第二章離散時間傅里葉變換

(DTFT)與Z變換第二章離散時間傅里葉變換

(DTFT)與Z變換2.0信號的正交分解2.1連續(xù)時間信號的傅里葉變換(CTFT)與拉普拉斯變換(LT)2.2離散時間傅里葉變換(DTFT)2.3z變換2.4連續(xù)時間信號的抽樣及抽樣定理2.5離散信號的ZT、DTFT與連續(xù)信號的LT、CTFT的關系引言——色彩斑斕的世界引言——好聽悅耳的聲音噪聲濾除（FT變換）——Removethe60HzHumfromaSignalFTIFT60Hz干擾濾波數(shù)據(jù)壓縮(DCT變換)DCT

舍棄小于閾值的變換系數(shù)§2.0信號的正交分解矢量正交及正交分解信號正交信號的正交分解重點：信號正交分解的概念和方法一、矢量正交及正交分解

矢量正交：矢量vx

與vy

的內積為0。

正交矢量集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合如三維空間中，以矢量vx=（1，0，0）、vy=（0，1，0）、vz=（0，0，1)所組成的集合就是一個正交矢量集。且完備。vx

=(vx1,vx2,vx3)

；vy

=(vy1,vy2,vy3)二、信號正交設信號

(t)或

(n)為信號空間H中的一個元素，定義內積或若，則稱信號

1和

2正交。二、信號正交

若N個信號

1，

2，…，

N，組成的{

i}集合滿足則稱{

i}為信號空間H上的正交基。如果在正交基{

i}之外，不存在信號

≠0，滿足則稱{

i}為完備正交基。(i=1，2，…，N)若Ci

=

1，則稱{

i}為歸一化正交基。

二、信號正交例如：三角函數(shù)集{1，cos(kΩ0t)，sin(kΩ0t)，k=1,2,…}虛指數(shù)函數(shù)集{，k=0，±1，±2，…}是連續(xù)信號空間上的完備正交基。是離散信號空間上的完備正交基。虛指數(shù)函數(shù)集三、信號的正交分解信號空間H中的信號x，可以在完備正交基{

i}上作正交分解由有

i稱為分解系數(shù)。三、信號的正交分解正交分解性質1、分解系數(shù)

i是信號x在基向量{

i}上的準確投影。2、正交變換保證變換前后能量不變，該性質稱為Parseval定理。小結——信號的正交分解信號空間H：任意信號x，完備正交基{

i}，則x可以正交分解分解系數(shù)i：§2.1連續(xù)時間信號的傅里葉變換(FT)與拉普拉斯變換(LT)連續(xù)信號的傅里葉變換連續(xù)信號的拉普拉斯變換重點：FT和LT的定義對難點：頻譜的概念一、連續(xù)信號的傅里葉變換連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)(FS)連續(xù)非周期信號的傅里葉變換(FT)連續(xù)周期信號的傅里葉變換1.連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)(FS)(1)三角形式的FS(3)連續(xù)周期信號的功率——Parseval等式(2)指數(shù)形式的FS(1)三角形式的FS設周期信號x(t)，其周期為T，角頻率

0=2

/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù)——稱為x(t)的傅里葉級數(shù)

系數(shù)ak,bk稱為傅里葉系數(shù)

諧波形式式中，A0=a0周期信號可分解為直流和許多余弦分量之和。

A0/2為直流分量

A1cos(

0t+

1)稱為基波或一次諧波

A2cos(2

0t+

2)稱為二次諧波……

Akcos(k

0t+

k)稱為k次諧波。ak=Akcos

k，bk=–Aksin

k，k=1,2,…將上式同頻率項合并，可寫為周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系，即將Ak~(k0)和

k~(k0)的關系分別畫在以

為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為k≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。頻譜概念頻譜概念頻譜概念演示頻譜概念(2)指數(shù)形式的FS系數(shù)X(jk

0)稱為復傅里葉系數(shù)

利用cosx=(ejx

+e–jx)/2可從三角形式推出：CTFS雙邊頻譜(3)周期信號的功率——Parseval等式物理意義：直流和k次諧波分量在1

電阻上消耗的平均功率之和。周期信號一般是功率信號，其平均功率為這是Parseval定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn)。周期信號功率式證明證明:信號頻帶寬度的概念

