2014年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1．已知為整數(shù)，且滿足，QUOTEQUOTE則的可能的值有（）A.1個B.2個C.3個D.4個2．已知非負(fù)實數(shù)滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．3．在△中，，為的中點，于，交于，已知，，則QUOTEQUOTE＝（）A．B．C．D．4．6張不同的卡片上分別寫有數(shù)字2，2，4，4，6，6，從中取出3張，則這3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的概率是（）A．B．C．D．5．設(shè)表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，令.已知實數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．16．在△中，，QUOTEQUOTE，，在上，在上，使得△為等腰直角三角形,,則的長為（）A．B．C．D．二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1．已知實數(shù)滿足，，則____．2．使得不等式QUOTEQUOTE對唯一的整數(shù)成立的最大正整數(shù)為．3．已知為等腰△內(nèi)一點，，，為的中點，與交于點，如果點為△的內(nèi)心，則．4．已知正整數(shù)滿足:，，，則．第二試（A）一、（本題滿分20分）設(shè)實數(shù)滿足，，求的值．二．（本題滿分25分）如圖，在平行四邊形中，為對角線上一點，且滿足,的延長線與△的外接圓交于點.證明：．三．（本題滿分25分）設(shè)是整數(shù)，如果存在整數(shù)滿足，則稱具有性質(zhì).在1，5，2013，2014這四個數(shù)中，哪些數(shù)具有性質(zhì)，哪些數(shù)不具有性質(zhì)？并說明理由.第二試（B）一．（本題滿分20分）同（A）卷第一題.二．（本題滿分25分）如圖，已知為△的外心，，為△的外接圓上一點，過點作直線的垂線，垂足為.若，，求.三．（本題滿分25分）設(shè)是整數(shù)，如果存在整數(shù)滿足，則稱具有性質(zhì).（1）試判斷1，2，3是否具有性質(zhì)；（2）在1，2，3，…，2013，2014這2014個連續(xù)整數(shù)中，不具有性質(zhì)的數(shù)有多少個？2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.計算（）（A） （B）1 （C） （D）22.滿足等式的所有實數(shù)的和為（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）63.已知AB是圓O的直徑，C為圓O上一點，，的平分線交圓O于點D，若，則AB=（）（A）2 （B） （C） （D）34.不定方程的全部正整數(shù)角（x,y）的組數(shù)為（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）45矩形ABCD的邊長AD=3，AB=2，E為AB的中點，F(xiàn)在線段BC上，且BF：FC=1：2，AF分別與DE，DB交于點M，N，則MN=（）（A） （B） （C） （D）6.設(shè)n為正整數(shù)，若不超過n的正整數(shù)中質(zhì)數(shù)的個數(shù)等于合個數(shù)，則稱n為“好數(shù)”，那么，所有“好數(shù)”之和為（）（A）33 （B）34 （C）2013 （D）2014二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1.已知實數(shù)滿足則2.將一個正方體的表面都染成紅色，再切割成個相同的小正方體，若只有一面是紅色的小正方體數(shù)目與任何面都不是紅色的小正方體的數(shù)目相同，則n=3.在中，，D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，CA上，則的周長最小值為4.如果實數(shù)滿足，用A表示的最大值，則A的最大值為第二試（A）一、（本題滿分20分）已知實數(shù)滿足求的值。二、（本題滿分25分）已知點C在以AB為直徑的圓O上，過點B、C作圓O的切線，交于點P，連AC，若，求的值。三、（本題滿分25分）已知是一元二次方程的一個根，若正整數(shù)使得等式成立，求的值。第二試（B）一、（本題滿分20分）已知，若正整數(shù)使得等式成立，求的值。二、（本題滿分25分）在中，AB>AC，O、I分別是的外心和內(nèi)心，且滿足AB-AC=2OI。求證：（1）OI∥BC；（2）。三、（本題滿分25分）若正數(shù)滿足:，求代數(shù)式的值。2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1．已知，，，那么的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.2．方程的整數(shù)解的組數(shù)為（）A．3B．4C．5D．63．已知正方形ABCD的邊長為1，E為BC邊的延長線上一點，CE＝1，連接AE，與CD交于點F，連接BF并延長與線段DE交于點G，則BG的長為（）A．B．C．D．4．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）A．B．0C．1D．5．若方程的兩個不相等的實數(shù)根滿足，則實數(shù)的所有可能的值之和為（）A．0B．C．D．6．由1，2，3，4這四個數(shù)字組成四位數(shù)（數(shù)字可重復(fù)使用），要求滿足.這樣的四位數(shù)共有（）A．36個B．40個C．44個D．48個二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1．已知互不相等的實數(shù)滿足，則_________．2．使得是完全平方數(shù)的整數(shù)的個數(shù)為．3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P為AB上一點，∠ACP＝20°，則＝．4．已知實數(shù)滿足，，，則＝．第二試已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為60，求它的外接圓的面積.二、如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點D，△ADC的外接圓與BC的另一個交點為E.證明：∠BAE＝∠ACB．三、已知拋物線的頂點為P，與軸的正半軸交于A、B（）兩點，與軸交于點C，PA是△ABC的外接圓的切線.將拋物線向左平移個單位，得到的新拋物線與原拋物線交于點Q，且∠QBO＝∠OBC.