一元二次方程（23個高頻易錯考點，46題）

困易錯考點目錄指引_____________________________________________________________

易錯考點01：由一元二次方程的解求參數(shù)................................................2

易錯考點02：一元二次方程的解的估算..................................................3

易錯考點03：由一元二次方程的定義求參數(shù)..............................................4

易錯考點04：解一元二次方程-直接開平方法.............................................5

易錯考點05：解一元二次方程-配方法...................................................6

易錯考點06：配方法的應用............................................................7

易錯考點07：根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況......................................8

易錯考點08：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù).........................................10

易錯考點09：公式法解一元二次方程...................................................12

易錯考點10：因式分解法解一元二次方程...............................................13

易錯考點11：換元法解一元二次方程...................................................15

易錯考點12：一元二次方程的根與系數(shù)的關系...........................................16

易錯考點13：傳播問題（一元二次方程的應用）.........................................18

易錯考點14：增長率問題（一元二次方程的應用）.......................................19

易錯考點15：與圖形有關的問題（一元二次方程的應用）................................21

易錯考點16：數(shù)字問題（一元二次方程的應用）.........................................23

易錯考點17：營銷問題（一元二次方程的應用）..........................................24

易錯考點18：動態(tài)幾何問題（一元二次方程的應用）....................................27

易錯考點19：工程問題（一元二次方程的應用）.........................................29

易錯考點20：行程問題（一元二次方程的應用）........................................31

易錯考點21：圖表信息題（一元二次方程的應用）......................................33

易錯考點22：其他問題（一元二次方程的應用）........................................35

易錯考點23：握手、循環(huán)賽問題（一元二次方程的應用）................................38

困易錯題型培優(yōu)訓練________________________________________________________

易錯考點01：由一元二次方程的解求參數(shù)

1.(25-26九年級上?江西新余?階段練習)如果2是方程x2—cx+2=0的一個根，那么。的值是

()

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】A

【思路引導】本題考杳一元二次方程的根的定義.解題運用“代入求值”思想，將方程的根代入方程轉化

為關于。的一元一次方程求解.解題關鍵是準確代入根并正確運算，易錯點為代入或后續(xù)計算時出錯.

根據(jù)方程根的定義，把x=2代入方程，得到22—2C+2=0,然后通過移項、計算，求出。的值.

【規(guī)范解答】解：由題意，將x=2代入方程，得：22-2C+2=0

4-2c+2=0

6-2c=0

2c=6

解得c=3.

故選：A.

2.(25-26九年級上?黑龍江綏化?開學考試)先化簡，再求值：S^+(m+2—-三)，其中m是方程

3m4-6m\m-2/

x2+3x-l=0的根.

【答案】3(m2+3m)*3,

【思路引導】本題考查了分式化簡求值，方程的解，先通分計算括號里的，再計算括號外的，化為最簡，

由于m是方程x2+3x-l=0的根，那么m2+3m-l=0,可得m?+3m=1整體代入化簡后的式子，計算

即可，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【規(guī)范解答】解：WMm+2-3)

m-3m2—4—5

-3m(m-2)m—2

m—3m—2

=--------------X---------------------

3m(m-2)(m+3)(m-3)

i

—3(m2+3n】)'

???m是方程x2+3x-l=0的根,

EI2+3m—1=0,

Am24-3m=1,

:.原式=Ur

易錯考點02：一元二次方程的解的估算

3.(2425八年級下?山東淄博?階段練習)觀察下列表格，一元二次方程x2-3x=4.6的一個近似解為

()

X-1.13-1.12-1.11-1.10-1.09-1.08-1.07

x2—3x4.674.614.564.514.464.414.36

A.-1.123B.-1.117C.-1.089D.-1.073

【答案】B

【思路引導】先明確方程X2-3X=4.6,通過表格找X2-3X的值接近4.6時對應的x,利用函數(shù)的增減性確定

近似解.本題主要考查利用表格數(shù)據(jù)估算一元二次方程的近似解，熟練掌握函數(shù)值與自變量的對應關系及

通過數(shù)據(jù)趨勢判斷近似解是解題關鍵.

【規(guī)范解答】解：觀察表格：

當*=—1.13時，y=4.67；當*=—1.12時,y=4.61；當*=—1.11時,y=4.56,

??,4.61更接近4.6,

.??X=-1.12時x2-3x的值更接近4.6,且x在一1.13到-1.11逐漸增大時,X2-3x逐漸減小(由表格數(shù)據(jù)

可知)，4.6介于4.61(x=-1.12)和4.67(x=-1.13)之間，更靠近4.61,

???近似解在一1.12附近，

對比選項，一1.117最接近一1.12,

故選:B.

4.(24-25九年級上-陜西寶雞-階段練習)根據(jù)下表判斷方程x2+2x-10=。的一個解x的取值范圍是

()

X???-4.5-4.4-4.3-4.2-4.1???

x2+2x-10???1.250.56-0.11-0.76-1.39???