集中信號主要能量（功率）的頻率范圍稱為信號的頻帶寬度，或簡稱為信號的帶寬，用符號

F表示?？偣β?0%為限。(由Parseval定理求)語音信號 頻率大約為 300~3400Hz，音樂信號

50~15,000Hz，擴音器與揚聲器有效帶寬約為15~20,000Hz。系統(tǒng)的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真,k=0,±1，±2，…[例2-1-1]求周期矩形信號的頻譜。sinc函數(shù)：sinc(t)10t

2

3

－

－2

－3

sinc(t)是偶函數(shù)

當t→0時，sinc(t)=1；當t=k

時，sinc(k

)=0T

=

5

特點：離散性;諧波性;收斂性

0=2

/T

0=2

/T譜線的結構與波形參數(shù)的關系①脈沖寬度

與頻譜的關系信號的頻帶寬度(頻寬)與脈沖寬度(時寬)成反比譜線的結構與波形參數(shù)的關系②信號周期T與頻譜的關系⑴T增加，不影響振幅的收斂性，但會增加譜線密度。⑵當T

時，信號成為非周期信號，譜線幅度降低為無窮小，譜線密度加大，頻譜成為連續(xù)譜。(1)從周期信號的FS到非周期信號的FT2.非周期信號的傅里葉變換(CTFT)(2)非周期信號的能量——Parseval等式學習目標：理解FT物理意義熟悉FT常用變換對區(qū)別頻譜強度和頻譜密度(1)從周期信號的FS到非周期信號的FTT

時，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)：X(j

)稱為x(t)的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。CTFT(1)從周期信號的FS到非周期信號的FT時域頻域[說明]②

FS:周期函數(shù)

離散函數(shù)。FT：非周期函數(shù)

連續(xù)函數(shù)；頻譜強度頻譜密度①

x(t)和X(j

)是一一對應的。相同信號的不同表達形式，包含了相同的信息。FT將以時間為自變量的函數(shù)變成了以頻率為變量的函數(shù)，將信號從時域變換到了頻域。

建立在這種變換上的分析方法稱為變換域法。③公式的適用條件④在頻域中用j

作自變量，目的是為了便于引入拉普拉斯變換有限間斷點、有限極值點、x(t)絕對可積（b）能量有限（a）Direchlet條件(充分條件):（c）引入沖激信號，可以表示更多的函數(shù)（如周期信號、功率信號）[說明][例2-1-2]求門函數(shù)g

(t)的頻譜。[作業(yè)]求頻域函數(shù)的原函數(shù)。理想低通濾波器[解][例2-1-3]求沖激函數(shù)(t)的頻譜。[解]白色譜or均勻譜CTFT的對稱性質：若則直流信號[例2-1-4]求取樣函數(shù)的頻譜。

=2【作業(yè)】41(2)非周期信號的能量密度——Parseval等式時頻能量守恒[例2-1-5]求取樣函數(shù)的能量。[解](2)非周期信號的能量密度——Parseval等式[證明]3.周期信號的傅里葉變換周期信號：可以實現(xiàn)傅里葉級數(shù)的分解，屬于功率信號；非周期信號：可以實現(xiàn)傅里葉變換，屬于能量信號；？那么，周期信號可否實現(xiàn)傅里葉變換

在經(jīng)典數(shù)學的意義上是不可實現(xiàn)的，但在引入了奇異函數(shù)后可以實現(xiàn)。[例2-1-6]令求其傅里葉變換。因為：所以，嚴格意義上的傅里葉不存在，可將其展開為傅里葉級數(shù)：[解]已知頻移性質∴∴FSFT線譜[例]求單位沖激串的頻譜[解]傅里葉級數(shù)展開∴由有二、連續(xù)信號的拉普拉斯變換

從傅里葉變換到拉普拉斯變換拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系學習目標：了解引入LT的意義熟悉LT與FT的關系1.從傅里葉變換到拉普拉斯變換傅里葉變換優(yōu)點：物理意義明確解決方法：引入拉普拉斯變換(廣義傅里葉變換)傅里葉變換局限性：

