大地電磁二維正演理論概述在考慮的二維模型中，是在電學性質(zhì)不僅僅像一維模型一樣隨這深度變化而發(fā)生變化，還沿著水平方向坐標的變化而變化，但是在第三個坐標軸的方向上無變化的模型，這里取走向為x軸，x軸y軸z軸互相垂直，也就是說電學性質(zhì)只隨著y軸和z軸的變化而變化,可以表示為下圖1.6：1.1基本原理還是從最基本的麥克斯韋方程組出發(fā)： （1.54）公式中的分量代表什么之前已經(jīng)介紹過，不同于之前的一維模型，在二維模型中對上面的公式進行解耦可以得到： （1.55）將之展開分別得到TE和TM兩種模式下的偏微分方程如下： TM： （1.56） TE： （1.57）在空氣中，由于這些條件的限制可以知道，在忽略位移電流的情況下，磁場在x軸方向上為一個常量，其次由于遠遠大于1，所以在大地電磁中Hx總為一個常量，那么在TM波主要研究的是地下部分，而對于TE波在高頻情況下就不能僅僅考慮地下同時也要考慮空氣部分。這里為了方便本文做出如下設(shè)定，令，則公式（1.56）可以寫成如下形式： （1.58）這里介紹的是TM模式的情況，將上邊界AB取在地面上令，取一個常數(shù)u0，同時定義下邊界為CD，CD以下是均質(zhì)巖石，局部的不均勻部分產(chǎn)生的異常場在CD上為零，電磁波在CD以下的傳播方程為，其中k為，為CD以下的巖石的電導(dǎo)率，將傳播方程對u求導(dǎo)可以得到 （1.59）在CD上有所以在CD上的邊界條件可以寫成： （1.60）當邊界AD和BC與不均勻體相隔距離足夠，此時AD與BC的電磁場左右對稱，兩個邊界上的邊界條件為 （1.61）通過相同的過程可以得到TE模式的邊界條件如下： AB邊界條件 （1.62） CD邊界條件 （1.63） AD和BC邊界條件 （1.64）1.2二維正演有限元法根據(jù)本文上面求得的邊界值條件，由邊值問題與變分問題的關(guān)系，可以將邊界值問題變?yōu)樽兎謫栴}，形式如下： （1.65）在二維模型中采用有限元法進行網(wǎng)格劃分的時候有多種劃分方式，常見的有三角網(wǎng)格劃分和矩形網(wǎng)格劃分，這里采用矩形網(wǎng)格劃分。在之前劃分的矩形單元中一共要取八個點，其中四個為矩形四角上的頂點，另外四個為各條邊的中點用來進行雙二次插值，其選取如下圖所示：其中圖1.7右側(cè)劃分的矩形為左側(cè)矩形的子單元，所以可以得到母單元與子單元坐標間的關(guān)系如下： （1.66）其中y0和z0是式（1.66）中矩形的中心點而a和b分別為兩個邊的邊長，所以公式（1.66）的微分形式可以表達如下： （1.67）在圖1.7上可以構(gòu)造如下函數(shù)： （1.68）公式1.68中的滿足如下條件： （1.69）不同于母單元在圖1.7所表示的子單元中u可以表示為。同時由于公式（1.69）可以將公式（1.68）寫成如下形式： （1.70）通過觀察圖像1.7發(fā)現(xiàn)底邊與右側(cè)邊界和5點和8點的連線，可以得到如下方程： （1.71）公式（1.71）可以看出來N1在除了1點外的點都為零，唯獨在1點的值為1，所以可以將N1用如下公式表示： （1.72）同理可以求得其他幾個N。本文之前已經(jīng)說過，有限元法是一種求解偏微分方程邊值問題近似解的數(shù)值技術(shù)，在求解時先對整個要研究的區(qū)域進行分解，通過變分的方法將誤差降低到最小值，同時采用將各個小區(qū)域上的分解后的簡單方程聯(lián)系在一起，最后用來估算目標區(qū)域的復(fù)雜方程，這是一個近似解而非精準的解。綜上這里要先將之前得到的變分問題進行分解，通過將公式（1.65）分解，可以得到如下公式： （1.73）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)公式（1.73）共分為三項，其中最后一項是在底面CD上的單元進行的，這里要先進行單元積分得到如下公式： （1.74）其中可以如下表示： （1.75）對公式（1.68）求或者的微商，然后將得到的結(jié)果帶入到公式（1.75）之后進行積分就可以計算得到，下面將公式（1.73）的三項分別計算。