第45頁（共45頁）2026年高考數(shù)學復習難題速遞之一、二次函數(shù)及方程、不等式（2025年11月）一．選擇題（共8小題）1．對于區(qū)間（m，n），我們將n﹣m的值稱為該區(qū)間的長度．若關(guān)于x的不等式x2+ax+a＜0有解，且解集的區(qū)間長度不超過5，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0]∪[4，+∞） B．[﹣1，0）∪（4，5] C．[﹣1，0]∪[4，5] D．[﹣1，5]2．已知集合A＝{x|ax2+bx+c＞0}，B＝{x|bx2+cx+a＞0}，C＝{x|cx2+ax+b＞0}，其中a，b，c為實數(shù)，現(xiàn)有兩個結(jié)論：①若A∩B∩C＝（p，+∞），則p＝0；②存在實數(shù)q，使得A∩B∩C＝（﹣∞，q），則下列判斷中正確的是（）A．①和②都正確 B．①和②都錯誤 C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確3．已知x1，x2是函數(shù)f（x）＝（x﹣2）（3x﹣2﹣1）﹣3（3x﹣2+1）的兩個零點，則3xA．1 B．3 C．9 D．814．不等式x2+ax﹣2＜0的解集為（﹣1，2），則實數(shù)a的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣35．已知M＝{（x，y）|y＝tx2+（1﹣t）x，1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐標系中的點集．設(shè)d是M中兩點間距離的最大值，S是M中所有點構(gòu)成的圖形的面積，則（）A．d＝3，S＜1 B．d＝3，S＞1 C．d=10，S＜1 D．d=106．已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝x﹣1，若?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，則m的取值范圍是（）A．（﹣4，0） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣2，0） D．（﹣3，﹣2）7．已知0＜b＜a+1，集合A＝{x|（a2﹣1）x2﹣2abx+b2＞0}，若集合A中有且僅有兩個整數(shù)，則a，b取值可以是下面的（）A．a(chǎn)＝0.51，b＝0.3 B．a(chǎn)＝0.8，b＝0.2 C．a(chǎn)＝1.24，b＝1 D．a(chǎn)＝0.41，b＝1.18．已知二次函數(shù)y＝（ax﹣1）（x﹣a），甲同學：y＞0的解集為{x|x＜a或x＞1a}；乙同學：y＜0的解集為{x|x＜a或x＞1a}，丙同學：函數(shù)y＝（ax﹣A．a(chǎn)＜﹣1 B．﹣1≤a＜0 C．0＜a≤1 D．a(chǎn)＞1二．多選題（共4小題）（多選）9．已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為{x|x≤﹣2或x≥1}，則（）A．b＞0且c＜0 B．4a+2b+c＝0 C．不等式bx+c＞0的解集為{x|x＞2} D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集為{（多選）10．已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集為{x|﹣3≤x≤4}，則（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)+b+c＜0 C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集為{xD．83b（多選）11．已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為M，則下列說法錯誤的是（）A．M＝?，則a＜0，Δ＜0 B．若M＝（﹣1，3），則關(guān)于x的不等式﹣cx2﹣bx﹣b＞cx+4a的解集為(-∞，-C．若M＝{x|x≠x0，x0為常數(shù)}，且a＜b，則a+4cbD．若a＜0，ax2+bx+c＜0的解集M一定不為?（多選）12．下列命題中，正確的是（）A．若a＜b，則a2＜b2 B．若b＞a＞0，m＞0，則baC．若實數(shù)x，y滿足2x+9﹣y＜3﹣x+4y，則x﹣2y＜0 D．關(guān)于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一個根比2大，另一個根比2小，則實數(shù)a的取值范圍是（-12，三．填空題（共4小題）13．