A.-4.5<x<-4.4B.-4.4<x<-4.3

C.—4.3VxV—4.2D.-4.2VxV—4.1

解得：m=3.

故選：C.

易錯考點04：解一元二次方程-直接開平方法

7.（2025九年級上-全國-專題練習）按照指定方法解下列方程:

（1）（2X-1）2=9（用直接開平方法）

⑵2X2-9X+8=0（用配方法）

【答案】⑴X]=2盟=-1

【思路引導】本題考查了解一元二次方程；

（1）兩邊開平方得到2x-l=±3,即可求出方程的解：

（2）把原方程配方成（X—J-杉，再利用開平方法解方程即可.

【規(guī)范解答】⑴解:（2x-1）2=9,

開平方得，2x-l=±3,

.\2x-l=3或2x—l=-3,

解得:Xi=2,X2=—1：

（2）解：原方程整理得2x2-9x=-8,

二次項系數(shù)化為1，得：x2-|x=-4,

配方，得3-聲+伊=_4+（"即K，

兩邊開平方，得x-3=±手，

?_9+V17-9-V17

-----4一----4—.

8.（24-25九年級上-全國-階段練習）用直接開方法解方程（X—3）2=8得方程的根為（）

A.x=3+2^3B.X]=3+2V3>x2=3-2^3

C.x=3—2y/3D.X[=3+2V2,X2=3-2^2

【答案】D

【思路引導】考查一元二次方程的解法一直接開平方法，運用整體思想，把（X—3）看作一個整體，利用直

接開平方法求解即可.

【規(guī)范解答】解：（X-3）2=8,

AX—3=+2V2,

二x=3±2&，

???X]=3+2y/2,x2=3—2立，

故選：D.

易錯考點05：解一元二次方程-配方法

9.(25-26九年級上?浙江紹興?開學考試)(1)計算：V2(3-V2)-V8+IV2-2|

(2)解方程：x2-4x=2

【答案】(1)0：(2)X1=2+V6,x2=2-V6

【思路引導】本題主要考查了二次根式的混合運算、解一元二次方程等知識點，掌握相關運算法則和方法

是解題的關鍵.

(1)先根據(jù)二次根式的性質、絕對值化簡，然后再運用二次根式的混合運算法則計算即可；

(2)直接用配方法求解即可.

【規(guī)范解答】解：(1)V2(3-V2)-V8+IV2-2|

=\泛(3-V2)-2V2+2-V2

=3V2-2-2V2+2-V2

=0.

(2)x2—4x=2

X2—4x+4=2+4,

(x—2)2=6,

x一2=±瓜,

x二2±V6*

；?Xi=2+V6,x2=2—V6.

10.(25-26九年級上?廣西南寧?階段練習)(1)解一元二次方程：X2+2X-6=0.

【答案】X1=V7-1,X2=-V7-1

【思路引導】本題考查解一元二次方程

配方法解方程即可；

【規(guī)范解答】解：x2+2x-6=0

x2+2x=6,

x2+2x+1=6+1,

(X+1)2=7,

x+1=±V7,

:.X]=y/7-l/x2=-y/l—1;

易錯考點06：配方法的應用

11.(24-25八年級下?浙江紹興?期末)已知一元二次方程X?-4x+m=0可配成(x-n)2=1,則m+n

的值為()

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】I)

【思路引導】本題考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程變形為(X-2產(chǎn)=4-m,所

以「=2,4-m=l,然后求出〃、〃的值，最后計算它們的和即可.

【規(guī)范解答】解：x2-4x+m=0,

x2-4x=-m,

x2—4x+4=4—m,

(x-2)2=4-m,

/.r=2,4—m=1,

解得m=3,

.,.m+n=3+2=5.

故選：D.

12.(23-24九年級上?河南周口?期末)先閱讀內容，再解決問題：

若門2+2m+M—4n+5=0,求m和n的值.

Vm2+2m+n2—4n+5=0,

m2+2m4-1+n2—4n+4=0,

??.(m+1)2+(n-2)2=0,

m4-1=0,n—2=0,

n=—1,n=2.

(1)已知a2—2a+b2+6b+10=0,求a、b的值;

⑵若a2+b2—8a—10b+41+|5_c|=0,請問以a、b、c為三邊的△ABC是什么形狀？說明理由.

【答案】(l)a=l,b=-3；

(2)△ABC是等腰三角形，理由見解析.

【思路引導】本題考查了配方法的應用，等腰三角形定義，掌握完全平方公式、非負數(shù)的性質是解題的關

鍵.

（1）仿照題例通過完全平方公式進行變形，根據(jù)非負數(shù)的性質分別求出a、b即可；

（2）仿照題例通過完全平方公式進行變形，根據(jù)非負數(shù)的性質分別求出a、b、c,根據(jù)等腰三角形的概念

解答即可.

