平面2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)

數(shù)的引入第1節(jié)平面向量的概念與線性運(yùn)算學(xué)案含解析新人教A版

20230519145向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

第五章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與發(fā)數(shù)的引入

課程標(biāo)準(zhǔn)命題解讀

考查形式：一般兩個(gè)選擇題或

一個(gè)選擇題，一個(gè)填空題.

1.理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義,理解平面向量

考查內(nèi)容：向量的線性運(yùn)算及

的幾何表示和基本要素.

其兒何意義；向量加、減、數(shù)

2.掌握平面向量加、減、數(shù)乘運(yùn)兌運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾

乘及向量共線的坐標(biāo)表示：兩

何意義.

個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算、夾角

3.理解平面向量數(shù)量積的概念及具物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量

公式、垂直問(wèn)題.復(fù)數(shù)的定義、

的數(shù)量積.

幾何意義、共軌復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的

4.理解平而向量基本定理及其意義，掌握平而向量的正交分解

模、復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)

及坐標(biāo)表示.

算.

5.能用坐標(biāo)表示平而向量的數(shù)量枳及共線、垂直的條件，會(huì)求

備考策略：(1)熟練應(yīng)用三角形、

兩個(gè)平面向量的夾角.

平行四邊形法則，進(jìn)行向量的

6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面兒何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題以及其他

線性運(yùn)算，熟練掌握向量的數(shù)

實(shí)際問(wèn)題.

量積運(yùn)算，能解決向量的模、

7.了解數(shù)系的擴(kuò)充，理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解

夾角、垂直問(wèn)題.

兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.

(2)熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、

8.掌握復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其兒何意義，掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示的

且數(shù)的模及其幾何意義.

四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)

算.

第一節(jié)平面向量的概念與線性運(yùn)算

「、必備知識(shí)-回顧教材重“四基

一'教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量:向量的大小向量由方向和長(zhǎng)度確定，不受位置

向量

叫做向量的長(zhǎng)度(或模)影響

零向量長(zhǎng)度為9的向量其方向是任意的，記作。

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量非零向量。的單位向量為端

平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行(或共線)

兩向量只有相等或不相等，不能比

相等向量K度粗笑且方向順的向量

較大小

相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量。的相反向量為0

微提醒■■■

(1)要注意0與0的區(qū)別，。是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|=0.

(2)單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們的大小相等，但方向不一定相同.

(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量.

(4)與非零向量a平行的單位向量有兩個(gè)，即向量泡和一言

!*?1

2.平面向量的線性運(yùn)算

法則

向量運(yùn)算定義運(yùn)算律

(或幾何意義)

/

交換律：a+b=6+。；

求兩個(gè)向量和的運(yùn)a

加法三角形法則結(jié)合律：m+/>)+c=2

算

+(Z>+c)

a

平行四邊形法則

向量。加上5的相反

向量，叫做。與力的

差，即〃一/>=〃+(—

減法八

b).求兩個(gè)向量差的U

運(yùn)算叫做向量的減三角形法則

法

數(shù)乘實(shí)數(shù)2與向量。的積⑴1M=b阿4M=（仙"

是一個(gè)向量，這種運(yùn)(2)當(dāng)尢>0時(shí)，布的方向(2+〃)。=2。+//〃；

算叫做向量的數(shù)乘與。的方向相同:當(dāng)2<02(。+6)=2。+26

時(shí)，癡的方向與。的方

向相反;當(dāng)7=0時(shí)，必

=0

微提醒■■■

(1)一般地，首是順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)楮向最后一個(gè)向量終點(diǎn)

的向量，即A1A2+AM3+A3A4+…+4-|%”=4歷”.特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向

量和為零向量.

(2)若P為線段八B的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則5力斗蘇+曲.

(3)作兩個(gè)向量的差時(shí)，首先將兩向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，要注意差向量的方向是由減

向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).

