1.4充分條件與必要條件學習目標1.了解真命題與推出符號的關系,領會符號語言的優(yōu)越性.2.理解充分條件、必要條件、充要條件的概念,掌握充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法.3.理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、數(shù)學定義與充要條件之間的關系.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點1

充分條件與必要條件一般地,“若p,則q”為真命題,就說p是q的

條件,q是p的

條件.這是判斷充分條件、必要條件的根源充分

必要

名師點睛1.在邏輯推理中“p?q”的幾種說法(1)“如果p,那么q”為真命題.(2)p是q的充分條件.(3)q是p的必要條件.(4)p的必要條件是q.(5)q的充分條件是p.這五種說法表示的邏輯關系是一樣的,說法不同而已.2.對充分條件的理解(1)充分條件是某一個結論成立應具備的條件,當命題具備此條件時,就可以得出此結論或使此結論成立.(2)一般地,數(shù)學中的每一條判定定理都給出了相應數(shù)學結論成立的一個充分條件.例如平行四邊形的判定定理“如果一個四邊形的一組對邊平行且相等,那么這個四邊形是平行四邊形”,其中“一個四邊形的一組對邊平行且相等”是“四邊形是平行四邊形”成立的充分條件.3.對必要條件的理解(1)若q是p的必要條件,此時q是p成立的必備條件之一,但q不一定能推出p.(2)一般地,數(shù)學中的每一條性質定理都給出了相應數(shù)學結論成立的一個必要條件.例如“如果一個四邊形是菱形,那么它的對角線互相垂直”這一性質定理中,“對角線互相垂直”是“四邊形是菱形”的必要條件.思考辨析若p是q的充分條件,p是唯一的嗎?q是唯一的嗎?提示

不唯一.凡是能使結論q成立的條件都是它的充分條件,如x>2是x>1的充分條件,x>5,x>10等都是x>1的充分條件;凡是能由條件p推出的結論都是它的必要條件,如“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件,“內錯角相等”“同旁內角互補”等都是“兩直線平行”的必要條件.自主診斷1.(多選題)使“x>3”成立的充分條件是(

)A.x>4 B.x>5

C.x>2

D.x>1AB2.(人教B版教材例題)判斷下列各題中,p是不是q的充分條件,q是不是p的必要條件:(1)p:x∈Z,q:x∈R;(2)p:x是矩形,q:x是正方形.解

(1)因為整數(shù)都是有理數(shù),從而一定也是實數(shù),即p?q,因此p是q的充分條件,q是p的必要條件.(2)因為矩形不一定是正方形,即pq,因此p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.知識點2

充要條件如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p?q,又有q?p,就記作

.此時,p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說p是q的

條件,簡稱為充要條件.

名師點睛1.對充要條件的三點說明(1)p是q的充要條件意味著“p成立,則q一定成立;p不成立,則q一定不成立”.(2)p是q的充要條件,則q也是p的充要條件.(3)一般地,數(shù)學定義中的條件和結論互為充要條件.p?q充分必要

2.常見的四種條件與命題真假的關系如果有命題“若p,則q”和“若q,則p”,那么p與q的關系有以下四種情形:命題“若p,則q”命題“若q,則p”p與q的關系真真p是q的充要條件q是p的充要條件真假p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假真p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件假假p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件思考辨析定義“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”合理嗎?提示

合理.因為“四邊形的一組對邊平行且相等”是“四邊形是平行四邊形”的充要條件.自主診斷1.設p:x<5,q:x<6,那么p是q的(

)條件.A.充分不必要

B.必要不充分C.充要

D.既不充分也不必要A解析

由x<5能推出x<6,充分性成立;由x<6不能推出x<5,必要性不成立,故p是q的充分不必要條件.故選A.2.(北師大版教材習題)下列各題中,試判斷p是q的什么條件.(1)p:<1,q:x>1;(2)p:四邊形的對角線相等,q:四邊形是矩形;(3)p:一元二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0),q:一元二次函數(shù)的圖象關于y軸對稱.解

(1)必要不充分條件;(2)必要不充分條件;(3)充要條件.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一充分條件、必要條件及充要條件的判斷【例1】