求拋物線的解析式.2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1.若均為整數(shù)且滿足，則（）A．1.B．2.C．3.D．4.2．若實數(shù)滿足等式，，則可能取的最大值為（）A．0.B．1.C．2.D．3.3．若是兩個正數(shù)，且則（）A．.B．.C．.D．.4．若方程的兩根也是方程的根，則的值為（）A．－13.B．－9.C．6.D．0.5．在△中，已知，D，E分別是邊AB，AC上的點，且，，,則()A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.6．對于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，，（）A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1．已知實數(shù)滿足方程組則.2．二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點，與軸正方向交于點C．已知，，則．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內(nèi)一點，且PA＝，PC＝5，則PB＝______．4．將若干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放_______個球.第二試（A）一．（本題滿分20分）設(shè)整數(shù)（）為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù).二．（本題滿分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分線與AB邊交于點P，M為△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC邊的切點，作MD//AC，交⊙I于點D.證明：PD是⊙I的切線.三．（本題滿分25分）已知二次函數(shù)QUOTEy=x2+bx-c的圖象的圖象經(jīng)過兩點P，Q.（1）如果都是整數(shù)，且，求的值.（2）設(shè)二次函數(shù)QUOTEy=x2+bx-c的圖象的圖象與軸的交點為A、B，與軸的交點為C.QUOTEfx如果關(guān)于的方程的兩個根都是整數(shù)，求△ABC的面積.第二試（B）一．（本題滿分20分）設(shè)整數(shù)為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)（全等的三角形只計算1次）.二．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.第二試（C）一．（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）設(shè)是大于2的質(zhì)數(shù)，k為正整數(shù)．若函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)至少有一個為整數(shù)，求k的值．2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.設(shè)，則（）A.24.B.25.C..D..2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝（）A..B..C..D..3．用表示不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個數(shù)為（）A.1.B.2.C.3.D.4.4．設(shè)正方形ABCD的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為頂點所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為（）A..B..C..D..5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點A作半圓的切線AE，則CBE＝（）A..B..C..D..6．設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個數(shù)是（）A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1．已知是實數(shù)，若是關(guān)于的一元二次方程的兩個非負(fù)實根，則的最小值是____________.2．設(shè)D是△ABC的邊AB上的一點，作DE//BC交AC于點E，作DF//AC交BC于點F，已知△ADE、△DBF的面積分別為和，則四邊形DECF的面積為______.3．如果實數(shù)滿足條件，，則______.4．已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對共有___對.第二試（A）一．（本題滿分20分）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點分別為A、B，與軸的交點為C.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點P.（1）證明：⊙P與軸的另一個交點為定點.（2）如果AB恰好為⊙P的直徑且，求和的值.二．（本題滿分25分）設(shè)CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高，、分別是△ADC、△BDC的內(nèi)心，AC＝3，BC＝4，求.三．（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個條件：①②證明：以為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形.第二試（B）一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF∥AB.三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同. 第二試（C）一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個條件：①②是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽2008年4月13日上午8：30—9：30一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1、設(shè)a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，則代數(shù)式+的值為（）.