3.向量共線定理

向量a(“WO)與方共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)"使得b=2.

微提醒■■■

(I)在向量共線的充要條件中易忽視“。羊0”.若忽視“。工0”，則人可能不存在，也可

能有無(wú)數(shù)個(gè).

(2)三點(diǎn)共線的等價(jià)關(guān)系：

A,P,8三點(diǎn)共線今通瓦IW0)㈡辦=(1一。萬(wàn)l+r加。為平面內(nèi)異于4P,B的

任一點(diǎn)，￡R)o5>=x?+)協(xié)(O為平面內(nèi)異于A,P,3的任一點(diǎn)，*WR,>GR,x+y=

二、基本技能?思想?活動(dòng)體驗(yàn)

1.判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”.

(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.(。)

(2)⑷與步|是否相等與m0的方向無(wú)關(guān).(J)

(3)若a〃力，h//c,RiJa//c.(X)

(4)若向量衲與向量詼?zhǔn)枪簿€向量，則A,B,C,。四點(diǎn)在一條直線上.(X)

(5)當(dāng)兩個(gè)非零向量m力共線時(shí)，-一定有〃=〃，反之成立.(J)

(6)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反.(X)

2.如圖，設(shè)P,Q兩點(diǎn)把線段A8三等分，則下列向量表達(dá)式錯(cuò)誤的是()

IIII

APQB

A.AP=\ABB.AQ=^ABC.BP=-^ABD.AQ=BP

D解析：由數(shù)乘向量的定義可以得到A,B,C都是正確妁，只有D錯(cuò)誤.

3.對(duì)于非零向量如b,“a+b=O”是ua//bn的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

A解析：若。+力=0,如。=一力，所以?！?

若〃〃瓦則a+b=O不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件.

4.設(shè)向量”，力不平行，向量癡+方與a+2b平行，則實(shí)數(shù)/=.

!解析：因?yàn)橄蛄棵髁Σ黄叫?，所以?2方二（）.又向量〃+〃與。+2/>平行，則存在唯

一的實(shí)數(shù)"，使癡+力="（。+28）成立，即/.a+b=〃a+2曲時(shí)''解得2="=；.

U=2〃，-

5.在QA8C7）中，AB=a,4D=Z>,病=3取;，M為8C的中點(diǎn)，則而獷=______（用

b表示）.

?1aa

—彳。+療b解析：由AN=3NC,得八%=予。=彳（。+。）.

又贏f=a+：力，

所以MN=AN—AM=,（a+8）—（“+］）=—%+，

——、關(guān)鍵能力?研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”/---------

考點(diǎn)1向量的相關(guān)概念——基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

1.下面說(shuō)法正確的是（）

A.平面內(nèi)的單位向量是唯一的

B.所有單位向量的終點(diǎn)的集合為一個(gè)單位圓

C.所有的單位向量都是共線的

D.所有單位向量的模相等

D解析：因?yàn)槠矫鎯?nèi)的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)單位向量的起點(diǎn)不同

時(shí)，其終點(diǎn)就不一定在同一個(gè)圜上，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤：當(dāng)兩個(gè)甲位向量的方向不相同也不相

反時(shí)，這兩個(gè)向量就不共線，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)閱挝幌蛄康哪６嫉扔贗,所以選項(xiàng)D正

確.

2.下列說(shuō)法正確的是()

A.若向量油與向量詼?zhǔn)枪簿€向量，則點(diǎn)A,B,C,。必在同一條直線上

B.兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量

C.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量

D.兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，共終點(diǎn)必相向

D解析：若向量贏與向量詼?zhǔn)枪簿€向量，則AB〃C?；螯c(diǎn)A,B,C,。在同一條直線

上，故A錯(cuò)誤；共線向量是指方向相同或相反的向量，兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，其方向可能

既不相同也不相反，故B錯(cuò)誤；長(zhǎng)度相等的向量不一定是相等向量，還需要方向相同，故C

錯(cuò)誤：相等向量是大小相等、方向相同的向量，故兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)

必相同，故D正確.

