（24-25七年級下?山東青島?期中）

9.我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三角從圖中取一列

數(shù)：1,3,6,1(),…，記q=1,4=3,%=6M4=10,…，那么2%I-3《O+13的值是

試卷第5頁，共22頁

11

121

1331

14641

1510105

1615201561

【題型4】其他數(shù)字規(guī)律問題

【例題4】（25-26七年級上?全國?課后作業(yè)）

10.觀察一列數(shù)3,8,13,18,23,28,…，依此規(guī)律下去，猜想第〃個(gè)數(shù)（用

含〃的式子表示），第2006個(gè)數(shù)是.

【變式1】（24-25七年級上?江西贛州?階段練習(xí)）

11.一列數(shù)必，…，。"，其中《=-1，^2=~，,...?an=~.,則

"ql-a21-4小

"1.02.%…”2022'“2023的值為（）

A.-1B.jC.2020D.-2020

【變式2】（24-25七年級上?河北唐山?期末）

12.觀察下面一列數(shù)，按某種規(guī)律在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：-1，=3，-5=，7三，…，第8

4916

個(gè)數(shù)是—；則第〃個(gè)數(shù)是.

小結(jié)：純數(shù)字類規(guī)律探索題就是題目中所提供的數(shù)字是在一定條件下的排列或者是運(yùn)算順序

或者是部分結(jié)論，而要求以此探索規(guī)律，歸納出一般性的結(jié)論.此類題目的解題關(guān)鍵是將所

給的每個(gè)“數(shù)”化成有規(guī)律的式子，找出規(guī)律，并用字母表示.

知識點(diǎn)（三）圖形規(guī)律

如圖，用火柴棒按下圖的方式搭三角形，并填寫下表

三角形個(gè)數(shù)1234???n

火柴棒根數(shù)1+1X2=31+2x2=51+3x2=71+4x2=7???]+〃X2=2〃+1

按這樣的規(guī)律搭下去，搭〃個(gè)這樣的三角形需要多少根火柴棒

搭〃個(gè)這樣的三角形需要（2〃+1）根火柴棒.

試卷第6頁，共22頁

【題型5】圖形規(guī)律——火柴棒、桌子擺放、三角形拼圖問題

【例題5]（24-25七年級匕江蘇常州?階段練習(xí)）

13.一張長方形桌子可坐6人，按圖方式將桌子拼在一起.

OOOOOO

OOOOOO

（1）2張桌子拼在一起可坐人，3張桌子拼在i起可坐人，〃張桌子拼在

一起可坐人.

（2）一家餐廳有40張這樣的長方形桌子，按照上圖方式每5張桌子拼成1張大桌子，則40

張桌子可拼成8張大桌子，共可坐多少人？

【變式1】（24-25七年級上?貴州黔東南?階段練習(xí)）

14.如圖是由相同的花盆按一定的規(guī)律組成的形如正多邊形的圖案，其中第1個(gè)圖案中共有

6個(gè)花盆，第2個(gè)圖案中共有12個(gè)花盆，第3個(gè)圖案中共有20個(gè)花盆……以此類推，第

10個(gè)圖案中花盆的個(gè)數(shù)為

【變式2】（2025六年級下?江蘇無錫?專題練習(xí)）

試卷第7頁，共22頁

(1)每多擺1個(gè)正方形，就增加根小棒.

(2)擺20個(gè)正方形需要多少根小棒？

【題型6】圖形規(guī)律——點(diǎn)陣問題

【例題6】(24-25七年級下?陜西西安?開學(xué)考試)

16.如圖是由大小相同的★組成的圖形，第①個(gè)圖形中有4個(gè)★，第②個(gè)圖形中有7個(gè)支,

第③個(gè)圖形中有10個(gè)★，第④個(gè)圖形中有13個(gè)，按此規(guī)律擺下去，第89個(gè)圖形中

共有多少個(gè)★?()

★

*J

★★*

.**????

★?★★

?*?**★*★?

★*★★

3

A.265B.266C.267D.268

【變式I】(24-25七年級上?貴州遵義?階段練習(xí))

17.用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的方式擺放，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第2024個(gè)

圖形需棋子枚.

