/4.3多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)—教案學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)七年級(jí)上冊(cè)課型新授課單元第四單元課題基本平面圖形：多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)課時(shí)4.3課標(biāo)要求本節(jié)課對(duì)標(biāo)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，要求學(xué)生認(rèn)識(shí)多邊形、正多邊形的基本特征，理解圓、扇形、圓心角的概念，掌握多邊形對(duì)角線數(shù)量、扇形圓心角及面積的計(jì)算方法；發(fā)展空間觀念與幾何直觀能力，能運(yùn)用知識(shí)解決生活中的簡(jiǎn)單幾何問題，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系。教材分析本節(jié)課內(nèi)容屬于七年級(jí)上冊(cè)“圖形與幾何”領(lǐng)域，是學(xué)生從三角形、四邊形等基礎(chǔ)圖形向復(fù)雜多邊形、圓知識(shí)拓展的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。教材以生活實(shí)例（如蜂窩、車輪、建筑結(jié)構(gòu)）為切入點(diǎn)，逐步抽象出多邊形、正多邊形、圓、扇形的概念，通過公式推導(dǎo)（如n邊形對(duì)角線總條數(shù)、扇形面積），既鞏固了幾何圖形的認(rèn)識(shí)邏輯，又為后續(xù)圓的周長(zhǎng)、面積及多邊形內(nèi)角和等知識(shí)奠定基礎(chǔ)，體現(xiàn)了“從直觀到抽象、從特殊到一般”的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律。學(xué)情分析七年級(jí)學(xué)生已具備三角形、四邊形的初步認(rèn)知，有一定觀察和歸納能力，但抽象思維仍在發(fā)展中。他們對(duì)生活中的幾何圖形（如蜂窩的正六邊形、車輪的圓形）有直觀感知，可借此激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；但對(duì)多邊形對(duì)角線的推導(dǎo)邏輯、扇形面積與圓面積的比例關(guān)系易混淆，需通過直觀演示和分層引導(dǎo)，幫助其突破抽象思維的障礙，同時(shí)兼顧不同學(xué)生的學(xué)習(xí)節(jié)奏，設(shè)計(jì)梯度化的探究與練習(xí)活動(dòng)。教學(xué)目標(biāo)學(xué)生能識(shí)別多邊形、正多邊形，掌握n邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角數(shù)量及對(duì)角線公式，理解圓、扇形、圓心角的概念，會(huì)計(jì)算扇形的圓心角和面積。通過觀察、探究、交流，發(fā)展空間觀念、推理能力和運(yùn)算能力，能運(yùn)用公式解決實(shí)際問題感受幾何圖形在生活中的廣泛應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與實(shí)用性，激發(fā)學(xué)習(xí)幾何的興趣。教學(xué)重點(diǎn)多邊形對(duì)角線數(shù)量公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，圓的概念及扇形圓心角、面積的計(jì)算，這些內(nèi)容是理解圖形特征、解決實(shí)際問題的核心支撐。教學(xué)難點(diǎn)n邊形對(duì)角線總條數(shù)公式的推導(dǎo)邏輯（避免重復(fù)計(jì)數(shù)的理解），扇形面積與圓面積的比例關(guān)系應(yīng)用，學(xué)生在抽象推導(dǎo)和靈活運(yùn)用時(shí)易出現(xiàn)混淆，需通過直觀演示和針對(duì)性練習(xí)突破。教法與學(xué)法分析教法：采用“情境導(dǎo)入法”，結(jié)合生活實(shí)例（如蜂窩、亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽）激發(fā)興趣；“探究式教學(xué)法”，引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)多邊形對(duì)角線、扇形面積公式；“講練結(jié)合法”，通過例題解析與分層練習(xí)鞏固重點(diǎn)。學(xué)法：指導(dǎo)學(xué)生采用“自主探究法”，獨(dú)立思考概念與公式的形成過程；“小組合作法”，在交流中完善認(rèn)知、解決疑難；“練習(xí)鞏固法”，通過基礎(chǔ)題、拓展題的分層訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化與遷移。教學(xué)過程教學(xué)步驟教學(xué)主要內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一：依標(biāo)靠本，獨(dú)立研學(xué)1.從生活實(shí)例感知平面圖形觀察圖4-31，你能發(fā)現(xiàn)哪些熟悉的平面圖形？與同伴進(jìn)行交流。圖4-31展示扇面、鳥巢結(jié)構(gòu)、蜂窩這3個(gè)生活中的圖形展示蜂窩、鳥巢、車輪等生活幾何圖形，引導(dǎo)觀察。觀察并交流發(fā)現(xiàn)的平面圖形。