第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1不含參函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)2含參函數(shù)的單調(diào)性0102考點(diǎn)3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用03課時作業(yè)第三部分1．理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．2．對于多項(xiàng)式函數(shù)，能求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識回顧第分部一1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系：在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果______________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；如果______________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減．2．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(x)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)f(x)的定義域和導(dǎo)數(shù)f′(x)；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各個區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．教材回扣f′(x)>0f′(x)<01．若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時，f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時，f′(x)≤0恒成立．2．若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時，f′(x)＞0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時，f′(x)＜0有解．教材拓展1．判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）(1)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)＞0.(

)(2)在(a，b)內(nèi)f′(x)≤0且f′(x)＝0的根為有限個，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減．(

)(3)若函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)＞0，則f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增．(

)(4)函數(shù)f(x)＝x－sinx在R上是增函數(shù)．(

)基礎(chǔ)檢測×√×√2．（人教A版選擇性必修第二冊P87T3改編）函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是(

)A．f(x)在(－3，1)上單調(diào)遞增B．f(x)在(1，3)上單調(diào)遞減C．f(x)在(2，4)上單調(diào)遞減D．f(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增解析：當(dāng)x∈(－3，0)時，f′(x)<0，故f(x)在(－3，0)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，2)時，f′(x)>0，故f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(2，4)時，f′(x)<0，故f(x)在(2，4)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(4，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，顯然C正確，其他選項(xiàng)錯誤．故選C.C3．（人教A版選擇性必修第二冊P97習(xí)題5.3T2改編）函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－4x的單調(diào)遞增區(qū)間是__________________________．4．（人教A版選擇性必修第二冊P89T2改編）若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－ax在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．解析：由題知f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.[－3，0]互動探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1不含參函數(shù)的單調(diào)性【例1】

（2024·湖南懷化二模）已知f(x)＝2x2－3x－lnx，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為______________．(1，＋∞)規(guī)律總結(jié)確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意：一是單調(diào)性應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)討論；二是多個單調(diào)性相同的單調(diào)區(qū)間之間不能用并集，要用“，”或“和”隔開．D(2)（多選）（2024·山西晉城一模）若一個函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)值恒大于0，則該函數(shù)在D上純粹遞增，若一個函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)值恒小于0，則該函數(shù)在D上純粹遞減，則(

)A．函數(shù)f(x)＝x2－2x在[1，＋∞）上純粹遞增B．函數(shù)f(x)＝x3－2x在[1，2]上純粹遞增C．函數(shù)f(x)＝sinx－2x在[0，1]上純粹遞減D．函數(shù)f(x)＝ex－3x在[0，2]上純粹遞減BC解析：若f(x)＝x2－2x，則f′(x)＝2x－2，因?yàn)閒′(1)＝0，所以A錯誤．若f(x)＝x3－2x，則f′(x)＝3x2－2，當(dāng)x∈[1，2]時，f′(x)>0恒成立，所以B正確．若f(x)＝sinx－2x，則f′(x)＝cosx－2<0，所以C正確．若f(x)＝ex－3x，則f′(x)＝ex－3<0在[0，2]上不恒成立，所以D錯誤．故選BC.考點(diǎn)2含參函數(shù)的單調(diào)性【例2】已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2lnx，其中a>0，討論f(x)的單調(diào)性．規(guī)律總結(jié)1．研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．2．劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)．3．若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及兩根的大??；若不能因式分解，則需討論判別式Δ的正負(fù)，二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi)．【對點(diǎn)訓(xùn)練2】已知曲線y＝f(x)＝aex－x＋b在x＝0處的切線過點(diǎn)(1，a2＋2a－1).(1)試求b－a2的值；解：函數(shù)f(x)＝aex－x＋b，求導(dǎo)得f′(x)＝aex－1，則f′(0)＝a－1，而f(0)＝a＋b，因此曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為y－a－b＝(a－1)x，即y＝(a－1)x＋a＋b.依題意，a2＋2a－1＝a－1＋a＋b，所以b－a2＝0.(2)討論f(x)的單調(diào)性．解：由題意知函數(shù)f(x)＝aex－x＋a2，其定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得f′(x)＝aex－1.當(dāng)a≤0時，f′(x)<0，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，由f′(x)＝aex－1＝0，得x＝－lna，當(dāng)x<－lna時，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，當(dāng)x>－lna時，f′(x)>0，f(x)在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．所以當(dāng)a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．考點(diǎn)3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1求參數(shù)的取值范圍D命題角度2比較大小或解不等式A(2)已知f(x)＝sinx－x＋1，則不等式f(m2)＋f(3m＋2)>2的解集為(