函數(shù)y＝[x]在數(shù)學上稱為“高斯函數(shù)”，也叫“取整函數(shù)”，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3，[3]＝3．設(shè)不等式ax2+bx+2＜[x]（﹣1≤x＜3）的解集為A，若A＝（p，q）∪[2，r），其中p，q，r∈R，且0＜p＜1＜q＜2，則2a+3b的取值范圍是．14．關(guān)于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有2個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是．15．若關(guān)于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1（a＞0）的解集為{x|﹣1≤x≤2}，則3a+2b+c的取值范圍是．16．已知二次函數(shù)y＝x2+（a﹣7）x+6，反比例函數(shù)y=ax．若這兩個函數(shù)的圖象的所有交點橫、縱坐標都是整數(shù)，則符合條件的正整數(shù)a有四．解答題（共4小題）17．已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣（2a+4）x+8（a≠0）．（Ⅰ）若不等式f（x）＜0的解集為（2，4），求實數(shù)a的值；（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為﹣1，求實數(shù)a的值．18．已知關(guān)于x的方程Ω：ax2﹣（2a+8）x+16＝0（a為常數(shù)且a＞0）．（1）證明：Ω必有實數(shù)根．（2）設(shè)x1，x2是Ω的兩個根，證明2（x1+x2）﹣x1x2為定值．（3）求關(guān)于x的不等式ax2﹣（2a+8）x+16≤0的解集．19．設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）．（Ⅰ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集為[0，b]，求實數(shù)a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（x）≥﹣2對于任意實數(shù)x都恒成立，求a的取值范圍；（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式：f（x）＜a﹣1．20．已知函數(shù)f（x）＝mx2+（m﹣3）x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側(cè)．（1）求實數(shù)m的取值范圍：（2）令t＝﹣m+2，求[1（其中[t]表示不超過t的最大整數(shù)，例如：[1]＝1，[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3）（3）對（2）中的t，求函數(shù)g(

2026年高考數(shù)學復習難題速遞之一、二次函數(shù)及方程、不等式（2025年11月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BCDACADC二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACACDACBCD一．選擇題（共8小題）1．對于區(qū)間（m，n），我們將n﹣m的值稱為該區(qū)間的長度．若關(guān)于x的不等式x2+ax+a＜0有解，且解集的區(qū)間長度不超過5，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0]∪[4，+∞） B．[﹣1，0）∪（4，5] C．[﹣1，0]∪[4，5] D．[﹣1，5]【考點】解一元二次不等式．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解；新定義類．【答案】B【分析】由于關(guān)于x的不等式x2+ax+a＜0有解，可得Δ＝a2﹣4a＞0，解得a＞4或a＜0，由x2+ax+a＝0解得x1=-a-Δ2，x2=-a+Δ2，可得不等式解集為（x1，x2），已知解集的區(qū)間長度不超過5個【解答】解：∵關(guān)于x的不等式x2+ax+a＜0有解，可得Δ＝a2﹣4a＞0，解得a＞4或a＜0，由x2+ax+a＝0解得x1=-a-Δ2∵x1＜x2，∴不等式解集為（x1，x2），∵解集的區(qū)間長度不超過5個單位長x2﹣x1≤5解得﹣1≤a≤5，∵a＞4或a＜0，∴﹣1≤a＜0或4＜a≤5，則實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，0）∪（4，5]．