11/28第01講集合及其運(yùn)算目錄01TOC\o"1-3"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅(jiān) 3知能解碼 3知識(shí)點(diǎn)1元素與集合 3知識(shí)點(diǎn)2集合的基本關(guān)系 4知識(shí)點(diǎn)3集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算 5知識(shí)點(diǎn)4集合的運(yùn)算性質(zhì) 5題型破譯 錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。題型1元素與集合的關(guān)系 6【方法技巧】判斷元素與集合關(guān)系題型2集合中元素的特征 7【方法技巧】應(yīng)用集合元素的特性解題的要點(diǎn)題型3集合間的基本關(guān)系 9【方法技巧】由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題方法【易錯(cuò)分析】易忽略集合為空集題型4（真）子集的個(gè)數(shù) 11題型5數(shù)集的運(yùn)算 12題型6點(diǎn)集的運(yùn)算 14題型7Venn圖的運(yùn)算 14題型8利用集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù) 16【方法技巧】由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題方法題型9容斥原理 19題型10集合的新定義問(wèn)題 2204真題溯源·考向感知 2405課本典例·高考素材 26考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年（1）集合的概念與表示（2）集合的基本關(guān)系（3）集合的基本運(yùn)算單選題多選題填空題解答題全國(guó)一卷T2（5分）全國(guó)二卷T3（5分）全國(guó)Ⅰ卷T1（5分）全國(guó)甲卷（文）T2（5分）全國(guó)甲卷（理）T1（5分）全國(guó)甲卷（文）T1（5分）全國(guó)甲卷（理）T1（5分）全國(guó)乙卷（文）T2（5分）全國(guó)乙卷（理）T2（5分）全國(guó)I卷T1（5分）全國(guó)II卷T2（5分）考情分析：新高考卷中集合專題為熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查集合的基本運(yùn)算（交、并、補(bǔ)）、元素與集合關(guān)系及含參問(wèn)題，題型以單選題為主，分值5分，難度較低，屬于基礎(chǔ)送分題。近三年考情顯示，集合常與一元一次不等式、一元二次不等式等各種不等式結(jié)合，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想，如通過(guò)數(shù)軸法求解區(qū)間交并運(yùn)算。命題趨勢(shì)穩(wěn)定，重點(diǎn)考查集合間關(guān)系判斷及運(yùn)算準(zhǔn)確性，偶有涉及空集特例或參數(shù)范圍求解，需注意端點(diǎn)值驗(yàn)證。備考應(yīng)熟練掌握集合符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，強(qiáng)化含參問(wèn)題分類討論能力，同時(shí)關(guān)注集合與函數(shù)、邏輯用語(yǔ)的交叉命題形式。復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系，能在自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)集合.2.理解集合間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.3.在具體情境中，了解全集與空集的含義.4.理解兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集、交集與補(bǔ)集5.能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系與基本運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)1元素與集合1．元素與集合的關(guān)系：若屬于集合，則記作；若不屬于集合，則記作；2．集合中元素的特征：確定性，互異性，無(wú)序性3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，記作.4．常用數(shù)集及其記法：集合非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集符號(hào)或5．集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.自主檢測(cè)已知集合，若且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由且，得，解得．故選：A知識(shí)點(diǎn)2集合的基本關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言基本關(guān)系子集集合A中任意一個(gè)元素都是集合B的元素真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中相等集合A，B中元素相同或集合A，B互為子集空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集且必記結(jié)論：（1）若集合A中含有n個(gè)元素，則有個(gè)子集，有個(gè)非空子集，有個(gè)真子集，有個(gè)非空真子集．（2）子集關(guān)系的傳遞性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解.自主檢測(cè)已知集合，那么集合與Q的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，故集合是集合的真子集．故選：B知識(shí)點(diǎn)3集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算運(yùn)算文字語(yǔ)言符號(hào)表示Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合補(bǔ)集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合自主檢測(cè)已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，，.故選：C.知識(shí)點(diǎn)4集合的運(yùn)算性質(zhì)①； ②；③； ④；⑤.自主檢測(cè)（2025·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A，B滿足：，，則滿足條件的集合B的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【詳解】由題意有，因?yàn)?，所以，則滿足條件的集合B為，，共2個(gè)．故選：B.題型1元素與集合的關(guān)系例1-1（2025·遼寧·二模）設(shè)集合.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C例1-2若集合中有且只有一個(gè)元素，則值的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)榧现杏星抑挥幸粋€(gè)元素，所以方程只有一個(gè)解，所以，解得.故選：D.方法技巧判斷元素與集合關(guān)系（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．（2）推理法：對(duì)于一些沒(méi)有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．【變式訓(xùn)練1-1】集合，且，則有（

