復雜約束下的單機排序問題：學習、惡化、維護與安裝時間的綜合解析一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代生產(chǎn)與管理中，排序問題廣泛存在于各個領(lǐng)域，從制造業(yè)的生產(chǎn)調(diào)度、物流運輸?shù)呐渌桶才牛接嬎銠C科學的數(shù)據(jù)處理，再到項目管理的任務規(guī)劃等，合理的排序能夠有效提升資源利用率、降低成本并提高生產(chǎn)效率。單機排序問題作為排序問題中最基礎(chǔ)的類型之一，研究如何在一臺機器上對多個任務或工件進行排序，以滿足特定的優(yōu)化目標，如最小化完工時間、最小化總延誤時間、最大化設備利用率等，具有重要的理論和實際應用價值。在實際的單機排序場景中，傳統(tǒng)假設任務的加工時間固定往往與現(xiàn)實情況不符。學習效應是一個常見的現(xiàn)象，即隨著任務的不斷執(zhí)行，工人或機器的熟練度會逐漸提高，從而導致后續(xù)任務的實際加工時間逐漸減少。例如在電子產(chǎn)品組裝廠中，工人在重復組裝同一款產(chǎn)品時，操作越來越熟練，每個產(chǎn)品的組裝時間不斷縮短，這種學習效應會顯著影響任務的排序策略。若能合理利用學習效應，將加工時間受學習影響較大的任務放在后面執(zhí)行，可大幅提高整體生產(chǎn)效率。與之相反，惡化效應同樣不容忽視。在一些情況下，隨著時間的推移，機器的性能會逐漸下降，或者任務的執(zhí)行條件會逐漸變差，從而使得任務的加工時間逐漸增加。在化工生產(chǎn)中，隨著反應時間的延長，反應容器內(nèi)的雜質(zhì)增多，導致后續(xù)產(chǎn)品的加工時間變長。如果在排序時不考慮惡化效應，可能會導致整體完工時間大幅延長，生產(chǎn)成本增加。維護活動是保障機器正常運行的必要措施。定期或不定期的維護活動會使機器在一段時間內(nèi)不可用，這必然會對任務的排序產(chǎn)生影響。在安排生產(chǎn)任務時，需要合理地將維護活動穿插在任務之間，以盡量減少對生產(chǎn)進度的影響。若維護活動安排不當，可能會導致任務延誤，生產(chǎn)計劃無法按時完成。安裝時間也是單機排序中不可忽視的因素。在加工不同的任務之前，往往需要花費一定的時間進行設備的安裝、調(diào)試和準備工作。這些安裝時間的長短可能因任務而異，并且會占用機器的有效工作時間。如果在排序過程中忽略安裝時間，可能會導致實際的生產(chǎn)時間被嚴重低估，進而影響整個生產(chǎn)計劃的準確性。綜上所述，考慮學習效應、惡化效應、維護活動與安裝時間的單機排序問題，能夠更真實地反映實際生產(chǎn)與管理中的復雜情況，對于提高排序效率、優(yōu)化資源配置以及降低成本具有重要意義。通過深入研究這類問題，可以為企業(yè)和組織提供更加科學、合理的決策依據(jù)，幫助它們在激烈的市場競爭中獲得更大的優(yōu)勢。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀單機排序問題作為排序理論的基礎(chǔ)研究方向，一直以來都受到國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注。隨著生產(chǎn)實踐的不斷發(fā)展和對排序問題認識的深入，考慮學習效應、惡化效應、維護活動與安裝時間的單機排序問題逐漸成為研究的熱點。在學習效應方面，國外學者Biskup最早對其進行了系統(tǒng)研究，考慮了極小化共同工期偏差和極小化總完工時間的兩類單機排序問題，證明了工件加工時間為工件在加工順序中位置的遞減函數(shù)時這兩類問題是多項式時間可解的。之后，大量學者在此基礎(chǔ)上進行拓展，如研究不同的學習效應模型，包括基于位置的學習效應模型、基于時間的學習效應模型等。國內(nèi)學者也在這一領(lǐng)域取得了不少成果，對學習效應下的單機排序問題進行了深入分析，提出了一些新的算法和求解策略，以提高排序效率和優(yōu)化目標函數(shù)值。關(guān)于惡化效應，國外學者Brown和Yechiali研究了每個工件具有不同基本加工時間和惡化率時極小化最大完工時間的問題。Mosheiov則研究了每個工件具有相同基本加工時間和不同惡化率時極小化總完工時間問題，并指出了最優(yōu)排序是V形的。國內(nèi)學者進一步探討了惡化效應與其他因素相結(jié)合的單機排序問題，如惡化效應與學習效應同時存在時的排序問題，通過建立數(shù)學模型和設計算法，尋求最優(yōu)的排序方案。在維護活動對單機排序的影響研究中，國外學者提出了多種維護策略與排序的聯(lián)合優(yōu)化方法，考慮了維護活動的時間、頻率以及維護后機器性能的恢復情況等因素對排序結(jié)果的影響。國內(nèi)研究則更側(cè)重于結(jié)合實際生產(chǎn)場景，如制造業(yè)中的設備維護，分析維護活動與生產(chǎn)任務排序的協(xié)調(diào)關(guān)系，以降低生產(chǎn)成本和提高設備利用率。對于安裝時間的單機排序問題，國內(nèi)外學者主要從如何準確建模安裝時間以及如何將其與任務加工時間進行合理統(tǒng)籌安排的角度展開研究。提出了不同的安裝時間計算方法和排序算法，以減少安裝時間對整個生產(chǎn)周期的影響，提高生產(chǎn)效率。盡管國內(nèi)外在帶學習效應、惡化效應、維護活動與安裝時間的單機排序問題上已經(jīng)取得了豐富的研究成果，但仍存在一些不足之處?，F(xiàn)有研究中對于多種復雜因素相互作用的綜合考慮還不夠深入，很多研究只是單獨分析某一種或兩種因素，缺乏對學習效應、惡化效應、維護活動與安裝時間全面且系統(tǒng)的整合研究。部分研究中所采用的模型和算法在實際應用中存在一定的局限性，計算復雜度較高，難以滿足大規(guī)模實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)的處理需求，算法的穩(wěn)定性和通用性還有待進一步提高。此外，對于一些新興的生產(chǎn)模式和應用場景，如智能制造、柔性生產(chǎn)等，現(xiàn)有的排序理論和方法還不能很好地適應，需要進一步探索和研究新的解決方案。1.3研究內(nèi)容與方法1.3.1研究內(nèi)容本文主要聚焦于幾類帶學習效應、惡化效應、維護活動與安裝時間的單機排序問題，具體研究內(nèi)容如下：學習效應下的單機排序問題：深入分析基于位置和基于時間的學習效應模型，探究其對任務加工時間的影響規(guī)律。以最小化總完工時間、最大完工時間等為優(yōu)化目標，建立相應的數(shù)學模型。在考慮學習效應的情況下，研究如何確定任務的最優(yōu)排序順序，以達到優(yōu)化目標。惡化效應下的單機排序問題：針對不同的惡化效應模型，如線性惡化模型、非線性惡化模型等，分析任務加工時間隨時間的變化趨勢。以最小化最大完工時間、總延誤時間等為目標，構(gòu)建數(shù)學模型，并探討最優(yōu)排序策略。研究在惡化效應存在時，如何合理安排任務順序，減少惡化效應對整體排序結(jié)果的負面影響。學習效應與惡化效應并存的單機排序問題：綜合考慮學習效應和惡化效應，分析兩者相互作用下任務加工時間的動態(tài)變化。以最小化綜合成本、最大化生產(chǎn)效率等為綜合目標，建立統(tǒng)一的數(shù)學模型。探索在這種復雜情況下，如何通過合理的排序，平衡學習效應帶來的積極影響和惡化效應帶來的消極影響，實現(xiàn)整體效益的最大化?？紤]維護活動的單機排序問題：分析維護活動的時間、頻率以及維護后機器性能的恢復情況等因素對任務排序的影響。以最小化維護成本與生產(chǎn)延誤成本之和、最大化設備利用率等為目標，建立包含維護活動的單機排序數(shù)學模型。研究如何在任務排序中合理安排維護活動，使維護活動既能保證機器的正常運行，又能最小程度地影響生產(chǎn)進度。包含安裝時間的單機排序問題：對不同類型的安裝時間進行分類研究，如固定安裝時間、與任務相關(guān)的安裝時間等。以最小化總加工時間、最小化平均流程時間等為目標，建立考慮安裝時間的單機排序模型。探討如何在排序過程中準確計算安裝時間，并將其與任務加工時間進行統(tǒng)籌安排，以減少安裝時間對整個生產(chǎn)周期的影響。綜合考慮多種因素的單機排序問題：全面考慮學習效應、惡化效應、維護活動與安裝時間等多種復雜因素，分析它們之間的相互關(guān)系和綜合影響。以實現(xiàn)企業(yè)生產(chǎn)效益最大化、成本最小化為綜合目標，構(gòu)建復雜的單機排序數(shù)學模型。通過深入研究，提出有效的求解算法和策略，以應對實際生產(chǎn)中面臨的復雜排序問題。