故選：B．【點評】本題考查了一元二次不等式的解法及其新定義問題，是中檔題．2．已知集合A＝{x|ax2+bx+c＞0}，B＝{x|bx2+cx+a＞0}，C＝{x|cx2+ax+b＞0}，其中a，b，c為實數(shù)，現(xiàn)有兩個結(jié)論：①若A∩B∩C＝（p，+∞），則p＝0；②存在實數(shù)q，使得A∩B∩C＝（﹣∞，q），則下列判斷中正確的是（）A．①和②都正確 B．①和②都錯誤 C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確【考點】解一元二次不等式；求集合的交集．【專題】計算題；整體思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】C【分析】先利用反證法證得a≥0，b≥0，c≥0，再利用反證法證明a，b，c至少有一個為零，然后分類討論a，b，c中的兩個為0和a，b，c中的1個為0，結(jié)合不等式的解法分析即可．【解答】解：①由A∩B∩C＝（p，+∞），即不等式組ax2+bx+先證明a，b，c都不小于零：不妨假設(shè)a＜0，考慮不等式ax2+bx+c＞0，因為不等式組有解集，故不等式ax2+bx+c＞0必定有解，設(shè)方程ax2+bx+c＝0的兩實數(shù)根為m，n（m＜n），則不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|m＜x＜n}，由A∩B∩C＝（p，+∞），即不等式組ax2+bx+c＞0bx與解集為（p，+∞）矛盾，故假設(shè)錯誤，a≥0，同理可知，b≥0，c≥0，再證明a，b，c至少有一個為零：不妨設(shè)a，b，c均為正數(shù)，則y＝ax2+bx+c，y＝bx2+cx+a，y＝cx2+ax+b的圖象均開口向上，不等式組的解集應該還有x＜q的部分，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤，所以a，b，c中至少有一個為零，顯然a，b，c不全為0，分類討論如下：若a，b，c中的兩個為0，不妨設(shè)a＝b＝0，c＞0，則不等式組為c＞0cx＞0cx2＞若a，b，c中的1個為0，不妨設(shè)a＝0，b，c＞0，則不等式組為bx+c＞0bx2+cx＞0cx2不等式bx2+cx＞0的解集為(-∞，-cb)∪(0，+∞)，不等式cx因為-cb＜0，故不等式組的解集為（0，+∞），此時p＝②假設(shè)存在實數(shù)q，使A∩B∩C＝（﹣∞，q），即不等式組ax2+先證明a，b，c都不小于零：不妨假設(shè)a＜0，考慮不等式ax2+bx+c＞0，因為不等式組有解集，故不等式ax2+bx+c＞0必定有解，設(shè)方程ax2+bx+c＝0的兩實數(shù)根為m，n（m＜n），則不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|m＜x＜n}，又不等式組ax2+bx+c＞0bx與解集為（﹣∞，q）矛盾，故假設(shè)錯誤，所以a≥0，同理可知，b≥0，c≥0，再證明a，b，c至少有一個為零：不妨設(shè)a，b，c均為正數(shù)，則y＝ax2+bx+c，y＝bx2+cx+a，y＝cx2+ax+b的圖象均開口向上，不等式組的解集應該還有x＞p的部分，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤，所以a，b，c中至少有一個為零，顯然a，b，c不全為0，分類討論如下：若a，b，c中的兩個為0，不妨設(shè)a＝b＝0，c＞0，則不等式組為c＞0cx＞0cx若a，b，c中的1個為0，不妨設(shè)a＝0，b，c＞0，則不等式組為bx+其中不等式bx+c＞0的解集為{x|x＞-cb不等式bx2+cx＞0的解集為(-∞，-cb)∪(0，+∞)，不等式cx因為-cb＜0，故不等式組的解集為（0，所以不存在實數(shù)q，使得A∩B∩C＝（﹣∞，q），②錯誤．故選：C．【點評】本題考查了反證法和不等式的求解，屬于難題．3．已知x1，x2是函數(shù)f（x）＝（x﹣2）（3x﹣2﹣1）﹣3（3x﹣2+1）的兩個零點，則3xA．1 B．3 C．9 D．81【考點】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；由函數(shù)零點所在區(qū)間求解函數(shù)或參數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為g(x)=x-【解答】解：當x≠2時，令（x﹣2）（3x﹣2﹣1）﹣3（3x﹣2+1）＝0，得x-令g(x)=則f（x）的零點轉(zhuǎn)化為g（x）與h（x）圖象的交點，h(4故h（x）的圖象關(guān)于點（2，0）對稱，g(4故g（x）的圖象也關(guān)于點（2，0）對稱，所以x1+x2＝4，則3x故選：D．