聯(lián)系生活，激發(fā)興趣，引入多邊形和圓的學(xué)習(xí)。環(huán)節(jié)二：新知講解1.多邊形的定義及組成要素三角形、四邊形、五邊形、六邊形等都是多邊形①（polygon），它們都是由若干條不在同一直線上的線段首尾順次相連組成的封閉平面圖形。①如沒有特別說明，本書所說的多邊形都是指凸多邊形，即多邊形總在其任意一條邊所在直線的同一側(cè)。如圖4-32，在多邊形ABCDE中，點(diǎn)A，B，C，D，E是多邊形的頂點(diǎn)；線段AB，BC，cD，DE，EA是多邊形的邊；∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE∠DEA是多邊形的內(nèi)角（可簡(jiǎn)稱為多邊形的角）；AC，AD都是連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，像這樣的線段叫作多邊形的對(duì)角線（diagonal）。圖4-32你還能畫出圖中其他得對(duì)角線嗎？拓展：1.下列說法中屬于正多邊形特征的有（）①各邊相等；②各角相等；③各條對(duì)角線都相等；④從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線將正n邊形分成面積相等的（n-2）個(gè)三角形。A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.1個(gè)答案：A解析：①各邊相等、②各角相等：這是正多邊形的核心定義，因此①②正確；③各條對(duì)角線都相等：以正五邊形為例，其對(duì)角線存在兩種不同長(zhǎng)度，因此③錯(cuò)誤；④從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線將正n邊形分成面積相等的（n-2）個(gè)三角形：以正六邊形為例，從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線所分三角形的面積并不完全相等，因此④錯(cuò)誤。綜上，正確的特征有2個(gè)。2.從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出m條對(duì)角線，它們將六邊形分成n個(gè)三角形，則m，n的值分別為（）A.4，3B.3，3C.3，4D.4，4答案：C解析：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可畫的對(duì)角線數(shù)量為n?3。六邊形中n=6，因此對(duì)角線數(shù)量m=6?3=3；從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線，將多邊形分成的三角形數(shù)量為n?2。六邊形中n=6，因此三角形數(shù)量n=6?2=4。綜上，m=3，n=4。2.n邊形的數(shù)量規(guī)律嘗試·思考（1）n邊形有多少個(gè)頂點(diǎn)、多少條邊、多少個(gè)內(nèi)角？多邊形的定義是“由n條不在同一直線上的線段首尾順次相連組成”，線段的數(shù)量就是邊數(shù)，即n條。每條線段的端點(diǎn)就是頂點(diǎn)，n條線段首尾相連會(huì)形成n個(gè)端點(diǎn)，即n個(gè)頂點(diǎn)。相鄰兩條邊會(huì)組成一個(gè)內(nèi)角，n條邊對(duì)應(yīng)n個(gè)相鄰組合，即n個(gè)內(nèi)角。（2）過n邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)有幾條對(duì)角線？過n邊形一個(gè)頂點(diǎn)有n-3條對(duì)角線。①對(duì)角線的定義是“連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段”，所以不能連接頂點(diǎn)自身。②一個(gè)頂點(diǎn)有兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，這兩個(gè)頂點(diǎn)與它不能形成對(duì)角線。③總頂點(diǎn)數(shù)為n，減去自身1個(gè)和相鄰2個(gè)，剩余n-3個(gè)頂點(diǎn)可連接，即n-3條對(duì)角線。拓展：1.從2024邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出____條對(duì)角線（）2021 B.2022 C.2023 D.2024答案：A解析：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可引出的對(duì)角線數(shù)量為n?3（需排除自身及相鄰的2個(gè)頂點(diǎn)）。對(duì)于2024邊形，n=2024，因此可引出的對(duì)角線數(shù)為2024?3=2021。2.過一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成4個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為____。答案：6解析：過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，會(huì)將多邊形分成n?2個(gè)三角形。已知分成了4個(gè)三角形，因此n?2=4，解得n=6，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6。3.認(rèn)識(shí)正多邊形的特點(diǎn)觀察·交流觀察圖4-33中的多邊形，它們的邊、角有什么特點(diǎn)？與同伴進(jìn)行交流