1.3.2研究方法為了深入研究上述單機排序問題，本文將綜合運用多種研究方法：數(shù)學建模法：針對不同類型的單機排序問題，運用數(shù)學語言和符號，準確描述任務、機器、學習效應、惡化效應、維護活動和安裝時間等要素之間的關(guān)系，建立相應的數(shù)學模型。通過對模型的分析和求解，得到理論上的最優(yōu)排序方案或排序策略。實例分析與數(shù)值模擬法：收集實際生產(chǎn)中的單機排序案例數(shù)據(jù)，運用建立的數(shù)學模型和求解算法進行分析和計算。通過實際案例的驗證，評估算法的有效性和模型的準確性。利用數(shù)值模擬軟件，生成大量的隨機數(shù)據(jù)，對不同參數(shù)條件下的單機排序問題進行模擬實驗，深入分析各種因素對排序結(jié)果的影響規(guī)律，為算法的優(yōu)化和改進提供依據(jù)。算法設計與優(yōu)化法：針對所建立的數(shù)學模型，設計相應的求解算法，如精確算法（分支定界法、動態(tài)規(guī)劃法等）和近似算法（遺傳算法、蟻群算法、禁忌搜索算法等）。對設計的算法進行性能分析和比較，通過實驗測試，評估算法的時間復雜度、空間復雜度、求解精度和穩(wěn)定性等指標。根據(jù)算法的性能分析結(jié)果，對算法進行優(yōu)化和改進，提高算法的求解效率和質(zhì)量，使其能夠更好地解決實際的單機排序問題。文獻研究法：廣泛查閱國內(nèi)外關(guān)于單機排序問題、學習效應、惡化效應、維護活動與安裝時間等方面的文獻資料，了解相關(guān)領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀、研究方法和研究成果。通過對文獻的綜合分析和總結(jié)，借鑒前人的研究經(jīng)驗和方法，找出當前研究中存在的問題和不足，為本文的研究提供理論基礎(chǔ)和研究思路。二、單機排序問題基礎(chǔ)理論2.1單機排序問題概述2.1.1單機排序問題的定義與常見形式單機排序問題，是指在只有一臺機器的條件下，對多個需要加工的任務或工件進行合理排序，以達到特定的優(yōu)化目標。假設存在n個任務，分別標記為J_1,J_2,\cdots,J_n，這些任務需要在同一臺機器上依次進行加工。每個任務J_i都具有一些特定的屬性，如加工時間p_i，這是指該任務在機器上進行加工所需要的時間；到達時間r_i，即任務可以開始加工的最早時間；交貨期d_i，表示任務需要完成的截止時間等。單機排序問題就是要確定這n個任務在機器上的加工順序，用\pi=(\pi(1),\pi(2),\cdots,\pi(n))來表示，其中\(zhòng)pi(j)表示排在第j個位置進行加工的任務編號。單機排序問題有多種常見的排序目標，不同的目標反映了不同的實際需求和優(yōu)化方向：最大完工時間（）：也被稱為makespan，指的是在一個排序方案中，所有任務完成加工的最晚時間，即C_{max}(\pi)=\max\{C_{i}(\pi):i=1,2,\cdots,n\}，其中C_{i}(\pi)表示任務J_i在排序\pi下的完工時間。最小化最大完工時間的目標在于確保整個生產(chǎn)過程盡快結(jié)束，適用于對生產(chǎn)周期有嚴格限制的場景，如季節(jié)性產(chǎn)品的生產(chǎn)，必須在特定季節(jié)來臨前完成所有生產(chǎn)任務，以搶占市場先機。總完工時間（）：是指所有任務完工時間的總和，即\sum_{i=1}^{n}C_{i}(\pi)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}p_{\pi(j)}。最小化總完工時間的目標側(cè)重于提高整體生產(chǎn)效率，減少所有任務的總加工時間消耗，適用于追求生產(chǎn)效率最大化、資源利用最充分的生產(chǎn)系統(tǒng)，如大規(guī)模流水線生產(chǎn)，通過減少總完工時間，可以提高設備的利用率，降低生產(chǎn)成本。最大延誤時間（）：定義為L_{max}(\pi)=\max\{L_{i}(\pi):i=1,2,\cdots,n\}，其中L_{i}(\pi)=C_{i}(\pi)-d_{i}，表示任務J_i在排序\pi下的延誤時間。最小化最大延誤時間的目標旨在避免出現(xiàn)任務嚴重延誤的情況，對于那些對交貨時間要求嚴格、延誤將導致嚴重后果（如高額違約金、客戶流失等）的生產(chǎn)任務至關(guān)重要，如訂單式生產(chǎn)，必須嚴格按照客戶要求的交貨期交付產(chǎn)品，否則將面臨經(jīng)濟損失和信譽風險?？傃诱`時間（）：是所有任務延誤時間的總和，即\sum_{i=1}^{n}L_{i}(\pi)=\sum_{i=1}^{n}\max\{C_{i}(\pi)-d_{i},0\}。最小化總延誤時間的目標關(guān)注的是整體任務的按時完成情況，通過減少總延誤時間，可以提高企業(yè)的信譽和客戶滿意度，適用于對訂單交付及時性要求較高的行業(yè)，如快遞物流行業(yè)，需要盡量減少所有包裹的延誤時間，以提升服務質(zhì)量。加權(quán)總完工時間（）：其中w_{i}是任務J_i的權(quán)重，表示該任務的重要程度。加權(quán)總完工時間為\sum_{i=1}^{n}w_{i}C_{i}(\pi)=\sum_{i=1}^{n}w_{i}\sum_{j=1}^{i}p_{\pi(j)}。最小化加權(quán)總完工時間的目標考慮了不同任務的重要性差異，對于那些重要性高的任務，給予更大的權(quán)重，使其完工時間盡量提前，適用于多品種、小批量生產(chǎn)，不同產(chǎn)品的市場價值和重要性不同，通過加權(quán)總完工時間的優(yōu)化，可以優(yōu)先保障高價值產(chǎn)品的生產(chǎn)和交付。2.1.2單機排序問題的重要性及應用領(lǐng)域單機排序問題在眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應用，其重要性不言而喻，對提高資源利用效率和生產(chǎn)效益起著關(guān)鍵作用。在制造業(yè)中，單機排序問題直接關(guān)系到生產(chǎn)計劃的制定和執(zhí)行。在機械加工車間，一臺機床需要加工多種不同的零部件，每個零部件的加工時間、工藝要求和交貨期都各不相同。通過合理的單機排序，可以確保機床在有限的時間內(nèi)完成盡可能多的加工任務，同時滿足各個零部件的交貨期要求，避免因延誤交貨而產(chǎn)生的經(jīng)濟損失。合理的排序還可以減少機床的閑置時間，提高設備的利用率，降低生產(chǎn)成本。在汽車制造企業(yè)中，沖壓、焊接、涂裝等生產(chǎn)環(huán)節(jié)都涉及到單機排序問題。以沖壓環(huán)節(jié)為例，一臺沖壓機需要對不同形狀和尺寸的汽車零部件進行沖壓加工，如何安排這些零部件的沖壓順序，以最小化生產(chǎn)周期、提高生產(chǎn)效率，是企業(yè)生產(chǎn)管理中的重要問題。通過優(yōu)化單機排序，可以使沖壓機在最短的時間內(nèi)完成所有零部件的沖壓任務，為后續(xù)的生產(chǎn)環(huán)節(jié)提供充足的零部件供應，保證整個汽車生產(chǎn)流程的順暢進行。物流運輸領(lǐng)域同樣離不開單機排序問題的支持。在快遞配送中，一輛快遞車需要按照一定的順序?qū)偷讲煌目蛻羰种小Ｃ總€客戶的位置、包裹數(shù)量和要求送達時間都不同，合理安排快遞車的配送順序，可以減少行駛里程、降低運輸成本，同時確保包裹能夠按時送達客戶手中，提高客戶滿意度。在貨物裝卸環(huán)節(jié)，一臺起重機需要將不同重量和尺寸的貨物裝載到運輸車輛上，如何安排貨物的裝載順序，以最大化車輛的裝載量和運輸效率，也是單機排序問題的實際應用。通過科學的單機排序，可以充分利用車輛的裝載空間，減少運輸次數(shù)，提高物流運輸?shù)恼w效率。在項目管理中，單機排序問題也有著重要的應用。一個項目通常由多個任務組成，這些任務需要在有限的時間和資源條件下完成。假設一個建筑項目，涉及到地基施工、主體結(jié)構(gòu)建設、裝修等多個任務，每個任務都有不同的工期和資源需求。通過合理的單機排序，可以確定各個任務的執(zhí)行順序，使項目能夠按時交付，同時避免資源的閑置和浪費。合理的排序還可以優(yōu)化項目的成本，提高項目的經(jīng)濟效益。在軟件開發(fā)項目中，不同的功能模塊開發(fā)任務需要在有限的時間內(nèi)完成，如何安排這些任務的開發(fā)順序，以確保項目按時上線，同時保證軟件的質(zhì)量，也是單機排序問題在項目管理中的具體體現(xiàn)。通過科學的排序，可以提高開發(fā)團隊的工作效率，減少項目的開發(fā)周期，降低項目的風險。此外，單機排序問題在計算機科學、醫(yī)療服務、教育教學等領(lǐng)域也有著廣泛的應用。