)A．(－3，0)B．(－2，－1)C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B【解析】令g(x)＝f(x)－1＝sinx－x，則g′(x)＝cosx－1≤0，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，因?yàn)間(－x)＝－sinx＋x＝－g(x)，所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，由f(m2)＋f(3m＋2)>2，得f(m2)－1>－f(3m＋2)＋1＝－[f(3m＋2)－1]，即g(m2)>－g(3m＋2)＝g(－3m－2)，所以m2<－3m－2，解得－2<m<－1，所以不等式f(m2)＋f(3m＋2)>2的解集為(－2，－1).故選B.規(guī)律總結(jié)1．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的方法(1)f(x)在(a，b)上為增（減）函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′（x)≤0），且在(a，b)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解．(2)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)>0（或f′(x)<0）在該區(qū)間上存在解集．(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f′(x)＝0在(a，b)上有解（需驗(yàn)證解附近左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號）.2．利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式，其關(guān)鍵是判斷已知（或構(gòu)造后的）函數(shù)的單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小或解不等式．考教銜接泰勒展開式1．教材母題：（人教A版必修第一冊P256T26）英國數(shù)學(xué)家泰勒給出如下公式：2．常見的泰勒展開式3．泰勒展開式將各種類型的函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等）與多項(xiàng)式函數(shù)聯(lián)系起來，這樣在局部可以用多項(xiàng)式函數(shù)近似替代其他函數(shù)，我們主要用其比較大小．

AC(2)已知函數(shù)f(x)＝x－sinx，則不等式f(x＋1)＋f(1－2x)>0的解集是__________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x－sinx，所以f(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．又f′(x)＝1－cosx≥0，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則不等式f(x＋1)＋f(1－2x)>0等價于f(x＋1)>－f(1－2x)＝f(2x－1)，即x＋1>2x－1，解得x<2，所以原不等式的解集為(－∞，2).(－∞，2)課時作業(yè)18第分部三1．（5分）函數(shù)f(x)＝1＋x－sinx(

)A．在(0，2π)上是增函數(shù)B．在(0，2π)上是減函數(shù)C．在(0，π)上單調(diào)遞增，在(π，2π)上單調(diào)遞減D．在(0，π)上單調(diào)遞減，在(π，2π)上單調(diào)遞增解析：∵f(x)＝1＋x－sinx，∴f′(x)＝1－cosx，當(dāng)x∈(0，2π)時，f′(x)>0，∴f(x)在(0，2π)上單調(diào)遞增．故選A.A2．（5分）設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象為(

)C解析：由題圖可知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以y＝f′(x)<0在(－∞，0)上恒成立，故B，D錯誤；函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上先遞減后遞增再遞減，所以y＝f′(x)在(0，＋∞)上應(yīng)為負(fù)、正、負(fù)的趨勢，故A錯誤，C正確．故選C.DBAB7．（6分）（多選）已知函數(shù)f(x)＝(x2－4x＋1)ex，則函數(shù)f(x)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的有(

)A．(－1，0) B．(－2，－1)C．(－1，3) D．(3，4)解析：f′(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex＝(x2－2x－3)ex，令f′(x)>0，可得x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1)，(3，＋∞)，所以f(x)在(－2，－1)與(3，4)上單調(diào)遞增．故選BD.BDAC9．（5分）函數(shù)y＝ex－5x的單調(diào)遞增區(qū)間為________________．解析：因?yàn)閥＝ex－5x，所以y′＝(ex－5x)′＝ex－5，令y′＝ex－5>0，解得x>ln5，所以y＝ex－5x的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln5，＋∞).(ln5，＋∞)[0，1）11．（18分）已知函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex，a∈R.(1)若f′(0)＝1，求實(shí)數(shù)a的值；解：∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex，∴f′(0)＝1?a＝1.(2)若函數(shù)f(