【規(guī)范解答】（1）解：???a2—2a+b2+6b+10=0,

.\a2-2a+l+b2+6b+9=0,

???（a-l）2+（b+3）2=0,

a—1=0,b+3=0,

a=1,b=—3；

（2）解：4ABC是等腰三角形，理由，

Va2+b2-8a-10b+41+|5-c|=0.

a2—8a+16+b2-10b+25+|5_c|=0,

/.（a-4）2+（b—5產(chǎn)+|5-c|=0,

a—4=0,b—5=0,5—c=0,

/.a=4,b=c=5,

.?.△ABC是等腰三角形.

易錯考點07：根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

13.（25-26九年級上?廣東揭陽?階段練習）（1）用配方法解方程：2x2-5x+2=0；

（2）證明：不論a,b,c為任何實數(shù)，關于x的方程x2—（a一b）x—（ab+c2）=0都有實數(shù)根.

【答案】⑴X1=2,X2=I；（2）見解析.

【思路引導】本題考查解一元二次方程，根的判別式，熟練掌握配方法以及根的判別式與根的個數(shù)之間的

關系，是解題的關鍵；

（1）一除，二移，三配方，進行求解即可：

（2）求出判別式的符號即可得證.

【規(guī)范解答】解：（1）2X2-5X+2=0,

x2-fx+l=0,

X2-|x=-1,

5,25一25

X?2-2X+TZ=T+G

5\29

X~4)=而

5=

4——4,

X]=2,x2=5：

4

(2)x2—(a—b)x—(ab+c2)=0,

/.△=[—(a—b)]2+4(ab4-c2)

=a2—2ab4-b24-4ab+4c2

=a2+2ab+b2+4c2

=[a+b)2+4c2>0,

???不論a,b,c為任何實數(shù)，關于x的方程*2—0一1)/―06+02)=0都有實數(shù)根.

14.(24-25九年級上?北京海淀?期中)己知關于x的方程x2-(m+l)x+(m-J=0.

(1)求證：方程必有兩個不等實數(shù)根:

(2)當m取0<m<5的整數(shù)時，存在兩個有理數(shù)根，求m的值和這兩個有理數(shù)根.

【答案】(1)方程必有兩個不等實數(shù)根;

1q

⑵加的值為1，這兩個有理數(shù)根為5和亍

【思路引導】本題考查了根的判別式以及公式法解一元二次方程.

(1)由方程的系數(shù)結合根的判別式A=b2—4ac,可得出4=0—1)2+1>0,進而可證出方程必有兩個

不等實數(shù)根;

(2)由勿的取值范圍及方程存在兩個有理數(shù)根，可得出m=l,代入后可得出原方程為X2-2X+3=O,且

△二1，再利用公式法，即可求出原方程的兩個有理數(shù)根.

【規(guī)范解答】(1)證明：A=[—(m+l)F—4xlx(m—?

=m2+2m+1—4m+1

=m2—2m+2

=(m—1)2+1,

V(m-l)2>0,

.\(m-l)2+l>0,

即A,。,

???方程必有兩個不等實數(shù)根：

(2)解：???當/〃取0Vm<5的整數(shù)時，存在兩個有理數(shù)根，且A=(m-1)2+1,

Am=1,

，原方程為X2-2X+3=O,且A=l,

，此時原方程的解為x=土|里，

???加的值為1，這兩個有理數(shù)根為;和(

易錯考點08：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

15.(23-24九年級上-福建泉州-自主招生)已知關于x的方程x2—(m+2)x+2m=0.

(1)若兩根異號，且正根的絕對值較大，求整數(shù)m的值；

⑵若等腰△ABC的一邊長為3,另兩邊的長恰好是方程的兩個根，求△ABC的周長

【答案】(1)一1

(2)等腰三角形的周長為7或8

【思路引導】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的意義，解一元二次方程，三角形的三邊關系，掌

握一元二次方程根的情況與判別式的關系是解題的關犍.

(1)利用公式法進行求解一元二次方程，得出X]=m,X2=2,再利用兩根異號，且正根的絕對值較大，

得出一2vmv0,即可求解;

(2)當邊長為3的邊為底時，可知方程有兩個相等的實數(shù)根，可求得加的值，再解方程，確定出三邊長;

當邊長為3的邊為腰時，則可知方程有一個根為3,代入可求得/〃的值，則可求得方程的另一根，進而求得

周長，注意根據(jù)三角形的三邊關系定理判斷是否成立.

【規(guī)范解答】(1)解：???x2—(m+2)x+2m=0,

a=1,b=—(m+2),c=2m,

二"=(m+2)2—4x2m=(m—2)2>0,

..m+2±J(m-2)2_m+2±(m-2)

?v?X----F-------2'

??X]—m,x?=2,

???兩根異號，且正根的絕對值較大，

-2<m<0,

工整數(shù)m的值為一1；

(2)解：①當3為底邊長時,△=(m-2)2=0,

m=2,

此時原方程為X2-4X+4=0,

解得:xt=x2=2.