OOOOOO

OOOOOOOOO

OOOOOO

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形

【變式2】(24-25七年級上?陜西咸陽?階段練習(xí))

18.如圖，用相同的黑色棋子擺成一組圖案，圖1中有6顆黑色棋子，圖2中有9顆黑色棋

子，圖3中有12顆黑色棋子，…，按此規(guī)律擺下去.

汨汩■■

圖1圖2圖3

(1)則第4個(gè)圖中有顆黑色棋子；

(2)用含〃的代數(shù)式表示第〃個(gè)圖中黑色棋子的顆數(shù)：

(3)求第230個(gè)圖中黑色棋子的顆數(shù).

小結(jié)：圖形類規(guī)律探究題包含形狀一樣但顏色不同的多個(gè)幾何圖形的圖案問題，同一種圖

形大小不一排列問題，同一種圖形的數(shù)量變化問題及數(shù)字與幾何圖形的有機(jī)結(jié)合排列等問題,

通常以確定探索物體的個(gè)數(shù)和確定圖形數(shù)量為主要內(nèi)容出現(xiàn).

試卷第8頁，共22頁

同步練習(xí)

【基礎(chǔ)鞏固（20題）】

一、單選題

（24-25七年級上吶蒙古巴彥淖爾?期末）

19.按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：口，…，其中口內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是（）

25172637

A.-B.-C.~D.：

31192

（2025七年級上?安徽?專題練習(xí)）

20.班級聯(lián)歡會上，同學(xué)們按“3個(gè)紅氣球、2個(gè)黃氣球、2個(gè)綠氣球、1個(gè)白氣球”的順序把

氣球串起來裝飾教室.第100個(gè)氣球是（）的.

A.紅色B.黃色C.綠色D.白色

（2025?云南臨滄?一模）

21.以下是一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：2a+b\3a+/，4a+b5,5a+bb,6a+〃，…?其

中第〃個(gè)多項(xiàng)式是（）

A.（〃一I）"*?B（〃+l"+b"2c.na+h^2D.（〃+2）。+人用

（2025?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）

（24-25七年級上?河北唐山?階段練習(xí)）

23.按如圖所示的規(guī)律搭上方形：搭一個(gè)小正方形需要上根小棒，搭兩個(gè)小正方形需要7根

小棒，則搭2024個(gè)這樣的小正方形需要小棒（）

口mixcnn-n

A.6071根B.6072根C.6073根D.6074根

（24-25九年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）

24.一組有規(guī)律的圖案如圖所示，第1個(gè)圖案有4個(gè)五甭星，第2個(gè)圖案有7個(gè)五角星,

第3個(gè)圖案有10個(gè)五角星，…，第6個(gè)圖案有（）個(gè)五角星.

試卷第9頁，共22頁

,……，

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案

A.13B.16C.19D.22

（24-25七年級上?江蘇蘇州,階段練習(xí)）

25.如圖，一種圓環(huán)的外圓直徑是8cm,環(huán)寬1cm.若把〃個(gè)這樣的圓環(huán)扣在一起并拉緊,

（24-25七年級下?山東?期末）

26.為慶祝九一國際勞動節(jié)，某公司用花卉在小廣場擺出了如圖所小的圖案，其中小黑點(diǎn)表

示花卉.第一層需要1盆；第二層需要3盆；第三層需要5盆；第四層需要7盆……工作人

員按照以上規(guī)律擺放完〃層時(shí)，恰好共用100盆花卉，則第（〃+1）層的花卉盆數(shù)是（）

25D.27

二、填空題

（24-25七年級上?湖南懷叱?階段練習(xí)）

27.觀察下列有規(guī)律的數(shù)，并根據(jù)此規(guī)律寫出第五個(gè)數(shù)

_2_4_6

2,-5,而,"17ri

（24-25七年級上?重慶秀山?階段練習(xí)）

28.如圖是鋼琴鍵盤的一部分，若從4開始，依次彈出4,5,6,7,1,4,5,6,7,

1,…，按照上述規(guī)律彈到第2025個(gè)音符是,

試卷第10頁，共22頁

(24-25七年級上?江蘇南京?階段練習(xí))

29.觀察下面的等式:

①/一*2+3；

②3-1=十1+2|+3；

③1-1=-||+2|+3；

④卜=一|+2+3：

⑤(-2)-1=-|4+2|+3；

若滿足上面特征的等式最左邊的數(shù)為3.32,寫出此時(shí)的等式.