3.判斷下列四個(gè)命題：

①若”〃b,則“=》；②若覦|=|切，則”=也③若同=|切,則a〃也④茗0=》,則同=|回.

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

A解析：只有④正確.

4.給出下列命題：

①零向量是唯一沒(méi)有方向的向量：

②零向量的長(zhǎng)度等于0；

③若。，〃都為非零向量，則使溫端=0成立的條件是a與〃反向共線.

其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為〔)

A.0B.IC.2D.3

B解析：①錯(cuò)誤，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正確，由零向量的定義可知，

零向量的長(zhǎng)度為0:③正確，因?yàn)楹吓c卷都是單位向量，所以只有當(dāng)啟與日是相反向量，即a

與方反向共線時(shí)等式才成立.

解題通法

向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度.

(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制.

(3)相等向量的關(guān)犍是方向相同且長(zhǎng)度相等.

(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度.

(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度為0,規(guī)定零向量與任何向量共線.

考點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算——應(yīng)用性

「典例引領(lǐng)」

例D*在等腰梯形ABC。中，AB=-2CD,M為8C的中點(diǎn)，則贏=()

—

3然

筋

C4十-

I-B.D.2+-

B解析：因?yàn)榻?一2G，所以筋=2力t.又歷是8C的申點(diǎn)，所以危=去腦+應(yīng):)=

同源異考/

1.木例條件不變，用前，病表示加f.

=1(Ah+Afi-AC)

—*1—?

=AB-^AC

=贏一；(病+灰7)

=AB—^AD-i^AI^

3f一

=^AB—^AD.

2.本例中，若說(shuō)=2贏，其他條件不變，用矗，亞表示嬴.

解：AM=AB+BM=AB-\-^BC

=4B+1(Ac—

解題通法

1.平面向量的線性運(yùn)算技巧

(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.

(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、

三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解.

2.三種運(yùn)算法則的關(guān)注點(diǎn)

（I）加法的三角形法則要求“首尾相接”，平行四邊彩法則要求“起點(diǎn)相同”.

（2）減法的三角形法則要求“起點(diǎn)相同”且差向量指向被減向量.

（3）數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，運(yùn)算過(guò)程可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算.

「多維訓(xùn)練」

如圖，在正方形八8c。中，E為八8的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn),用油，病表示AX

解：根據(jù)題意得，AF=AE+EF.

又降必+時(shí)AE=^AB,

所以4/=皋8+*53+力￡））=%/?+%/>

考點(diǎn)3平面向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用——穌合性

「典例引領(lǐng)」

考向I根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的值或范圍

例?，（1）（2020?朔州模擬）在△ABC中，/W+AC=2AD,&+及：=0.若此=x/而+）丞;

則（）

A.y=3xB.x=3y

C.y=~3xD.x=~3y

D解析：因?yàn)橼A+危=2俞，所以點(diǎn)D是8C的中點(diǎn).又因?yàn)橘?沆：=0,所以點(diǎn)￡

是八。的中點(diǎn)，所以西=麗+危=一油+］屐）=一/6+??；（祐+危尸一碗+；危，因此

44rr

%=一點(diǎn)y=；,所以x=_3y.

（2）（2020?懷化模擬）在△ABC中，點(diǎn)。在線段BC的延長(zhǎng)線上，且脛=3萬(wàn)），點(diǎn)O在線段

C。上（與點(diǎn)C,。不重合）.若歷=./力+（1—為而，則x的取值范圍是（)

A.（0,B.（0,|）

C（W。）D.（一當(dāng)0）

D解析：設(shè)歷=、反，因?yàn)檎?3而，點(diǎn)O在線段。。上（與點(diǎn)C,。不重合），所以

「￡（0,；）,所以超=元+的=危+）灰=病+河危一嬴）=一）協(xié)+（1+），）危.