工程實際中許多信號不存在FT系統(tǒng)分析不方便信號x(t)的FT是

對于不滿足絕對可積條件的x(t)，乘以衰減因子e-

t(

為實常數(shù)

)，使得x(t)e-

t的FT存在1.從傅里葉變換到拉普拉斯變換相應的有令則s

具有頻率的量綱,稱為復頻率拉氏正變換(象函數(shù))拉氏反變換(原函數(shù))收斂域s平面(splane)s=

+jRe[s]jIm[s]使X(s)存在的s區(qū)域稱為

X(s)的收斂域(RegionOfConvergence)，簡記為ROC，即能使x(t)e-

t

絕對可積的

值。[例2-1-7]求的象函數(shù)。因果信號的收斂域X(s)的收斂域為Re[s]=

>

0，即s平面的右半平面收斂坐標收斂域收斂軸ROC以X(s)的極點為邊界但不包括極點splane2.傅里葉變換與拉普拉斯變換的關系

若信號x(t)的拉普拉斯變換的收斂域包含虛軸，則其傅里葉變換和拉普拉斯變換同時存在，此時有虛軸上的拉普拉斯變換就是傅里葉變換2.傅里葉變換與拉普拉斯變換的關系小結FTLT頻域復頻域信號分析系統(tǒng)分析§2.2離散時間傅里葉變換(DTFT)序列的DTFT定義序列的DTFT的性質學習目標：1.理解定義，計算頻譜2.理解性質，了解應用3.深刻理解周期與離散的對應關系從FT到DTFT周期or非周期？連續(xù)or離散？一、序列的DTFT定義X(ej

)是

的連續(xù)函數(shù)

X(ej

)是周期為2

的周期函數(shù)

DTFT存在的充分條件是序列絕對可和或平方可和DTFT:IDTFT:證明證明：兩邊同乘以，在一個周期內積分若一致收斂，交換積分與求和次序m換成n一、序列的DTFT定義

序列的DTFTX(ej

)一般為

的復函數(shù)，可表達為幅度譜和相位譜的形式，也可表達為實部和虛部的形式。相位譜的主值區(qū)間為(-

，][例2-2-1]

試求序列x(n)=anu(n)的DTFT。

當|a|>1時，求和不收斂，序列的DTFT不存在。

當|a|<1時，[解][例2-2-1]

試求序列x(n)=anu(n)的DTFT。[解]a=0.5[例2-2-2]試求矩形序列x(n)=R5(n)的頻譜。[解]N為奇數(shù)周期2

Dirichlet函數(shù)過零點：周期函數(shù)N為偶數(shù)周期4

N越大，主瓣越窄Dirichlet函數(shù)主瓣邊瓣周期函數(shù)一、序列的DTFT定義DTFT的收斂性

定義X(ej

)的部分和絕對可和一致收斂能量有限均方收斂

若序列滿足絕對可和，則序列存在DTFT。

若序列滿足平方可和，則序列存在DTFT。（充分條件）[例2-2-3]理想低通濾波器的頻率響應為試求其單位抽樣響應[解]平方可和HP、BP、BS的單位抽樣響應？？69均方收斂于Gibbs現(xiàn)象小測試：1.已知x(n)是離散、非周期信號，則其頻譜是（）。A、連續(xù)、非周期信號；B、連續(xù)、周期信號；C、離散、非周期信號；D、離散、周期信號；B二、序列的DTFT的性質1.線性特性2.移位特性3.卷積特性4.Parseval定理5.