（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）

3（）.用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第5個(gè)圖形中有黑色瓷

磚塊，第〃個(gè)圖形中需要黑色瓷磚塊.（用含字母〃的式子表示）

（24-25七年級下?重慶?階段練習(xí)）

31.如圖，下列圖案均由相同的小正方形組成，第1個(gè)圖案由2個(gè)小正方形組成，第2個(gè)圖

案由4個(gè)小正方形組成……依此規(guī)律，第7個(gè)圖案由個(gè)小正方形組成

（24-25七年級上山東德州?期末）

32.用棋子擺出下列一組圖形：

試卷第11頁，共22頁

①②③

按照這種規(guī)律擺下去，請問用48枚棋子的是第圖?

（22-23九年級下?廣東陽江?階段練習(xí)）

33.用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案：則第〃個(gè)圖案

34.烷煌是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)

模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如

圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，…按照這一規(guī)律，第〃種化合物的分子

結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是62,則〃的值是.

X卡與C

①②③④

三、解答題

（24-25七年級上?湖北襄陽?階段練習(xí)）

35.觀察下列三行數(shù)，并完成下面的問題：

第一■行：—2,4?-8?16,-32,64,…；

第二行：-1,2,-4,8,-16,32,

第三行：-4,2,-10,14,一34,62,...；

（1）每一行的第8個(gè)數(shù)是、、；

（2）求（1）中三個(gè)數(shù)的和.

（24-25七年級下?全國?假期作業(yè)）

36.觀察日歷找規(guī)律.

試卷第12頁，共22頁

weIM尊111?題11理螭■?蹦現(xiàn)

51建暮

$冒§圖10II

中!12

嬲崎171819

P

助1雷242526

llrTl

豳圜落||2?

⑴觀察日歷中加框的4個(gè)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

⑵觀察日歷中加陰影的9個(gè)數(shù)，你乂發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）你還能在日歷中找到什么規(guī)律？

（24-25七年級下?全國?假期作業(yè)）

37.如圖各圖是晉商大院窗格圖案的?部分,其中代表窗紙上所貼的剪紙.

（1）第1個(gè)圖中所貼剪紙的個(gè)數(shù)為5,第2個(gè)圖中所貼剪紙“O”的個(gè)數(shù)為（）,第3個(gè)

圖中所貼剪紙的個(gè)數(shù)為（）

（2）用含有字母的式子表示第〃個(gè)圖中所貼剪紙的個(gè)數(shù)是（）,當(dāng)〃=26時(shí)，所貼剪紙

的個(gè)數(shù)是（）

（24-25七年級上?遼寧錦州?階段練習(xí)）

38.【問題提出】以長方形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的〃個(gè)點(diǎn)，共（4+〃）個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn),

可把原長方形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？

DADAD

B

圖①圖②圖③

【問題探究】為了解決上面的問題，我們將一般問題特殊化，先從簡單的情形入手：

探究一：

以長方形川?。。的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的1個(gè)點(diǎn)P（如圖①），共5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，此時(shí)可把長

方形ABCD分割成個(gè)互不重疊的小三角形.

探究二：

試卷第13頁，共22頁

以長方形44C。的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個(gè)點(diǎn)尸、Q,共6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把長方形力8C。

分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？

在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①長方形"CQ的內(nèi)部，再添加1個(gè)點(diǎn)。，那么點(diǎn)。

的位置會有兩種情況：

（1）點(diǎn)。在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上，不妨設(shè)點(diǎn)。在心上（如圖②）；

（2）點(diǎn)。在圖①分割成的某個(gè)小三角形內(nèi)部，不妨設(shè)點(diǎn)。在AP/iB的內(nèi)部（如圖③）.

顯然，不管哪種情況，都可把長方形力4C。分割成個(gè)互不重疊的小三角形.

探究三：

以長方形力AC。的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)P、Q、R,大7個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把長方形力BCQ

分割成個(gè)互不重疊的小三角形.