???2、2、3能組成三角形，

???三角形的周長為2+2+3=7；

②當3為腰長時，將x=3代入原方程，得：32—（m+2）x3+2m=0,

解得：m=3,

此時原方程為X2—5X+6=0,

解得：XI=2,X2=3.

???2、3、3能組成三角形，

二三角形的周長為2+3+3=8,

綜卜所述：等腰二角形的周長為7或8.

16.（20-21九年級上?湖南永州?期末）若關于x的一元二次方程（k—1）x2—2kx+k-3=0有實數(shù)根，則

k的取值范圍為（）

A.k>7B.k?,且kwlC.k>0D.k20且k01

44

【答案】B

【思路引導】此題考杳了根的判別式，根據(jù)題意可得△=（-2k）2-4x（k-l）x（k-3）=16k-12>0,

然后結合k-1工。即可求解，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程ax?+bx+c=0（a豐0）根的判別式△=

b2-4ac,當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，A>0；當方程有兩個相等的實數(shù)根時，A=0；當方程沒有實

數(shù)根時，A<0.

【規(guī)范解答】解：???關于x的一元二次方程（1<一1>2—2履+1<-3=0有實數(shù)根，

/.A=（-2k）2-4x（k-1）x（k-3）=16k-12>0,

解得：k>|,

Vk-1工0,

???k的取值范圍是工1,

故選:B.

易錯考點09：公式法解一元二次方程

17.（25-26九年級上?江西新余?階段練習）解下列方程:

⑴(x—2)2—9=0；

(2)2x2-6x+l=0；

【答案】(l)xi=5,x2=—1

⑵X]=喑

【思路引導】本題考杳一元二次方程的解法，涉及直接開平方法、公式法.直接開平方法體現(xiàn)“降次”思

想，需將方程化為(mx+n)2=p(pn0)形式；公式法是通用解法，關鍵是確定a、b、c并計算判別式△.易

錯點為直接開平方法漏解正負情況，公式法易在人的取值或計算時出錯.

(1)對于(X-2)2—9=0,因左邊是完全平方式，用直接開平方法.先移項得(X-2)2=9,再由平方根

定義得x-2=±3,分別求解得X],x2.

(2)對于2x2—6x+1=0,用公式法.確定a=2,b=-6,c=1,計算A=(b)2—4ac=28>0,代入

求根公式x=…土尸3得，即可求得X：x.

Na2

【規(guī)范解答】(1)(X—2)2—9=0

(x-2>=9

x—2=±3

x—2=3或x—2=—3,

：?X]=5,x2=—1.

(2)2x2-6x+1=0

va=2,b=—6,c=1,

/.A=b2—4ac=(—6)2—4x2x1=36—8=28>0,

???方程有兩個不相等的實數(shù)根.

.乜--(-6)±V28_6±2>/7_3±V7

2x242

.乂_3+V7_3-V7

??Xi--x2

18.(24-25九年級上?安徽宿州?期中)如圖，在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,先以頂點￡為圓心，以

邊AB為半徑作弧交對角線BD于點幺再以頂點〃為圓心，以邊AD為半徑作弧交對角線BD于點F,則方程x2

+2ax=b2的一個正根是()

A.線段BD的長B.線段BF的長C.線段DE的長D.線段EF的長

【答案】C

【思路引導】本題考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是

解感的關鍵.

根據(jù)勾股定理求出DE,利用求根公式解方程，比較即可.

【規(guī)范解答】解：???四邊形ABCD是矩形

CD=AB=a,BC=AD=b

在BCD中，由勾股定理得，BD=限2+CD2=

/.DE=BD-BE=BD—AB=Va2+b2—a,

解方程X2+2aX=b2得X=3士等4b2=_a±&T中，

，線段DE的長是方程x2+2ax=b2的一個根.

故選：C.

易錯考點10：因式分解法解一元二次方程

19.(24-25九年級上-遼寧沈陽-階段練習)解方程

(1)2(X-2)2=X2-4；

(2)3X2+2x-2=0.

【答案】(I”]=2,X2=6；

【思路引導】本題考查解一元二次方程-因式分解法，公式法，解決本題的關鍵是掌握解一元二次方程的

方法.

(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)利用公式法解方程即可.

【規(guī)范解答】(1)解：2(X-2)2=X2-4

2(x-2)2=(x+2)(x-2)

2(x—2)2—(x4-2)(x—2)=0

(x-2)[2(x-2)-(x+2)]=0

(x-2)(x-6)=0,

x—2=0或x—6=0,

解得Xi=2,x2=6；

(2)解：3x2+2x-2=0

其中a=3,b=2,c=—2,

.?"=22—4x3x(-2)=28,

-2+V28-2+2V7-1±V7

?Y-________—_______________

??一6一6一3

解得Xi=乎，x2=竽.