對稱特性（奇偶、虛實性質）二、序列的DTFT的性質1.線性特性若則有二、序列的DTFT的性質若則

序列的時域位移對應頻域的相移序列的時域相移對應頻域的頻移2.移位特性幅度調制幅度調制信號（窄帶信號）說明待調制信（低頻）(modulatingsignal)載波信號（carriersignal）調制信號(modulatedsignal)優(yōu)點：1、減少信號衰減，增強抗干擾能力。2、頻分多路（frequency-divisionmultiplexing,FDM）小測試：B

的DTFT是（）。A、B、C、D、二、序列的DTFT的性質3.卷積特性

序列時域的卷積對應頻域的乘積序列時域的乘積對應頻域的卷積周期卷積系統(tǒng)響應信號加窗證明證明輸入信號是x(n)=cos(0.1*n)+cos(0.4*n)。通過FIR高通濾波器h(n)=[-6.7613.4-6.76],濾除低頻分量，保留高頻分量。[證明][證明]二、序列的DTFT的性質

序列時域的能量等于頻域的能量4.Parseval定理證明[證明][例2-1-4]已知x(n)為一有限長序列且

不計算x(n)的DTFTX(ej

)，試直接確定下列表達式的值。

(1)(2)(3)(4)[解]0，0，

2

，88二、序列的DTFT的性質5.對稱特性（奇偶、虛實性質）共軛對稱序列共軛反對稱序列偶對稱序列奇對稱序列共軛對稱的概念：

共軛對稱是實數(shù)域的偶對稱在復數(shù)域的推廣5.對稱特性序列x(n)能表示成共軛對稱與共軛反對稱序列之和：序列x(n)也能表示成實部與虛部序列之和：5.對稱特性若則對稱特性5.對稱特性當x(n)是實序列時共軛對稱5.對稱特性將X(ejω)分解為實部和虛部實部偶對稱，虛部奇對稱當x(n)是實序列時將X(ejω)分解為幅度和相位幅度偶對稱，相位奇對稱[例2-2-1]

試求序列x(n)=anu(n)的DTFT。[解]a=0.5實部偶對稱虛部奇對稱5.對稱特性共軛對稱分量共軛反對稱分量共軛反對稱分量共軛對稱分量實部虛部(含j)實部虛部(含j)Hilbert變換例題二、序列的DTFT的性質905.對稱特性當x(n)為實偶序列時，由于x(n)=x*(-n)，所以當x(n)為實奇序列時，由于x(n)=-x*(-n)，所以Re[X

(ej

)]=0;X(ej

)是

的虛奇函數(shù)Im[X

(ej

)]=0;X(ej

)是

的實偶函數(shù)Hilbert變換關系實因果信號傅里葉變換的一些內部關系：實因果信號直角坐標92例題——DTFT的性質若序列h(n)是實因果序列，h(0)=1，其DTFT的虛部為:

，求序列h(n)及其DTFT。93n=0實因果序列的分解四、小結一個變換兩個規(guī)律小結：(非周期)序列的DTFT離散周期實信號頻譜共軛對稱§2.3z變換z變換的定義和收斂域z反變換z變換的性質

z變換是離散信號與系統(tǒng)分析的工具，其地位猶如拉普拉斯變換在連續(xù)信號與系統(tǒng)分析中的地位。序列的傅里葉變換其存在的充分條件是序列絕對可和，對于不滿足絕對可和的x

(n)，乘以衰減因子r-n(r

為正實常數(shù)

)，使得x

(n)r-n

滿足絕對可和，則1.從

DTFT

到z變換一、z變換的定義和收斂域令z=r

e

j

(r>0)，則相應的即令z=r

e

j

(r>0)，則d

z=j

r

e

j

d

=j

z

d

的積分區(qū)間為(

-

,

)，對應的復變量z=r

e

j

的積分就是沿一條閉合曲線C的曲線積分，即一、z變換的定義和收斂域Laurent級數(shù)X(z)收斂充要條件——級數(shù)絕對可和2.收斂域z變換的收斂域形式通常為Rx-<

|z|

<

Rx+對序列做z變換后，必須標出收斂域。能夠使X(z)收斂的z值區(qū)域稱為z變換的收斂域(RegionofConvergence,ROC)一、z變換的定義和收斂域(1)有限長序列3.四類序列z變換的收斂域——有限z平面一、z變換的定義和收斂域[例2-3-1]

求以下有限長序列的z變換：

(1)(n)(2)x(n)={12321}↑n=0[解](2)因果序列一、z變換的定義和收斂域[例2-3-2]