因?yàn)殛?法方+（1—1）戢:.

所以x=-y,所以x￡（-0）.

解題通法

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向

量表示出來(lái)，進(jìn)行比較，求參教的值或范圍.

考向2共線向量定理

例?，（2020?鄭州模擬）設(shè)ei與e2是兩個(gè)不共線向量，4》=3e1+2e2,6方=m+的，CD=

3e「2?3若A，B,。三點(diǎn)共線，則A的值為.

解析：因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線，所以必存在一個(gè)實(shí)數(shù)L使得油=7昉.又油=3ei

+2e2,CB=ke^e2,詼=36］一2履2,所以詼=詼一無(wú)=30一2呢2—（3+02）=（3—幻ei-（2k

3="3—機(jī)

+l）e，，所以3ei+2e，=2（3—Rei—〃2A+l）e，.又ei與e，不共線,所以L,、，，，、解得

2=一“2k+I）,

解題通法

I.證明向量共線的方法

應(yīng)用向量共線定理.對(duì)于向量a,6SW0）,若存在實(shí)數(shù)九使得。=必，則。與。共線.

2.證明A,B,C三點(diǎn)共線的方法

若存在實(shí)數(shù)九使得壽=/2,則A,B,。三點(diǎn)共線.

3.解決含參數(shù)的共線問(wèn)題的方法

經(jīng)常用到平面幾何的性質(zhì)，構(gòu)造含有參數(shù)的方程或方程組，解方程或方程組得到參數(shù)值.

「多維訓(xùn)練」

1.已知贏=〃+2人正=-50+6兒CD=7a-2b,則下列一定共線的三點(diǎn)是（）

A.A,B,CB.A,B,D

C.B,C,DD.A,C,D

B解析：因?yàn)槿?贏+證+而=3。+6力=3（。+2力）=3施，且矗，俞有公共點(diǎn)A,所

以A,B,。三點(diǎn)共線.

2.（2020?無(wú)錫模擬）在直角梯形48co中，Z4=90°,N8=30。，AB=2小,8C=2,點(diǎn)

E在線段CO上.若第=n+〃誦，則〃的取值范圍是.

0,5解析：由已知可得'4。=I,C￡>=小，所以嬴=2詼.

因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CO上，

所以，設(shè)加=).比(0WAW1).

因?yàn)榧?而+加，

—?—?—?—*—?—?/.it

又AE=AO+/M8=AO+2?OC=4￡)++QE,

所以￥=i,即〃=4.

AL

因?yàn)?W4W1,所以

3.如圖，在aABC中，。為邊BC上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接ARE為線段A。的中

點(diǎn).若走=〃M8+〃AC,則m=,n=.

…15

C.又CE=mAB-^-nAC,所以機(jī)=?,〃=一?

、一題N解?深化綜合提“素養(yǎng)”/

I試題呈現(xiàn)」

在平行四邊形人8c。中，AC與8￡)交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與。。

交于點(diǎn)”.若危=@,BD=b,貝J/=()

2

-

A.\a+3

2

D-

3

I四字程序］

讀想算思

1三.角形法則，平行四邊形

用基底表示選擇不同的三角形，

法則：轉(zhuǎn)化與化歸

AF利用三角形法則

2.以誰(shuí)為基底

。是平行四1.在△AGG中表示;1.向量的線性運(yùn)算法

\.AF=AG+GFt如何表示

邊形ABCD2.在△ACf中表示；則；

AF?

兩條對(duì)角線3.在△人。尸中表示：2.向量相等的條件:

2.AF=AC+CF,如何表示

的交點(diǎn)，E是4.直接設(shè)標(biāo)=.次+3.平行線的性質(zhì)

0。的中點(diǎn)，CF?

.V礪，利用向量相等求

AE的延長(zhǎng)線3.AF=AD+DF,如何表示

系數(shù)

與CD交于F

5>?