【問題解決】

以長方形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的〃個(gè)點(diǎn)，共（41〃）個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原長方形分割

成個(gè)互不重疊的小三角形.

【探究拓展】

以五邊形的5個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的n個(gè)點(diǎn)，共（〃+5）個(gè)頂點(diǎn)可把五邊形分割成個(gè)

互不重疊的小三角形.

【拓展延伸】

（1）以小邊形的機(jī)個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的〃個(gè)點(diǎn)，共（加+〃）個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原〃?邊形分

割成個(gè)互不重疊的小三角形.

（2）以加邊形的機(jī)個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的〃個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，且〃=＜明，可把原用邊形分割成

4

3034個(gè)互不重疊的小三角形.求這個(gè)m邊形的邊數(shù).

【能力提升（20題）】

一、單選題

（24-25九年級下?云南?期中）

39.下列單項(xiàng)式按一定規(guī)律排列：/,-.，其中第〃個(gè)單項(xiàng)式為（）

A.B.

C.（-1）"+…D.（-1）"川

試卷第14頁，共22頁

（24-25六年級上?山東淄博?階段練習(xí)）

40.填在下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有一定的規(guī)律，按此規(guī)律可得到〃+A+c+d值為

（）

25694703ah

6311091857413Cd

②④③①⑨

A.355B.356C.435D.436

（24-25七年級下?廣東河源期末）

41.已知變量x,V的一些對應(yīng)值如表:

X???-2-10123??.

y???—8-101827???

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)規(guī)律，當(dāng)x=-4時(shí)，y的值是（）

A.32B.-32C.64D.-64

（24-25七年級上?安徽六安,期末）

42.如圖，按照圖形變化的規(guī)律，第2025個(gè)圖形中黑色正方形的個(gè)數(shù)是（）

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形第5個(gè)圖形

A.1012B.1013C.3036D.3038

（24-25七年級下?山東荷澤,期末）

43.我國南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝（錢塘（今杭州）人），下面的圖表是他在《詳解九章

算術(shù)》中記載的“楊輝三隹”.此圖揭示了伍+與"（〃為坐負(fù)整數(shù)）的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系

數(shù)的有關(guān)規(guī)律，由此規(guī)律可解決如卜.問題：假如今天是星期三，再過7天還是星期三，那么

再過82。25天是（）

I2J..........

13^1..........

14641...........(o-A)4

A.星期三B.星期四C.星期一D.星期五

試卷第15頁，共22頁

（24-25七年級上?貴州黔東南?階段練習(xí)）

44.將若干個(gè)小四邊形按如圖的規(guī)律排列，則第⑧個(gè)圖形中小四邊形的個(gè)數(shù)是（）

令

A.24B.25C.26D.27

（24-25九年級上?重慶秀山?階段練習(xí)）

45.如圖，是由相同大小的圓按照一定規(guī)律擺放而成，按此規(guī)律，則第7個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)

A.28B.29C.30D.31

（24-25七年級下?四川廣元?期末）

46.將邊長相等的正方形和等邊三角形按如圖所示的規(guī)律擺放，第1個(gè)圖案中有5個(gè)正方形,

第2個(gè)圖案中有7個(gè)正方形，第3個(gè)圖案中有9個(gè)正方形……，按此規(guī)律擺放，第2025個(gè)

圖案中正方形的個(gè)數(shù)是（）

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案

A.4046B.4047C.4050D.4053

二、填空題

（24-25八年級上?山東日照?階段練習(xí)）

47.3^x7皿xl產(chǎn)的末位數(shù)字是.

<24-25七年級上?廣西梧州?階段練習(xí)）

48.觀察下面一列數(shù)：:，-……按此規(guī)律，第2022個(gè)數(shù)是___.

2581114

（24-25七年級上?江蘇無謁?階段練習(xí)）

49.甲先寫一個(gè)兩位數(shù)63,乙在63的右邊寫下這個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字之和9,得到639.甲接

著在639的右邊寫下末兩位數(shù)字之和12,得到63912.乙用同樣的方法寫出639123.這樣

繼續(xù)下去，若得到一個(gè)100位數(shù).則這個(gè)100位數(shù)的各個(gè)數(shù)字之和等于.