求因果序列x(n)=an

u(n)的z變換。[解]|

a

z

-1|<1，即|

z

|>|

a

|時X

(z)才存在。(3)反因果序列一、z變換的定義和收斂域[例2-3-3]求反因果序列x(n)=-an

u(-n-1)的z變換。[解]|

a

-1z

|<1，即|

z

|<|

a

|時X

(z)才存在。(4)雙邊序列雙邊序列的ZT一定存在嗎？一、z變換的定義和收斂域[例2-3-4]求雙邊序列x(n)的z變換。[解]通常X

(z)為z

-1

的有理分式形式，表示為方程

zNA

(z)

=

0

的根

z

=

z

i稱為

X

(z)

的極點；方程

zNB

(z)

=

0

的根稱為

X

(z)

的零點。4.收斂域與X(z)極點的關系把零點，極點標在z平面上就稱為零、極點分布圖，簡稱為零極圖。用“×”表示極點，用“○”表示零點。一、z變換的定義和收斂域有限長序列的收斂域為0<|z|<∞因果序列反因果序列雙邊序列Rx-<|z|≤∞0≤|z|<Rx+Rx-

<

|z|

<

Rx+極點在圓內極點在圓外因果序列極點在內圓內反因果序列極點在外圓外ROC以極點為邊界但不包括極點。一、z變換的定義和收斂域5.ZT與DTFT的關系序列在單位圓上的ZT即序列的傅里葉變換(DTFT)一、z變換的定義和收斂域小測試1、序列x(n)，其頻域變換（頻譜）是（）；其復頻域變換是（）A、X(ej

);B、X(z)；2、z平面的單位圓是指（）A、|z|

=

1;

B、z=ej

；z=r

e

j

r

Re[z]j

Im[z]二、z反變換C為X(z)的ROC中的一閉合曲線。留數(shù)法(*)冪級數(shù)展開法部分分式法1.冪級數(shù)展開法冪級數(shù)[例2-3-5]

求IZT[解]2.部分分式法將復雜有理分式分解成若干簡單分式的和。X(z)為z的有理分式，將X(z)/z用部分分式展開。2.部分分式法真分式小測試1、序列x(n)的z變換X(z)為有理分式，則其收斂域由（）確定A、X(z)的極點;

B、X(z)的零點；C、X(z)的極點和零點2、X(z)為有理真分式如下，則其極點個數(shù)為（）A、M;

B、N；C、

不確定小測試3、序列x(n)的z變換為X(z)若x(n)為因果序列，則X(z)的收斂域為（）若x(n)為反因果序列，則X(z)的收斂域為（）若x(n)為雙邊序列，則X(z)的收斂域為（）A、|z|<1/2；B、1/2<|z|<2;C、|z|>2;

[例2-3-6]設其收斂域分別為:(1)|z|>2;(2)|z|<1;(3)1<|z|<2.分別求其原序列。[解][解]∴(1)|z|>2(2)|z|<1(3)1<|z|<2三、z變換的性質

線性移位

z域尺度變換序列的線性加權

共軛性質翻褶序列

時域卷積定理

初值定理和終值定理1.序列的移位x(n)x(n-1)X(z)z

-1X(z)延遲單元雙邊z變換單邊z變換的移位（引入初始狀態(tài)）,m>0不做要求[例2-3-6]求序列x(n)=u(n)－u(n－N)的z變換。X

(z)

在

z

=

1

處有一個一階極點

，同時在z

=

1

處有一個一階零點，z

=

1

的零極點相抵消。X

(z)

的收斂域為0<|

z

|≤

∞[解]差分方程的z域解[例2-3-7]

若描述因果LSI系統(tǒng)的差分方程為

y(n)

y(n

1)

2y(n

2)=x(n)+2x(n

2)已知x(n)=u

(n)，求系統(tǒng)的(零狀態(tài))響應。[解]對差分方程作z變換，得因為系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，故ROC:|z|>22.時域卷積定理[例2-3-8]兩個序列如下，試求y(n)=x(n)*h(n)[解][習1-4]求下列序列的卷積和（1）[解]ROC：|

z

|>0.3ROC：|

z

|>0.5ROC：|

z

|>0.5[例5-1-6]某離散因果系統(tǒng)的差分方程為(1)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位序列響應h(n)(2)寫出系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性(3)若輸入為x(n)=12cos(2

n)，求其穩(wěn)態(tài)響應y(n)(1)三、z變換的性質四、小結一個變換一個條件一個關系小結：(非周期)序列的ZT收斂域(ROC)?