【點評】本題考查函數(shù)對稱性的應用，以及指數(shù)冪的化簡求值，屬于中檔題．4．不等式x2+ax﹣2＜0的解集為（﹣1，2），則實數(shù)a的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【考點】一元二次不等式及其應用．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用；數(shù)學抽象．【答案】A【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：不等式x2+ax﹣2＜0的解集為（﹣1，2），則﹣1和2是方程x2+ax﹣2＝0的兩根，有﹣1+2＝﹣a，解得a＝﹣1．故選：A．【點評】本題主要考查了二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應用，屬于中檔題．5．已知M＝{（x，y）|y＝tx2+（1﹣t）x，1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐標系中的點集．設(shè)d是M中兩點間距離的最大值，S是M中所有點構(gòu)成的圖形的面積，則（）A．d＝3，S＜1 B．d＝3，S＞1 C．d=10，S＜1 D．d=10【考點】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】C【分析】先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域y≤【解答】解：對任意給定x∈[1，2]，則x2﹣x＝x（x﹣1）≥0，且t∈[0，1]，可知x≤x+t（x2﹣x）≤x+x2﹣x＝x2，即x≤y≤x2，所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域y≤如圖陰影部分所示，其中A（1，1）、B（2，2）、C（2，4），d是M中兩點間距離的最大值，則dmax=|ACS是M中所有點構(gòu)成的圖形的面積，則S＜故選：C．【點評】本題主要考查二元一次不等式的應用，屬于難題．6．已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝x﹣1，若?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，則m的取值范圍是（）A．（﹣4，0） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣2，0） D．（﹣3，﹣2）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】A【分析】由x＜1得g（x）＜0，將問題轉(zhuǎn)化為?x≥1，f（x）＜0恒成立求解，再按x＝1，x＞1分類探討即可得解．【解答】解：f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝x﹣1，若?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，當x＜1時，g（x）＜0，滿足f（x）＜0或g（x）＜0；而當x≥1時，g（x）≥0，由?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，得?x≥1，f（x）＜0恒成立，由f（1）＝m（1﹣2m）（4+m）＜0，即1-2m＜0m(4+m)＞0當x＞1時，f（x）＜0恒成立，由二次函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)f（x）的圖象開口向下，則m＜0，而f（x）＝0的2個根為x1＝2m，x2＝﹣m﹣3，有2m≤1-m-3≤1，解得-所以m的取值范圍是（﹣4，0）．故選：A．【點評】本題主要考查一元二次函數(shù)的性質(zhì)以及不等式的求解，屬于中檔題．7．已知0＜b＜a+1，集合A＝{x|（a2﹣1）x2﹣2abx+b2＞0}，若集合A中有且僅有兩個整數(shù)，則a，b取值可以是下面的（）A．a(chǎn)＝0.51，b＝0.3 B．a(chǎn)＝0.8，b＝0.2 C．a(chǎn)＝1.24，b＝1 D．a(chǎn)＝0.41，b＝1.1【考點】解一元二次不等式；元素與集合的屬于關(guān)系的應用．【專題】對應思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】D【分析】因式分解得到[（a+1）x﹣b][（a﹣1）x﹣b]＞0，結(jié)合0＜b＜a+1，分﹣1＜a＜1和a＞1兩種情況，結(jié)合不等式的解集得到不等式，求出a，b滿足的關(guān)系式，得到答案．