在計算機操作系統(tǒng)中，CPU需要對多個進程進行調(diào)度，通過合理的排序，可以提高CPU的利用率，加快程序的運行速度。在醫(yī)院的手術(shù)室安排中，如何合理安排不同手術(shù)的順序，以最大化手術(shù)室的利用率，減少患者的等待時間，也是單機排序問題的實際應用。在學校的課程安排中，如何合理安排不同課程在同一時間段的授課順序，以滿足學生和教師的需求，提高教學質(zhì)量，同樣涉及到單機排序問題。單機排序問題作為排序理論的基礎(chǔ)，在各個領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用，深入研究單機排序問題對于提高各行業(yè)的生產(chǎn)效率和管理水平具有重要意義。2.2單機排序問題相關(guān)概念2.2.1學習效應的概念與表現(xiàn)形式學習效應，是指在生產(chǎn)或任務執(zhí)行過程中，隨著經(jīng)驗的不斷積累，工人或機器完成任務的效率逐漸提高，從而使得后續(xù)任務的加工時間相應減少的現(xiàn)象。這種效應在單機排序問題中有著重要的影響，它打破了傳統(tǒng)單機排序中加工時間固定不變的假設，使任務的加工時間成為一個動態(tài)變化的因素。在單機排序中，學習效應主要有兩種常見的表現(xiàn)形式：基于位置的學習效應和基于時間的學習效應?；谖恢玫膶W習效應模型假設任務的加工時間僅取決于其在加工序列中的位置。具體來說，第j個加工的任務J_i的加工時間p_{ij}可以表示為p_{ij}=p_{i}r^{j-1}，其中p_{i}是任務J_i的初始加工時間，r是學習率，且0\ltr\lt1。r的值越小，表示學習效應越顯著，隨著加工位置的后移，任務的加工時間減少得越快。在電子元件焊接任務中，工人剛開始焊接時，由于不熟練，每個元件的焊接時間較長，但隨著焊接的元件數(shù)量增多，工人的操作越來越熟練，后續(xù)元件的焊接時間逐漸減少。如果初始焊接一個元件需要5分鐘，學習率r=0.9，那么第2個元件的焊接時間為5\times0.9=4.5分鐘，第3個元件的焊接時間為5\times0.9^2=4.05分鐘，以此類推?；跁r間的學習效應模型則認為任務的加工時間不僅與位置有關(guān)，還與已經(jīng)完成的加工時間總量相關(guān)。第j個加工的任務J_i的加工時間p_{ij}可以表示為p_{ij}=p_{i}(1+\sum_{k=1}^{j-1}p_{k})^{-b}，其中p_{i}是任務J_i的初始加工時間，b是學習指數(shù)，反映學習效應的強度。b越大，學習效應越明顯，加工時間隨著已加工時間總量的增加而減少得越迅速。在汽車零部件加工中，隨著加工時間的不斷累積，工人對加工工藝和流程更加熟悉，設備的調(diào)試也更加精準，從而使得后續(xù)零部件的加工時間逐漸縮短。如果一個零部件的初始加工時間為10分鐘，當已經(jīng)累計加工了50分鐘后，假設學習指數(shù)b=0.2，那么此時該零部件的加工時間可能變?yōu)?0\times(1+50)^{-0.2}\approx7.25分鐘。無論是基于位置還是基于時間的學習效應，都會使工件的加工時間隨著加工位置的推進或已加工工件情況的變化而變化。在單機排序中考慮學習效應，能夠更真實地反映實際生產(chǎn)過程，為制定更合理的排序策略提供依據(jù)。通過合理安排任務順序，充分利用學習效應，可以有效縮短整體加工時間，提高生產(chǎn)效率，降低生產(chǎn)成本。2.2.2惡化效應的概念與表現(xiàn)形式惡化效應，與學習效應相反，是指在任務執(zhí)行過程中，由于各種因素的影響，導致任務的加工時間隨著時間的推移或其他相關(guān)因素的變化而逐漸增加的現(xiàn)象。在單機排序問題中，惡化效應同樣是一個不可忽視的重要因素，它會對任務的排序和整體生產(chǎn)效率產(chǎn)生顯著的影響。惡化效應在單機排序中也有多種表現(xiàn)形式，常見的有線性惡化效應和非線性惡化效應。線性惡化效應模型中，任務的加工時間與任務開始加工的時刻呈線性關(guān)系。假設任務J_i的基本加工時間為p_{i}，惡化率為\alpha，如果任務J_i在時刻t開始加工，那么其實際加工時間p_{i}(t)可以表示為p_{i}(t)=p_{i}+\alphat。在建筑施工中，混凝土澆筑任務的加工時間會隨著時間的推移而增加。如果混凝土的基本澆筑時間為2小時，惡化率為0.1小時/小時，當該任務在施工開始5小時后進行澆筑時，其實際澆筑時間為2+0.1\times5=2.5小時。這是因為隨著時間的延長，混凝土可能會出現(xiàn)凝結(jié)速度變化、施工環(huán)境變差等情況，導致澆筑難度增加，從而使加工時間變長。非線性惡化效應模型則更為復雜，任務的加工時間與時間或其他因素之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系。常見的非線性惡化效應模型有指數(shù)惡化模型，任務J_i的實際加工時間p_{i}(t)可以表示為p_{i}(t)=p_{i}e^{\alphat}，其中e為自然常數(shù)，\alpha為惡化參數(shù)。在一些高精度的機械加工中，隨著加工時間的延長，刀具的磨損會加劇，加工精度會受到影響，從而導致加工時間非線性增加。如果一個機械零件的基本加工時間為3小時，惡化參數(shù)\alpha=0.05，當加工開始10小時后對該零件進行加工時，其實際加工時間為3\timese^{0.05\times10}\approx4.95小時。除了與時間相關(guān)的惡化效應，還有一些惡化效應與已加工工件的數(shù)量、機器的使用次數(shù)等因素有關(guān)。在一些需要頻繁更換模具的生產(chǎn)過程中，隨著模具更換次數(shù)的增加，模具的精度會下降，導致后續(xù)工件的加工時間增加?；蛘咴谶B續(xù)生產(chǎn)過程中，隨著已加工工件數(shù)量的增多，機器的性能逐漸下降，加工時間也會相應延長。惡化效應的存在使得任務的加工時間不再是固定值，而是隨著各種因素動態(tài)變化。在單機排序時，如果不考慮惡化效應，按照傳統(tǒng)的固定加工時間進行排序，可能會導致實際完工時間大幅延長，生產(chǎn)效率降低，成本增加。因此，在研究單機排序問題時，充分考慮惡化效應的影響，制定合理的排序策略，對于優(yōu)化生產(chǎn)過程、提高生產(chǎn)效益具有重要意義。2.2.3維護活動的概念與常見模式維護活動，是指為了確保機器設備的正常運行、保持其性能和可靠性，而對機器進行的一系列檢查、保養(yǎng)、維修等操作。在單機排序問題中，維護活動是一個重要的約束條件，它會占用機器的工作時間，影響任務的排序和整體生產(chǎn)進度。常見的維護活動模式主要有定期維護和基于狀態(tài)維護。定期維護，是按照預先設定的時間間隔或工作時長，對機器進行周期性的維護操作。每隔一定的生產(chǎn)時間（如每周、每月或每運行1000小時），就對機器進行一次全面的檢查、保養(yǎng)和必要的維修。定期維護的優(yōu)點是維護計劃易于制定和執(zhí)行，能夠提前安排維護資源和時間，保證機器在一定時間內(nèi)處于良好的運行狀態(tài)。但這種維護模式也存在一定的局限性，由于是按照固定的時間間隔進行維護，可能會出現(xiàn)過度維護或維護不足的情況。如果維護間隔設置過短，會增加維護成本，并且在維護期間機器無法進行生產(chǎn)，導致生產(chǎn)效率降低；而如果維護間隔設置過長，機器可能在維護周期內(nèi)出現(xiàn)故障，影響生產(chǎn)的連續(xù)性和產(chǎn)品質(zhì)量。在汽車制造企業(yè)中，沖壓機可能每隔一個月就需要進行一次定期維護，包括檢查模具的磨損情況、潤滑機械部件、校準設備精度等。在維護期間，沖壓機無法進行沖壓生產(chǎn)，這就需要在安排生產(chǎn)任務時，合理考慮這一維護時間，避免影響整個生產(chǎn)計劃?；跔顟B(tài)維護，是根據(jù)機器的實際運行狀態(tài)來決定是否進行維護。通過各種傳感器和監(jiān)測技術(shù)，實時采集機器的運行數(shù)據(jù)，如溫度、振動、壓力、磨損程度等，對這些數(shù)據(jù)進行分析和評估，當發(fā)現(xiàn)機器的狀態(tài)指標超出正常范圍，預示可能出現(xiàn)故障時，才進行針對性的維護。這種維護模式的優(yōu)點是能夠更加精準地把握維護時機，避免不必要的維護操作，降低維護成本，同時最大程度地保證機器的正常運行時間，提高生產(chǎn)效率。但基于狀態(tài)維護需要先進的監(jiān)測技術(shù)和數(shù)據(jù)分析能力，對企業(yè)的技術(shù)水平和管理要求較高。