）A． B． C． D．不屬于中的任意一個(gè)【答案】B【詳解】由題知P表示偶數(shù)集，Q表示奇數(shù)集，R表示所有被4除余1的整數(shù)，新以當(dāng)時(shí)，則a為偶數(shù)，b為奇數(shù)，則一定為奇數(shù)．【變式訓(xùn)練1-2】已知集合，，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】若，且，則，即.【變式訓(xùn)練1-3】（多選）若集合中只有一個(gè)元素，則的值（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】BC【詳解】當(dāng)，，滿足條件；當(dāng)，由，則得，此時(shí)只有一個(gè)元素，所以當(dāng)或時(shí)，集合中只有一個(gè)元素.故選：BC題型2集合中元素的特征例2-1已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由集合中元素滿足互異性，所以.故選：B.例2-2（2025·甘肅慶陽(yáng)·二模）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】3【詳解】因?yàn)椋苑譃橐韵聝煞N情況：①或，當(dāng)時(shí)，集合滿足題意；當(dāng)時(shí)，集合，違反了集合的互異性，故舍去；②，此時(shí)集合，違反了集合的互異性，故舍去；綜上所述，.故答案為：3.方法技巧應(yīng)用集合元素的特性解題的要點(diǎn)（1）集合問(wèn)題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問(wèn)題時(shí)，要明確集合中的元素是什么．（2）構(gòu)成集合的元素必須是確定的(確定性)，而且是互不相同的(互異性)，在書(shū)寫(xiě)時(shí)可以不考慮先后順序(無(wú)序性)．（3）利用集合元素的特性求參數(shù)問(wèn)題時(shí)，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn)，要注意分類討論思想的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練2-1】集合中的不能取的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】由集合的互異性可知，，或，或，得，或，或，故選：C【變式訓(xùn)練2-2·變考法】設(shè)，若集合中的最大元素為3，則．【答案】1【詳解】因?yàn)榧现械淖畲笤貫?，所以,所以或.當(dāng)時(shí)，不合題意舍；當(dāng)時(shí)，不符合集合的互異性舍；當(dāng)時(shí)，集合中的最大元素為3；所以.故答案為：1.【變式訓(xùn)練2-3】舉例說(shuō)明：設(shè)集合M中含有三個(gè)元素3，，：(1)求實(shí)數(shù)，應(yīng)滿足的條件；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)且且且且；(2)或或.【詳解】（1）據(jù)集合中元素的互異性，可知，即且且且且；（2）若，則或，解得：或或，若，則，滿足題意；若，則，滿足題意；若，則，滿足題意；故或或.題型3集合間的基本關(guān)系例3-1（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，則.故選：B.例3-2已知集合，，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，滿足；當(dāng)時(shí)，有，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例3-3（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，或，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)滿足題意，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，要滿足題意，則有綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A方法技巧由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題方法（1）當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時(shí)，常借助數(shù)軸來(lái)建立不等關(guān)系求解，此時(shí)應(yīng)注意端點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn)．（2）當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時(shí)，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的運(yùn)用．易錯(cuò)分析易忽略集合為空集注意：解集合的包含關(guān)系題目時(shí)，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性.【變式訓(xùn)練3-1】設(shè)集合，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令或分類討論即可．因?yàn)榧?，，若，由集合的互異性知，則或．當(dāng)時(shí)，，，有，得，所以；當(dāng)時(shí)，集合，，有，又，所以，得，不滿足題意．綜上．故選：C．【變式訓(xùn)練3-2】（多選）已知集合，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不存在實(shí)數(shù)a，使得 B．