利用推出關系判斷下列甲是乙的什么條件.(1)甲:x≤0,乙:x<0;解

令A={x|x≤0},B={x|x<0},B是A的子集,但是A不是B的子集,所以甲是乙的必要不充分條件.(2)甲:x2+y2=0,乙:x=0,y=0;解

因為x2+y2=0?x=0,y=0,所以甲是乙的充要條件.(3)甲:x>0,乙:|x|>0;解

由|x|>0,可得x≠0,所以甲是乙的充分不必要條件;(4)甲:|x|≤2,乙:|x+1|<1.解

|x|≤2?-2≤x≤2,|x+1|<1?-2<x<0,所以甲是乙的必要不充分條件.規(guī)律方法充分條件、必要條件的三種判斷方法(1)定義法:若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;若q?p,則p是q的必要條件,q是p的充分條件.(2)集合轉化法:設p,q對應的集合分別為P,Q,則若P?Q,則p是q的充分條件;若P?Q,則p是q的必要條件;若P=Q,則p既是q的充分條件,又是q的必要條件.(3)命題判斷法:①如果“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時q是p的必要條件.②如果“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時q也不是p的必要條件.變式訓練1

在下列命題中,試判斷p是q的什么條件.(1)p:c<0,q:一元二次方程x2-2x+c=0有兩個實數(shù)根;(2)已知△ABC的三邊為a,b,c,p:a2+b2+c2=ab+bc+ca,q:△ABC是等邊三角形.

探究點二充要條件的證明【例2】

求證:關于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.證明

先證充分性:因為a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一個根為1,所以a+b+c=0?方程ax2+bx+c=0有一個根為1.再證必要性:因為方程ax2+bx+c=0有一個根為1,所以x=1滿足方程ax2+bx+c=0,所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程ax2+bx+c=0有一個根為1?a+b+c=0.綜上,方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.變式探究

將例2中的條件“有一個根為1”改為“有一個正根和一個負根”,“a+b+c=0”改為“ac<0”,如何證明?證明

充分性:因為ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根,由根與系數(shù)關系可知這兩個根的積為

<0,所以方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根,所以ac<0?方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根.必要性:因為方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根,由根與系數(shù)關系可知這兩個根的積為

<0,所以ac<0,綜上,方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件是ac<0.規(guī)律方法充要條件的證明(1)根據充要條件的定義,證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明:一般地,證明“p成立的充要條件為q”;①充分性:把q當作已知條件,結合命題的前提條件,推出p;②必要性:把p當作已知條件,結合命題的前提條件,推出q.解題的關鍵是分清哪個是條件,哪個是結論,然后確定推出方向,至于先證明充分性還是先證明必要性則無硬性要求.(2)在證明過程中,若能保證每一步推理都有等價性(?),也可以直接證明充要性.變式訓練2已知a,b是實數(shù),求證:“a2-b2=1”是“a4-b4-2b2=1成立”的充要條件.證明

充分性:若a2-b2=1,則a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1成立.必要性:若a4-b4-2b2=1,則a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b4+2b2+1)=0,∴a4-(b2+1)2=0,∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0.∵a2+b2+1≠0,∴a2-b2-1=0,即a2-b2=1成立.綜上,“a2-b2=1”是“a4-b4-2b2=1成立”的充要條件.探究點三既不充分也不必要條件【例3】

(1)已知x,y∈R,則“x<y”是“x2<y2”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件D解析

由-2<1,但(-2)2>12,可知x<y推不出x2<y2;由12<(-2)2,但1>-2,可知x2<y2推不出x<y.故“x<y”是“x2<y2”的既不充分也不必要條件.故選D.(2)(多選題)下列命題中為真命題的是(

)A.“x>4”是“x<5”的既不充分也不必要條件B.“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要不充分條件C.“關于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實數(shù)根”的充要條件是“Δ=b2-4ac≥0”D.若集合A?B,則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件AC解析

A√x>4x<5且x<5x>4B×正三角形一定是等腰三角形,等腰三角形不一定是正三角形,所以“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的充分不必要條件C√一元二次方程有實數(shù)根,則Δ≥0,反之亦然D×當集合A=B時,應為充要條件故選AC.

D

(2)(多選題)對任意實數(shù)a,b,c,下列說法中正確的是(

)A.“a=b”是“ac=bc”的充要條件B.“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件C.“a>b”是“a2>b2”的充分條件D.“a<5”是“a<3”的必要條件BD解析

對于A,若“a=b”,則“ac=bc”為真命題,但當c=0時,若“ac=bc”,則“a=b”為假命題,故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要條件,故A錯誤;對于B,若“a+5是無理數(shù)”,則“a是無理數(shù)”為真命題,若“a是無理數(shù)”,則“a+5是無理數(shù)”也為真命題,故“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件,故B正確;對于C,若“a>b”,則“a2>b2”為假命題,若“a2>b2”,則“a>b”也為假命題,故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件,故C錯誤;對于D,{a|a<3}是{a|a<5}的真子集,故“a<5”是“a<3”的必要條件,故D正確.故選BD.學以致用