高中巴楚縣第一中學(xué)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高二年級月考數(shù)學(xué)學(xué)科時(shí)間：90分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.在四面體PABC中，（）A. B. C. D.2已知向量，則（）A.2 B.4 C.6 D.83.空間中，若向量共面，則（）A.2 B.3 C.4 D.54.長方體中，，則=（）A B.C. D.5.設(shè)，，向量，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.46.如圖，在棱長為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.7.如圖，在正方體中，M為線段的中點(diǎn)，N為線段上的動點(diǎn)，則直線與直線所成角的正弦值的最小值為（）A. B. C. D.8.已知矩形中，，，將矩形沿對角線折起，使平面與平面垂直，則（）．A. B. C. D.2二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，10.已知點(diǎn),在z軸上求一點(diǎn)B，使|AB|＝7，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A B.C. D.11.已知正方體的棱長為1，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線所成角為90°B.直線與平面所成角的余弦值為C.平面D.點(diǎn)到平面的距離為第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知均為單位向量，它們的夾角為60°，那么__________．13.在空間四邊形中，，，，，則______．14.若向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），，夾角的余弦值為，則λ=__________.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.15.已知空間向量.（1）求；（2）若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值.16.如圖，已知正方體中，的坐標(biāo)分別為，，，．分別求平面與平面的一個(gè)法向量．17.如圖，在三棱錐V-ABC中，頂點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂點(diǎn)A，B，V分別在x，y，z軸上，D是線段AB的中點(diǎn)，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求異面直線AC與VD所成角的余弦值．18.如圖，在平行六面體中，是的中點(diǎn)，求證：//面．19.如圖所示，四棱柱中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°．設(shè)，，．（1）用為基底表示向量，并求的長；（2）求的值．

巴楚縣第一中學(xué)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高二年級月考數(shù)學(xué)學(xué)科時(shí)間：90分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.在四面體PABC中，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的計(jì)算法則計(jì)算即可.【詳解】由題可知故選：A2.已知向量，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用空間向量線性關(guān)系、模的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的模長.【詳解】由題設(shè)，所以.故選：B3.空間中，若向量共面，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由空間向量共面定理有，，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值，即可得.【詳解】由向量共面知，，則，所以，可得.故選：C4.在長方體中，，則=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示求解【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：B5.設(shè)，，向量，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來表示向量垂直與共線，即可求解參數(shù)，再用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算去求模即可.【詳解】設(shè)、，向量，且，，解得，又因?yàn)椋?，解得，所以，故選：．6.如圖，在棱長為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【詳解】分別以，，為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，得，取，得，又，點(diǎn)到平面的距離為，故選：D．7.如圖，在正方體中，M為線段的中點(diǎn)，N為線段上的動點(diǎn)，則直線與直線所成角的正弦值的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，通過表示出點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)量積求出夾角余弦值的范圍，進(jìn)而得出答案.【詳解】以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，設(shè)得：，所以，，由，所以，當(dāng)時(shí)，等號成立，則，即異面直線與MN所成角的正弦值的最小值為.故選：C8.已知矩形中，，，將矩形沿對角線折起，使平面與平面垂直，則（）．A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)，分別向作垂線，垂足分別為，，由，平方后結(jié)合長度和垂直關(guān)系可得解.【詳解】過點(diǎn)，分別向作垂線，垂足分別為，，則可得，，，，．由于，所以，所以．故選:A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)空間共面向量定理和空間向量基底的定義逐一驗(yàn)證即可.【詳解】對于A：設(shè)，則，由無解，故不存在，使得，所以，，不共面，故A正確；對于B：，所以，，共面，故B錯(cuò)誤；對于C：，所以，，共面，故C錯(cuò)誤；對于D：設(shè)，則，由無解，故不存在，使得，所以，，不共面，故D正確.故選：AD.10.已知點(diǎn),在z軸上求一點(diǎn)B，使|AB|＝7，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為,根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式列式求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為,由空間兩點(diǎn)間距離公式可得，解得或10,所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：AC.11.已知正方體的棱長為1，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線所成的角為90°B.直線與平面所成角的余弦值為C.平面D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABC【解析】【分析】以正方體的棱建立空間直角坐標(biāo)系，然后得到點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量與向量數(shù)量積為0得到線線垂直；求出面的法向量，由求出線面角的正弦值，然后得到線面角的余弦值；由法向量與相等，證明平面；由向量的投影計(jì)算出點(diǎn)到面的距離.【詳解】在正方體，以為原點(diǎn)，分別為如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，∵，∴，∴A選項(xiàng)正確；∵，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴，∴B選項(xiàng)正確；∵，∴平面，∴C選項(xiàng)正確；點(diǎn)到平面的距離，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知均為單位向量，它們的夾角為60°，那么__________．【答案】.【解析】【詳解】.13.在空間四邊形中，，，，，則______．【答案】22【解析】分析】由，可得，化簡可得，然后結(jié)合可得答案.【詳解】因，則，，則，整理得，因此．.故答案為：2214.若向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），，夾角的余弦值為，則λ=__________.【答案】1【解析】【分析】利用空間向量的夾角公式即可得出．【詳解】∵向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），∴2+λ+2＝λ，，．又，夾角的余弦值為，∴，可知λ＞0．解得λ＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.15.已知空間向量.（1）求；（2）若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解向量的模長即可；（2）根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列方程即可得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】因?yàn)榭臻g向量，所以，所以；【小問2詳解】由題得，由向量與垂直，則，則，解得：.16.如圖，已知正方體中，的坐標(biāo)分別為，，，．分別求平面與平面的一個(gè)法向量．【答案】，【解析】【分析】由于軸垂直于平面，則該平面法向量易得，根據(jù)法向量的性質(zhì)列方程組求平面的法向量即可.【詳解】由于軸垂直于平面，而z軸可用方向向量表示，因此是平面的一個(gè)法向量；設(shè)是平面的法向量．由已知得，，因而取，得，則是平面的一個(gè)法向量．17.如圖，在三棱錐V-ABC中，頂點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂點(diǎn)A，B，V分別在x，y，z軸上，D是線段AB的中點(diǎn)，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求異面直線AC與VD所成角的余弦值．【答案】.【解析】【分析】由題設(shè)，寫出點(diǎn)C、A、B、D、V的坐標(biāo)，進(jìn)而得到、坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求的余弦值，即可確定異面直線AC與VD所成角的余弦值．【詳解】∵AC＝BC＝2，D是AB的中點(diǎn)，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．在Rt△VCD中，，故．∴，．∴.∴異面直線AC與VD所成角的余弦值為.18.如圖，在平行六面體中，是的中點(diǎn)，求證：//面．【答案】證明見解析.【解析】【分析】選定為基底，用表示向量，即可用向量法證明線面垂直.【詳解】設(shè)，則，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則因不共面，故，即，則故