存在實(shí)數(shù)a，使得C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】AC【詳解】選項(xiàng)A，由相等集合的概念可得此方程組無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)a，使得集合，因此A正確；選項(xiàng)B，由，得即此不等式組無(wú)解，因此B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，得為空集，滿足，因此C正確；選項(xiàng)D，當(dāng)，即時(shí)，，符合，當(dāng)時(shí)，要使，需滿足解得，不滿足，故這樣的實(shí)數(shù)a不存在，因此D錯(cuò)誤．故選：AC.題型4（真）子集的個(gè)數(shù)例4-1已知集合，則集合，且的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．4 D．6【答案】B【詳解】由，則，又，且，所以，故子集個(gè)數(shù)為.故選：B例4-2若集合有且僅有1個(gè)子集，則a的值可以為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】由集合A有且僅有1個(gè)子集可知，A是，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得．故選：C．【變式訓(xùn)練4-1】集合的真子集的個(gè)數(shù)是.【答案】【詳解】由題意得，為的正因數(shù)，故，所以此集合的真子集個(gè)數(shù)為.故答案為：.【變式訓(xùn)練4-2·變載體】若集合有且僅有2個(gè)子集，則實(shí)數(shù)k的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【詳解】由題意知，結(jié)合有且僅有2個(gè)子集，即方程組只有一個(gè)解，即方程只有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，解得或，綜上，實(shí)數(shù)的最小值為．故選：A.題型5數(shù)集的運(yùn)算例5-1已知集合，，則（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，所以或，故選：.例5-2已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題得，，所以，故選：D．【變式訓(xùn)練5-1】設(shè)集合，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，．【變式訓(xùn)練5-2】已知全集，集合，，則，（．【答案】或或．【詳解】或

利用數(shù)軸，分別表示出全集及集合，，如圖：則或．又，所以或，或．【變式訓(xùn)練5-3】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，則，所以．【變式訓(xùn)練5-4】設(shè)集合，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)?，又，，所以，則.題型6點(diǎn)集的運(yùn)算例6-1已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由方程組，解得，則.故選：C．例6-2（2025·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則的元素個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．無(wú)數(shù)【答案】B【詳解】聯(lián)立，整理得，解得，則，即，有1個(gè)元素.故選：.【變式訓(xùn)練6-1】若集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，解得，故，故選：C【變式訓(xùn)練6-2】已知集合，，則．【答案】【詳解】由，得或或或.故答案為：題型7Venn圖的運(yùn)算例7-1設(shè)為全集，，，都是它的子集，則下圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】陰影在，內(nèi)，而不在內(nèi)，即在內(nèi)，故陰影表示的集合是．例7-2已知為全集，其三個(gè)非空子集、、滿足，則下列集合為空集的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由圖可知，，不是空集，故選：C【變式訓(xùn)練7-1】（多選）已知集合M，N為全集U的子集，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，顯然成立，故A正確；對(duì)于B，若，則由圖1可得M不可能是的子集，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則由圖2可得成立，故C正確；對(duì)于D，若，則由圖3可得成立，故D正確.

故選：ACD.【變式訓(xùn)練7-2】如圖，已知矩形表示全集，是的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題意得，陰影部分的區(qū)域內(nèi)的元素且，所以陰影部分可表示為或或.故選：D.【變式訓(xùn)練7-3】（多選）下圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】由圖形可知，陰影部分用集合符號(hào)可以表示為或者.故選：AD.題型8利用集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)例8-1（2025·遼寧本溪·模擬預(yù)測(cè)）已知集合若，則a的取值構(gòu)成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題得，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以或，解?或，綜上的取值構(gòu)成的集合為.故選：D.例8-2設(shè)集合，，全集．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)．【詳解】解：（1）解法1

易知，所以．又，且，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．解法2