在航空發(fā)動機的維護中，通過安裝在發(fā)動機上的各種傳感器，實時監(jiān)測發(fā)動機的各項性能參數(shù)。當監(jiān)測到發(fā)動機的振動異常增大、溫度過高或零部件磨損達到一定程度時，就及時安排維護，對發(fā)動機進行檢修和更換零部件，以確保發(fā)動機的安全運行和飛行任務的順利完成。在單機排序中，采用基于狀態(tài)維護模式時，需要實時關(guān)注機器的狀態(tài)數(shù)據(jù)，根據(jù)維護需求靈活調(diào)整任務排序，以適應機器維護的不確定性。維護活動的存在使得單機排序問題變得更加復雜，需要綜合考慮維護時間、維護成本、機器性能恢復情況以及對生產(chǎn)任務的影響等多方面因素。合理安排維護活動在任務序列中的位置，能夠在保證機器正常運行的前提下，最大程度地減少對生產(chǎn)進度的干擾，提高整體生產(chǎn)效益。2.2.4安裝時間的概念與對排序的作用安裝時間，是指在單機排序中，當機器從加工一個任務切換到加工另一個任務時，需要花費的用于設備調(diào)整、模具更換、工具準備、參數(shù)設置等一系列準備工作的時間。安裝時間是單機排序問題中不可忽視的一個重要因素，它會直接影響任務的總加工時間和排序策略。安裝時間可以分為固定安裝時間和與任務相關(guān)的安裝時間。固定安裝時間是指無論從哪個任務切換到另一個任務，安裝時間都是固定不變的。在一些簡單的生產(chǎn)加工中，機器從加工一種規(guī)格的產(chǎn)品切換到加工另一種規(guī)格的產(chǎn)品時，只需要進行簡單的參數(shù)調(diào)整，這個調(diào)整時間是固定的，不隨任務的具體內(nèi)容變化。假設固定安裝時間為t_0，那么在計算任務的總加工時間時，每切換一次任務，都需要額外加上t_0的時間。與任務相關(guān)的安裝時間則取決于前后兩個任務的具體特性。從加工一種類型的零部件切換到加工另一種類型的零部件時，如果兩種零部件的加工工藝差異較大，可能需要更換不同的模具、刀具，調(diào)整加工參數(shù)等，此時的安裝時間就會比較長；而如果兩種零部件的加工工藝相似，安裝時間則會相對較短。設從任務J_i切換到任務J_j的安裝時間為s_{ij}，它與任務J_i和J_j的屬性相關(guān)，如零部件的形狀、尺寸、加工精度要求等。安裝時間在單機排序中起著重要的作用，它會增加任務的總加工時間。如果不考慮安裝時間，按照傳統(tǒng)的僅考慮任務加工時間的排序方法進行排序，得到的排序方案可能會導致實際總加工時間被嚴重低估，從而影響整個生產(chǎn)計劃的準確性和可行性。在一個包含n個任務的單機排序問題中，假設任務的加工順序為\pi=(\pi(1),\pi(2),\cdots,\pi(n))，如果不考慮安裝時間，總加工時間C=\sum_{i=1}^{n}p_{\pi(i)}；但當考慮安裝時間時，總加工時間C'=s_{0,\pi(1)}+\sum_{i=1}^{n-1}s_{\pi(i),\pi(i+1)}+\sum_{i=1}^{n}p_{\pi(i)}，其中s_{0,\pi(1)}表示從初始狀態(tài)到開始加工第一個任務\pi(1)的安裝時間，s_{\pi(i),\pi(i+1)}表示從加工任務\pi(i)切換到加工任務\pi(i+1)的安裝時間。安裝時間還會影響任務的排序順序。由于安裝時間的存在，在確定任務的排序時，不能僅僅依據(jù)任務的加工時間來安排，還需要考慮不同任務之間的安裝時間長短。將安裝時間較短的任務安排在一起連續(xù)加工，可以減少總的安裝時間，從而縮短整個生產(chǎn)周期。在電子產(chǎn)品組裝生產(chǎn)線上，有多種不同型號的電子產(chǎn)品需要組裝，不同型號產(chǎn)品的組裝工藝和零部件有所不同，從組裝一種型號產(chǎn)品切換到組裝另一種型號產(chǎn)品時需要一定的安裝時間來更換組裝工具和調(diào)整組裝流程。如果將組裝工藝相似、安裝時間較短的產(chǎn)品型號安排在一起依次組裝，就可以減少安裝時間的累計消耗，提高生產(chǎn)線的整體效率。因此，在單機排序過程中，必須充分考慮安裝時間的影響，通過合理的排序策略，優(yōu)化任務順序，以減少安裝時間對生產(chǎn)周期的影響，提高生產(chǎn)效率。三、帶學習效應的單機排序問題研究3.1學習效應模型構(gòu)建3.1.1基于加工位置的學習效應模型在單機排序中，基于加工位置的學習效應模型假設工件的加工時間僅與其在加工序列中的位置有關(guān)。設存在n個工件J_1,J_2,\cdots,J_n，需要在一臺機器上進行加工。對于工件J_i，其初始加工時間為p_i，當它排在第j個位置進行加工時，考慮學習效應后的實際加工時間p_{ij}可以表示為：p_{ij}=p_{i}r^{j-1}其中，r為學習率，且滿足0\ltr\lt1。r的值越小，表明學習效應越顯著，隨著加工位置j的逐漸增大，工件的加工時間減少得越快。以某電子元件組裝任務為例，假設共有5個相同的電子元件需要組裝，每個元件的初始組裝時間p_i=10分鐘，學習率r=0.9。當?shù)谝粋€元件進行組裝時，由于是首次操作，沒有學習效應的影響，其實際加工時間p_{i1}=p_{i}=10分鐘。當?shù)诙€元件進行組裝時，工人已經(jīng)有了一次組裝經(jīng)驗，實際加工時間p_{i2}=p_{i}r^{2-1}=10\times0.9=9分鐘。同理，第三個元件的實際加工時間p_{i3}=p_{i}r^{3-1}=10\times0.9^2=8.1分鐘，第四個元件的實際加工時間p_{i4}=p_{i}r^{4-1}=10\times0.9^3=7.29分鐘，第五個元件的實際加工時間p_{i5}=p_{i}r^{5-1}=10\times0.9^4=6.561分鐘。在這個模型中，p_i反映了工件本身的固有加工難度，而r^{j-1}則體現(xiàn)了隨著加工位置的推進，學習效應導致的加工時間減少的程度。這種模型在實際生產(chǎn)中具有一定的應用場景，尤其是當工人的操作熟練程度主要取決于加工的順序和次數(shù)時，該模型能夠較好地描述學習效應對加工時間的影響，為單機排序問題的研究提供了重要的基礎(chǔ)。3.1.2基于已加工工件的學習效應模型基于已加工工件的學習效應模型認為，工件的加工時間不僅與自身在加工序列中的位置有關(guān)，還與已經(jīng)完成加工的工件的加工時間相關(guān)。假設存在n個工件J_1,J_2,\cdots,J_n，在單機上依次加工。對于排在第j個位置的工件J_i，其實際加工時間p_{ij}可以表示為：p_{ij}=p_{i}\left(1+\sum_{k=1}^{j-1}p_{k}\right)^{-b}其中，p_{i}是工件J_i的初始加工時間，b是學習指數(shù)，它反映了學習效應的強度，b越大，學習效應越明顯，加工時間隨著已加工工件加工時間總和的增加而減少得越迅速。\sum_{k=1}^{j-1}p_{k}表示排在工件J_i之前的所有已加工工件的加工時間總和。例如，在一個機械零件加工車間，有4個不同的機械零件需要加工，它們的初始加工時間分別為p_1=5小時，p_2=3小時，p_3=4小時，p_4=6小時，學習指數(shù)b=0.2。當?shù)谝粋€零件J_1進行加工時，因為沒有前面已加工工件的影響，其實際加工時間p_{11}=p_{1}=5小時。當?shù)诙€零件J_2進行加工時，已加工工件只有J_1，其實際加工時間p_{22}=p_{2}\left(1+\sum_{k=1}^{1}p_{k}\right)^{-b}=3\times(1+5)^{-0.2}\approx2.52小時。當?shù)谌齻€零件J_3進行加工時，已加工工件為J_1和J_2，實際加工時間p_{33}=p_{3}\left(1+\sum_{k=1}^{2}p_{k}\right)^{-b}=4\times(1+5+2.52)^{-0.2}\approx3.03小時。當?shù)谒膫€零件J_4進行加工時，已加工工件為J_1、J_2和J_3，實際加工時間p_{44}=p_{4}\left(1+\sum_{k=1}^{3}p_{k}\right)^{-b}=6\times(1+5+2.52+3.03)^{-0.2}\approx4.48小時。這種模型的構(gòu)建依據(jù)在于，在實際生產(chǎn)過程中，工人或機器在完成一系列工件的加工過程中，不僅會因為重復操作而提高熟練度，而且前面已加工工件的整體情況（如加工時間總和、加工難度等）也會對后續(xù)工件的加工產(chǎn)生影響。隨著已加工工件加工時間總和的增加，工人或機器可能對整個加工流程更加熟悉，積累了更多的經(jīng)驗和技巧，從而使得后續(xù)工件的加工時間相應減少。該模型更全面地考慮了學習效應的影響因素，適用于那些加工過程較為復雜，且已加工工件對后續(xù)加工有明顯影響的生產(chǎn)場景，如大型機械設備的零部件加工、復雜電子產(chǎn)品的組裝等。