第二十二章二次函數(shù)【知識點01】二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)【知識點02】二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，a≠0．【知識點03】二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時，y最小值=當(dāng)x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當(dāng)x<–時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而減小【知識點04】二次函數(shù)的平移二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．【知識點05】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．【知識點06】用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：（1）列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值易錯點1利用二次函數(shù)的定義求待定系數(shù)時忽略“a≠0”1.易錯總結(jié)：求二次函數(shù)待定系數(shù)時，易因忽略二次項系數(shù)a\neq0出錯。比如設(shè)y=ax^2+bx+c形式，若沒考慮a取值，會導(dǎo)致函數(shù)不是二次函數(shù)，得出錯誤結(jié)果。2.注意事項：確定二次函數(shù)待定系數(shù)，先明確二次項系數(shù)a，必須保證a\neq0，再求解其他系數(shù)。解題后檢查，確認二次項系數(shù)符合a\neq0，避免因遺漏條件致錯。例題1．當(dāng)時，函數(shù)是二次函數(shù)．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，形如（）的函數(shù)是二次函數(shù)．【詳解】解：由題意可知：，解得又∵，即，綜上所述：故答案為．易錯點2利用二次函數(shù)的增減性求待定系數(shù)時忽略分類討論1.易錯總結(jié)：利用二次函數(shù)增減性求待定系數(shù)時，常因未對二次項系數(shù)a的正負（即開口方向）分類討論，導(dǎo)致增減性判斷錯誤，進而使待定系數(shù)求解出錯，忽略不同開口下增減性的差異。2.注意事項：先根據(jù)a的正負，分a>0（開口向上）、a<0（開口向下）兩類討論增減性。結(jié)合自變量取值范圍與對稱軸位置，對應(yīng)增減性確定函數(shù)值變化，精準(zhǔn)求解待定系數(shù)。例題2．已知二次函數(shù)（是常數(shù)），當(dāng)自變量時，函數(shù)有最大值為10，則．【答案】或【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，先求出二次函數(shù)的對稱軸，再分、和三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，又∵當(dāng)自變量時，函數(shù)有最大值為10，∴當(dāng)即時，時取最大值，即，解得，當(dāng)即時，號時取最大值，即，則∵，方程沒有實數(shù)根，當(dāng)時即，時取最大值，即，解得綜上，的值為或，故答案為：或．易錯點3二次函數(shù)與一元二次方程的交點問題1.易錯總結(jié)：處理二次函數(shù)與一元二次方程交點問題時，易忽略二次項系數(shù)a≠0，導(dǎo)致函數(shù)不是二次函數(shù)；或未結(jié)合判別式△判斷交點個數(shù)，誤判方程解與函數(shù)圖象和x軸交點的關(guān)系。2.注意事項：先確認二次函數(shù)y=ax2+bx+c中a≠0，保證是二次函數(shù)。利用判別式△=b2-4ac，判斷方程ax2+bx+c=0根的情況，對應(yīng)函數(shù)與x軸交點個數(shù)。例題3．（2025·安徽滁州·三模）已知拋物線的對稱軸為直線．（1）的值為．（2）若拋物線向下平移個單位長度后，在范圍內(nèi)與軸只有一個交點，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）由題意可知，求出的值即可；（）由題意可知平移后函數(shù)解析式為，然后通過二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（）由題意可知，解得，故答案為：；（）由題意可知平移后函數(shù)解析式為，當(dāng)頂點在軸上時，，解得，即需向上平移個單位長度，不符合條件；由于拋物線關(guān)于對稱，∴拋物線在內(nèi)對稱，若存在交點，始終有兩個交點，若只有一個交點，則拋物線與軸交點只能在，故當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，∴的取值范圍是，故答案為：．易錯點4利用二次函數(shù)解決實際問題中最值問題1.易錯總結(jié)：在利用二次函數(shù)解決實際問題的最值問題時，一是容易忽略自變量的實際取值范圍，直接套用二次函數(shù)頂點坐標(biāo)公式求最值，得到不符合實際情況的結(jié)果；二是沒有正確分析二次函數(shù)的開口方向，導(dǎo)致對函數(shù)增減性判斷失誤，從而找錯最值點。2.注意事項：明確實際問題中自變量的取值范圍，結(jié)合函數(shù)圖象在該范圍內(nèi)的單調(diào)性來確定最值。