試卷第16頁，共22頁

（24-25七年級上?河北滄州?期末）

50.如圖，黑白相間且有規(guī)律排列的球.在第〃個(gè)白色的球前面，黑色的球共有個(gè).

（24-25七年級上?湖北武漢?期中）

51.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)，原理如圖所示，若開始輸入的工的值是1,可發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)

果是8,笫2次輸出的結(jié)果是4,…，依次繼續(xù)下去，笫2024次輸出的結(jié)果是.

I為何

（24-25七年級上?陜西西安?階段練習(xí)）

52.如圖所示，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖

形中“?”的個(gè)數(shù)為小第2嗝圖形中“?”的個(gè)數(shù)七，第3幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為生，…以此類推,

貝IJ」~+」一+」一+…+」一的值為____.

4ai%

＞心帶喙＞

第1幅圖第2幅圖第3幅圖第4幅圖

（24-25六年級下?黑龍江綏化?期末）

53.根據(jù)如圖中點(diǎn)的排列規(guī)律，第5幅圖中共有個(gè)點(diǎn)，第〃幅圖中共有個(gè)點(diǎn).

54.用白色和灰色圓形按照如圖所示的方法擺圖形.

按照這樣的方法擺下去，第5個(gè)圖形中，共有個(gè)圓形；當(dāng)一個(gè)圖形中有6個(gè)灰色圓

形時(shí)，白色的圓形有個(gè).

試卷第17頁，共22頁

??

?oo?oc

?eo?)oeooc

第I個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

三、解答題

（24-25七年級上?廣東東莞?期中）

55.仔細(xì)觀察下列三組數(shù)

第一組：1,4,9,16,25,...

第二組：—2,—4,—6,—8,—10,...

第三組：一1,0,3,8,15,...

解答下列問題:

（1）每一組的第6個(gè)數(shù)分別是,,；

（2）分別寫出各組的第〃個(gè)數(shù),,；

（3）取每組數(shù)的第10個(gè)數(shù)，計(jì)算它們的和.

（24-25七年級上?河南鄭州?期末）

56.（1）小明同學(xué)用長度相同的小棒按如圖所示的規(guī)律拼擺圖形，第〃個(gè)圖形需要

（2）小穎同學(xué)給出一種新的拼擺方式，按照小穎的方式拼擺第〃個(gè)圖形所需小棒的根數(shù)為

5+4（〃-1）.請你畫圖表示小穎的拼擺方式.

（24-25七年級上?全國?隨堂練習(xí)）

57.如圖所示，某學(xué)校準(zhǔn)備新建一個(gè)讀書長廊，并用若干決帶有花紋和沒有花紋的兩種規(guī)格、

大小相同的正方形地磚搭配在一起，按圖中所示的規(guī)律拼成圖案鋪滿廊，已知每個(gè)小正方

形地磚的邊長均為（）.5米.

試卷第18頁，共22頁

（1）按圖示規(guī)律，第3個(gè)圖案的長度4=:第3個(gè)圖案中沒有花紋的正方形地磚數(shù)為

（2）若某個(gè)圖案中帶有花紋的地磚為〃塊，求沒有花紋的地磚塊數(shù).（用含〃的代數(shù)式表示）

（2025七年級上?全國?專題練習(xí)）

58.將一張等邊三角形紙片分成四個(gè)大小、形狀一樣的等邊三角形（如圖所示），記為第1

次操作，然后將其中右下帶的等邊三角形又按同樣的方法分成四部分，記為笫2次操作.若

每次都把右下角的等邊三角形按此方法分成四部分，如此循環(huán)進(jìn)行下去.

第1次操作第2次操作第3次操作

（1）若操作4次，則總共能得到個(gè)等邊三角形.

（2）計(jì)算1+'+-^-+-^-+」+-——的值.