20.(24-25九年級上?甘肅定西?階段練習)按要求解下列方程：

(l)x2-x-l=0(公式法)

(2)X2-4X=-3(配方法)

(3)3X(X+4)=2(x+4)(因式分解法)

【答案】(1及]=匕獸，X2=￥

(2)xi=1,x2=3

2

(3)Xi=-4,x2=-

【思路引導】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解答的關鍵.

(1)利用公式法解一元二次方程即可解答：

(2)利用配方法解一元二次方程即可解答；

(3)利用因式分解法解一元二次方程即可解答.

【規(guī)范解答】(1)解：a=1,b=-1,c=-1,

A=(—l)2—4x1x(—1)=l+5=5>0,

?乂-

■?八1±V5,

乂_LAV-1+店

X1----，x2-------5—

(2)解：配方，得x2—4x+4=—3+4,

即(X-2)2=1

開方，得x-2=±1

??X[=1,x?=3；

(3)解:移項，得3x(x+4)-2(x+4)=0

則(x+4)(3x-2)=0

，x+4=0或3x—2=0

2

.?.X]=—4,x=

2J

易錯考點11:換元法解一元二次方程

21.(24-25八年級下?安徽淮北?階段練習)已知關于工的一元二次方程ax2+bx—c=0的解是叼=1,

X2=—3,則另一個關于x的方程a(x+3>+b(x+3)-c=。的解是()

A?X1-2,x?=6B.X-|—2,X2=6

C.X]=-1,x2=3D?X]=19X2=-3

【答案】B

【思路引導】本題考查了一元二次方程的解.熟練掌握一元二次方程的解是解題的關鍵.換元法解一元二

次方程，令t=x+3,則方程a(x+3)2+b(x+3)—c=0即為at2+bt—c=0方程，根據(jù)題意可得方程的解

是h=l,t2=—3；則x+3=l或x+3=—3,據(jù)此求解即可.

【規(guī)范解答】解：令t=x+3,則方程2仁+3)2+依+3)-(:=0即為212+M袁=0方程，

???方程ax?+bx—c=0的解是Xi=1,x2=—3

二方程at?+ht-c=0的解是L=1,t2=-3f

x+3=1或x+3=—3,

解得，Xi=-2,x2=—6,

工方程的解是，X]=—2,x2=-6.

故選：B.

22.(24-25九年級上?河北唐山?階段練習)關于才的方程2儀+111)2+6=0的解是*1=-3,x2=2,則

方程a(x+m+1)2?b=0的解是()

A.xx=-2,x2=3B.Xi=-4,X2=1C.Xi=4,X2=-1D.無實數(shù)解

【答案】B

【思路引導】本題考查了一元二次方程的解，理解??元二次方程的結構相同，則解相同是解題的關鍵.通

過換元法，將新方程轉化為原方程的形式，從而利用已知解推導出新解.

2

【規(guī)范解答】解：???原方程a(x+m)+b=0的解為x〔=一3,x2=2,

，令新方程a(x+m++b=0中的t=x+l,則方程變?yōu)閍(l十m)2十b=。，與原方程膨式相同，

???新方程的t解與原方程的x解相同，即t=-3或t=2,

t=x4-1=—3或t=x+1=2,

???此時新方程解得x=-4或x=1；

故選:B.

易錯考點12：一元二次方程的根與系數(shù)的關系

23.(2024九年級上?湖南衡陽?競賽)已知關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.

⑴判斷方程根的情況；

⑵若方程的兩根Xi、X2滿足(X1-1)(X2-1)=6,求才值;

⑶若AABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩根，第三邊BC的長為5.

①則A為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？

②人為何值時，△ABC是等腰三角形，并求出AABC的周長.

【答案】(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根

(2)k=一3或2

(3)①k=2；②k=3或4,△ABC的周長為14或16

【思路引導】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，熟練掌握一元二

次方程根的判別式及根與系數(shù)的美系是解題的關鍵.

(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可；

2

(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得Xi+x2=2k+3,XjX2=k4-3k+2,再將(x1一1J(x2-1)=6

化簡為含X1+X2,x62的式子代入計算即可；

(3)①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系及勾股定理列方程求解即可；

②分AB=AC和AB或AC與BC相等兩種情況討論，根據(jù)方程的根的情況求解即可.

2222

【規(guī)范解答】⑴解:?*'△=[-(2k+3)]-4(k+3k+2)=4k+12k+9-4k-12k-8=1>0,

二方程有兩個不相等的實數(shù)根；

2

(2)解：由題意，得Xi+x2=2k+3,X1x2=k+3k+2,

???(X】一l)(x2-l)=6,

：?XjX2—(xt+x2)+1=6,

:.k2+3k+2—(2k+3)+1=6,

解得k=-3,或k=2；

(3)解：①由題意，得AB+AC=2k+3,AB.AC=k2+3k+2,

???△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，

AB2+AC2=BC2,

(AB+AC)2-2ABAC=BC2,

(2k+3)2-2(k2+3k+2)=52,

解得k=—5,或k=2,

vAB+AC=2k+3>0,

.?.k>-1,

???k=2

且當k=2時，方程為x2—7x+12=0,

解得x=3或4,符合題意，

當k=2時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；

②若△ABC是等腰三角形，分兩種情況：

當AB=AC時，方程有兩個相等的實數(shù)根，這與△>()不符，不合題意，舍去；

當AB或AC與BC相等時，5是方程的根，

:.52-5(2k+3)+k2+3k+2=0,

解得k=3或4,

當k=3時，AB+AC=2k+3=9,△ABC的周長為9+5=14：

當k=4時，AB+AC=2k+3=U,△ABC的周長為11+5=16.