4.利用方程組思想與向量

相等解決

「一題多解」

解法

思路參考：利用公，和泉示心.

B解析：因?yàn)橛深}意可知

所以卷=俳+再由"=c?？傻煤?

心、,DFI

所以斤=,

作"G平行"。交AC于點(diǎn)G,

―?—?-—>

所以Ab=AG+GF'=§a+?〃.

解法

思路參考：利用啟，律表示萬(wàn)；

B解析：如圖，作OG〃FE交。C于點(diǎn)G.

------=-C

AB

由DE=EO,得。/="G.

又由AO=OC,得FG=GC,

,■II

于是(7/=彳00=彳乂5(6-4)=55一塞.

，J/>JJ

—>—>->21

所以/\尸=A。+?！?1。+與6.

解法

思路參考：利用病，麗表示能.

B解析：如圖，作OG〃F￡交0c于點(diǎn)G.

由DE=EO,得DF=FG.

又由A0=0C,得FG=GC,

于是5?=35b

那么AF=AT)+DF=(^a+/)+*一與+%)=多(+/.

解法

思路參考：利用俞，后表示?。?/p>

B解析：如圖，作0G〃尸E交。C于點(diǎn)G.

由DE=EO,得DF=FG.

又由AO=OC,得FG=GC,

故俞=而十而=后+孑證=屐＞+；壽.

設(shè)赤三嬴十.v訪.

因?yàn)閱?俞+矗，苒)=好)一贏,

所以崩=(x+v)Q)+(x-y)成，

2

\+L-

y=-3

解得

于1<

-1

X-y=V-

>--3

「思維升華」

I.本題考查利用已知向量作基底表示向量問(wèn)題，解法靈活多變，基本解題策略是借助于

三角形法則，逐步對(duì)向量進(jìn)行變形，直至用所給基底表達(dá)出來(lái)；或選用不同基底分別表不,

再利用向量相等解決.

2.基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要學(xué)生熟練掌握讀圖識(shí)圖能力、運(yùn)算;求解能力、推理

能力，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

3.本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性.同時(shí)，解題的過(guò)程需要知識(shí)之間的轉(zhuǎn)

化，體現(xiàn)了綜合性.

「類題試練」

如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0的直線分別與A8,AC所在直線交」”、

同的兩點(diǎn)M,N.若懿=〃疝認(rèn)AC=nAN,則m+n的值為（

A.1B.2C.3D.4

B解析：（方法一）連接八。，如圖.

因?yàn)椤锽C的中點(diǎn)，所以八=；（油+而=軻/+3欣

因?yàn)镸.O,N三點(diǎn)共線,

所以號(hào)+?=1,所以〃?+八=2.

（方法二）連接人。（圖略）.

由于0為5c的中點(diǎn)，故啟=上通+/）,

—>—?—>1—?—>I->

M0=A0-AM=^（AB+AC）--A8

銅

同理，動(dòng)=3矗+（；_［）正.

由于向量點(diǎn)b,而共線，故存在實(shí)數(shù)2使得病b=2加，即（；-5）壽+；/=

枷+G一洞.

由于而危不共線,，故得/-3=權(quán)且%拈—5

消掉2,得?！ㄒ?)(〃-2)=〃〃?，化簡(jiǎn)即得"?+”=2.

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

——、必備知識(shí)-回顧教材重“四基7----

一、教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.平面向量基本定理

如果勿，62是同一平面內(nèi)的兩個(gè)丕共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量。，有且

只有一對(duì)實(shí)數(shù)力，入2,使。=也土在幺.

若0,62不共線，我們把(白，62｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

微提醒■■一

理解基底應(yīng)注意以下三點(diǎn)

(1)基底約，02必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底.

(2)及底給定，同一向量的分解形式唯一.

