初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)XJ湖南專用幾何滿分訓(xùn)練31.(2023河北中考)如圖,在Rt△ABC中,AB=4,M是斜邊BC的中點(diǎn),以AM為邊作正方

形AMEF,若S正方形AMEF=16,則S△ABC=

(

)BA.4

B.8

C.12D.162.在△ABC中,∠BAC=120°,AC=6,AB=4,則BC的長(zhǎng)是

(

)A.6

B.2

C.2

D.9B3.如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,分別以CD,BC,AB,AD為邊向外作四

個(gè)等邊三角形,面積分別為S1,S2,S3,S4,其中S1=2,S2+S3=14,則S4的值為__________.

12

第3題圖

解析如圖,連接AC,作EF⊥AD于點(diǎn)F.因?yàn)椤鰽DE是等邊三角形,所以DF=AF,∠DEF=30°,所以DF=

DE,所以EF=

=

DE=

AD,所以S4=

AD·EF=AD×

AD=

AD2,所以AD2=

S4,同理CD2=

S1,BC2=

S2,AB2=

S3.因?yàn)椤螦BC=∠ADC=90°,所以AC2=CD2+AD2=BC2+AB2,所以

S1+

S4=

S2+

S3,所以S1+S4=S2+S3.因?yàn)镾1=2,S2+S3=14,所以2+S4=14,所以S4=12.4.(新趨勢(shì)·新定義)定義:如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,那么稱這個(gè)

點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的“勾股點(diǎn)”.當(dāng)這個(gè)點(diǎn)是直角的頂點(diǎn)時(shí),這個(gè)點(diǎn)又稱為“強(qiáng)勾股

點(diǎn)”.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=8,D是AC的中點(diǎn),P是射線BD上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P是Rt△ABC中A,C兩個(gè)頂點(diǎn)的“強(qiáng)勾股點(diǎn)”時(shí),BP的長(zhǎng)為____________.

4或16

第4題圖解析因?yàn)锳C=12,D是AC的中點(diǎn),所以AD=CD=

AC=6.因?yàn)锽C=8,所以BD=

=10.當(dāng)點(diǎn)P是A,C兩個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)勾股點(diǎn)時(shí),①如圖1,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),∠APC=90°,所以PD=CD=

AC=6,所以BP=BD-PD=10-6=4;②如圖2,點(diǎn)P在△ABC外,因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),所以AD=CD=DP=6,所以BP=BD+DP=10+6=

16.綜上所述,BP的長(zhǎng)為4或16.圖1

圖25.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CDB=30°,BD=

AD,且BC=

,求AB的長(zhǎng)度.

解:因?yàn)椤螩=90°,∠CDB=30°,BC=

,所以BD=2BC=2

,所以CD=

=3.因?yàn)锽D=

AD,所以AD=2,所以AC=AD+CD=5,所以AB=

=

=2

.6.如圖,在△ABC中,AB=AC,P是高CE上一點(diǎn),∠EPB=2∠PBC.(1)求證:BP⊥AC;(2)若EP=6,BP=10,求AB的長(zhǎng).

解:(1)證明:如圖,延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D.

因?yàn)锳B=AC,所以∠ABC=∠ACB.因?yàn)椤螮PB=2∠PBC=∠PBC+∠PCB,所以∠PBC=∠PCB.因?yàn)镻是高CE上一點(diǎn),所以CE⊥AB,所以∠PBC+∠ACB=∠PCB+∠ABC=90°,所以∠BDC=90°,所以BP⊥AC.(2)設(shè)AB=AC=a,則AE=AB-BE=a-BE.因?yàn)镃E⊥AB,EP=6,BP=10,所以BE=

=

=8.由(1)知∠PBC=∠PCB,所以BP=C