（A）5（B）7（C）9（D）112、如圖，設(shè)AD，BE，CF為△ABC的三條高，若AB=6，BC=5，EF=3，則線段BE的長為（）.（A）（B）4（C）（D）3、從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個位數(shù)字，組成一個兩位數(shù)，則所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是（）.（A）（B）（C）（D）4、在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分別是這兩個角的外角平分線，且點M，N分別在直線AC和直線AB上，則（）.（A）BM>CN（B）BM=CN（C）BM<CN（D）BM和CN的大小關(guān)系不確定5、現(xiàn)有價格相同的5種不同商品，從今天開始每天分別降價10％或20％，若干天后，這5種商品的價格互不相同，設(shè)最高價格和最低價格的比值為r，則r的最小值為（）.（A）()3（B）()4（C）()5（D）6、已知實數(shù)x，y滿足(x–)(y–)=2008，則3x2–2y2+3x–3y–2007的值為（）.（A）–2008（B）2008（C）–1（D）1二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1、設(shè)a=，則=.2、如圖，正方形ABCD的邊長為1，M，N為BD所在直線上的兩點，且AM=，∠MAN=135°，則四邊形AMCN的面積為.3、已知二次函數(shù)y=x2+ax+b的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為m，n，且|m|+|n|≤1。設(shè)滿足上述要求的b的最大值和最小值分別為p，q，則|p|+|q|=.4、依次將正整數(shù)1，2，3，…的平方數(shù)排成一串：149162536496481100121144…，排在第1個位置的數(shù)字是1，排在第5個位置的數(shù)字是6，排在第10個位置的數(shù)字是4，排在第2008個位置的數(shù)字是.2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽2008年4月13日上午10：00—11：30第二試（A）一、（本題滿分20分）已知a2+b2=1，對于滿足條件0≤x≤1的一切實數(shù)x，不等式a(1–x)(1–x–ax)–bx(b–x–bx)≥0恒成立，當(dāng)乘積ab取最小值時，求a，b的值.二、（本題滿分25分）如圖，圓O與圓D相交于A，B兩點，BC為圓D的切線，點C在圓O上，且AB=BC.（1）證明：點O在圓D的圓周上；（2）設(shè)△ABC的面積為S，求圓D的的半徑r的最小值.三、（本題滿分25分）設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且9(2a+b)2=509(4a+511b)求a，b的值.第二試（B）一、（本題滿分20分）已知a2+b2=1，對于滿足條件x+y=1，xy≥0的一切實數(shù)對(x，y)，不等式ay2–xy+bx2≥0恒成立，當(dāng)乘積ab取最小值時，求a，b的值.二、（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三、（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.第二試（C）一、（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第一題相同.二、（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三、（本題滿分25分）設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b，c為正整數(shù)，且滿足，求a(b+c)的值.2007年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題2006年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題2005年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試卷一、選擇題：(每題7分，共42分)1、化簡：的結(jié)果是＿＿。A、無理數(shù)B、真分?jǐn)?shù)C、奇數(shù)D、偶數(shù)2、圓內(nèi)接四條邊長順次為5、10、11、14；則這個四邊形的面積為＿＿。A、78B、97C、90D、1023、設(shè)r≥4，a＝，b＝，c＝，則下列各式一定成立的是＿＿。A、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、c>b>a4、圖中的三塊陰影部分由兩個半徑為1的圓及其外公切線分割而成，如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，則這兩圓的公共弦長是＿＿。A、B、C、D、5、已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，記p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，則＿＿。A、p>qB、p＝qC、p<qD、p、q大小關(guān)系不能確定016、若x1，x2，x3，x4，x5為互不相等的正奇數(shù)，滿足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，則的未位數(shù)字是＿＿。A、1B、3C、5D、7二、填空題(共28分)1、不超過100的自然數(shù)中，將凡是3或5的倍數(shù)的數(shù)相加，其和為＿＿。2、x＝＿＿＿。3、若實數(shù)x、y滿足則x＋y＝＿＿。4、已知銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，則a的最大值為＿＿＿。三、解答題(第1題20分，第2、3題各25分)1、a、b、c為實數(shù)，ac＜0，且，證明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于而小于1的根。另一版本1、a、b、c為實數(shù)，ac＜0，且，證明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于而小于1的根。2、銳角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，過D作BC的垂線交BE于F，交CA的延長線于P，過E作BC的垂線，交CD于G，交BA的延長線于Q，證明：BC、DE、FG、PQ四條直線相交于一點。