由，知，又，，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）因?yàn)?，，，所以，解得，故?shí)數(shù)的取值范圍是．（3）因?yàn)椋?，，所以，解得，故?shí)數(shù)的取值范圍是．方法技巧求集合運(yùn)算中參數(shù)的值或取值范圍的解題思路（1）將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系。若集合能一一列舉,則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系;與不等式有關(guān)的集合，利用數(shù)軸得到不同集合間的關(guān)系。（2）將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組)是否有解或解集?！咀兪接?xùn)練8-1】設(shè)集合或，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意有即．【變式訓(xùn)練8-2·變考法】已知集合和，滿足，，則實(shí)數(shù)．【答案】【詳解】由題知，但；，但．將和分別代入集合，中，得即解得【變式訓(xùn)練8-3】已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，或，由得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【變式訓(xùn)練8-4】已知集合．(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；(2)從條件①②③中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．條件：①；②；③．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【詳解】解：（1）由于，所以解得．（2）若選①，由得．當(dāng)時(shí)，則，解得，滿足條件；當(dāng)時(shí)，則解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．若選②，．當(dāng)時(shí)，，解得，滿足條件：當(dāng)時(shí)，或，則解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．若選③，．當(dāng)時(shí)，，解得，滿足條件；當(dāng)時(shí)，或，則解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．題型9容斥原理例9-1高三1班有12名同學(xué)讀過(guò)《牡丹亭》，有8名同學(xué)讀過(guò)《醒世恒言》，兩者都讀過(guò)的同學(xué)有4名，則該班學(xué)生中至少讀過(guò)《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學(xué)生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人【答案】A【詳解】設(shè)集合“高三1班讀過(guò)《牡丹亭》的學(xué)生”，其元素個(gè)數(shù)記為；集合“高三1班讀過(guò)《醒世恒言》的學(xué)生”，其元素個(gè)數(shù)記為；則，則.故該班學(xué)生中至少讀過(guò)《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學(xué)生有16人.故選：A.例9-2（多選）2024年國(guó)慶假期期間，佛山市安排了精彩紛呈的文旅體活動(dòng)，其中文化旅游活動(dòng)備受市民青睞.某學(xué)校對(duì)120名學(xué)生在國(guó)慶期間參與佛山祖廟的“樂(lè)游祖廟，喜迎國(guó)慶”文藝匯演，順德歡樂(lè)海岸的“潮玩廣府”嘉年華活動(dòng)，廣東千古情的“火人狂歡節(jié)”活動(dòng)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：參與情況參與人數(shù)參與了佛山祖廟的“樂(lè)游祖廟，喜迎國(guó)慶”文藝匯演60參與了順德歡樂(lè)海岸的“潮玩廣府”嘉年華活動(dòng)89參與了廣東千古情的“火人狂歡節(jié)”活動(dòng)50至少參與了其中的一個(gè)活動(dòng)105則下列說(shuō)法正確的是（

）A．三項(xiàng)活動(dòng)都沒(méi)有參與的人數(shù)為15B．三項(xiàng)活動(dòng)都參與的人數(shù)最多為47C．恰好參與一個(gè)活動(dòng)的人數(shù)最少為21D．恰好參與兩個(gè)活動(dòng)的人數(shù)最多為94【答案】ABD【詳解】設(shè)三項(xiàng)活動(dòng)都參與的人數(shù)為，只參與佛山祖廟和順德歡樂(lè)海岸活動(dòng)的人數(shù)為，只參與佛山祖廟和廣東千古情活動(dòng)的人數(shù)為，只參與順德歡樂(lè)海岸和廣東千古情活動(dòng)的人數(shù)為，只參與佛山祖廟活動(dòng)的人數(shù)為，只參與順德歡樂(lè)海岸活動(dòng)的人數(shù)為，只參與廣東千古情活動(dòng)的人數(shù)為，對(duì)于A，已知至少參與了其中一個(gè)活動(dòng)的人數(shù)為105，那么三項(xiàng)活動(dòng)都沒(méi)有參與的人數(shù)為，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，根據(jù)已知條件可得：，①，②，③，④將①②③得：，⑤用⑤④可得：，即，因?yàn)椋?，解得，所以三?xiàng)活動(dòng)都參與的人數(shù)最多為47，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由④可得，將代入可得：，因?yàn)?，所以，即恰好參與一個(gè)活動(dòng)的人數(shù)最少為11，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，恰好參與兩個(gè)活動(dòng)的人數(shù)為，因?yàn)?，所以，所以恰好參與兩個(gè)活動(dòng)的人數(shù)最多為94，故D正確.故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題主要涉及集合的相關(guān)概念和容斥原理。容斥原理是指先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)。【變式訓(xùn)練9-1】某單位周一、周二開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)分別是14，.若這兩天中至少有一天開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)是20，則這兩天中一天開(kāi)車(chē)一天不開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)僅第一天開(kāi)車(chē)人數(shù)為，僅第二天開(kāi)車(chē)人數(shù)為，兩天都開(kāi)車(chē)人數(shù)為，則由圖知，，兩式相減得，.故選：C.【變式訓(xùn)練9-2】學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（1）班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加趣味益智類比賽．