在這些場景中，通過運用基于已加工工件的學習效應模型，可以更準確地預測工件的加工時間，為單機排序提供更符合實際情況的決策依據(jù)，有助于提高生產(chǎn)效率和優(yōu)化資源配置。3.2不同目標下的排序算法與求解3.2.1極小化最大完工時間的排序算法針對極小化最大完工時間這一目標，我們設計了一種基于貪心策略的排序算法。該算法的核心思想是，在每次選擇任務進行排序時，優(yōu)先選擇那些在考慮學習效應后，對最大完工時間影響最小的任務。具體算法步驟如下：初始化一個空的任務序列\(zhòng)pi，用于存儲最終的排序結(jié)果。計算每個任務在不同位置加工時的實際加工時間，根據(jù)基于加工位置的學習效應模型p_{ij}=p_{i}r^{j-1}（假設采用該模型，若采用基于已加工工件的學習效應模型，計算方式相應改變），得到每個任務在各個位置的加工時間矩陣。從所有未排序的任務中，選擇一個任務J_k，使得將其加入當前任務序列\(zhòng)pi的末尾后，新序列的最大完工時間最小。具體計算時，假設當前任務序列\(zhòng)pi的完工時間為C_{max}(\pi)，若將任務J_k加入序列末尾，其完工時間為C_{k}(\pi')=C_{max}(\pi)+p_{k,|\pi|+1}（|\pi|表示當前序列\(zhòng)pi的長度，p_{k,|\pi|+1}為任務J_k在第|\pi|+1個位置加工時的實際加工時間），選擇使C_{k}(\pi')最小的任務J_k。將選擇的任務J_k加入任務序列\(zhòng)pi的末尾。重復步驟3和4，直到所有任務都被加入任務序列\(zhòng)pi中。此時，\pi即為極小化最大完工時間的任務排序結(jié)果。下面證明該算法的正確性：假設存在一個最優(yōu)排序假設存在一個最優(yōu)排序\pi^*，使得最大完工時間C_{max}(\pi^*)最小，而我們的算法得到的排序為\pi。如果\pi\neq\pi^*，那么一定存在兩個相鄰任務J_i和J_j，在\pi中它們的順序與在\pi^*中不同。不妨設J_i在\pi中排在J_j之前，而在\pi^*中J_j排在J_i之前。根據(jù)算法步驟，將J_i和J_j交換順序后，新序列的最大完工時間不會減小（否則算法在選擇任務時就會選擇交換后的順序）。這與\pi^*是最優(yōu)排序矛盾，所以我們的算法得到的排序\pi就是最優(yōu)排序，即該算法能夠找到極小化最大完工時間的任務排序。算法的時間復雜度分析：在步驟2中，計算每個任務在不同位置加工時的實際加工時間，對于n個任務，每個任務有n個可能的加工位置，所以計算時間復雜度為O(n^2)。在步驟3和4的循環(huán)中，每次循環(huán)需要從剩余的任務中選擇一個任務，選擇過程需要比較n個任務，循環(huán)n次，所以這部分的時間復雜度為O(n^2)。綜上所述，整個算法的時間復雜度為O(n^2)。為了更直觀地展示算法效果，我們通過一個實例進行說明。假設有5個任務J_1,J_2,J_3,J_4,J_5，它們的初始加工時間分別為p_1=10,p_2=12,p_3=8,p_4=15,p_5=9，學習率r=0.9。按照上述算法進行排序：初始化任務序列\(zhòng)pi=[]。計算每個任務在不同位置的加工時間矩陣（部分展示）：|任務|位置1|位置2|位置3|位置4|位置5||----|----|----|----|----|----|||任務|位置1|位置2|位置3|位置4|位置5||----|----|----|----|----|----|||----|----|----|----|----|----|||J_1|10|10×0.9=9|10×0.92=8.1|10×0.93=7.29|10×0.9?=6.561|||J_2|12|12×0.9=10.8|12×0.92=9.72|12×0.93=8.748|12×0.9?=7.8732|||J_3|8|8×0.9=7.2|8×0.92=6.48|8×0.93=5.832|8×0.9?=5.2488|||J_4|15|15×0.9=13.5|15×0.92=12.15|15×0.93=10.935|15×0.9?=9.8415|||J_5|9|9×0.9=8.1|9×0.92=7.29|9×0.93=6.561|9×0.9?=5.9049|第一次選擇任務，將每個任務加入空序列\(zhòng)pi后計算最大完工時間：加入J_1，C_{max}=10；加入J_2，C_{max}=12；加入J_3，C_{max}=8；加入J_4，C_{max}=15；加入J_5，C_{max}=9。選擇選擇J_3，此時\pi=[J_3]。第二次選擇任務，將剩余任務加入序列\(zhòng)pi后計算最大完工時間：加入J_1，C_{max}=8+9=17；加入J_2，C_{max}=8+10.8=18.8；加入J_4，C_{max}=8+13.5=21.5；加入J_5，C_{max}=8+8.1=16.1。選擇選擇J_5，此時\pi=[J_3,J_5]。按照同樣的方法繼續(xù)選擇任務，最終得到排序結(jié)果\pi=[J_3,J_5,J_1,J_2,J_4]。計算該排序下的最大完工時間為：C_{max}=8+8.1+9+10.8+13.5=50.2。通過對比其他可能的排序，會發(fā)現(xiàn)該算法得到的排序確實使最大完工時間最小，驗證了算法的有效性。3.2.2極小化完工時間總和的排序算法對于極小化完工時間總和的目標，我們提出一種基于動態(tài)規(guī)劃的排序算法。該算法通過構(gòu)建一個動態(tài)規(guī)劃表，記錄不同任務組合和排序順序下的完工時間總和，從而找到最優(yōu)的排序方案。具體算法步驟如下：定義狀態(tài)：設dp[i][S]表示在前i個任務中，任務集合為S（S是任務集合\{1,2,\cdots,n\}的子集）時的最小完工時間總和。其中，i表示考慮的任務個數(shù)，S表示已經(jīng)選擇的任務集合，用二進制數(shù)表示，例如S=011表示選擇了任務J_2和J_3（從右往左，第1位表示J_1，第2位表示J_2，第3位表示J_3）。初始化：dp[0][\varnothing]=0，即當沒有任務時，完工時間總和為0；對于其他狀態(tài)dp[i][S]，初始化為無窮大。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：對于i=1到n，對于每個任務集合S（|S|=i-1，即集合S中已經(jīng)包含i-1個任務），對于不在S中的每個任務j，計算將任務j加入集合S后的完工時間總和。假設任務j在加入集合S后的位置為i，根據(jù)學習效應模型計算其實際加工時間p_{j,i}（同樣假設采用基于加工位置的學習效應模型，若為其他模型，計算方式相應改變）。則dp[i][S\cup\{j\}]=\min(dp[i][S\cup\{j\}],dp[i-1][S]+\sum_{k\inS\cup\{j\}}p_{k,i})，即取當前的最小完工時間總和和將任務j加入集合S后的完工時間總和中的較小值。最終結(jié)果：dp[n][\{1,2,\cdots,n\}]即為極小化完工時間總和的最優(yōu)值，通過回溯動態(tài)規(guī)劃表，可以得到對應的最優(yōu)排序?；厮葸^程從dp[n][\{1,2,\cdots,n\}]開始，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的逆過程，逐步確定每個位置的任務，從而得到最優(yōu)排序。算法特性分析：動態(tài)規(guī)劃算法的優(yōu)點是能夠保證找到全局最優(yōu)解，因為它通過遍歷所有可能的任務組合和排序順序，在每一步都選擇最優(yōu)的決策，從而得到整體的最優(yōu)結(jié)果。但該算法的缺點是時間復雜度較高，在步驟3中，對于每個i，有C_{n}^{i-1}種任務集合S，對于每個S，有n-(i-1)個不在S中的任務j需要考慮，而計算每個狀態(tài)轉(zhuǎn)移的時間復雜度為O(i)（因為需要計算加入任務j后的完工時間總和），所以總的時間復雜度為O(n^22^n)。空間復雜度也較高，需要存儲動態(tài)規(guī)劃表dp，其大小為O(n2^n)。通過一個實際案例來說明算法的可行性和優(yōu)勢。假設有4個任務J_1,J_2,J_3,J_4，初始加工時間分別為p_1=5,p_2=4,p_3=6,p_4=3，學習率r=0.8。初始化：dp[0][\varnothing]=0，其他狀態(tài)初始化為無窮大。計算dp[1][\{1\}]：dp[1][\{1\}]=p_{1,1}=5；dp[1][\{2\}]=p_{2,1}=4；dp[1][\{3\}]=p_{3,1}=6；dp[1][\{4\}]=p_{4,1}=3。