Ai==/n,

(3)對(duì)于一組基底6],€2,若。=&曰+2202=〃述]+〃262,則。

出="2.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)。=3,yi),3=(X2,■)，則

a-\-b=(.\I4-X2，vd”)，

a~b=a」一必w—v2)，

)M=(Zri，iw)，|a|=?一—、*.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).

②設(shè)A(X1，X),8(也，＞,2)-則前=(X2—XI，丫2—y1)，I麗—即)2+(V2—￥】)?.

微提醒■■■!)

(1)向量坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的美犍.

(2)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)，盡管在形式上它們類似，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中

既有方向的信息，也有大小的信息.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)。=(X1,yi),6=(X2,力)，其中力wo.

a〃/><=>XIV2-X2V'I=0.

微提醒■■一

若。=(力，yi),5=(X2,.V2),則。〃6的充要條件不能表示成.因?yàn)橐?，心有可能?/p>

X2)’2

于0,所以應(yīng)表示為X2jl=o.

4.常用結(jié)論

⑴若a與〃不共線，且加+油=0,則2="=0.

⑵已知P為線段人〃的中點(diǎn)，若48，yi).B(X2>方)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為

(3)已知AABC的頂點(diǎn)為人(足，yO,B(X2,工)，C(X3,”)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為

<A-|+x2+x3刀+心+⑼

I3，3)'

二、基本技能思想?活動(dòng)體驗(yàn)

1.判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“J"，錯(cuò)的打“X”.

(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.(X)

(2)若a,方不共線，且九a+〃仍=力2。+"2方，則九=幺2，〃i=〃2.(V)

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯

一表示.(J)

(4)若。=(片，yi),力=(如”)，則a〃?的充要條件是日'二個(gè).(X)

彳2/2

(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).(J)

3

-

2.已知平面向量a=(l,l),b=(\,2

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1.0)D.(-1.2)

313

^-

D手

2=2

=(-1,2).

3.如圖，設(shè)O是平行四邊形A3CD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組:

AB

①?gòu)U)與花：②反與於：③之與反：④成)與勵(lì).其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底

的是()

A.??B.??C.??D.?@

B解析：①中俞，4方不共線；③中以，比不共線，故①③能作為基底.

4.設(shè)0V0V去向量Q=：sin2。，cos0),b=(cos0,1),若?！▌tlan。=.

；解析：因?yàn)閍〃b,所以sin20X1—cos2〃=0,

所以2sinf)coscos2^=0.

因?yàn)镺V6?<4，所以COS6>0,所以2sin9=cos仇

所以lan<9=1.

5.在aA8C。中，AC為一條對(duì)角線，贏=(2,4),n=(1,3),則向量防的坐標(biāo)為.

(-3,-5)解析：因?yàn)槌?就=危，所以反?=危一病=(一I,—1),所以瓦>=而一

AB=BC-AB=(-3,-5).

——、關(guān)鍵能力?研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”/---------

考點(diǎn)1平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算——基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

1.(2019?全國(guó)卷II)已知向量。=(2,3),8=(3,2),則|。一臼=()

A.3B.2C.5^2D.50

A解析：由向量。=(2,3),力=(3,2),可得。-6=(-1,1),所以|〃一加=Y(-1)2+。=啦.

2.(2020?榆社中學(xué)診斷)若向量初=成=(2,0),俞=(1,1)：則危+病等于()

A.(3,1)B.(4,2)

C.(5.3)D.(4,3)

B解析：AC—AL+DC=(3,1),又初=歷一肅=(—1,1),則反=濟(jì)+/克=(1,1),所

以彳3+詼=(4,2).

3.設(shè)向量。=(1,-3),力=(-2,4),若表示向量4a,3力一勿，c的有向線段首尾相接能構(gòu)

成三角形，則向量c=.

(4,-6)解析：由題意知4a=(4,-12),38-2a=(—6,12)—(2,—6)=(-8,18),由

4a+(3b-2a)+c=0,知c=(4：-6).

