絕密★啟用前(點(diǎn)石聯(lián)考)7.已知過點(diǎn)(xo,yo,zo)且法向量為m=(A,B,C)的平面方程為A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-

z0)=0,現(xiàn)有一點(diǎn)M(1,t,0)在平面α:x+2y=3t上，則點(diǎn)P(2,3,-2)到α的距離為

2025年點(diǎn)石聯(lián)考東北“三省一區(qū)”高二年級(jí)12月份聯(lián)合考試ABC.√5D.17

數(shù)學(xué)

8.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，A(-2,0,0),B(0,2,2),點(diǎn)P滿足PA·PB=5,則點(diǎn)P到x軸

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

距離的最大值為

☆注意事項(xiàng)：A.2√3B.4C.3√2D.2√5

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

題卡的指定位置?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)

記直線則

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改9.l?:mx+(2m-1)y+3=0,l2:x+m2y-3=0,

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。A.l?過定點(diǎn)(一6,3)B.l?的傾斜角為鈍角

3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。C.若m=1,則l?//l?D.若l?⊥l?,則m=0

10.現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，則

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)A.從中任選1幅畫布置房間，有14種不同的選法

是符合題目要求的)B.從這些國畫、油畫、水彩畫中各選1幅布置房間，有70種不同的選法

1.直線y-2025=0的傾斜角為C.從這些畫中選出2幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法

D.從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有12種不

不存在

A.πBC.0D.同的掛法

2.如圖，三棱錐O-ABC中，點(diǎn)E,F分別是OB,AC的中點(diǎn)，M是EF的中點(diǎn)，設(shè)OA=a,OB=b,11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C:(x2+y2)2=8(y2-x2),點(diǎn)P在曲線C上，則

OC=c,則BM=A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

AB.直線y=2x與曲線C有2個(gè)公共點(diǎn)

C.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是[-2,2]

B.D.|PO|的最大值為2√2

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

C.

12.已知點(diǎn)A(0,2),B(4,4),則以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

D.13.記雙曲線E:z2-3y2=1斜率為正的漸近線為1,則E虛軸的上端點(diǎn)到l的距離為

14.在1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13共13個(gè)數(shù)中挑出k個(gè)數(shù)，使得這k個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)差

3.已知橢)的焦距為6,離心率,則b=的絕對(duì)值都不是5或8,則k的最大值是

四、解答題(本大題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

A.2√2B.3√3C.4√2D.6√3

4.已知空間向量a=(2,1,-2),b=(|a|,—1,0),則a·b=15.(本小題滿分13分)

記圓直線

A.-5B.-1C.1D.5T:(x—2)2+y2=4,l:x-y+a=0.

5.若拋物線C?:y2=4x與拋物線C2關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，則C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1)若點(diǎn)T在l上，求a;

A.(-2,2)B.(-2,3)C.(-1,3)D.(-1,2)(2)若圓T與I相切，求a;

6.若從1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字，則取出的這三個(gè)數(shù)字之和能被3(3)若圓T與I相交，求a的取值范圍.

整除的種數(shù)為

A.28B.29C.30D.32

(點(diǎn)石聯(lián)考)高二數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)(點(diǎn)石聯(lián)考)高二數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)

16.(本小題滿分15分)18.(本小題滿分17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x—√2y+2=0與曲線E:y2=2px(p>0)有且僅有一個(gè)公在直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)(1,0),曲線E:y2=4x上兩點(diǎn)P,Q滿足PF=2FQ,PF的垂直平分

共點(diǎn)A.線與E交于M,N兩點(diǎn).

(1)求E的方程；(1)證明：|0Q|=|FQ|;

(2)過A的直線l與E另交于點(diǎn)B,若OA⊥AB,求△OAB的面積.(2)求|MN|;

(3)記點(diǎn)T為MN中點(diǎn)，H為圓(x-20)2+y2=1上一點(diǎn)，求|TH|的最大值.

17.(本小題滿分15分)19.(本小題滿分17分)

如圖所示，直三棱柱中，⊥

ABC-A?B?C?AA?=AC=2,B?C?A?C.如圖，從橢圓1上一點(diǎn)P(異于橢圓的左、右頂點(diǎn))射出的光線照射到橢圓的右焦點(diǎn)

(1)證明：A?C⊥AB?;

F?上，經(jīng)x軸反射，反射光線過橢圓上的另一點(diǎn)Q.

(2)若平面AB?C與平面A?B?C夾角的余弦值為,求BC.(1)求點(diǎn)F?的坐標(biāo)；

(2)證明：直線PQ過定點(diǎn)；

(3)探究O、F?、P、Q四點(diǎn)能否共圓，并說明理由.