另一版本2、銳角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，DE與BC的延長線交于T，過D作BC的垂線交BE于F，過E作BC的垂線交CD于G，證明：F、G、T共線。3、a、b、c為整數(shù)，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。2004年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽試題第一試一．選擇題1．已知abc≠0，且a+b+c=0,則代數(shù)式的值是（）(A)3(B)2(C)1(D)02．已知p,q均為質(zhì)數(shù)，且滿足5p2+3q=59，則以p+3,1-p+q,2p+q-4為邊長的三角形是（）(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三角形(D)等腰三角形3．一個三角形的邊長分別為a,a,b，另一個三角形的邊長分別為b,b,a，其中a>b，若兩個三角形的最小內(nèi)角相等，則的值等于（）(A)(B)(C)(D)4．過點P(-1,3)作直線，使它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，這樣的直線可以作（）(A)4條(B)3條(C)2條(D)1條5．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個實數(shù)根，則ab的取值范圍為（）(A)(B)(C)(D)6．如圖，在2×3矩形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點，則以格點為頂點的等腰直角三角形的個數(shù)為（）(A)24(B)38(C)46(D)50二．填空題1．計算=.2．如圖ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓交于另一點P，延長AP交BC于點N，則=.3．實數(shù)a,b滿足a3+b3+3ab=1,，則a+b=.4．設(shè)m是不能表示為三個合數(shù)之和的最大整數(shù)，則m=.第二試已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整數(shù)，求整數(shù)n的值.二．（A）已知如圖，梯形ABCD中，AD∥BC,以兩腰AB,CD為一邊分別向兩邊作正方形ABGE和DCHF，設(shè)線段AD的垂直平分線l交線段EF于點M，EP⊥l于P，F(xiàn)Q⊥l于Q。求證：EP=FQ二．（B）已知如圖，梯形ABCD中，AD∥BC,以兩腰AB,CD為一邊分別向兩邊作正方形ABGE和DCHF，設(shè)線段AD的垂直平分線l交線段EF于點M。求證：M為EF的中點。二．（C）已知如圖，梯形ABCD中，AD∥BC,以兩腰AB,CD為一邊分別向兩邊作正方形ABGE和DCHF，連接EF，設(shè)線段EF的中點為M。求證：MA=MD。三．已知點A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1)P(t,t2)為拋物線y＝x2上位于三角形ABC內(nèi)（包括邊界）的一動點，BP所在的直線交AC于E，CP所在的直線交AB于F。將表示為自變量t的函數(shù)。2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題一、選擇題（42分）1.計算：等于()(A)5-4(B)4-1(C)5(D)12.在十邊形的所有內(nèi)角中,銳角的個數(shù)最多是()(A)0(B)1(C)3(D)53.若函數(shù)y=kx(k>0)與函數(shù)y=的圖象相交于A、C兩點，AB垂直于x軸于B,則ΔABC的面積為()(A)1(B)2(C)k(D)k24.滿足等式=2003的正整數(shù)對(x,y)的個數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)45.設(shè)ΔABC的面積為1,D是邊AB上一點,且.若在邊AC上取一點E,使四邊形DECB的面積為,則的值為()(A)(B)(C)(D)6.如圖,在ABCD中,過A、B、C三點的圓交AD于E，且與CD相切。若AB=4，BE=5，則DE的長為（）(A)3(B)4(C)(D)二、填空題（28分）拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點.若ΔABC是直角三角形,則ac=_______.2.設(shè)m是整數(shù),且方程3x2+mx-2=0的兩根都大于-而小于,則m=______.3.如圖,AA/、BB/分別是∠EAB，∠DBC的平分線.若AA/=BB/=AB，則∠BAC的度數(shù)為________.4.已知正整數(shù)a、b之差為120,它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍,那么a、b中較大的數(shù)是____.三、（20分）在ΔABC中，D為AB的中點，分別延長CA、CB到點E、F，使DE=DF；過E、F分別作CA、CB的垂線，相交于P.設(shè)線段PA、PB的中點分別為M、N.求證：（1）ΔDEM≌ΔDFN.（2）∠PAE=∠PBF.四、（25分）已知實數(shù)a、b、c、d互不相等，且a+=b+=c+=d+=x,試求x的值.五、（25分）已知四邊形ABCD的面積為32，AB、CD、AC的長都是整數(shù)，且它們的和為16.這樣的四邊形有幾個？（2）求這樣的四邊形的邊長的平方和的最小值.2002年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷一、選擇題1、已知a＝－1，b＝2－，c＝－2，那么a，b，c的大小關(guān)系是【】(A)a＜b＜c (B)b＜a＜c (C)c＜b＜a (D)c＜a＜b2、若m2＝n＋2，n2＝m＋2(m≠n)，則m3－2mn＋n3的值為【】(A)1 (B)0 (C)－1 (D)－23、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，并設(shè)M＝|a＋b＋c|－|a－b＋c|＋|2a＋b|－|2a－b|，則【】(A)M＞0 (B)M＝0 (C)M＜0 (D)不能確定M為正、為負(fù)或為04、直角三角形ＡBC的面積為120，且∠BAC＝90o，AD是斜邊上的中線，過D作DE⊥AB于E，連CE交AD于F，則△AFE的面積為【】(A)18 (B)20 (C)22(D)245、圓O1與O2圓外切于點A，兩圓的一條外公切線與圓O1相切于點B，若AB與兩圓的另一條外公切線平行，則圓O1與圓O2的半徑之比為【】(A)2：5 (B)1：2(C)1：3(D)2：36、如果對于不小于8的自然數(shù)n，當(dāng)3n＋1是一個完全平方數(shù)是，n＋1都能表示成個k完全平方數(shù)的和，那么k的最小值為【】(A)1 (B)2(C)3(D)4二、填空題7、已知a＜0，ab＜0，化簡，.8、如圖，7根圓形筷子的橫截面圓的半徑均為r，則捆扎這7根筷子一周的繩子和長度為___________9、甲乙兩人到特價商店購買商品，已知兩人購買商品的件數(shù)相等，且每件商品的單價只有8元和9元，若兩人購買商品一共花費了172元，則其中單價為9元的商品有件。