24.(25-26九年級上?浙江紹興?開學考試)已知關于x的一元二次方程x2—2(k-l)x+k2+3=0

⑴若該方程有一個根是一2,求〃的值.

⑵若該方程的兩個實數(shù)根MW滿足(X[一l)(X2—l)=14,求A的值.

【答案】(l)k=-3或卜=-1；

(2)k=-2

【思路引導】本題主要考查了一元二次方程的解、根的判別式、根與系數(shù)的關系等知識點，掌握根與系數(shù)

的關系是解題的關鍵.

(1)把乂=-2代入方程求出A的值即可：

(2)根據(jù)方程有兩個實數(shù)根得到AN0,求解可得衣的取值范圍;根據(jù)根與系數(shù)的關系可得X[+>：2=2(k-l)

22

,x/2=k+3,再整理(X]-l)(x2-1)=14并將xi+x2=2(k-1)，xtx2=k+3整體代入得到關于k的

一元二次方程求解即可；

【規(guī)范解答】（1）解：把乂二一2代入方程得：（-2）2—2（1<—1）（一2）+1<2+3=0

解得：k=-3或k=-1；

（2）解：二?方程X2—2出一1戶+1<2+3=0的兩個實數(shù)根*1的

A21=[-2（k-I）]2-4（k2+3）>0,解得：k<-1；

2

:.X]+x2=2（k—1）>XjX2=k4-3,

（xi-1）的-1）

=X/2-（Xi+X2）+1

=k2+3-2（k-l）+l

=k2—2k+6

=14,

解得：k=-2或k=4（不合題意，舍去）.

???k=-2.

易錯考點13：傳播問題（一元二次方程的應用）

25.（24-25九年級上?河北唐山-階段練習）有4人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有196人患了流感，設

每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)相同，則三輪傳染后有（）人得了流感.

A.1372B.343C.1512D.2744

【答案】A

【思路引導】本題考查了運用一元二次方程解決實際問題.設每輪傳染中平均每人傳染x人，根據(jù)初始4

人經(jīng)過兩輪傳染后總人數(shù)為196,建立方程求解x,再計算三輪后的總人數(shù).正確的列出方程是解題的關鍵.

【規(guī)范解答】解：設每輪傳染中平均每人傳染x人，則每輪傳染后患病總人數(shù)是上一輪的（1+x）倍，根據(jù)

題意得，

4（1+x）2=196,

（1+x）2=49,

1+x=+7,

x,=6,x2=-8（舍去），

???每輪傳染中平均每人傳染6人，

則三輪傳染后得流感的人數(shù)為196X（1+6）=1372（人）.

故選：A.

26.（21-22九年級上?新疆烏魯木齊?階段練習）某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過

兩輪感染后就會有81臺電腦被感染.請你用學過的知識分析，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700

臺？

【答案】會

【思路引導】本題考查了一元二次方程的應用，找到等量關系準確地列出方程是解決問題的關鍵.可設每

輪感染中平均一臺會感染x臺電腦，則第一輪后共有(1+x)臺被感染，第二輪后共有(l+x)+x(l+x"P

(l+x)2臺被感染，利用方程即可求出x的值，并且3輪后共有(1+x7臺被感染，比較該數(shù)同700的大小，即

可作出判斷.

【規(guī)范解答】解：設每輪感染中平均每一臺電腦會感染x臺電腦，

根據(jù)題意得：l+x+(l+x)x=81,

整理得：(1+X)2=81,

兩邊同時開平方得：x+l=±9,

x+1=9或*+1=—9,

解得：Xi=8,x2=—10(舍去)，

???(1+x)2+x(l+x)2=(1+x)3=(1+8)3=729>700,

答：每輪感染中平均每?臺電腦會感染8臺電腦，3輪感染后被感染的電腦會超過700臺.

易錯考點14：增長率問題(一元二次方程的應用)

27.(25-26九年級上?廣東珠海?開學考試)烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署累急行動,

在找火紛飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真‘實寫照，如

表是該影片票房的部分數(shù)據(jù)，(注：票房是指截至發(fā)布日期的所有售票累計收入)

影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)

發(fā)布日期1()月8日1()月11日1()月12日

發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次

票房10億元12.1億元

(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？

(2)在(1)的條件下，若票價每張40元，求從第1次發(fā)布數(shù)據(jù)后到第2次發(fā)布數(shù)據(jù)時，共賣出多少張電影

票.

