第二十一章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．2、一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，方程中就沒有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．二、一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．三、一元二次方程的解法1、解一元二次方程-直接開平方形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．2、解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．3、解一元二次方程-公式法（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實(shí)數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．4、解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．四、一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：（1）數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2=后來數(shù)．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．易錯(cuò)點(diǎn)1利用一元二次方程的定義求待定系數(shù)時(shí)忽略“a≠0”1.易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)：在利用一元二次方程定義求參數(shù)時(shí)，常因僅關(guān)注未知數(shù)最高次數(shù)為2，忽略二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的條件。例如，在方程(m-1)x2+3x-5=0中，直接由x次數(shù)為2得出m的值，而未考慮m-1≠0，導(dǎo)致解出增根。2.注意事項(xiàng)總結(jié)：求解含參一元二次方程問題時(shí)，必須先明確二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一前提條件，再結(jié)合未知數(shù)最高次數(shù)為2列方程或不等式求解參數(shù)，最后對所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，確保方程符合一元二次方程的完整定義。例題1．（24-25九年級(jí)上·云南昆明·期中）若關(guān)于x的方程是一元二次方程．則m的值為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程．∴且，解得∶．故答案為：．易錯(cuò)點(diǎn)2利用一元二次方程的解求待定系數(shù)時(shí)忽略“a≠0”1.易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)：在已知一元二次方程的解求參數(shù)時(shí)，容易只將解代入方程求解，忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件。比如已知x=1是方程(a-2)x2+3x-1=0的解，直接代入得到關(guān)于a的等式，卻未驗(yàn)證a-2≠0，可能會(huì)把使方程降次為一次方程的參數(shù)值誤當(dāng)作答案。2.注意事項(xiàng)總結(jié)：將方程的解代入含參方程后，必須先檢查二次項(xiàng)系數(shù)是否為0。若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，需單獨(dú)討論其不為0的情況，再結(jié)合解的條件求解參數(shù)，最后檢驗(yàn)所得參數(shù)值是否符合一元二次方程的定義。例題2．關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為0，的值是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，根據(jù)一個(gè)根為0，得出，解得，即可作答．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為0，∴把代入，得，解得，故答案為：易錯(cuò)點(diǎn)3利用一元二次方程的判別式求字母的值或取值范圍時(shí)忽略“a≠0”1.易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)：使用判別式△=b2-4ac求字母值或取值范圍時(shí)，常因直接套用公式而忽略二次項(xiàng)系數(shù)a≠0的前提。例如，在方程(m-1)x2+2x+1=0中，僅根據(jù)△與0的關(guān)系求解m，未考慮m-1=0時(shí)方程變?yōu)橐淮畏匠?，?dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤或漏解。2.注意事項(xiàng)總結(jié)：運(yùn)用判別式前，需先明確方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0，再結(jié)合△的情況列等式或不等式求解參數(shù)；若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，應(yīng)分二次項(xiàng)系數(shù)為0（一次方程情況）和不為0（二次方程情況）兩種情形討論，最后綜合得出符合條件的參數(shù)值或范圍。例題3．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，由題意得，解不等式即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，且，解得且，故答案為：且．易錯(cuò)點(diǎn)4利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求值時(shí)忽略“△≠0”1.易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)：在利用根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）x1+x2=-ba，x1x2=ca求值時(shí)，易直接代入系數(shù)計(jì)算，忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)a≠0的條件。例如，對含參方程(k-1)x2+3x-2=0，未判斷k-1≠0就使用韋達(dá)定理，可能將使方程變?yōu)橐淮畏匠痰?.注意事項(xiàng)總結(jié)：使用根與系數(shù)關(guān)系前，必須先確定方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0；若系數(shù)含參數(shù)，需分二次項(xiàng)系數(shù)為0（方程為一次方程，不存在韋達(dá)定理應(yīng)用條件）和不為0（二次方程）兩種情況討論，最后檢驗(yàn)所得參數(shù)值是否符合要求。例題4．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．(1)求k的取值范圍；(2)若，求k的值．【答案】(1)的取值范圍為：(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義得到，即，解不等式即可得到的范圍；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，則，即，利用因式分解法解得，，然后由（1）中的的取值范圍即可得到的值，【詳解】（1）解：關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，即，解得，的取值范圍為：；（2）解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，，即，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．1．當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程是一元二次方程【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的定義得出且即可得到答案．【詳解】解：∵方程是一元二次方程，∴且，解得，故答案為：．2．（24-25九年級(jí)上·遼寧錦州·期中）若方程是關(guān)于的一元二次方程，則．【答案】【分析】本題利用了一元二次方程的概念，只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程．一般形式為．易錯(cuò)點(diǎn)在于這個(gè)條件容易被忽略．根據(jù)一元二次方程的一般形式即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，得，且，解得，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·河北張家口·期中）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的值為．【答案】【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程．根據(jù)一元二次方程的定義得到且，然后解方程和不等式即可得到滿足條件的的值．【詳解】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，，解得：．故答案為：．4．若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為．【答案】【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．根據(jù)一元二次方程的定義得到且，然后解方程和不等式即可得到滿足條件的的值．【詳解】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，且解得；故答案為：．5．（24-25九年級(jí)上·云南昆明·期中）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則a的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．把代入求解即可．【詳解】解：把代入，得∴∴∵∴∴故答案為：6．（24-25九年級(jí)上·湖北恩施·期中）若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是，則．【答案】1【分析】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的解的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義可得，根據(jù)一元二次方程的解的定義將代入原方程，得到關(guān)于的一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根是，∴且，解得：，故答案為：．7．已知是一元二次方程的一個(gè)根，則m的值為．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．將代入方程即可求解．【詳解】解：將代入方程得：，整理得：，解得：，∵，即，∴，故答案為：8．（24-25八年級(jí)上·上?！て谥校╆P(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為0，則m的值為．【答案】2【分析】本題考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0．將代入方程得到，求出，然后由得到，求出．【詳解】解：將代入，∴，∴，∵，即，∴．故答案為：2．9．（23-24九年級(jí)上·湖北黃石·期中）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，由題意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，且，解得且，故答案為：且．10．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為．【答案】且【分析】本題考查了一元二次方程的概念，根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)根的判別式當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．即可列不等式，計(jì)算即可得答案，【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，且，且，故答案為：且．11．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是【答案】且【分析】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式．解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：且，故答案為：且．12．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的根的判別式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，并注意這一條件是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義，一元二次方程的根與判別式的關(guān)系可得且，求解即可獲得答案．【詳解】解：若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有且，解得且．故答案為：且．13．（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期末）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；(2)在（1）中，設(shè)、該方程的兩個(gè)根，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，再將變形得到，再整體代入得關(guān)于的方程，由此解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴解得，；（2）解：∵、是方程的兩個(gè)根，∴，又，整理得，，∴整理得，，解得，或（不合題意，舍去）∴的值為．14．（24-25九年級(jí)上·陜西咸陽·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若方程的兩個(gè)根滿足，求m的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．掌握根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系的公式是解題關(guān)鍵．（1）利用根的判別式，即可求出答案；（2）先運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系得出，，再代入到，即可求出答案．【詳解】（1）∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，解得；（2）和是一元二次方程的兩個(gè)根，，，，，，解得，．，．15．（24-25九年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為、，且滿足，求實(shí)數(shù)m的值．（參考結(jié)論：若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，）【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，掌握當(dāng)一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)根的判別