先求微商可以得到： （1.76）由公式（1.76）可以得到k11如下表達： （1.77）化簡得到： （1.78）最后得到的，用同樣的方法可以求得其他的，于是這里可以將所有的整合成矩陣的形式得出如下矩陣： （1.79）同樣的方法可以用來求公式（1.73）的第二項，首先對第二項積分得到如下公式： （1.80）其中公式（1.80）的kij可以表示為，則用同樣的辦法可以得到K2e如下矩陣： （1.81）公式（1.81）中的。之前已經(jīng)提到過最后一項是在CD邊界單元上進行的，對邊界進行積分可以得到如下公式： （1.82）因為第三項不同于前兩項只在邊界上進行積分，所以積分公式只與邊界直線2、3、6三個點有關(guān)，所以此時公式（1.69）中只有N2、N3、N6三個進行積分，則可以知道在kij中只有與2、3、6有關(guān)的才有非零值，由此通過計算可以得出如下結(jié)論： （1.83）公式（1.83）中的。自此已經(jīng)將三項全部計算出來了，接下來要把求得的三個部分擴展成全部節(jié)點的矩陣之后加在一起，可以如下表示： （1.84）公式（1.84）中是總體系數(shù)矩陣，、、分別為之前求得的三個矩陣的擴展矩陣，求公式（1.84）的變分并且讓其等于零能夠得到如下線性方程組： （1.85）最后把上邊界值代入到其中，求解公式（1.85）可以得到每個節(jié)點的u，在TE波下求得的為，在TM波下求得的為。最后對u求在z方向上的偏導(dǎo)，通過下面的公式可以求得視電阻率和阻抗相位。 TE： （1.86） TM： （1.87）這就是有限元法求解大地電磁二維正演問題的方法。1.3二維正演有限差分法有限差分法的中心思想是利用網(wǎng)格剖分將定解區(qū)域離散化為網(wǎng)格離散節(jié)點的集合，然后根據(jù)差分原理，用各個離散點上面函數(shù)的差商來近似代替所求點的偏導(dǎo)數(shù)，這樣偏微分方程定解問題就變成了差分方程組求解問題，求出各個離散點上的待求函數(shù)值就得到了離散解，最后使用插值法就可以從離散解得到整個區(qū)域的定解。從基本的理論推導(dǎo)開始，首先寫出忽略位移電流后的麥克斯韋方程組的積分形式方程如下： （1.88）公式（1.88）中的為真空中磁導(dǎo)率。這里采用的中心思想是將所求目標進行網(wǎng)格劃分，然后對于所選定的單元的電場分量由周圍的四個磁場分量來求得，這四個磁場分量又由各自周邊的兩個電場分量求得，就相當于選定單元的電場分量由周邊的四個電場分量來求得，以此類推可以將所有單元的電場與各自周邊的四個電場的線性方程組合起來構(gòu)成系數(shù)矩陣，具體過程圖解如圖1.8：首先討論TE模式下的推導(dǎo)過程，選定一個中心點，根據(jù)此點可以將公式（1.88）展開得到： （1.89）之前已經(jīng)提到過選中單元由相鄰四個來表示，而這四個又可以由相鄰的兩個來表示所以公式（1.89）又可以表示如下： （1.90）將公式（1.90）帶入公式（1.89）中去可以去除H分量，得到選中單元電場與周圍四個電場的關(guān)系式，各項的系數(shù)這里分別用、、、、表示，可以得到如下形式的公式： （1.91）其中各項的系數(shù)有如下表示： （1.92）同樣的可以求得TM模式下的關(guān)系式，先選定一個中心點，根據(jù)此點可以將公式（1.88）展開得到： （1.93）選中單元由相鄰四個來表示，而這四個又可以由相鄰的兩個來表示所以公式（1.93）又可以表示如下： （1.94）將公式（1.94）帶入公式（1.93）中去可以去除E分量，得到選中單元磁場與周圍四個磁場的關(guān)系式，各項的系數(shù)這里分別用、、、、表示，可以得到如下形式的公式： （1.95）其中各項的系數(shù)有如下表示： （1.96）通過上述過程，將積分形式的麥克斯韋方程組進行了離散化操作，這樣就可以得到大型稀疏線性方程組形式如下： （1.97）公式（1.97）中b為含有場源和邊界條件的項，A代表的是大型稀疏系數(shù)矩陣也就是之前求得的公式（1.91）和公式（1.95）中不同單元的C系數(shù)組成的矩陣，而x則是所要求得的電場或者磁場值。其中在TE模式和TM模式下有不同的邊界條件，分別表示如下：在TE模式下的邊界條件： （1.98）在TM模式下的邊界條件: （1.99）之前提到過在TE和TM模式下頂面不同，在TE模式下要計算空氣層而在TM模式下不