【答案】(1)10%

(2)2500000張

【思路引導】本題考查了一元二次方程的應用以及統(tǒng)計表，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解決

本題的關健.

（1）設平均每次累計票房增長的百分率是加利用第3次累計票房=第1次累計票房x（1+平均每次累

計票房增長的百分率）2,即可得出關于X的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；

（2）利用數(shù)量=總價+單價，即可求出結論.

【規(guī)范解答】（1）解：設平均每次累計票房增長的百分率是心

依題意得，10（1+x）2=12.1,

即（1+x）2=1.21,

可得l+x=±1.1,

解得xi=-1+1.1=0.1=10%,x2=-1-1.1=-2.1（不符合題意，舍去），

答：平均每次累計票房增長的百分率是10%;

（2）解：[1000000000x（l+10%）-1000000000]t-40

=（1100000000-1000000000）+40

=1000000004-40

=2500000（張），

答：從笫1次發(fā)布數(shù)據(jù)后到笫2次發(fā)布數(shù)據(jù)時，共賣出2500000張電影票.

28.（24-25九年級上?江蘇蘇州?期中）“七里山塘，枕河而居”，蘇州市的山塘街是具有江南風貌特色的

歷史文化街區(qū)，現(xiàn)在已成為網(wǎng)紅打卡地.據(jù)統(tǒng)計，2014年10月1日截至21時山塘歷史街區(qū)累計客流量為8

萬人次，第三天游客人數(shù)達到1L52萬人次.

（1）求游客人數(shù)從假期第一天到第三天的平均日增長率；

（2）景區(qū)內某文創(chuàng)小店推出了特色絲綢團扇，每把扇子的成本為7元.根據(jù)銷售經(jīng)驗，每把扇子定價為25

元時，平均每天可售出300把.若每把扇子的售價每降低1元，平均每天可多售出30把.設每把扇子降價

x元.請解答以下問題：

①填空：每天可售出扇子把（用含x的代數(shù)式表示）；

②若該文創(chuàng)小店想通過售出這批扇子每天獲得5760元的利潤，又想盡可能地減少庫存，每把扇子應降價多

少元？

【答案】（1）20%

⑵①300+30X；②6

【思路引導】本題考查了一元二次方程的應用，列代數(shù)式.根據(jù)題意正確的列等式方程是解題的關鍵.

(1)設從假期第一天到第三天的平均日增長率為X,依題意得8(1+x)2=11.52,計算求出滿足要求的解即

可；

(2)①由題意知，每天可售出扇子(300+30x)把，然后作答即可：

②依題意得(25-X-7)(300+30x)=5760,計算求解，然后徑答即可.

【規(guī)范解答】(1)解：設從假期第一天到第三天的平均日增長率為x,

2

依題意得，8(1+x)=11.52,

解得，*=0.2=20%或乂=-2.2(舍去)，

，從假期第一天到第三天的平均日增長率為20%；

(2)①解:由題意知,每天可售出扇子(300+30x)把,

故答案為:300+30x；

②解：依題意得,(25-x-7)(300+30x)=5760,

整理得，(x_2)(x-6)=0,

解得，x=2或x=6,

???想盡可能地減少庫存，

???每把扇子應降價6元.

易錯考點15：與圖形有關的問題(一元二次方程的應用)

29.(2025-江蘇泰州?三模)綜合與實踐

主題：將一張長為80cm,寬為40cm的長方形硬紙板制作成一個有蓋長方體收納盒.

方案設計：如圖①，把硬紙板的四角剪去四個相同的小長方形，折成一個如圖②所示的有蓋長方體收納盒,

EF卻HG兩邊恰好重合且無重疊部分.

任務一：若收納盒的高為xcm,住*的代數(shù)式表示收納盒的底面ABCD的邊BC,AB的長；

任務二：若收納盒的底面積為600cm2,求該收納盒的高.

【答案】任務一：BC的長為(40-2x)cm,AB的長為(40—x)cm；任務二：該收納盒的高為10cm

【思路引導】本題考查了一元二次方程的應用，

任務一：根據(jù)圖①分別列出代數(shù)式即可；

任務二：設該收納盒的高為xcm,則BC=（40-2x）cm,AB=（40-x）cm,根據(jù)收納盒的底面積為600

cm2,列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論.

【規(guī)范解答】解：任務一：?.?長方形硬紙板的長為80cm,寬為40cm,收納盒的高為xcm,

Ao80-2x

.??BC=（40-2x）cm,AB==（40-x）cm,

答：收納盒的底面ABCD的邊BC的長為（40—2x）cm,AB的長為（40一x）cm；

任務二：設該收納盒的高為xcin,貝iJBC=（40-2x）cni,AB=（40-x）cm,

根據(jù)題意得：（40—x）（40—2x）=600,

整理得:x2-60x+500=0,

解得:X1=10,X2=50（不符合題意,舍去）.

答：該收納盒的高為10cm.