(點(diǎn)石聯(lián)考)高二數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)(點(diǎn)石聯(lián)考)高二數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)

點(diǎn)石聯(lián)考12月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)

參考答案

2025年點(diǎn)石聯(lián)考東北“三省一區(qū)”高二年級(jí)12月份聯(lián)合考試·數(shù)學(xué)

說明：

一、本解答給出的解法僅供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)

容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

二、對(duì)解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容

和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，

就不再給分.

三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.

一、單選題

12345678

CABDDCCC

二、多選題

91011

ACDABCAD

三、填空題

四、解答題

15.解：(1)顯然T(2,0),(1分)

由2-0+a=0解得a=-2.(3分)

(2)顯然圓心到直線的距離(6分)

即|a+2|=2√2,解得a=-2√2-2或a=2√2-2.(9分)

(3)由可得|a+2|<2√2,(11分)

解得a∈(-2√2-2,2√2-2),故a的取值范圍為(-2√2-2,2√2-2).(13分)

16.解：(1)聯(lián)立,有y2-2√2py+4p=0,(2分)

其中△=(-2√2p)2-16p=8p2-16p=0,(4分)

第1頁共7頁

點(diǎn)石聯(lián)考12月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)

解得p=0(舍)或p=2,(5分)

故E的方程為y2=4x.(6分)

(2)此時(shí)由y2-4√2y+8=0可解得y=2√2,而,故A(2,2√2),(8分)

于是OA的斜率,故AB的斜率,于是,(10分)

即x=—√2y+6,聯(lián)立,可得y2+4√2y-24=0,解得y?=2√2,y?=-6√2,(12分)

故|AB|=√1+(一√2)2Iy?-y?I=8√6,(13分)

而|OA|=√22+(2√2)2=2√3,(14分)

故△OAB的面積!|×|AB|=24√2(15分)

17.解：(1)因?yàn)锳A?=AC,所以由直三棱柱的性質(zhì)知四邊形AA?C?C為正方形，所以A?C⊥AC?,(2分)

而B?C?⊥A?C,B?C?∩AC?=C?,B?C?,AC?C平面AB?C?,所以A?C⊥平面AB?C?,(4分)

而AB?C平面AB?C?,所以A?C⊥AB?.(5分)

(2)由題意知B?C?⊥A?C,B?C?⊥CC?,A?CnCC?=C,A?C,CC?C平面AA?C?C,所以B?C?⊥平面

AA?C?C,而A?C?C平面AA?C?C,所以B?C?⊥A?C?,故C?A?,C?B?,C?C兩兩垂直，以C?為坐標(biāo)原點(diǎn)，

C?B?,C?A,C?C方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，(7分)

設(shè)BC=a(a>0),則C?(0,0,0),A?(0,2,0),A(0,2,2),B?(a,0,0),C(0,0,2),從而CA=(0,2,0),

CB=(a,0,-2),A?C=(0,-2,2),設(shè)平面AB?C的一個(gè)法向量為m=(x?,y,21),(9分)

則,即,可取m=(2,0,a),(10分)

設(shè)平面A?B?C的一個(gè)法向量為n=(x?,y?,22),則,即,可取n=(2,a,a),

(12分)

(14分)

平方化簡(jiǎn)得a2=6,又a>0,所以a=√6,故BC=√6.(15分)

18.解：(1)記P(x?,y),Q(x?,y?),不妨設(shè)PQ斜率為正，PF=(1-x?,-y?),FQ=(x?-1,y?),(2分)

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點(diǎn)石聯(lián)考12月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)

由PF=2FQ得-y?=2y?,1-x?=2(x?-1),(3分)

前者可得y=4y2=4x?=16x?,得x?=4x?,(4分)

代入后者得3=即(5分)

于是O|Ql=√x+y=√1-x?)2+yz=|FQl.(6分)

(2)此時(shí)由斜率為正且x?<x?顯然有y?<0<yi,于是y?=-√4.x2=-√2,x?=4.x?=2,y=√4x?=

2√2,故P(2,2√2)(7分)

此時(shí)PQ的斜率,PF中點(diǎn)為,故MN的方程為

-2√2(y—√2),即(9分)

聯(lián)立,得y2+8√2y-22=0,記M(x?,y?),N(x?,y?),則y?+y;=-8√2,y?y?=-22,

于是|MN|=√1+(-2√2)2√(y?+y。)2-4y?yc=3√128+88=18√6.(12分)

(3)顯,故(14分)

記A(20,0),|(15分)

于是|7當(dāng)且僅當(dāng)T,A,H三點(diǎn)按序共線時(shí)，等號(hào)成立，(16分)

故|TH|的最大值(17分)

19.解：(1)在橢圓1中，a=2,b=√3,則c=√a2-b2=√4-3=1,(1分)