10、設(shè)N＝23x＋92y為完全平方數(shù)，且不超過2392，則滿足上述條件的一切正整數(shù)對（x，y）共有對。三、解答題11、已知：a，b，c三數(shù)滿足方程組，試求方程bx2＋cx－a＝0的根。12、如圖，等腰三角形ABC中，P為底邊BC上任意點，過P作兩腰的平行線分別與AB，AC相交于Q，R兩點，又P`的對稱點，證明：P'在△ABC的外接圓上。13、試確定一切有理數(shù)r，使得關(guān)于x的方程rx2＋(r＋2)x＋r－1＝0有且只有整數(shù)根。2001年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一、選擇題1、a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則2a＋999b＋1001c的值是【】（A）1999（B）2000（C）2001（D）不能確定2、若，且有5a2＋2001a＋9＝0及，則的值是【】（A）（B）（C）（D）3、已知在△ABC中，∠ACB＝900，∠ABC＝150，BC＝1，則AC的長為【】（A）（B）（C）（D）4、如圖，在△ABC中，D是邊AC上的一點，下面四種情況中，△ABD∽△ACB不一定成立的情況是【】（A）（B）（C）∠ABD＝∠ACB（D）5、①在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根為；②在△ABC中，若，則△ABC是銳角三角形；③在△ABC和中，a，b，c分別為△ABC的三邊，分別為的三邊，若，則△ABC的面積S大于的面積。以上三個命題中，假命題的個數(shù)是【】（A）0（B）1（C）2（D）36、某商場對顧客實行優(yōu)惠，規(guī)定：①如一次購物不超過200元，則不予折扣；②如一次購物超過200元但不超過500元的，按標(biāo)價給予九折優(yōu)惠；③如一次購物超過500元的，其中500元按第②條給予優(yōu)惠，超過500元的部分則給予八折優(yōu)惠。某人兩次去購物，分別付款168元和423元；如果他只去一次購物同樣的商品，則應(yīng)付款是【】（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8二、填空題7、已知點P在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（0，1），O為坐標(biāo)原點，∠QPO＝1500，且P到Q的距離為2，則Q的坐標(biāo)為。8、已知半徑分別為1和2的兩個圓外切于點P，則點P到兩圓外公切線的距離為。9、已知是正整數(shù)，并且，則＝。10、一個正整數(shù)，若分別加上100和168，則可得到兩個完全平方數(shù)，這個正整數(shù)為。三、解答題11、在直角坐標(biāo)系中有三點A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直線上橫坐標(biāo)為0、1、2的點分別為D、E、F。試求的值使得AD2＋BE2＋CF2達(dá)到最大值。12、（1）證明：若取任意整數(shù)時，二次函數(shù)總?cè)≌麛?shù)值，那么都是整數(shù)；（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷真假，且證明你的結(jié)論。13、如圖，D，E是△ABC邊BC上的兩點，F(xiàn)是BC延長線上的一點，∠DAE＝∠CAF。（1）判斷△ABD的外接圓與△AEC的外接圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若△ABD的外接圓的半徑的2倍，BC＝6，AB＝4，求BE的長。2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷第一試一、選擇題1、計算的值是【】（A）1；（B）；（C）；（D）5。2、若，則的值是【】（A）；（B）；（C）5；（D）6。3、設(shè)a，b是不相等的任意正數(shù)，又，，則x，y這兩個數(shù)一定【】（A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1個大于2；（D）至少有1個小于2。4、正整數(shù)n小于100，并滿足等式，其中表示不超過x的最大整數(shù)，這樣的正整數(shù)n有【】（A）2個；（B）3個；（C）12個；（D）16個。5、已知一個梯形的四條邊的長分別為1、2、3、4，則此梯形的面積等于【】（A）4；（B）6；（C）；（D）。6、已知ABCD是一個半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，AB＝12，CD＝6，分別延長AB和DC，它們相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，則R等于【】（A）10；（B）；（C）；（D）14。二、填空題7、a，b是正數(shù)，并且拋物線和都與x軸有公共點，則的最小值是________。8、某果品店組合銷售水果，甲種搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙種搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙種搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。A水果價格每千克2元，B水果價格每千克1.2元，C水果價格每千克10元。某天該店銷售三種搭配共得441.2元，其中A9、實數(shù)x，y滿足和，則x＋y＝________。10、設(shè)正三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點，P是邊BC上的任意一點，PA＋PM的最大值和最小值分別記為s和t，則________。第二試一、設(shè)p是實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點。,（1）求證：；（2）若A,B間的距離不超過，求P的最大值。二、EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，兩條對角線EG和FH所夾的銳角為θ，且∠BEG與∠CFH都是銳角。已知EG＝k，F(xiàn)H＝l，四邊形EFGH的面積為S。（1）求證：；（2）試用k，l，s表示正方形ABCD的面積。