【解答】解：由已知0＜b＜a+1，可得a＞﹣1，因為（a2﹣1）x2﹣2abx+b2＞0，整理得[（a+1）x﹣b][（a﹣1）x﹣b]＞0，若﹣1＜a＜1，此時a﹣1＜0，baA={x|ba要想A中有且僅有兩個整數(shù)，則-2解得2a+b≤2且a+b＞1，A選項，a+b＝0.51+0.3＝0.81＜1，不合要求，錯誤；B選項，a+b＝0.8+0.2＝1，不合要求，舍去，D選項，a+b＝0.41+1.1＝1.51＞1，2a+b＝0.82+1.1＝1.92≤2滿足要求，D正確；C選項，若a＞1，此時a﹣1＞0，0＜A={x|x＞故選：D．【點評】本題考查一元二次不等式的求解，對于系數(shù)含參問題，可以先對參數(shù)取值范圍分類討論，再求解，屬于中檔題．8．已知二次函數(shù)y＝（ax﹣1）（x﹣a），甲同學：y＞0的解集為{x|x＜a或x＞1a}；乙同學：y＜0的解集為{x|x＜a或x＞1a}，丙同學：函數(shù)y＝（ax﹣A．a(chǎn)＜﹣1 B．﹣1≤a＜0 C．0＜a≤1 D．a(chǎn)＞1【考點】解一元二次不等式；二次函數(shù)的圖象及其對稱性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】C【分析】先由三人各自的論述入手分別化簡求解a的范圍，再按范圍分類判斷即可得．【解答】解：由題意，a≠0，若甲正確，則a＞0且1a≥a，即a2≤1，則0＜a≤若乙正確，則a＜0且1a≤a，即a2≥1，則a≤﹣若丙正確，則二次函數(shù)y＝（ax﹣1）（x﹣a）＝ax2﹣（a2+1）x+a，對稱軸方程a2+12a＞0因為只有一個同學的論述為假命題，所以只能乙的論述錯誤，故0＜a≤1．故選：C．【點評】本題主要考查解一元二次不等式，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為{x|x≤﹣2或x≥1}，則（）A．b＞0且c＜0 B．4a+2b+c＝0 C．不等式bx+c＞0的解集為{x|x＞2} D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集為{【考點】由一元二次不等式的解求參數(shù)．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】AC【分析】利用一元二次不等式、二次函數(shù)、一元二次的關(guān)系求參數(shù)一一判定選項即可．【解答】解：由題意可知a＞所以b＞0且c＜0，4a+2b+c＝4a+2a﹣2a＝4a＞0，故A正確，B錯誤；不等式bx+c＞0?ax﹣2a＝a（x﹣2）＞0?x＞2，故C正確；不等式cx2﹣bx+a＜0?﹣2ax2﹣ax+a＝﹣a（2x﹣1）（x+1）＜0，即（2x﹣1）（x+1）＞0，所以x＞12或x＜﹣1故選：AC．【點評】本題考查二次不等式的解法，屬于中檔題．（多選）10．已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集為{x|﹣3≤x≤4}，則（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)+b+c＜0 C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集為{xD．83b【考點】由一元二次不等式的解求參數(shù)；解一元二次不等式．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】ACD【分析】由一元二次不等式和一元二次函數(shù)的關(guān)系分析A，由根與系數(shù)的關(guān)系分析B，由不等式的解法分析C，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析D，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，不等式ax2+bx+c≥0的解集為{x|﹣3≤x≤4}，對應二次函數(shù)y＝ax2+bx+c開口向下，則a＜0，故A正確；對于B，若﹣3和4是ax2+bx+c＝0的兩個根，則9a整理得b＝﹣a，c＝﹣12a，則有a+b+c＝a﹣b﹣12a＝﹣12a＞0，故B錯誤；對于C，不等式cx2﹣bx+a＜0為﹣12ax2+ax+a＜0，又由a＜0，則12x2﹣x﹣1＜0，解得-1∴不等式cx2﹣bx+a＜0的解集為{x|-對于D，83b+1+c2=81-3a-6a=81-3a+當且僅當1﹣3a＝2時，等號成立，即83b+1+c故選：ACD．