48163264128256512

【中考真題10題】

一、單選題

（2024?江蘇徐州?中考真題）

59.觀察下列各數(shù)：3、8、18、38、…，按此規(guī)律，第5?7個(gè)數(shù)可能為（）

A.48、58、68B.58、78、98C.76、156、316D.78、158、318

（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）

60.1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1,1,2,3,5,……，這一

列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前2024

個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.676B.674C.1348D.1350

（2025?重慶?中考真題）

61.按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖中有4個(gè)圓點(diǎn)，第②個(gè)圖中有8個(gè)圓點(diǎn)，第③

個(gè)圖中有12個(gè)圓點(diǎn)，第④個(gè)圖中有16個(gè)圓點(diǎn)……按照這一規(guī)律，則第⑥個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)

數(shù)是（）

試卷第19頁，共22頁

①②③

A.32B.28C.24D.20

（2025?四川樂山?中考真題）

62.醇是一類由碳、氫、氧元素組成的有機(jī)化合物，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)

構(gòu)模型圖，其中弋表碳原子，。代表氧原子，代表氫原了?.第1種如圖1有4個(gè)氫原

子，第2種如圖2有6個(gè)氫原子，第3種如圖3有8個(gè)氫原子，第4種如圖4有10個(gè)氫原

按照這一規(guī)律，第9種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（

.碳原子

QOOQO

……O氧原子

rO氫原子

圖1圖2圖3圖”1

A.18B.20C.22D.24

（2024?山東日照?中考真題）

63.在數(shù)學(xué)活動課上，老師給出了一個(gè)數(shù)字構(gòu)造游戲：對于給定的一列有序數(shù)字，在每相鄰

兩個(gè)數(shù)之間插入這兩數(shù)的和，形成新的一列有序數(shù)字.現(xiàn)有一列數(shù)：2,4,進(jìn)行第1次構(gòu)造,

得到新的一列數(shù)：2,6,4,第2次構(gòu)造后，得到一列數(shù):2,8,6,10,4,…，第〃次構(gòu)造后得

到一列數(shù)：2不天,玉,…,%4,記4=2+%+%+毛+???+%--1-4.某小組經(jīng)過討論得出如下

結(jié)論，錯(cuò)誤的是（）

去為偶數(shù)尸

A.“3=84B.C.q+3%-15D.k=2n-\

二、填空題

（2025?青海?中考真題）

64.下圖是謝爾賓斯基地陵圖案的形成過程.按此規(guī)律下去,第⑥個(gè)圖形中黑色三角形的

個(gè)數(shù)是________.

A①A②A③④

試卷第20頁，共22頁

（2025?四川成都?中考真題）

65.分子為1的真分?jǐn)?shù)叫做“單位分?jǐn)?shù)”，也叫“埃及分?jǐn)?shù)二古埃及人在分?jǐn)?shù)計(jì)算時(shí)總是將一

個(gè)分?jǐn)?shù)拆分成幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，如：|3=-1+-1.將「Q拆分成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)相加的形式

J1\J11

為;一般地，對于任意奇數(shù)女（">2）,將:拆分成兩個(gè)不同單位分?jǐn)?shù)相加的形式

K

為.

（2025?陜西?中考真題）

66.生活中常按圖①的方式砌墻，小華模仿這樣的方式，用全等的矩形按規(guī)律設(shè)計(jì)圖案，

如圖②，第1個(gè)圖案用了3個(gè)矩形，第2個(gè)圖案用了5個(gè)矩形，第3個(gè)圖案用了7個(gè)矩

形，……則第10個(gè)圖案需要用矩形的個(gè)數(shù)為.

（2025?黑龍江綏化?中考真題）

67.觀察下圖，圖（1）有2個(gè)三角形，記作《=2；圖（2）有3個(gè)三角形，記作％=3；

圖（3）有6個(gè)三角形，記作。3=6；圖（4）有11個(gè)三角形，記作久=11；按此方法繼續(xù)

下去，則（結(jié)果用含〃的代數(shù)式表示）.

△△△△△△△△△△△△△△

△△△

圖⑴圖⑵圖⑶圖(4)

（2025?甘肅?中考真題）

68.勾股樹是一個(gè)可以無限生長的樹形圖形，它既展示了數(shù)學(xué)中的精確與秩序，還蘊(yùn)含了自

然界的生長與繁衍之美.如圖是勾股樹及它的形成過程，其中第1個(gè)圖形是正方形，第2個(gè)

圖形是以這個(gè)正方形的邊長為斜邊在其外部構(gòu)造一個(gè)直角三角形，再以這個(gè)直角三角形的兩

條直角邊為邊長，分別向外生成兩個(gè)新的正方形，重復(fù)上述步驟得到第3個(gè)圖形，……，則

第5個(gè)圖形中共有個(gè)正方形.