準(zhǔn)確判斷二次項系數(shù)的正負，確定函數(shù)開口方向，再依據(jù)自變量取值范圍，精準(zhǔn)找出能使實際問題取得最值的點。例題4．（2025·遼寧鐵嶺·模擬預(yù)測）春節(jié)期間，《哪吒2》熱映，某文創(chuàng)公司設(shè)計了一款成本價為每卷4元的哪吒貼紙投放到市場，公司以不低于成本價且不超過每卷8元的價格銷售，當(dāng)每卷售價為6元時，每天售出貼紙900卷；當(dāng)每卷售價為7元時，每天售出貼紙850卷，通過分析銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷售貼紙的數(shù)量（卷）與每卷售價（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系．(1)求每天銷售貼紙的數(shù)量（卷）與每卷售價（元）滿足的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每卷售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？【答案】(1)(2)當(dāng)每卷售價定為8元時，每天獲利最大，最大利潤為3200元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意列出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)出解析式，并利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)利潤為W元，根據(jù)利潤等于單卷貼紙的利潤乘以銷售量列出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解；設(shè)每天銷售貼紙的數(shù)量（卷）與每卷售價（元）滿足的函數(shù)關(guān)系式為，由題意得，，∴，∴；（2）解：設(shè)利潤為W元，由題意得，，∵，∴當(dāng)時，W隨x的增大而增大，又∵，∴時，，答：當(dāng)每卷售價定為8元時，每天獲利最大，最大利潤為3200元．易錯點5二次函數(shù)中的新定義型綜合問題1.易錯總結(jié)：解二次函數(shù)新定義型問題時，常因未吃透新定義內(nèi)涵，直接套用舊知識導(dǎo)致錯解；或忽略新定義中隱含的二次函數(shù)基本特征（如二次項系數(shù)非零），使推理偏離前提。2.注意事項：先逐字分析新定義，明確其與二次函數(shù)知識的關(guān)聯(lián)，轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問題。解題中緊扣二次函數(shù)定義，驗證是否滿足a≠0等基本條件，確保邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。例題5．（2025·上海閔行·二模）定義：如果一條拋物線的頂點坐標(biāo)滿足條件，那么稱該拋物線為“優(yōu)雅”拋物線．例如：拋物線的頂點坐標(biāo)為，此時由于，，頂點坐標(biāo)符合定義的條件，所以這條拋物線是“優(yōu)雅”拋物線．(1)如果拋物線是“優(yōu)雅”拋物線，求的值．(2)如圖，把（1）中的拋物線向下平移得到拋物線，拋物線與軸負半軸交于點，頂點為點，對稱軸與軸交于點．①點在延長線上，點是軸上一點，且四邊形是矩形，求點的坐標(biāo)．②如果拋物線為“優(yōu)雅”拋物線，它的頂點在軸上，拋物線與交于點，且，求拋物線的解析式．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）拋物線的對稱軸為直線，則頂點坐標(biāo)為，即可求解；（2）①由點的坐標(biāo)得，直線的表達式為，可得，四邊形是矩形，由解得，進而可得，，由于是的中點，從而求出點坐標(biāo)；②拋物線為“優(yōu)雅”拋物線，求出，由于，可得，結(jié)合，求出，聯(lián)立與，求得坐標(biāo)，進而求出的解析式．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線，則頂點坐標(biāo)為，即，；（2）解：①如圖：由（1）知，點，設(shè)，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，②，，，，，，，，，解方程組，得，，將代入得：，解得，1．（24-25九年級上·山東東營·期末）如果是二次函數(shù)，則的值為．【答案】【分析】本考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的定義：一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．根據(jù)二次函數(shù)中未知數(shù)的最高次數(shù)為2，二次項系數(shù)不能為0，可知，，由此可解．【詳解】解：函數(shù)是二次函數(shù)，，，解得：或，解得：，，故答案為：．2．若是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為．【答案】2【分析】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)定義，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件．利用二次函數(shù)定義進行解答即可．【詳解】解：由題意可知，，解得：．故答案為：2．3．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，當(dāng)時，若y的最大值與最小值之差為8，則．