三、設(shè)關(guān)于x的二次方程的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的所有實數(shù)k的值。1999年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷第一試（4月4日上午8:30--9:30）考生注意：本試兩大題共10道小題，每題7分。全卷滿分70分一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6個小題，每小題都給出了（A）、（B）、（C）、（D）四個結(jié)論，其中只有一個是正確的，請把你認(rèn)為正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號內(nèi)。每小題選對得7分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在圓括號內(nèi)），一律得0分。1、計算的值是（）。（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。2、△ABC的周長是24，M是AB的中點，MC＝MA＝5，則△ABC的面積是（）。（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。3、設(shè)，將一次函數(shù)與的圖象畫在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則有一組的取值，使得下列4個圖中的一個為正確的是（）。4、若函數(shù)，則當(dāng)自變量取1、2、3、…、100這100個自然數(shù)時，函數(shù)值的和是（）。（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。5、如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，點P在線段AD上，則滿足條件∠BPC＝90°的點P的個數(shù)為（）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整數(shù)。6、有下列三個命題：（甲）若是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)；（乙）若是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)；（丙）若是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)。其中正確命題的個數(shù)是（）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）本題共有4道小題，要求直接把答案寫在橫線上。1、已知且，則＝________。2、如圖，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分線交BC于M，△ABC的外接圓的切線AN交BC的延長線于N，則△ANM的最小角等于________。3、已知為整數(shù)，且滿足，則＝________。4、在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且∠NMB＝∠MBC，則tg∠ABM＝________。第二試（4月4日上午10:00--11:30）考生注意：本試三大題，第一題20分，第二、三題各25分，全卷滿分70分。一、（本題滿分20分）某班參加一次智力競賽，共三題，每題或者得滿分或者得0分。其中題滿分20分，題、題滿分分別為25分。競賽結(jié)果，每個學(xué)生至少答對了一題，三題全答對的有1人，答對其中兩道題的有15人，答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為29，答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為25，答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為20，問這個班的平均成績是多少分？二、（本題滿分25分）

如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD＝4DC。已知圓過點C且與AC相交于F，與AN相切于AB的中點G。求證：AD⊥BF。三、（本題滿分25分）

已知為整數(shù)，方程的兩根都大于－1且小于0，求和的值。1997年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一.選擇題本題共有6小題,每一個小題都給出了以(A),(B),(C),(D)為代號的四個答案,其中只有一個答案是正確的.請將正確的答案用代號填在各小題的括號內(nèi).1.下述四個命題(1)一個數(shù)的倒數(shù)等于自身,那么這個數(shù)是1;(2)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形;(3)的平方根是;(4)大于直角的角一定是鈍角.(A)1個(B)2個;(C)3個;(D)4個.答()2.已知,那么滿足上述不等式的整數(shù)x的個數(shù)是答()(A)4;(B)5;(C)6;(D)7.答()3.若實數(shù)滿足,代數(shù)式的最大值是(A)27(B)18;(C)15;(D)12.答()4.給定平面上個點,已知1,2,4,8,16,32都是其中兩點之間的距離,那么點數(shù)的最小可能值是(A)4;(B)5;(C)6;(D)7.答()5.在梯形中,,,,E,M,F,N分別為AB,BC,CD,DA的中點,已知BC=7,MN=3,則EF之值為(A)4(B)(C)5;(D)6.答()6.如圖,已知,,,均垂直于,,,,,則AP+PB等于（A）12；（B）13；（C）14；（D）15.答()二、填空題1.從等邊三角形內(nèi)一點向三邊作垂線,已積壓這三條垂線的長分別為1,3,5,則這個等邊三角形的面積是.2.當(dāng)取遍0到5的所有實數(shù)值時,滿足的整數(shù)的個數(shù)是.3.若,滿足,則的取值范圍是.4.若正整數(shù)x,y滿足,則等于___________.第二試一.設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點,PE垂直AC于點F,PF垂直BC于點F,PG垂直EF于點G,延長GP并在其延長線上取一點D,使得PD=PC,試證:,且BC=BD.二.已知為整數(shù),且,方程的兩個根滿足關(guān)系式試求所有的整數(shù)點對().三.已知定理:“若三個大于3的質(zhì)數(shù),滿足關(guān)系式,則是整數(shù)n的倍數(shù)”.試問:上述定理中的整數(shù)n的最大可能值是多少?