試卷第21頁，共22頁

勾股樹通I個(gè)網(wǎng)形第2個(gè)圖形曲［個(gè)圖形

試卷第22頁，共22頁

1.(1)見解析

(2)是3的倍數(shù)

(3)不可能，理由見解析

【分析】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，倍數(shù)，整式得加減，掌握數(shù)字變化類的規(guī)律是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)日歷中“階梯框”中的數(shù)字規(guī)律即可解答；

(2)將6個(gè)數(shù)相加即可解答；

(3)根據(jù)(1)中階梯框中的數(shù)字規(guī)律可得，。=7時(shí)，7=0,日期數(shù)字中不可能出現(xiàn)

0：當(dāng)〃=26時(shí)，4+6=32,日期數(shù)字中不可能；

【詳解】(1)解：如圖所示：

a-1a-6

a-\a

4+54+6

(2)。-7+。-6+。-1+。+。+5+。+6=6。-3二3(2。-1)

所以日歷中“階梯框”中的數(shù)字之和一定是3的倍數(shù)；

(3)不可能，根據(jù)(1)中階梯框中的數(shù)字規(guī)律可得，當(dāng)〃時(shí)，。-7=0,日期數(shù)字中

不可能出現(xiàn)0;當(dāng)。=26時(shí)，。+6=32,。=7時(shí)，。-7=0,日期數(shù)字中不可能出現(xiàn)0；

當(dāng)。=26時(shí)，。+6=32,日期數(shù)字中不可能出現(xiàn)32.

2.⑴見解析

(2)①5x；②不能，見解圻

【分析】本題主要考查有理數(shù)的計(jì)算以及整式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意計(jì)算出6+14+16+18+26=80,即可得到答案；

(2)①通過觀察知：左邊的數(shù)字比中間的數(shù)字小2,右邊的數(shù)字比中間的數(shù)字答2,上面

的數(shù)字比中間的數(shù)字小10,下面的數(shù)字比中間的數(shù)字大10,設(shè)中間的數(shù)字為x,將每個(gè)數(shù)

表示出來即可進(jìn)行計(jì)算；

②2210+5=442,由數(shù)表可知數(shù)字442在第一列，故這五個(gè)數(shù)的和不能等于2210.

【詳解】(1)解：???十字)中的五個(gè)數(shù)字之和為6+14+16+18+26=80,

答案第1頁，共34頁

又??,80+16=5,

???十字框中的五個(gè)數(shù)字之和是中間數(shù)字16的5倍：

(2)解：①通過觀察知：左邊的數(shù)字比中間的數(shù)字小2,右邊的數(shù)字比中間的數(shù)字答2,

上面的數(shù)字比中間的數(shù)字小10,下面的數(shù)字比中間的數(shù)字大10.

;中間的數(shù)字為x,

「?左邊的數(shù)字為x-2,右邊的數(shù)字為x+2,上面的數(shù)字為x-10.下面的數(shù)字為x+10,

二.十字框中的五個(gè)數(shù)字之和為x-2+x+2+x+x-10+x+10=5x；

②不能，理由如下：

2210+5=442,

而由數(shù)表可知數(shù)字442在第一列，故這五個(gè)數(shù)的和不能等于221().

3.(1)方框中9個(gè)數(shù)之和為方框正中心的9倍

(2)移動位置，方框中9個(gè)數(shù)之和為方框正中心的9倍.見解析

【分析】(1)方框內(nèi)數(shù)字的和為99,恰好是中間數(shù)字11的9倍；

(2)設(shè)中間的數(shù)為x,則方框中所有的數(shù)字表示出來，相加得到9x.

【詳解】(1)解：9個(gè)數(shù)之和為：3+4+5+10+11+12+17+18+19=99,

99+11=9,

答：方框中9個(gè)數(shù)之和為方框正中心的9倍；

(2)解：不改變帶陰影的方框的大小，將方框移動位置，關(guān)系不變.