【答案】或【分析】本題考查二次函數(shù)最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．分三種情況：①當(dāng)時，即；②當(dāng)且時，即；③當(dāng)時，即，．分別求解即可．【詳解】解：當(dāng)時，，①當(dāng)時，即，時，y取得最小值，此時；時，y取得最大值，此時；，解得：，∵，∴不符合題意；②當(dāng)且時，即，此時最小值為，當(dāng)取得最大值時，，，解得：，∵，，∴不符合題意；∴符合題意；當(dāng)取得最大值時，，，解得：，∵，，，∴符合題意，不符合題意，∴；③當(dāng)時，即，時，y取得最小值，此時；時，y取得最大值，此時；，解得：，∵，∴不符合題意；綜上所述，當(dāng)時，若y的最大值與最小值之差為8，k的值為或．故答案為：或．4．（24-25九年級上·遼寧營口·期中）對于二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為1，則的值為．【答案】0或3/3或0【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，結(jié)合在時，隨的增大而減??；在時，隨的增大而增大，所以分類討論：當(dāng)時，則把代入，當(dāng)時，把代入，進行計算即可作答．【詳解】解：∵函數(shù)，∴二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，開口向上，則在時，隨的增大而減?。辉跁r，隨的增大而增大；當(dāng)時，函數(shù)的最小值為1，∴當(dāng)時，則把代入，得，解得（舍去），∴當(dāng)時，把代入，得，解得（舍去），綜上：的值為0或3．故答案為：0或3．5．（2025·福建廈門·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點，點，若拋物線與線段有兩個不同的交點，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了拋物線和直線的交點問題，掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵；本題先求得交點坐標(biāo)為：和，然后分和進行討論，然后即可求解；【詳解】解：已知點，點，∴線段在直線上面，聯(lián)立方程組：，解得：，，∴交點為和，由于線段的范圍為：，∵，∴，當(dāng)時，，，均在之間，且，保證兩點不同，當(dāng)時，，在之間，但是不在之間，僅有一個交點，綜上所述：拋物線與線段有兩個不同的交點，則的取值范圍是：；故答案為：；6．（2025·安徽六安·二模）把函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，x軸上方部分的圖象不變，得到函數(shù)的圖象．（1）函數(shù)的頂點為．（2）若函數(shù)與函數(shù)有3個交點，則b的值為．【答案】5或【分析】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，翻折的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一元二次方程根的判別式確定翻折后拋物線的關(guān)系式；利用數(shù)形結(jié)合的方法是解本題的關(guān)鍵，畫出函數(shù)圖象是解本題的難點．（1）把解析式化成頂點式即可求解；（2）先根據(jù)原拋物線的解析式得出翻折后得出新圖象的解析式，進而畫出圖象，結(jié)合圖形確定出直線的位置即可求出b的值．【詳解】解：（1）函數(shù)，函數(shù)的頂點為；故答案為：；（2）當(dāng)時，，解得，，則拋物線與x軸的交點為，，把拋物線圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，則翻折部分的拋物線解析式為，頂點坐標(biāo)，如圖，當(dāng)直線過點B時，直線與該新圖象恰好有三個公共點，，解得，當(dāng)直線與拋物線相切時，直線與該新圖象恰好有三個公共點，即有相等的實數(shù)解，整理得，則，解得，所以b的值為5或；故答案為：5或．7．（2025·安徽合肥·三模）對于一個函數(shù)，自變量x取m時，函數(shù)值y等于2m，則稱點是這個函數(shù)的“二倍點”，已知二次函數(shù)．（1）若點是此函數(shù)的“二倍點”，則此函數(shù)另一個“二倍點”B的坐標(biāo)是，（2）若此函數(shù)有兩個相異的“二倍點”、，且，則k的取值范圍．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程與二次函數(shù)結(jié)合，解題的關(guān)鍵是理解同值點的定義，并根據(jù)定義列方程求解．（1）根據(jù)題意將點A代入確定，再由“二倍點”的定義得出方程求解即可；（2）根據(jù)題意得出，，然后利用一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系求解不等式即可．【詳解】解：（1）把點代入中得，解得，∴，根據(jù)題意得：，解得：，∴當(dāng)時，，∴，故答案為：（2）∵二次函數(shù)圖象上有兩個相異的“二倍點”、，∴二次函數(shù)與直線有兩個交點、，聯(lián)立得，解得，，∵，∴；∵，∴，，解得，綜上所述，故答案為：．二、解答題8．某奶茶店用3000元按批發(fā)價購入一批椰果奶茶原料．若將原料批發(fā)價降低，則可多購買500杯椰果奶茶所需原料．