圖4-33各邊相等、各角也相等的多邊形叫作正多邊形。圖4-33中的多邊形分別是正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形、正六邊形、正八邊形。拓展：永豐塔位于山東省巨野縣城，建成至今已有1000余年。塔形呈正八邊形，磚石結(jié)構(gòu)，共五層。下列圖形為正八邊形的是（D）5.畫圓的方法以及定義觀察·思考圖4-34中的圖形中有我們熟悉的圓和扇形，你還記得用哪些方法可以畫一個(gè)圓嗎？你能用一根細(xì)繩和筆畫出一個(gè)圓嗎？圖4-34如圖4-35，平面上，一條線段OA繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)∣o旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓（circle）。固定的端點(diǎn)o稱為圓心（centerofacircle），線段OA

圖4-35圓上任意兩點(diǎn)A，B間的部分叫作圓弧，簡(jiǎn)稱弧（arc），記作AB，讀作“圓弧AB”或“弧AB''；由一條弧AB和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑OA，OB拓展：如圖所示的圓中，可以用字母表示的半徑有____條，分別是____，請(qǐng)寫出任意三條弧：____。答案與解析半徑相關(guān)：半徑是“連接圓心與圓上任意一點(diǎn)的線段”，圖中圓心為O，圓上的點(diǎn)有A、B、C、M，因此可以用字母表示的半徑有4條，分別是OA、OB、OC、OM。弧相關(guān)：弧是“圓上任意兩點(diǎn)間的部分”，任意三條弧例如AB?、AC?、例:將一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的圓心角的度數(shù)比為1:2:3，求這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)。解：因?yàn)橐粋€(gè)周角為360°結(jié)合五邊形模型，講解頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、對(duì)角線定義，提問“畫出其他對(duì)角線”。提出“n邊形頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角及過一頂點(diǎn)對(duì)角線數(shù)量”問題，引導(dǎo)從特殊情況歸納。觀察模型，理解概念并動(dòng)手畫圖。自主探究，歸納通用公式。直觀建立多邊形各部分名稱認(rèn)知，培養(yǎng)動(dòng)手能力。培養(yǎng)歸納推理能力，掌握n邊形數(shù)量規(guī)律。環(huán)節(jié)三:延申探究思考·交流（1）如圖4-36，將一個(gè)圓分成三個(gè)大小相同的扇形，你能算出它們的圓心角的度數(shù)嗎？你知道每個(gè)扇形的面積和整個(gè)圓的面積的關(guān)系嗎？