【點評】本題考查一元二次不等式的解法，涉及一元二次不等式和一元二次函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．（多選）11．已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為M，則下列說法錯誤的是（）A．M＝?，則a＜0，Δ＜0 B．若M＝（﹣1，3），則關(guān)于x的不等式﹣cx2﹣bx﹣b＞cx+4a的解集為(-∞，-C．若M＝{x|x≠x0，x0為常數(shù)}，且a＜b，則a+4cbD．若a＜0，ax2+bx+c＜0的解集M一定不為?【考點】一元二次不等式及其應用．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】AC【分析】選項A中，由二次函數(shù)的性質(zhì)得到a＞0，Δ≤0，可判定A錯誤；選項B中，轉(zhuǎn)化為﹣1和3是方程的兩個實根，求得b＝﹣2a，c＝﹣3a，把不等式化簡得到a（x+2）（3x﹣1）＞0，求得的解集，可判定B正確；選項C中，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得c=b24a，化簡得到a+4cb-a=1+b2a2ba-1，令b【解答】解：由題意，關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為M，對于A中，若M＝?，即不等式ax2+bx+c＜0的解集為空集，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，則滿足a＞0，Δ＝b2﹣4ac≤0，所以A錯誤；對于B中，若M＝（﹣1，3），可得﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0兩個實根，且a＞0，可得-1+3=-ba-1×3=ca，解得b＝﹣則不等式﹣cx2﹣bx﹣b＞cx+4a，可化為3ax2+5ax﹣2a＞0，即a（x+2）（3x﹣1）＞0，解得x＜﹣2或x＞即不等式的解集為(-∞，-2)∪對于C中，若M＝{x|x≠x0，x0為常數(shù)}，可得x0是ax2+bx+c＝0唯一的實根，且a＜0，則滿足a＜0Δ所以a+4令ba-1=t，因為a＜b且a＜0，可得t＜則a+4當且僅當t=2t時，即t所以a+4cb-a對于D中，當a＜0時，函數(shù)y＝ax2+bx+c表示開口向下的拋物線，所以當a＜0，ax2+bx+c＜0的解集M一定不為?，所以D正確．故選：AC．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了基本不等式的應用，屬于中檔題．（多選）12．下列命題中，正確的是（）A．若a＜b，則a2＜b2 B．若b＞a＞0，m＞0，則baC．若實數(shù)x，y滿足2x+9﹣y＜3﹣x+4y，則x﹣2y＜0 D．關(guān)于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一個根比2大，另一個根比2小，則實數(shù)a的取值范圍是（-12，【考點】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；命題的真假判斷與應用；等式與不等式的性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；不等式；運算求解．【答案】BCD【分析】結(jié)合不等式性質(zhì)檢驗選項AB，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性檢驗選項C；結(jié)合二次方程根的分布檢驗選項D．【解答】解：對于A，當a＜b＜0，不成立，故A不正確；對于B，當b＞a＞0，m＞0，則ba-b對于C．令f(x)=2x因為2x+9﹣y＜3﹣x+4y，所以f（x）＝2x﹣3﹣x＜22y﹣3﹣2y＝f（2y），即x＜2y，可得x﹣2y＜0，故C正確；對于D，令f（x）＝x2+（a2﹣1）x+a﹣2，方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一個根比2大，另一個根比2小，等價于f（2）＝2a2+a＜0，可得-12＜故選：BCD．【點評】本題主要考查了不等式性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的應用，二次方程根的分布，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．函數(shù)y＝[x]在數(shù)學上稱為“高斯函數(shù)”，也叫“取整函數(shù)”，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3，[3]＝3．