有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加趣味益智類比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加趣味益智類比賽和球類比賽的有3人，沒(méi)有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽．則只參加趣味益智類一項(xiàng)比賽的人數(shù)為；同時(shí)參加田徑和球類比賽的人數(shù)為【答案】93【詳解】因?yàn)閰⒓尤の兑嬷穷惐荣惖目側(cè)藬?shù)為15，且：同時(shí)參加趣味益智類比賽和田徑比賽的有3人；同時(shí)參加趣味益智類比賽和球類比賽的有3人．又因?yàn)闆](méi)有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，所以只參加趣味益智類一項(xiàng)比賽的人數(shù)為：人．設(shè)同時(shí)參加田徑和球類比賽的人數(shù)為，由題意得：，解得：，故同時(shí)參加田徑和球類比賽的人數(shù)為，故答案為：9；3．【變式訓(xùn)練9-3】一群學(xué)生參加學(xué)科夏令營(yíng)，每名同學(xué)參加至少一個(gè)學(xué)科考試．已知有80名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)考試，50名學(xué)生參加了物理考試，45名學(xué)生參加了化學(xué)考試，學(xué)生總數(shù)是只參加一門(mén)考試學(xué)生數(shù)的2倍，也是參加三門(mén)考試學(xué)生數(shù)的4倍，則學(xué)生總數(shù)為（

）A．100名 B．108名 C．120名 D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】A【詳解】設(shè)只參加了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)考試的學(xué)生數(shù)分別為，，；參加了兩門(mén)學(xué)科考試的同學(xué)中參加了數(shù)學(xué)和物理、物理和化學(xué)、化學(xué)和數(shù)學(xué)的學(xué)生數(shù)分別為，，；同時(shí)參加了三門(mén)學(xué)科考試的學(xué)生數(shù)為，如圖．根據(jù)題意，有，前面三個(gè)等式相加，可得．由第四個(gè)等式可得，，因此，解得．因此學(xué)生總數(shù)為．故選：A.題型10集合的新定義問(wèn)題例10-1設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果且，那么是的一個(gè)“孤立元”，給定，由的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（

）個(gè)．A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【詳解】由題意，要使集合含有“孤立元”，則集合中的元素不是3個(gè)一致連續(xù)的整數(shù)即可，故滿足條件的集合有：，，，，，，，，，，，，，，，.故選：B.例10-2給定數(shù)集M，若對(duì)于任意x，，都有，且，則稱集合M為閉集合.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．自然數(shù)集是閉集合B．無(wú)理數(shù)集是閉集合C．集合為閉集合D．若集合，為閉集合，則也為閉集合【答案】ABD【詳解】取，，則，故A錯(cuò)誤；取，，則，0不是無(wú)理數(shù)，故B錯(cuò)誤；設(shè)，，則，，故C正確；取，，由C選項(xiàng)可知是閉集合，同理可證也是閉集合，則為被2整除或被3整除的全體整數(shù)集，取，，則，5不能被2或3整除，即，故D錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練10-1】當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集G滿足“如果，則，且時(shí)，”時(shí)，我們稱G就是一個(gè)數(shù)域，以下四個(gè)關(guān)于數(shù)域的命題：①是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域G有非零元素，則；③集合是一個(gè)數(shù)域；④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域，其中真命題有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【詳解】對(duì)①：當(dāng)時(shí)，有，所以0是任何數(shù)域的元素，故①正確；對(duì)②：取非0實(shí)數(shù)，則，再由，則，可得任意正整數(shù)屬于，故②正確；對(duì)③：若為數(shù)域，取，，則不成立，故③錯(cuò)誤；對(duì)④：任取有理數(shù)，，令，，則，，，且，所以有理數(shù)集是數(shù)域，故④正確.所以正確的有：①②④.故選：B.【變式訓(xùn)練10-2】對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)，定義某種運(yùn)算“”如下：①當(dāng)同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時(shí)，；②當(dāng)一奇一偶時(shí)，，則集合的子集個(gè)數(shù)是個(gè)（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)都是偶數(shù)或都是奇數(shù)時(shí)，則或或或或或或或或；當(dāng)是偶數(shù)，是奇數(shù)時(shí)，，或；當(dāng)是奇數(shù)，是偶數(shù)時(shí)，，或；集合中含有個(gè)元素，它的子集個(gè)數(shù)為，故選：B【變式訓(xùn)練10-3·變考法】對(duì)于非空集合（，），其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即．若非空數(shù)集滿足下列兩個(gè)條件：①?；②，則稱為的一個(gè)“保均值真子集”，則集合的“保均值真子集”的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4C．6 D．8【答案】C【詳解】因?yàn)榧?，則，所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6個(gè)．故選：C1．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則中元素個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，中的元素個(gè)數(shù)為，故選：C．2．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）已知集合則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】