30.（25-26九年級上?江蘇徐州?階段練習）如圖，小明設計如下的正方形圖案，外一層是空心圓，內部

全是實心圓，歸納圖案中的規(guī)律，完成卜列任務.

OOO

O

圖案1圖案2圖案3

（1）圖案n中文心圓有個，空心圓有個；

（2）此類圖案中是否存在實心圓比空心圓多8個，請你作出判斷并說明理由.

【答案】（l）n2,（4n+4）

⑵存在，第6個圖案中實心圓比空心圓多8個.

【思路引導】此題考查了圖形類規(guī)律探究，一元二次方程的應月，正確理解圖形的變化規(guī)律得到計算規(guī)律,

以及掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵.

（1）分別il算各圖案中空心圓和實心圓的數(shù)量，得到規(guī)律：圖案n中實心圓有M個，空心圓有（4n+4）個；

（2）根據(jù)（1）所得規(guī)律，依題意列方程解答即可.

【規(guī)范解答】（1）解：圖案1空心圓有2x4=8個，實心圓有1個，

圖案2空心圓有3x4=12個，實心圓有2x2=4個，

圖案3空心圓有4x4=16個，實心圓有3x3=9個，

，圖案n中實心圓有M個,空心圓有（4n+4）個,

故答案為:n2,(4n+4)

(2)存在，理由如下：

設圖案n中實心圓比空心圓多8個，根據(jù)題意，得：

n2-(4n+4)=8,

整理，得n2—4n—12=0,

解得n=-2(舍去)或n=6,

故第6個圖案中實心圓比空心圓多8個.

易錯考點16：數(shù)字問題(一元二次方程的應用)

31.(24-25九年級上?遼寧鞍山?期中)一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為9,且這兩個數(shù)字之積

等于它們兩個數(shù)字和的2倍，這個兩位數(shù)是()

A.36B.63C.36或63I).—36或一63

【答案】C

【思路引導】本題考查了一元二次方程的應用，設十位數(shù)字為m則個位數(shù)字為(9-x),根據(jù)這兩個數(shù)字之

積等于它們兩個數(shù)字和的2倍，即可得出關于*的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合這個兩位

數(shù)是[10x+(9—x)],即可得出這個兩位數(shù)是36或63.

【規(guī)范解答】解：設十位數(shù)字為人則個位數(shù)字為(9—x),

依題意得：x(9—x)=2x9,

整理得：x2-9x+18=0,

解得Xi=3,x2=6.

當x=3時，9-x=9-3=6,此時這個兩位數(shù)是3x10+6=36：

當x=6時，9-x=9-6=3,此時這個兩位數(shù)是6x10+3=63.

故選：C.

32.(25-26九年級上-全國-課后作業(yè))一個三位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大3,百位上的數(shù)字等

于個位上的數(shù)字的平方.如果這個三位數(shù)比它個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的積的25倍大202,則這個三位

數(shù)是.

【答案】452

【思路引導】本題考查了一元二次方程的應用，正確理解數(shù)字與每個位上的數(shù)字的關系是解題的關鍵.

設該三位數(shù)個位上的數(shù)字為x,則十位上的數(shù)字是(x+3),百位上的數(shù)字是x2；再根據(jù)“這個三位數(shù)比它個位

上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的積的25倍大202”列出方程求解即可.

【規(guī)范解答】解：設該三位數(shù)個位上的數(shù)字為X,則十位上的數(shù)字是（X+3）,百位上的數(shù)字是x2.

由題意,得100x2+10（x+3）+x=25x（x+3）+202,

整理，得75x2—64x—172=0,

解得Xi=2,X2=一黃（舍去）,

???十位上的數(shù)字為2+3=5,百位上的數(shù)字為22=4.

故答案為：452.

易錯考點17：營銷問題（一元二次方程的應用）

33.（25-26九年級上-廣東深圳?開學考試）2022北京冬奧會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款冰墩

墩鑰匙扣，進貨價和銷售價如下表：（注：利潤=銷售價一進貨價）

類別價格A款鑰匙扣B款鑰匙扣

進貨價（元/件）3025

銷售價（元/件）4537

（1）網(wǎng)店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數(shù)；

（2）第一次購進的冰墩墩鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件〔進貨價和銷

售價都不變），且進貨總價不高于2200元.應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤

是多少？

（3）冬奧會臨近結束時，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣降價促銷，如果按照原價銷售，平均每天可售4件.經(jīng)調查

發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，應將銷售價格定為每件多少元時，才能使B

款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？

【答案】（1）購進A款鑰匙扣20件，B款鑰匙扣10件

（2）當購進40件A款鑰匙扣，40件B款鑰匙扣時，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是1080元

⑶30元

【思路引導】本題考查二元一次方程組，一元一次不等式，一次函數(shù)以及一元二次方程的實際應用，正確

的列出方程，不等式和一次函數(shù)的解析式，是解題的關鍵：

（1）設購進A款