并證明你的結(jié)論.1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.實數(shù)a,b滿足ab=1,記M=,N=,則M,N的關(guān)系為（）A．M＞N B．M=NC．M＜N D．不確定2.設(shè)正整數(shù)a,m,n滿足,則這樣的a,m,n的取值（）A．有一組 B．有二組C．多于二組 D．不存在3．如圖1，A是半徑為1的圓O外的一點，OA=2，AB是圓O的切線，B是切點，弦BC∥OA，連結(jié)AC，則陰影部分的面積等于（）A.B.C.D.(1)(2)(3)4．設(shè)x1、x2是二次方程x2+x3=0的兩個根，那么x134x22+19的值等于（）A．4 B．8C．6 D．05．如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個三角形的 （）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心6．如果20個點將某圓周20等分，那么頂點只能在這20個點中選取的正多邊形的個數(shù)有（）A．4個 B．8個C．12個 D．24個二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1.已知實數(shù)x0,y0是方程組的解,則x0+y0=__________.2．如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，則點N到邊BC的距離等于______．3．設(shè)1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且,則=_______.4．如圖3，將邊長為1的正方形ABCD繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB＇C＇D＇的位置，則這兩個正方形重疊部分的面積是______．第二試一、（本題滿分20分）某校在向“希望工程”捐款活動中，甲班的m個男生和11個女生的捐款總數(shù)與乙班的9個男人和n個女生的捐款總數(shù)相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款數(shù)相同，且都是整數(shù)元，求每人的捐款數(shù)．二、（本題滿分25分）設(shè)凸四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點為M，過點M作AD的平行線分別交AB、CD于點E、F，交BC的延長線于點O，P是以O(shè)為圓心OM為半徑的圓上一點（位置如圖所示）.求證：∠OPF=∠OEP．三、（本題滿分25分）已知a、b、c都是正整數(shù)，且拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個不同的交點A、B，若A、B到原點的距離都小于1，求a+b+c的最小值．1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題1．已知a＝355,b＝444,c＝533,則有（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a.C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b2.方程組的正整數(shù)解的組數(shù)是（）A．1 B．2.C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.4．如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓，那么此圓的周長為（）A．62π B．63πC．64π D．65π5．設(shè)AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N=2S△OAB，則（）A．M＞NB．M=NC．M＜ND．M、N的大小關(guān)系不確定6．設(shè)實數(shù)a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則（）A．a(chǎn)＞0且b＞0 B．a(chǎn)＜0且b＞0C．a(chǎn)＞0且b＜0 D．a(chǎn)＜0且b＜0二、填空題在12，22，32…，952這95個數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有______個.已知a是方程x2+x-=0的根,則的值為___________.設(shè)x為正實數(shù),則函數(shù)y=x2-x+的最小值是__________.4．以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓周上的點，且OC2=AC·BC，則∠CAB=______．第二試一、已知∠ACE=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，經(jīng)A、C、D三點的圓交AB于F（如圖）.求證：F為△CDE的內(nèi)心.二、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點,試在二次函數(shù)的圖象上找出滿足的所有整點(x,y)并說明理由.三、試證：每個大于6的自然數(shù)n，都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.1994年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題1．若0，則可以化簡為【】A、B、C、D、2．設(shè)a,b,c是不全相等的任意實數(shù)，若x＝a2－bc,y＝b2－ca,z＝c2－ab,則x,y,z【】A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一個小0于D3．如圖1所示，半圓O的直徑在梯形ABCD的底邊AB上，且與其余三邊BC，CD，DA相切，若BC＝2，DA＝3，則AB的長【】A．等于4 B．等于5C．等于6 D4．當(dāng)時，多項式的值為【】A．1 B．－1 C．22001 D．－220015．若平行直線EF，MN與相交直線AB，CD相交成如圖2所示的圖形，則共得同旁內(nèi)角【】A．4對 B．8對C．12對 D．16對6．若方程有兩個不相等的實根，則實數(shù)p的取值范圍是【】A、B、C、D、7．設(shè)銳角三角形ABC的三條高AD，BE，CF相交于H。若BC＝a,AC＝b,AB＝c,則AH·AD＋BH·BE＋CH·CF的值是【】A、B、C、D、8．若（其中a，b是自然數(shù)），且有，則2a＋b的一切可能的取值是【】A．1001 B．1001,3989C．1001,1996 D．二、填空題9．