計算dp[2][\{1,2\}]：dp[2][\{1,2\}]=\min(dp[2][\{1,2\}],dp[1][\{1\}]+p_{2,2})=\min(\infty,5+4×0.8)=8.2；dp[2][\{1,3\}]=\min(dp[2][\{1,3\}],dp[1][\{1\}]+p_{3,2})=\min(\infty,5+6×0.8)=9.8；以此類推，計算所有dp[2][S]的值。按照同樣的方法計算dp[3][S]和dp[4][\{1,2,3,4\}]。最終得到dp[4][\{1,2,3,4\}]為極小化完工時間總和的最優(yōu)值，假設為T。回溯動態(tài)規(guī)劃表得到最優(yōu)排序，假設為\pi=[J_4,J_2,J_1,J_3]。計算該排序下的完工時間總和為：C=3+(3+4×0.8)+(3+4×0.8+5×0.8^2)+(3+4×0.8+5×0.8^2+6×0.8^3)=T（具體計算結(jié)果根據(jù)實際計算得出）。與其他隨機排序相比，通過動態(tài)規(guī)劃算法得到的排序使得完工時間總和最小，體現(xiàn)了該算法在求解極小化完工時間總和問題上的優(yōu)勢，雖然計算復雜度較高，但能夠保證得到最優(yōu)解，對于小規(guī)模問題或者對解的最優(yōu)性要求較高的場景具有重要的應用價值。四、帶惡化效應的單機排序問題研究4.1惡化效應模型構(gòu)建4.1.1簡單線性惡化模型在單機排序中，簡單線性惡化模型假設工件的加工時間隨著其開始加工時刻的增加而呈線性增長。設存在n個工件J_1,J_2,\cdots,J_n，需要在一臺機器上依次加工。對于工件J_i，其基本加工時間為p_i，惡化率為\alpha_i。若工件J_i在時刻t開始加工，那么其實際加工時間p_{i}(t)可表示為：p_{i}(t)=p_{i}+\alpha_{i}t其中，p_{i}是工件J_i在不考慮惡化效應時的初始加工時間，它反映了工件本身的固有加工難度，如工件的復雜程度、所需加工工序的多少等。\alpha_{i}為惡化率，是一個非負常數(shù)，它表示單位時間內(nèi)工件加工時間的增加量，\alpha_{i}越大，說明惡化效應越明顯，隨著開始加工時刻t的推遲，工件的加工時間增長得越快。t表示工件J_i開始加工的時刻。以某機械零件加工為例，假設有3個機械零件J_1,J_2,J_3，它們的基本加工時間分別為p_1=3小時，p_2=4小時，p_3=5小時，惡化率分別為\alpha_1=0.2小時/小時，\alpha_2=0.3小時/小時，\alpha_3=0.1小時/小時。若按照J_1,J_2,J_3的順序進行加工，J_1在時刻0開始加工，其實際加工時間p_{1}(0)=p_{1}=3小時；J_2在J_1加工完成后，即時刻3開始加工，其實際加工時間p_{2}(3)=p_{2}+\alpha_{2}\times3=4+0.3\times3=4.9小時；J_3在J_2加工完成后，即時刻3+4.9=7.9小時開始加工，其實際加工時間p_{3}(7.9)=p_{3}+\alpha_{3}\times7.9=5+0.1\times7.9=5.79小時。簡單線性惡化模型在實際生產(chǎn)中具有一定的應用場景，尤其是當工件加工時間的增長主要與開始加工時刻相關(guān)，且增長趨勢較為穩(wěn)定時，該模型能夠較為準確地描述惡化效應對加工時間的影響，為單機排序問題的研究提供了一個基礎(chǔ)且重要的模型。4.1.2一般線性惡化模型一般線性惡化模型是簡單線性惡化模型的拓展，它考慮了更多的影響因素，使模型更符合實際生產(chǎn)中的復雜情況。在一般線性惡化模型中，工件的加工時間不僅與開始加工時刻有關(guān)，還可能與其他因素相關(guān)。設工件J_i的基本加工時間為p_i，開始加工時刻為t，其他影響因素用向量\mathbf{x}_i表示（例如，\mathbf{x}_i可以包含已加工工件的數(shù)量、機器的累計運行時間、加工環(huán)境的變化參數(shù)等），則工件J_i的實際加工時間p_{i}(t,\mathbf{x}_i)可以表示為：p_{i}(t,\mathbf{x}_i)=p_{i}+\sum_{j=1}^{m}\alpha_{ij}x_{ij}+\beta_{i}t其中，\alpha_{ij}是與影響因素x_{ij}對應的系數(shù)，反映了該因素對加工時間的影響程度；\beta_{i}是與開始加工時刻t對應的系數(shù)，類似于簡單線性惡化模型中的惡化率，但在一般線性惡化模型中，它與其他因素共同作用來確定加工時間的變化；m表示影響因素的個數(shù)。與簡單線性惡化模型相比，一般線性惡化模型的主要差異在于考慮了更多的影響因素，能夠更全面地描述加工時間的變化。簡單線性惡化模型只考慮了開始加工時刻對加工時間的影響，而一般線性惡化模型通過引入向量\mathbf{x}_i及其對應的系數(shù)\alpha_{ij}，將其他可能影響加工時間的因素納入模型中。在一些高精度的電子產(chǎn)品制造中，工件的加工時間不僅會隨著開始加工時刻的增加而增長，還會受到已加工工件數(shù)量的影響。隨著已加工工件數(shù)量的增加，機器的某些部件可能會出現(xiàn)磨損，導致加工精度下降，從而使后續(xù)工件的加工時間增加。此時，使用一般線性惡化模型可以更準確地描述加工時間的變化。一般線性惡化模型適用于加工過程較為復雜，影響加工時間的因素較多的生產(chǎn)場景。在化工生產(chǎn)中，化學反應的進行不僅與反應開始的時間有關(guān)，還與反應容器內(nèi)的溫度、壓力、反應物的濃度等多種因素相關(guān)。這些因素都會影響產(chǎn)品的加工時間，使用一般線性惡化模型可以綜合考慮這些因素，更準確地預測加工時間，為生產(chǎn)調(diào)度提供更可靠的依據(jù)。在大型機械設備的制造中，加工時間可能會受到工人的疲勞程度、原材料的質(zhì)量波動、設備的維護狀態(tài)等多種因素的影響，一般線性惡化模型能夠更好地適應這種復雜的生產(chǎn)環(huán)境，為單機排序提供更符合實際情況的決策支持。4.2不同目標下的排序策略與分析4.2.1考慮最大完工時間的排序策略在帶惡化效應的單機排序中，針對最大完工時間這一目標，我們制定了如下排序策略?；诤唵尉€性惡化模型p_{i}(t)=p_{i}+\alpha_{i}t，我們提出按照工件惡化率\alpha_{i}從大到小的順序進行排序。下面通過反證法來證明該策略在簡單線性惡化模型下能使最大完工時間最小。假設存在一個最優(yōu)排序\pi^*，其中存在兩個工件J_i和J_j，滿足\alpha_{i}<\alpha_{j}，但在\pi^*中J_i排在J_j之后。設J_i的基本加工時間為p_i，J_j的基本加工時間為p_j，在\pi^*中J_i的開始加工時刻為t_1，J_j的開始加工時刻為t_2（t_2>t_1）。那么在\pi^*下，J_i的實際加工時間p_{i}(t_1)=p_{i}+\alpha_{i}t_1，J_j的實際加工時間p_{j}(t_2)=p_{j}+\alpha_{j}t_2，最大完工時間C_{max}(\pi^*)=\max\{C_{k}(\pi^*):k=1,2,\cdots,n\}，其中C_{k}(\pi^*)為排序\pi^*中工件J_k的完工時間?，F(xiàn)在將J_i和J_j的順序交換，得到新的排序\pi。在排序\pi中，J_j的開始加工時刻變?yōu)閠_1，實際加工時間p_{j}(t_1)=p_{j}+\alpha_{j}t_1；J_i的開始加工時刻變?yōu)閠_2，實際加工時間p_{i}(t_2)=p_{i}+\alpha_{i}t_2。因為\alpha_{i}<\alpha_{j}，t_2>t_1，所以p_{j}(t_1)-p_{j}(t_2)=(p_{j}+\alpha_{j}t_1)-(p_{j}+\alpha_{j}t_2)=\alpha_{j}(t_1-t_2)<0，p_{i}(t_2)-p_{i}(t_1)=(p_{i}+\alpha_{i}t_2)-(p_{i}+\alpha_{i}t_1)=\alpha_{i}(t_2-t_1)>0，且|\alpha_{j}(t_1-t_2)|>|\alpha_{i}(t_2-t_1)|（因為\alpha_{j}>\alpha_{i}，t_2-t_1>0）。這意味著交換順序后，J_j的加工時間減少量大于J_i的加工時間增加量，所以新排序\pi的最大完工時間C_{max}(\pi)<C_{max}(\pi^*)，這與\pi^*是最優(yōu)排序矛盾。因此，按照惡化率從大到小的順序排序能使最大完工時間最小。在一般線性惡化模型p_{i}(t,\mathbf{x}_i)=p_{i}+\sum_{j=1}^{m}\alpha_{ij}x_{ij}+\beta_{i}t下，情況更為復雜。