z變換是離散信號與系統(tǒng)分析的工具，其地位猶如拉普拉斯變換在連續(xù)信號與系統(tǒng)分析中的地位。§2.4連續(xù)時間信號的抽樣

及抽樣定理重點：時域抽樣

頻譜周期延拓信號的抽樣信號的恢復抽樣定理的工程應用不同抽樣頻率對信號的影響問題：1.離散能夠完全表示連續(xù)嗎？2.怎么抽樣？3.用多大的抽樣頻率？抽樣序列頻域關系?頻譜相同頻域關系?時域關系傅里葉變換理想抽樣信號連續(xù)時間信號難點信號抽樣頻域分析的思路前測——沖激函數(shù)的性質連續(xù)信號x(t)，與沖激信號

(t-t0)相乘，示意圖為（）;與沖激信號

(t-t0)卷積，示意圖為（）。A、Bx(t)

(t-t0)=x(t0)

(t-t0)x(t)

*

(t-t0)=x(t-t0)

一、信號的抽樣×=×=*=如果原信號頻譜以

s發(fā)生周期延拓一、信號的抽樣一、信號的抽樣FTFTFT一、信號的抽樣頻譜混疊時域抽樣定理（奈奎斯特抽樣定理）最低允許的抽樣頻率fN=2fh稱為奈奎斯特頻率；最大允許的抽樣間隔TN=1/(2fh)稱為奈奎斯特間隔。

頻譜在區(qū)間(

fh,fh)以外為零的頻帶有限信號，要想抽樣后能夠不失真的還原，抽樣頻率必須大于或等于2fh

。(美國1889-1976)奈奎斯特一定必須2倍嗎？若：，太大了！窄帶信號抽樣定理壓縮感知（Compressivesensing）一定要等間隔抽樣嗎？

2004年，大牛證明，如果信號是稀疏的，那么它可以由遠低于采樣定理要求的隨機采樣點重建恢復。壓縮感知（Compressivesensing）圖1傳統(tǒng)壓縮方法圖2壓縮傳感理論框架

壓縮感知是一種全新的數(shù)據(jù)采集和編碼理論，它以遠低于Nyquist采樣頻率的非自適應性測量和優(yōu)化方法高概率重構信號，合并采樣和壓縮過程，是信號處理領域的研究熱點和新的框架。壓縮感知（Compressivesensing）[例1]已知信號x

(t)是最高頻率分量為3kHz的頻帶有限信號，設

y

(t)=x

2(t)

，若對

y

(t)

進行理想抽樣，求不使頻譜發(fā)生混疊的最低抽樣頻率fs。

x

2(t)←→(1/2

)·

X

(j)*

X

(j)

最低抽樣頻率fs=2fh

=12kHz最高頻率為6kHz

x

(t)←→X

(j

)最高頻率為3kHz[解][練習]信號x(t)=Sa(100t)，若對其進行抽樣，求不使頻譜發(fā)生混疊的最低抽樣頻率fs。x

(t)的最高頻率為fh

=50Hz最低抽樣頻率fs=2fh

=100Hz[解]二、信號的恢復×=*=內插函數(shù)二、信號的恢復二、信號的恢復IFT在每一抽樣點上，只有該點所對應的內插函數(shù)不為零，這使得各抽樣點上信號值不變，而抽樣點之間的信號則由加權內插函數(shù)波形的延伸疊加而成。正交分解三、抽樣定理的工程應用許多實際工程信號不滿足帶限條件

防混疊低通濾波器

)j(1

X-

s/210

s/2151混疊誤差與截斷誤差比較

)j(1

X-

s/210

s/2T1

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sX

s0......-

s

s/2-

s/2)j(

sXT1

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s-

s/2