故F?(1,0).(2分)

(2)若直線PQ的斜率不存在，則點(diǎn)P、Q重合，不合乎題意，若直線PQ的斜率為零，則該直線與x軸重

合，與題意矛盾，故直線PQ的斜率存在且不為零，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m(k≠0),設(shè)點(diǎn)

P(x?,y)、Q(xr?,y?),(4分)

由,得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0,△=64k2m2-4(4k2+3)×4(m2-3)=

48(4k2+3-m2)>0,(6分)

由韋達(dá)定理可得ax?+.由km?+koe,=0,(8分)

又y=kx+m(i=1,2),

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點(diǎn)石聯(lián)考12月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)

(m—k)(x?+x?)-2m=0,(10分)

則—2m=0,

化簡(jiǎn)整理得m=—4k,于是直線PQ的方程為y=k(x-4),因此直線PQ過點(diǎn)(4,0).(12分)

(3)O、F?、P、Q四點(diǎn)不能共圓，事實(shí)上，F(xiàn)?總在△OPQ的外接圓的內(nèi)部.

理由如下：

線段OP的垂直平分線方程為

卿同理，線段0Q的垂直平分線方程為(14分)

聯(lián)立上述兩個(gè)方程，得△OPQ的外心C的橫坐標(biāo)為

因k2>0,故

(16分)

于是|F?C|<|OC|,所以F?在△OPQ的外接圓的內(nèi)部，故O、F?、P、Q四點(diǎn)不能共圓.(17分)

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點(diǎn)石聯(lián)考12月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)

答案詳解

一、單選題

1.C【解析】由方程y-2025=0,可知直線與x軸平行，傾斜角為0.故選C.

2.A【解析】因?yàn)镸是EF的中點(diǎn)，E,F分別是OB,AC的中點(diǎn)，所

3.B【解析】記橢圓的半焦距為c,由2c=6得c=3,于是由,可知b=√a2-C=√36-9=

3√3.故選B.

故

4.D【解析】注意到|a|=√22+12+(-2)=3,故b=(3,-1,0),于是a·b=2×3+1×(-1)=5.

選D.

則

5.D【解析】由題意得C?:y2=4.x的焦點(diǎn)為(1,0),設(shè)(1,0)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為

得故C?的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2).故選D.

6.C【解析】被3除余1的數(shù)有1,4,7,被3除余2的數(shù)有2,5,8,被3整除的數(shù)有3,6,9,若要使選取的三

個(gè)數(shù)字的和能被3整除，則需要從每一組中選取一個(gè)數(shù)字，或者從同一組中選取三個(gè)數(shù)字，則取出的這三

個(gè)數(shù)字的和能被3整除的種數(shù)3×3×3+1+1+1=30種。故選C.

7.C【解析】易知平面a的法向量n=(1,2,0),而由1+2t=3t可得t=1,于是M(1,1,0),MP=(1,2,

-2),故點(diǎn)P到α的距離.故選C.

8.C【解析】設(shè)P(x,y,2),易知P到x軸的距離d=√y2+z2,而PA=(-2-x,-y,—z),PB=(一x,

2-y,2-z),于是5=PA·PB=x(x+2)+y(y-2)+2(z-2)=(x+1)2+y2-2y+z2-2z-1≥d2-1

-2y-2z,于是d2-6≤2(y+z)≤2√2(y2+z2)=2√2d,得d2-2√2d-6≤0,可得

=3√2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1,y=z=3時(shí)等號(hào)成立.故選C.

二、多選題

9.ACD【解析】對(duì)于A,代入(一6,3)可得—6m+6m-3+3=0,符合方程，故lA

正確；對(duì)于B,當(dāng)m=0時(shí)，l?:x=3的傾斜角為直角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,代入m=1可得l?:x+y+3=0,

第5頁共7頁

點(diǎn)石聯(lián)考12月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)

l?:x+y-3=0,由,3≠-3可得二者平行，故C正確；對(duì)于D,由垂直可得m+m2(2m—1)=0,

即m(2m2—m+1)=0,注意到得m=0,故D正確.故選ACD.

10.ABC【解析】對(duì)于A,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有5+2+7=14種不同的選法，故A正確；對(duì)于

B,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有5×2×7=70種不同的選法，故B正確；對(duì)于C,可分為三類：第一類

是1幅選自國畫，1幅選自油畫，有5×2=10種不同的選法；第二類是1幅選自國畫，1幅選自水彩畫，有

5×7=35種不同的選法；第三類是1幅選自油畫，1幅選自水彩畫，有2×7=14種不同的選法，故共有

10+35+14=59種不同的選法，故C正確；對(duì)于D,可以分兩個(gè)步驟完成：第一步，從3幅畫中選