市場調(diào)研顯示：該奶茶每杯售價8元時，每日可售出320杯；每杯每漲價1元，日銷量減少20杯．該奶茶每杯的配料、包裝等其它成本為2元．(1)該奶茶每杯原料成本是多少元？(2)若銷售該奶茶每天的利潤為1920元，且銷量盡可能大，該奶茶每杯售價是多少元？(3)為了讓利給顧客，該奶茶店決定每杯椰果奶茶漲價不超過5元，問該奶茶一天最大的銷售利潤是多少元？【答案】(1)2元(2)12元(3)每杯椰果奶茶漲價不超過5元，一天最大的銷售利潤是1980元【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）設(shè)該奶茶每杯原料成本是x元，根據(jù)將原料批發(fā)價降低，則可多購買500杯椰果奶茶所需原料，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)該奶茶每杯售價是a元，根據(jù)銷售該奶茶每天的利潤為1920元，列出一元一次方程，解方程并根據(jù)問題的實際意義作出取舍即可；（3）設(shè)該奶茶一天的利潤為W元，每杯奶茶的售價為a元，根據(jù)題意得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可．【詳解】（1）解：設(shè)該奶茶每杯原料成本是x元，由題意得，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，答：該奶茶每杯原料成本是2元；（2）解：設(shè)該奶茶每杯售價是a元，由題意得，化簡得，解得，，銷量盡可能大，答：該奶茶每杯售價是12元；（3）解：設(shè)該奶茶一天的利潤為W元，每杯奶茶的售價為a元，依題意得，每杯椰果奶茶漲價不超過5元，．時，W隨a的增大而增大，當(dāng)時，W有最大值為1980，答：每杯椰果奶茶漲價不超過5元，一天最大的銷售利潤是1980元．9．（24-25九年級下·江西撫州·期中）坐落于江西省南昌市贛江之畔的滕王閣，不僅是中國四大名樓之一，也是國家重點風(fēng)景名勝區(qū)．景區(qū)內(nèi)的官方紀(jì)念品店銷售一系列精美的手工藝品及地方特產(chǎn)，包括一種頗受歡迎的兒童木質(zhì)拼圖．該拼圖的成本價固定為40元/件，依據(jù)景區(qū)規(guī)定，銷售利潤必須限制在進價的50%以內(nèi)．近期的銷售數(shù)據(jù)表明，當(dāng)拼圖定價為50元時，每日銷量可達350件，然而，每當(dāng)價格提升5元，銷售數(shù)量便會隨之減少50件．設(shè)銷售單價為x元（銷售單價不低于50元）．(1)當(dāng)這種木質(zhì)拼圖以最高價出售時，每天的銷售量為多少件？(2)求這種木質(zhì)拼圖每天獲得的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)銷售單價為多少元時，該景區(qū)銷售這種木質(zhì)拼圖每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？【答案】(1)當(dāng)這種兒童玩具以每件最高價出售時，每天的銷售量為250件；(2)(3)當(dāng)銷售單價為60元，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是5000元．【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運算的應(yīng)用等知識點，審清題意、正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）先求出最高價，算出比50元漲了多少元錢，再除以5求出漲了多少個五元，算出少賣的件數(shù)，再用350減去少賣的件數(shù)即可解答；（2）用含x的式子表示出每件木質(zhì)拼圖的獲利和每天的銷售量，每天獲得的利潤等于每件玩具的獲利乘以每天的銷售量，據(jù)此列出函數(shù)關(guān)系式即可；（3）把w關(guān)于x的函數(shù)解析式化成頂點式，再根據(jù)函數(shù)的增減性，判定出最大值并求解即可．【詳解】（1）解：每件的最高價為（元），（件）．答：當(dāng)這種兒童玩具以每件最高價出售時，每天的銷售量為250件．（2）解：∴w與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）解：∵銷售利潤必須限制在進價的50%以內(nèi)，∴，∵，∴拋物線開口向下，又∵拋物線的對稱軸是，∴當(dāng)時，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)時，w有最大值，w的最大值為5000，∴當(dāng)銷售單價為60元，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是5000元．10．（24-25九年級上·遼寧·期末）定義：若函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則稱函數(shù)和關(guān)于直線互為“友好函數(shù)”，函數(shù)和的圖象交點叫做“友好點”．例如：函數(shù)關(guān)于直線的“友好函數(shù)”為，“友好點”為．(1)求函數(shù)關(guān)于直線的“友好函數(shù)”的表達式及“友好點”的坐標(biāo)；(2)函數(shù)關(guān)于直線的“友好點”的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時，求的取值范圍；(3)函數(shù)關(guān)于直線的“友好函數(shù)”為，“友好點”為．函數(shù)的圖象的頂點為，與軸交點為，函數(shù)的圖象的頂點為，與軸交點為，