若在關(guān)于x的恒等式中，為最簡分式，且有，，則N＝____________10．當(dāng)時，函數(shù)的最大值是____________11．在△ABC中，設(shè)AD是高，BE是角平分線，若BC＝6，CA＝7，AB＝8，則DE＝______.12．把兩個半徑為5和一個半徑為8的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩外切，若要有用一個大圓形紙片把這三個圓形紙片完全蓋住，則這個大圓形紙片的最小半徑等于______.第二試一、如圖所示，在△ABC中，AB＝AC.任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP＝BQ.求證：△ABC的外心O與A,P,Q四點共圓。二、周長為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，請給出證明；若存在，請證明共有幾個？三、某次數(shù)學(xué)競賽共有15個題.下表是對于做對n(n＝0,1,2,……,15)個題的人數(shù)的一個統(tǒng)計.n道題0123…12131415做對的人數(shù)781021…15631如果又知其中做對4個題和4個題以上的學(xué)生每人平均做對6個題，做對10個題和10個題以下的學(xué)生每人平均做對4個題.問這個表至少統(tǒng)計了多少人？1993年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽決賽試題第一試一.選擇題本題共有8個小題,每小題都給出了(A),(B),(C),(D)四個結(jié)論,其中只有一個是正確的.請把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號內(nèi).1.多項式除以的余式是(A)1;(B)-1;(C);(D);2.對于命題Ⅰ.內(nèi)角相等的圓內(nèi)接五邊形是正五邊形.Ⅱ.內(nèi)角相等的圓內(nèi)接四邊形是正四邊形,以下四個結(jié)論中正確的是(A)Ⅰ,Ⅱ都對(B)Ⅰ對,Ⅱ錯(C)Ⅰ錯,Ⅱ?qū)?(D)Ⅰ,Ⅱ都錯.3.設(shè)是實數(shù),.下列四個結(jié)論:Ⅰ.沒有最小值;Ⅱ.只有一個使取到最小值;Ⅲ.有有限多個(不止一個)使取到最大值;Ⅳ.有無窮多個使取到最小值.其中正確的是(A)Ⅰ(B)Ⅱ(C)Ⅲ(D)Ⅳ4.實數(shù)滿足方程組其中是實常數(shù),且,則的大小順序是(A);(B);(C);(D).5.不等式的整數(shù)解的個解(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于56.在中,,則的值是(A)(B)(C)(D).答()7.銳角三角ABC的三邊是a,b,c,它的外心到三邊的距離分別為m,n,p,那么m:n:p等于(A);(B)(C)(D).答()8.可以化簡成(A);(B)(C)(D)答()二.填空題當(dāng)x變化時,分式的最小值是___________.2.放有小球的1993個盒子從左到右排成一行,如果最左面的盒里有7個小球,且每四個相鄰的盒里共有30個小球,那么最右面的盒里有__________個小球.3.若方程有四個非零實根,且它們在數(shù)軸上對應(yīng)的四個點等距排列,則=____________.4.銳角三角形ABC中,.以BC邊為直徑作圓,與AB,AC分別交于D,E,連接DE,把三角形ABC分成三角形ADE與四邊形BDEC,設(shè)它們的面積分別為S1,S2,則S1:S2=___________.第二試設(shè)H是等腰三角形ABC垂心,在底邊BC保持不變的情況下讓頂點A至底邊BC的距離變小,這時乘積的值變小,變大,還是不變?證明你的結(jié)論.二.中,BC=5,AC=12,AB=13,在邊AB,AC上分別取點D,E,使線段DE將分成面積相等的兩部分.試求這樣的線段DE的最小長度.三.已知方程分別各有兩個整數(shù)根及,且.(1)求證:(2)求證:≤≤;(3)求所有可能的值.1992全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷第一試一.選擇題本題共有8個題,每小題都給出了(A),(B),(C),(D)四個結(jié)論,其中只有一個是正確的.請把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號內(nèi).1.滿足的非負(fù)整數(shù)的個數(shù)是()(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.2.若是一元二次方程的根,則判別式與平方式的關(guān)系是()(A)>(B)=(C)<;(D)不確定.3.若,則的個位數(shù)字是()(A)1;(B)3;(C)5;(D)7.4.在半徑為1的圓中有一內(nèi)接多邊形,若它的邊長皆大于1且小于,則這個多邊形的邊數(shù)必為()(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.5.如圖,正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像分別相交于A點和C點.若和Rt的面積分別為S1和S2,則S1與S2的關(guān)系是()(A)(B)(C)(D)不確定 答()6.在一個由個方格組成的邊長為8的正方形棋盤內(nèi)放一個半徑為4的圓,若把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為,把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為,則的整數(shù)部分是()(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.7.如圖,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,,又E是底邊AB上一點,且FE=FB=AC,FA=AB.則AE:EB等于()(A)1:2(B)1:3(C)2:5(D)3:108.設(shè)均為正整數(shù),且,,則當(dāng)?shù)闹底畲髸r,的最小值是()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11.二.填空題1.若一等腰三角形的底邊上的高等于18cm,腰上的中線等15cm,則這個等腰三角形的面積等于________________.2.若,則的最大值是__________.3.在中,的平分線相交于點，又于點，若，則.4.若都是正實數(shù)，且，則.第二試設(shè)等腰三角形的一腰與底邊的長分別是方程的兩根，當(dāng)這樣的三角形只有一個時，求的取值范圍.二、如圖，在中，是底邊上一點，是線段上一點，且.求證：.三、某個信封上的兩個郵政編碼M和N均由0，1，2，3，5，6這六個不同數(shù)字組