4.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段A8上一點(diǎn)，且C(2,3),|兩=2|而，則向

量加的坐標(biāo)是.

(4,7)解析：因?yàn)辄c(diǎn)。是線段A3上一點(diǎn)，且|成1=2瑟1,所以的=一2最7.

設(shè)點(diǎn)8為(x,)，)，則(2—“3—)，)=一2(1,2).

2—x=-2,[x=4,

所以解得

[3-)，=-4,[y=l.

所以向量勵(lì)的坐標(biāo)是(4,7j.

解題通法

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)

先求向量的坐標(biāo).

(2)解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進(jìn)行求

解.

考點(diǎn)2平面向量共線的坐標(biāo)表示——應(yīng)用性

「典例引領(lǐng)」

例。二(2020?福州質(zhì)檢)設(shè)向量萬(wàn)1=(1,-2),OB=(a,-1),浣=(一/10),其中。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，”>0,6>0.若4,B,C三點(diǎn)共線，則他的最大值為()

A.1B.|C.|D.1

C解析：因?yàn)闉?(1,-2),OB=(a,-1),公=(一人0),所以誦=加一后=(a-1/),

AC=OC-OA=(-b~\,2).

因?yàn)?,B,C三點(diǎn)共線，

所以靠=/，即3—1」)="一〃一1,2),

a—\=A.(—b—1),

所以可得2a+〃=l.

因?yàn)椤?gt;0,b>0,

所以I=2a+b》2\]2ab,所以abW*

當(dāng)且僅當(dāng)2a=〃=/時(shí)取等號(hào).

因此ab的最大值為

O

[豆源異考/

1.本例若把條件“沆=(一。,0)"改為"灰'=(2,1)"，其他條件不變，求。的值.

解：因?yàn)殄?(1,-2),OB=(a,-1),沆=(2,1),所以?一蘇=(々一1,1),

AC=db-OA=(13).

因?yàn)?,B,。三點(diǎn)共線,

所以A8=Z4C,即(。一1,1)=41,3),

4

所以可得a=y

2.本例條件''向量04=(1,-2),OB=(a,一1)”不變，若向量c=(2,a)與向量A5方

向相反,求|c|.

解：因?yàn)槿f(wàn)1=(1,-2),OB=(a,-1).

所以A8=0B—0A=(a—|,l).

因?yàn)橄蛄縞=(2,a)與向量A8方向相反，

所以。3—1)-IX2=0,即以一。一2=0,

所以a=—I或a=2(舍去),

所以\c\=^22+(-|)2=^.

解題通法

平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略

(I)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若”=(用，9)"=(也，")，W'la//b

的充要條件是X]y2=X2y\".

(2)在求與一個(gè)已知向量〃共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為〃(/IWR).

「多維訓(xùn)練」

已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4,0),以4.4),C(2,6),4c與08的交點(diǎn)為P,求點(diǎn)”的坐標(biāo).

解：由0,P,3三點(diǎn)共線，

可設(shè)5?="^=(42,42),

則淳=3》一54=(以一4也).

5LAC=OC-dA=(-2,()).

由能與危共線，得(42—4)X6-4iX(—2)=0,

3f3f

解得2=不所以O(shè)P=[O8=(3,3),

所以點(diǎn)，的坐標(biāo)為(3,3).

考點(diǎn)3平面向量基本定理的應(yīng)用——繪合性

「典例引領(lǐng)」

考向1用已知基底表示向量

例?*(2020?鄭州模擬)如圖，在直角梯形4BCQ中，48=2八。=2QC,E為BC邊上一點(diǎn),

BC=3EC,尸為AE的中點(diǎn)，則源=()

A.^AB—^AD

C.—^AB^AbD.一拗+浙

C解析：如圖，取A3中點(diǎn)G,連接。G,CG,易知四邊形。C8G為平行四邊形,

所以正=歷=萬(wàn))一位;=萬(wàn))一學(xué)誦,

AE=A