設(shè)陰影方框正中心的數(shù)為X,

則9個(gè)數(shù)之和為：

(x-8)+(x-7)+(x-6)+(:-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=,

???k00,

???9x+x=9恒成立，

答：移動位置，方框中9個(gè)數(shù)之和為方框正中心的9倍.

【點(diǎn)睛】此題考查了整式規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是找出整式的規(guī)律.

4.(1)72,86

(2)證明見解析

【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)、理解“友好數(shù)''的定義，按照定義分析是解題的關(guān)鍵。

(1)由“友好數(shù)''的定義可得答案；

(2)由題意得這個(gè)兩位數(shù)是10b+Q,它“友好數(shù)”是10a+b,計(jì)算兩個(gè)數(shù)的和，即可得證.

答案第2頁，共34頁

【詳解】（1）解：由“友好數(shù)”的定義可得,27、68的“友好數(shù)”分別是:72,86,

故答案為：72,86；

（2）對于任意一個(gè)兩位數(shù)，設(shè)它的個(gè)位數(shù)字為十位數(shù)字為6,

則這個(gè)兩位數(shù)為：10人+。，

它的“友好數(shù)”為：10。+人

這兩個(gè)數(shù)的和為：〃++〃=+

因?yàn)?，?人為正整數(shù)，

所以，對于任意一個(gè)兩位數(shù)，這個(gè)數(shù)與它的“友好數(shù)”之和一定能被11整除.

5.（1）722

⑵92'98

（3）10〃?+〃；10/H+10-/?；100/〃（〃?+1）+"（10-"）

【分析】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律及列代數(shù)式，能根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)所給算式各部分的數(shù)

字特征是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題中所給示例，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解答.

（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出符合要求的算式即可.

（3）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，依次進(jìn)行表示并寫出計(jì)算結(jié)果即可.

【詳解】（1）解：???21x29=609,23x27=621,31x39=1209,52x58=3016,

???當(dāng)兩個(gè)十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字和為10的兩位數(shù)相乘時(shí)，積的前一位（兩位）由十位

數(shù)字乘以十位數(shù)字加1組成，后兩位為個(gè)位數(shù)字的積（積為一位數(shù)時(shí)高位由0補(bǔ)充），

.-.87x83=7221.

故答案為:7221.

（2）由（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知：

符合要求的算式可以是：42x45=2010（答案不唯一）.

故答案為：42x45=2010（答案不唯一）.

（3）解：當(dāng)一個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)字為“，個(gè)位上的數(shù)字為〃時(shí)，

這個(gè)因數(shù)可表示為10〃?+〃，則另一個(gè)因數(shù)可表示為10m+10-〃，

則計(jì)算結(jié)果可表示為：（1（）〃[+〃）（10加+10-〃）=100〃7（〃?+1）+〃（10-〃）.

故答案為:10m+n；10/w+10-?；100m（m+l）+w（10-n）.

答案第3頁，共34頁

6.(1)原來兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差的9倍

⑵9a-9b,理由見解析

【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律.

(1)根據(jù)所給的等式進(jìn)行總結(jié)即可；

(2)由(1)規(guī)律表示新的兩位數(shù)，再利用整式加減法則計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：???21-12=9=9x(2—1),

75-57=18=9x(7-5),

96-69=27=9x(9-6),

84-48=36=9x(8-4),

45-54=-9=9X(4-5),

27-72=-45=9x(2-7),

19-91=-72=9X(1-9),

???,

???把一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換位置，新的兩位數(shù)與原來兩位數(shù)的差等于原來兩

位數(shù)十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差的9倍；

故答案為：原來兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差的9倍；

(2)解：???原來兩位數(shù)的十位數(shù)字為個(gè)位數(shù)字為6,

???由(1)中規(guī)律得新兩位數(shù)可表示為：9a-9b；

(104+/?)-(10b+a)

-\0a+b-\0b-a

=9a-9b

=9(〃叫.

7.-24

【分析】本題考查圖形和數(shù)字類的規(guī)律探究，求代數(shù)式的值，正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)前幾個(gè)數(shù)字的變化得到與=8竺D,計(jì)算出即)=55,卬=66,進(jìn)而代入計(jì)算即可.

2

【詳解】解：因?yàn)?=