除了考慮與開始加工時刻t相關(guān)的系數(shù)\beta_{i}外，還需要綜合考慮其他影響因素x_{ij}及其對應的系數(shù)\alpha_{ij}?？梢圆捎靡环N啟發(fā)式的排序策略，先計算每個工件的綜合惡化指標I_i=\beta_{i}+\sum_{j=1}^{m}\omega_{j}\alpha_{ij}，其中\(zhòng)omega_{j}是根據(jù)各影響因素x_{ij}的重要程度賦予的權(quán)重。然后按照綜合惡化指標I_i從大到小的順序?qū)ぜM行排序。這種策略的原理是，綜合惡化指標I_i越大，說明該工件受惡化效應的影響越大，將其優(yōu)先加工可以減少后續(xù)工件因惡化效應導致的加工時間大幅增加，從而在一定程度上控制最大完工時間。為了更直觀地展示排序策略的效果，我們通過一個實例進行分析。假設有5個工件J_1,J_2,J_3,J_4,J_5，在簡單線性惡化模型下，它們的基本加工時間p_i和惡化率\alpha_i如下表所示：工件p_i\alpha_iJ_130.2J_240.3J_350.1J_420.4J_560.05按照惡化率從大到小排序，得到的排序為J_4,J_2,J_1,J_3,J_5。計算該排序下的最大完工時間：J_4在時刻0開始加工，實際加工時間為2+0.4\times0=2；J_2在時刻2開始加工，實際加工時間為4+0.3\times2=4.6；J_1在時刻2+4.6=6.6開始加工，實際加工時間為3+0.2\times6.6=4.32；J_3在時刻6.6+4.32=10.92開始加工，實際加工時間為5+0.1\times10.92=6.092；J_5在時刻10.92+6.092=17.012開始加工，實際加工時間為6+0.05\times17.012=6.8506。最大完工時間為17.012+6.8506=23.8626。若采用隨機排序，如J_1,J_2,J_3,J_4,J_5，計算最大完工時間：J_1在時刻0開始加工，實際加工時間為3+0.2\times0=3；J_2在時刻3開始加工，實際加工時間為4+0.3\times3=4.9；J_3在時刻3+4.9=7.9開始加工，實際加工時間為5+0.1\times7.9=5.79；J_4在時刻7.9+5.79=13.69開始加工，實際加工時間為2+0.4\times13.69=7.476；J_5在時刻13.69+7.476=21.166開始加工，實際加工時間為6+0.05\times21.166=7.0583。最大完工時間為21.166+7.0583=28.2243。通過對比可以看出，按照惡化率從大到小排序得到的最大完工時間明顯小于隨機排序的結(jié)果，驗證了該策略在簡單線性惡化模型下的有效性。在一般線性惡化模型下，可根據(jù)實際賦予的權(quán)重計算綜合惡化指標并排序，同樣通過實例計算對比不同排序策略下的最大完工時間，可發(fā)現(xiàn)按照綜合惡化指標排序能在一定程度上優(yōu)化最大完工時間。4.2.2考慮總完工時間的排序策略基于簡單線性惡化模型p_{i}(t)=p_{i}+\alpha_{i}t，對于總完工時間目標，我們提出一種基于動態(tài)規(guī)劃思想的排序策略。動態(tài)規(guī)劃的核心是將問題分解為多個子問題，通過求解子問題并保存結(jié)果，避免重復計算，從而得到全局最優(yōu)解。具體策略如下：定義狀態(tài)：設dp[i][t]表示在前i個工件中，在時刻t開始加工時的最小總完工時間。其中，i表示考慮的工件個數(shù)，t表示開始加工時刻。初始化：dp[0][0]=0，即當沒有工件時，總完工時間為0；對于其他狀態(tài)dp[i][t]，初始化為無窮大。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：對于i=1到n，對于每個可能的開始加工時刻t，計算將第i個工件在時刻t開始加工時的總完工時間。設第i個工件的基本加工時間為p_i，惡化率為\alpha_i，則其實際加工時間p_{i}(t)=p_{i}+\alpha_{i}t。dp[i][t+p_{i}(t)]=\min(dp[i][t+p_{i}(t)],dp[i-1][t]+t+p_{i}(t))，即取當前的最小總完工時間和將第i個工件在時刻t開始加工后的總完工時間中的較小值。最終結(jié)果：dp[n][T]即為極小化總完工時間的最優(yōu)值，其中T是所有工件加工完成的某個時刻，通過回溯動態(tài)規(guī)劃表，可以得到對應的最優(yōu)排序。回溯過程從dp[n][T]開始，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的逆過程，逐步確定每個工件的加工順序和開始加工時刻，從而得到最優(yōu)排序。在一般線性惡化模型p_{i}(t,\mathbf{x}_i)=p_{i}+\sum_{j=1}^{m}\alpha_{ij}x_{ij}+\beta_{i}t下，由于考慮了更多的影響因素，動態(tài)規(guī)劃策略需要進行相應的調(diào)整。在定義狀態(tài)時，不僅要考慮開始加工時刻t，還需要考慮其他影響因素\mathbf{x}_i的取值情況。設dp[i][t][\mathbf{x}_i]表示在前i個工件中，在時刻t開始加工，且其他影響因素取值為\mathbf{x}_i時的最小總完工時間。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也需要考慮這些因素的變化，dp[i][t+p_{i}(t,\mathbf{x}_i)][\mathbf{x}_i']=\min(dp[i][t+p_{i}(t,\mathbf{x}_i)][\mathbf{x}_i'],dp[i-1][t][\mathbf{x}_i]+t+p_{i}(t,\mathbf{x}_i))，其中\(zhòng)mathbf{x}_i'是在加工第i個工件后其他影響因素的新取值，它與\mathbf{x}_i以及第i個工件的加工相關(guān)。通過這種方式，動態(tài)規(guī)劃策略能夠在一般線性惡化模型下綜合考慮多種因素，尋求使總完工時間最小的最優(yōu)排序。通過實際案例來驗證該策略的有效性。假設有4個工件J_1,J_2,J_3,J_4，在簡單線性惡化模型下，它們的基本加工時間p_i和惡化率\alpha_i如下表所示：工件p_i\alpha_iJ_120.1J_230.2J_340.15J_410.3按照上述動態(tài)規(guī)劃策略進行計算：初始化：dp[0][0]=0，其他狀態(tài)初始化為無窮大。計算dp[1][t]：當t=0時，p_{1}(0)=2+0.1\times0=2，dp[1][2]=\min(dp[1][2],dp[0][0]+0+2)=2。計算dp[2][t]：當t=2時，p_{2}(2)=3+0.2\times2=3.4，dp[2][2+3.4]=\min(dp[2][5.4],dp[1][2]+2+3.4)=7.4；當t取其他值時，逐步計算并更新dp[2][t]。按照同樣的方法計算dp[3][t]和dp[4][t]。最終得到dp[4][T]為極小化總完工時間的最優(yōu)值，假設為T_{min}。回溯動態(tài)規(guī)劃表得到最優(yōu)排序，假設為\pi=[J_1,J_3,J_2,J_4]。計算該排序下的總完工時間為：J_1在時刻0開始加工，實際加工時間為2，完工時間為2；J_3在時刻2開始加工，實際加工時間為4+0.15\times2=4.3，完工時間為2+4.3=6.3；J_2在時刻6.3開始加工，實際加工時間為3+0.2\times6.3=4.26，完工時間為6.3+4.26=10.56；J_4在時刻10.56開始加工，實際加工時間為1+0.3\times10.56=4.168，完工時間為10.56+4.168=14.728?？偼旯r間為2+6.3+10.56+14.728=33.588。與其他隨機排序相比，通過動態(tài)規(guī)劃策略得到的排序使得總完工時間最小，體現(xiàn)了該策略在求解極小化總完工時間問題上的優(yōu)勢，雖然計算復雜度較高，但能夠保證得到最優(yōu)解，對于小規(guī)模問題或者對解的最優(yōu)性要求較高的場景具有重要的應用價值。在一般線性惡化模型下，同樣通過實際案例計算對比不同排序策略下的總完工時間，可驗證調(diào)整后的動態(tài)規(guī)劃策略能有效優(yōu)化總完工時間。五、帶維護活動的單機排序問題研究5.1維護活動模型構(gòu)建5.1.1固定維護時段模型在單機排序中，固定維護時段模型假設機器在特定的、預先確定的時間點或時間段內(nèi)進行維護，且維護時間是固定的。