圖4-36解答：圓心角度數(shù)：圓的周角為360°，將其分成3個(gè)大小相同的扇形，每個(gè)扇形的圓心角為：360扇形面積與圓面積的關(guān)系：由于3個(gè)扇形大小相同，每個(gè)扇形的面積是整個(gè)圓面積的13（2）畫一個(gè)半徑是2cm的圓，并在其中畫一個(gè)圓心角為60°扇形面積=圓的面積×（扇形圓心角÷360°）。計(jì)算圓的面積：S圓=πr2（S圓圓心角為60°，占周角的比例為60°360拓展：扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積為____（結(jié)果保留π）。答案：π解析：扇形面積公式為S=θ360°×πr代入已知條件：r=2，θ=90S=90板演扇形圓心角和面積計(jì)算過程，引導(dǎo)分析比例關(guān)系。跟隨思考，掌握計(jì)算方法。明確扇形計(jì)算邏輯，學(xué)會(huì)運(yùn)用公式解題。環(huán)節(jié)四：鞏固內(nèi)化，拓展延伸課堂練習(xí)：1.這是第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，象征著新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展。如圖22，這是由兩個(gè)扇形組成的會(huì)徽的幾何圖形，已知OB=10，OA=20，∠BOC=120°，則圖2中的陰影部分的面積為____。解析：陰影部分的面積為100π，計(jì)算過程如下：確定圖形關(guān)系：陰影部分是大扇形OAD與小扇形OBC的面積差，兩個(gè)扇形的圓心角均為∠BOC=120°（大扇形半徑OA=20，小扇形半徑扇形面積公式：扇形面積S=θ360°×πr計(jì)算大扇形面積：大扇形S大扇形計(jì)算小扇形面積：小扇形S小扇形計(jì)算陰影面積：陰影大扇形小扇形S陰影2.一個(gè)圓中有甲、乙、丙三個(gè)扇形，其中甲、乙占總面積的百分比如圖所示，那么扇形丙的圓心角是____。答案：108解析：先計(jì)算扇形丙占圓面積的百分比：100%?50%?20%=30%；圓對(duì)應(yīng)的周角為360°，因此扇形丙的圓心角為：3603.從十邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引m條對(duì)角線，這些對(duì)角線可以把這個(gè)十邊形分成n個(gè)三角形，則m+n=____。答案：15解析：十邊形（n=10）從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線數(shù)量：m=n?3=10?3=7；這些對(duì)角線將十邊形分成的三角形數(shù)量：n=n?2=10?2=8；計(jì)算m+n：7+8=15。布置分層練習(xí)，巡視指導(dǎo)。獨(dú)立或合作完成練習(xí)，反饋疑問。鞏固知識(shí)，分層提升，及時(shí)查漏補(bǔ)缺。課堂小結(jié)1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你收獲了什么？掌握了多邊形（含正多邊形）的定義、組成要素及對(duì)角線數(shù)量的計(jì)算方法，能區(qū)分普通多邊形與正多邊形。理解了圓、扇形、圓心角的概念，學(xué)會(huì)根據(jù)圓心角比例和半徑計(jì)算扇形面積，能解決生活中的幾何計(jì)算問題（如扇形圖案面積）。提升了觀察歸納、邏輯推理能力，能從具體圖形中抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律并應(yīng)用公式解決問題。引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)收獲，梳理核心知識(shí)與主要學(xué)習(xí)方法。反思并分享本節(jié)課的知識(shí)收獲與學(xué)習(xí)體會(huì)，總結(jié)所學(xué)數(shù)學(xué)思想。系統(tǒng)梳理本節(jié)課知識(shí)與方法，深化學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的理解與應(yīng)用能力。板書設(shè)計(jì)4.3多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)一、多邊形定義：不在同一直線上的線段首尾順次相連組成的封閉平面圖形（默認(rèn)凸多邊形）組成要素（以n邊形為例）：頂點(diǎn)：n個(gè)邊：n條內(nèi)角：n個(gè)對(duì)角線：連接不相鄰頂點(diǎn)的線段（過1個(gè)頂點(diǎn)：n?3條；總條數(shù)：n(n?3)2例：五邊形→過1頂點(diǎn)2條對(duì)角線，總5條正多邊形：各邊相等+各角相等（例：正三角形、正方形、正六邊形）二、圓與扇形圓的定義與要素：定義：線段OA繞固定端點(diǎn)O（圓心）旋轉(zhuǎn)一周，端點(diǎn)A形成的圖形關(guān)鍵要素：圓心O、半徑r（線段OA）扇形的定義與要素：定義：1條弧+經(jīng)過弧端點(diǎn)的2條半徑組成的圖形關(guān)鍵要素：弧（圓上兩點(diǎn)間部分，如AB?核心計(jì)算：扇形圓心角：按周角360°比例分配（例：比1:2:3→60°、120°扇形面積：S=θ360°×πr例：r=2、θ=90°三、例題精講題目：將半徑3cm的圓按圓心角2:3:4分3個(gè)扇形，求各圓心角與面積總份數(shù)：2+3+4=9圓心角：360°×29面積：圓面積9π→各扇形2π、3π、4π可視化梳理課堂知識(shí)，清晰呈現(xiàn)知識(shí)脈絡(luò)與數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)習(xí)邏輯，輔助師生互動(dòng)及知識(shí)的理解與記憶。作業(yè)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)練習(xí)：1.下列說法:①由不在同一直線上的許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形；②從一個(gè)多邊形(邊數(shù)為n)的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余與之不相鄰的各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)多邊形分割成(n-2)個(gè)三角形；③角的邊越長(zhǎng)，角越大；④一條射線就是一個(gè)周角.其中正確的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)2.如圖，一個(gè)圓形飛鏢板被分為四個(gè)圓心角相等的扇形，若大圓半徑為2，小圓半徑為1，則陰影部分的面積為()A.πB.323.從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出m條對(duì)角線，則m=.

能力提升4.若某個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線最多可畫5條，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.

5.一個(gè)八邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)可引出m條對(duì)角線，并把這個(gè)八邊形分成n個(gè)三角形，則m+n=.

6.一個(gè)扇形的面積為7πcm2，半徑為6cm，則此扇形的圓心角是度.

7.將一個(gè)半徑為3cm的圓，按照?qǐng)A心角度數(shù)比2:3:4分成三個(gè)扇形（對(duì)應(yīng)某班級(jí)“閱讀”?“繪畫”?“手工”三項(xiàng)興趣小組的人數(shù)占比）。請(qǐng)解決以下問題：（1）求這三個(gè)扇形的圓心角度數(shù)；（2）求這三個(gè)扇形的面積（結(jié)果保留π）；（3）若該班級(jí)總?cè)藬?shù)為4