設(shè)不等式ax2+bx+2＜[x]（﹣1≤x＜3）的解集為A，若A＝（p，q）∪[2，r），其中p，q，r∈R，且0＜p＜1＜q＜2，則2a+3b的取值范圍是（﹣∞，﹣7）．【考點】解一元二次不等式；等式與不等式的性質(zhì)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解；新定義類．【答案】（﹣∞，﹣7）．【分析】分別討論﹣1≤x＜0、0≤x＜1、1≤x＜2和2≤x＜3幾種情況，分別求出[x]的值，代入不等式中，結(jié)合解集，分析討論，可得關(guān)于a，b的不等式組，根據(jù)線性規(guī)劃的處理方法，即可求出答案．【解答】解：當﹣1≤x＜0時，[x]＝﹣1，不等式為ax2+bx+2＜﹣1，即ax2+bx+3＜0，由于解集A中無﹣1≤x＜0上的解，所以ax2+bx+3≥0在[﹣1，0）上恒成立，所以當x＝﹣1時，a﹣b+3≥0，當x＝0時，3≥0恒成立；當0≤x＜1時，[x]＝0，不等式為ax2+bx+2＜0A中解集為（p，q），且0＜p＜1＜q＜2，則a＞0，所以ax2+bx+2＜0的解集包含（p，1），其中p為ax2+bx+2＝0的正根，所以當x＝1時，a+b+2＜0；當1≤x＜2時，[x]＝1，不等式為ax2+bx+2＜1，即ax2+bx+1＜0，A中解集為（p，q），且0＜p＜1＜q＜2，則a＞0，所以ax2+bx+1＜0的解集包含（1，q），其中q為ax2+bx+1＝0的正根，所以當x＝1時，a+b+1＜0；當2≤x＜3時，[x]＝2，不等式為ax2+bx+2＜2，即ax2+bx＜0A中解集為[2，r），且2≤r＜3，則a＞0，所以ax2+bx＜0的解集包含[2，r），2＜-即3a+b≥0，2a+b＜0，綜上，a＞設(shè)目標函數(shù)z＝2a+3b，即b=-聯(lián)立3a+b=0a+b當b=-23a+zz＝2a+3b有最大值，且為﹣7，所以2a+3b的取值范圍是（﹣∞，﹣7）．故答案為：（﹣∞，﹣7）．【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，線性規(guī)劃問題，新定義問題，是難題．14．關(guān)于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有2個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（-32，-43]∪[43【考點】一元二次不等式及其應用．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；分類法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】（-32，-43]∪[【分析】先將原不等式轉(zhuǎn)化為[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]＜0，再對a分類討論分別求出原不等式的解集，然后根據(jù)其解集中恰有兩個整數(shù)求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：不等式（ax﹣1）2＜x2可化為[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]＜0，①當a＝1時，原不等式等價于2x﹣1＞0，其解集為（12，+②當a＝﹣1時，原不等式等價于2x+1＜0，其解集為（﹣∞，-1③當a＞1時，原不等式等價于（x-1a+1）（x-1a-1∵其解集中恰有2個整數(shù)，∴2＜1a-1④當﹣1＜a＜1時，原不等式等價于（x-1a+1）（x-1a-1）＞0⑤當a＜﹣1時，原不等式等價于（x-1a+1）（x-1a-1∵其解集中恰有2個整數(shù)，∴1a+1＜-2綜合以上，可得：a∈（-32，-43]∪[故答案為：（-32，-43]∪[【點評】本題主要考查含參不等式的解法及不等式解集中的整數(shù)解問題，屬于有一定難度的題．15．若關(guān)于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1（a＞0）的解集為{x|﹣1≤x≤2}，則3a+2b+c的取值范圍是[59，1）【考點】一元二次不等式及其應用；簡單線性規(guī)劃．【專題】函數(shù)思想；判別式法；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)給定條件，確定不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）及ax2+bx+c﹣1≤0的解集，進而求出a，b，c的關(guān)系，結(jié)合a的范圍即可得解．