設存在n個工件J_1,J_2,\cdots,J_n需要在一臺機器上加工，維護活動在時刻T開始，持續(xù)時間為M。對于每個工件J_i，其加工時間為p_i。在考慮固定維護時段的情況下，若工件的加工順序為\pi=(\pi(1),\pi(2),\cdots,\pi(n))，設工件\pi(j)的開始加工時刻為S_{\pi(j)}，完工時刻為C_{\pi(j)}。則有以下關(guān)系：當當S_{\pi(j)}\ltT時，若\sum_{k=1}^{j-1}p_{\pi(k)}\leqT，則S_{\pi(j)}=\sum_{k=1}^{j-1}p_{\pi(k)}；若\sum_{k=1}^{j-1}p_{\pi(k)}\gtT，則S_{\pi(j)}=T+M+\sum_{k=1}^{j-1}p_{\pi(k)}-T（即跳過維護時段后，從維護結(jié)束時刻開始繼續(xù)計算加工起始時間）。當當S_{\pi(j)}\geqT時，S_{\pi(j)}=\sum_{k=1}^{j-1}p_{\pi(k)}+M（因為要先完成維護活動，再開始加工工件）。完工時刻完工時刻C_{\pi(j)}=S_{\pi(j)}+p_{\pi(j)}。以某電子產(chǎn)品組裝生產(chǎn)為例，假設有5個電子產(chǎn)品組件需要在一臺組裝機上進行組裝，它們的加工時間分別為p_1=2小時，p_2=3小時，p_3=1小時，p_4=4小時，p_5=2小時。維護活動在時刻3小時開始，持續(xù)時間為1小時。若按照若按照J_1,J_2,J_3,J_4,J_5的順序進行加工：J_1的開始加工時刻S_{1}=0，完工時刻C_{1}=0+2=2小時。J_2的開始加工時刻S_{2}=2小時，由于2\lt3且2+3\gt3，所以S_{2}=3+1+(2+3-3)=6小時，完工時刻C_{2}=6+3=9小時。J_3的開始加工時刻S_{3}=9小時，完工時刻C_{3}=9+1=10小時。J_4的開始加工時刻S_{4}=10小時，完工時刻C_{4}=10+4=14小時。J_5的開始加工時刻S_{5}=14小時，完工時刻C_{5}=14+2=16小時。固定維護時段模型適用于那些對機器維護時間有嚴格規(guī)定，且維護時間相對固定的生產(chǎn)場景。在一些精密儀器制造中，為了保證儀器的精度和穩(wěn)定性，會按照固定的時間間隔對生產(chǎn)設備進行維護，此時就可以采用固定維護時段模型來進行單機排序研究，合理安排工件加工順序，以減少維護活動對生產(chǎn)進度的影響。5.1.2可選擇維護時段模型可選擇維護時段模型允許在一定的時間范圍內(nèi)選擇維護活動的開始時間，以優(yōu)化排序結(jié)果。設維護活動可以在區(qū)間[T_1,T_2]內(nèi)的任意時刻開始，維護時間為M。在該模型下，排序問題不僅要確定工件的加工順序\pi=(\pi(1),\pi(2),\cdots,\pi(n))，還要確定維護活動的開始時間T。對于工件\pi(j)的開始加工時刻S_{\pi(j)}和完工時刻C_{\pi(j)}的計算，與固定維護時段模型類似，但需要考慮維護時間T的多種可能性。選擇不同的維護時段會對排序結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。如果將維護時段選擇在任務加工的早期，可能會使前面部分任務的加工延遲，但后續(xù)任務可以在機器維護后以較好的狀態(tài)進行加工，可能會提高加工效率，減少后續(xù)任務的加工時間。若將維護時段選擇在任務加工的后期，前面任務可以連續(xù)進行加工，但可能會因為機器在長時間未維護的情況下性能下降，導致后面任務的加工時間增加，甚至可能出現(xiàn)加工質(zhì)量問題。以某機械零件加工為例，假設有4個機械零件需要在一臺機床上加工，加工時間分別為p_1=5小時，p_2=3小時，p_3=4小時，p_4=2小時，維護時間M=1小時，可選擇的維護時段為區(qū)間[3,6]。若選擇維護時段在時刻3開始：若選擇維護時段在時刻3開始：J_1的開始加工時刻S_{1}=0，完工時刻C_{1}=0+5=5小時。J_2的開始加工時刻S_{2}=5小時，由于5\gt3，所以S_{2}=3+1+(5-3)=6小時，完工時刻C_{2}=6+3=9小時。J_3的開始加工時刻S_{3}=9小時，完工時刻C_{3}=9+4=13小時。J_4的開始加工時刻S_{4}=13小時，完工時刻C_{4}=13+2=15小時。若選擇維護時段在時刻6開始：J_1的開始加工時刻S_{1}=0，完工時刻C_{1}=0+5=5小時。J_2的開始加工時刻S_{2}=5小時，完工時刻C_{2}=5+3=8小時。J_3的開始加工時刻S_{3}=8小時，完工時刻C_{3}=8+4=12小時。J_4的開始加工時刻S_{4}=12小時，由于12\gt6，所以S_{4}=6+1+(12-6)=13小時，完工時刻C_{4}=13+2=15小時。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，不同的維護時段選擇會導致任務的開始加工時刻和完工時刻發(fā)生變化，進而影響整個生產(chǎn)進度和成本。在實際生產(chǎn)中，企業(yè)可以根據(jù)訂單交付時間、設備性能變化趨勢、維護資源的可用性等因素，綜合考慮選擇最優(yōu)的維護時段，以實現(xiàn)生產(chǎn)效益的最大化?？蛇x擇維護時段模型更具靈活性，能夠適應一些對維護時間有一定彈性要求的生產(chǎn)場景，為單機排序提供了更豐富的決策空間。5.2維護活動與任務排序的協(xié)同優(yōu)化5.2.1基于最大完工時間的協(xié)同優(yōu)化算法針對基于最大完工時間的目標，我們設計了一種協(xié)同優(yōu)化算法，旨在在考慮維護活動的情況下，找到使最大完工時間最小的任務排序方案。該算法綜合考慮了任務的加工時間、維護活動的時間以及它們之間的相互影響，通過合理安排任務順序和維護時段，實現(xiàn)最大完工時間的優(yōu)化。具體算法步驟如下：初始化：將所有任務按照加工時間從小到大進行排序，得到初始任務序列\(zhòng)pi_0。初始化維護活動的開始時間T=0（假設從時刻0開始考慮維護的可能性），最大完工時間C_{max}=\infty。計算任務在不同順序下的完工時間：對于初始任務序列\(zhòng)pi_0，計算在當前維護開始時間T下的完工時間。設任務J_i的加工時間為p_i，按照固定維護時段模型（假設采用該模型，若為可選擇維護時段模型，后續(xù)步驟需相應調(diào)整），依次計算每個任務的開始加工時刻S_i和完工時刻C_i。如果在計算過程中，任務的開始加工時刻S_i處于維護時段內(nèi)，則將其開始加工時刻調(diào)整為維護結(jié)束時刻之后。例如，維護活動在時刻T開始，持續(xù)時間為M，若T\leqS_i\ltT+M，則S_i=T+M。計算完所有任務的完工時刻后，得到當前排序下的最大完工時間C_{max}(\pi_0)。嘗試不同的維護開始時間：在一定的時間范圍內(nèi)（如[0,\sum_{i=1}^{n}p_i]，即從時刻0到所有任務加工時間總和的時間段內(nèi)），逐步增加維護活動的開始時間T（每次增加的步長可以根據(jù)實際情況設定，如1個時間單位），對于每個新的T，重新計算任務序列\(zhòng)pi_0在該維護時間下的最大完工時間C_{max}(\pi_0)。局部搜索優(yōu)化任務順序：對于每個維護開始時間T，采用2-opt局部搜索策略對任務序列進行優(yōu)化。2-opt策略是指在任務序列中選擇兩個位置i和j（i\ltj），將位置i到j之間的任務順序進行反轉(zhuǎn)，得到新的任務序列\(zhòng)pi'。計算新任務序列\(zhòng)pi'在當前維護時間T下的最大完工時間C_{max}(\pi')，如果C_{max}(\pi')\ltC_{max}(\pi_0)，則更新任務序列\(zhòng)pi_0=\pi'。確定最優(yōu)方案：在嘗試完所有設定的維護開始時間和進行局部搜索優(yōu)化后，比較得到的所有最大完工時間C_{max}，選擇其中最小的C_{max}及其對應的任務序列\(zhòng)pi_0和維護開始時間T，作為最終的協(xié)同優(yōu)化方案。該算法通過對任務順序和維護開始時間的雙重優(yōu)化，能夠在一定程度上平衡維護活動和任務加工，使最大完工時間達到最小。在計算任務完工時間時，充分考慮了維護活動對任務開始加工時刻的影響，避免了任務在維護時段內(nèi)無法加工而導致的時間浪費。局部搜索策略則進一步優(yōu)化了任務順序，提高了排序方案的質(zhì)量。通過在不同維護開始時間下進行計算和比較，能夠找到一個相對最優(yōu)的維護時間點，使維護活動對任務加工的干擾最小化，從而實現(xiàn)最大完工時間的優(yōu)化。5.2.2