【解答】解：若不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集不是R，不妨設(shè)ax2+bx+c＝0的根為x3，x4（x3＜x4），則ax2+bx+c≥0的解集為（﹣∞，x3]∪[x4，+∞），依題意，不等式ax2+bx+c﹣1≤0的解集非空，且方程ax2+bx+c﹣1＝0有兩不等實根x1，x2（x1＜x2），則ax2+bx+c﹣1≤0的解集為[x1，x2]，即有x1+x2=x3+x4=-從而x1，x2，x3，x4的大小關(guān)系只有兩種：x3＜x1＜x2＜x4，此時原不等式組解集為空集，不符合題意；或者x1＜x3＜x4＜x2，此時不等式的解集為[x1，x3]∪[x4，x2]，不符合題意，因此ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集是R，ax2+bx+c﹣1≤0的解集是[﹣1，2]，于是Δ＝b2﹣4ac≤0，且-1+2=-b從而Δ＝（﹣a）2﹣4a?（﹣2a+1）≤0，即9a2﹣4a≤0，而a＞0，解得0＜所以3a+2b+c=3a+2(-a故答案為：[5【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，也考查了推理與運算能力，是中檔題．16．已知二次函數(shù)y＝x2+（a﹣7）x+6，反比例函數(shù)y=ax．若這兩個函數(shù)的圖象的所有交點橫、縱坐標都是整數(shù)，則符合條件的正整數(shù)a有12【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解．【答案】12．【分析】聯(lián)立，得到x3+（a﹣7）x2+6x﹣a＝0，根據(jù)x＝1始終是方程的根，進而將方程整理為（x﹣1）（x2+（a﹣6）x+a）＝0，再確定方程x2+（a﹣6）x+a＝0提供的根，分析其根的情況，求a的值即可．【解答】解：聯(lián)立這兩個式子，得到x3+（a﹣7）x2+6x﹣a＝0，注意到x＝1始終是方程的根，所以可以將方程整理為（x﹣1）[x2+（a﹣6）x+a]＝0，若x＝1也是x2+（a﹣6）x+a＝0的根，則x2+（a﹣6）x+a＝（x﹣1）[x+（a﹣5）]+2a﹣5＝0，則2a﹣5＝0，只要a為正整數(shù)，2a﹣5一定不是0，所以方程x2+（a﹣6）x+a＝0提供的根一定不是x＝1；若x2+（a﹣6）x+a＝0無實根，則兩個函數(shù)圖象只有1個交點（1，a），此時Δ＝（a﹣6）2﹣4a＝a2﹣16a+36＜0，解得8-27＜a＜8+27，其中正整數(shù)有若x2+（a﹣6）x+a＝0有整數(shù)根，顯然x≠﹣1，分離參數(shù)有a=這說明x+1|7，x+1可能是±1，±7，當x+1＝1，a＝0不符合題意；當x+1＝﹣1，a＝16；當x+1＝7，a＝0，不符合題意：當x+1＝﹣7，a＝16，此種情況下，a只能取16，綜上，符合條件的正整數(shù)a有12個．故答案為：12．【點評】本題考查函數(shù)與方程的根的關(guān)系的應用，屬于難題．四．解答題（共4小題）17．已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣（2a+4）x+8（a≠0）．（Ⅰ）若不等式f（x）＜0的解集為（2，4），求實數(shù)a的值；（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為﹣1，求實數(shù)a的值．【考點】二次函數(shù)的最值；解一元二次不等式．【專題】分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解．【答案】（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）當a＞2時，解集為(-∞，當a＝2時，解集為（﹣∞，2）∪（2，+∞）；當0＜a＜2時，解集為(-∞，當a＜0時，解集為(4（Ⅲ）a＝4．【分析】（Ⅰ）結(jié)合二次不等式與二次方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系及方程的根與系數(shù)關(guān)系即可求解；（Ⅱ）結(jié)合二次不等式的求法對a的范圍進行分類討論即可求解；（Ⅲ）結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性對a的范圍進行分類討論及已知函數(shù)的最值，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因為不等式f（x）＜0的解集為（2，4），所以2和4是方程ax2﹣（2a+4）x+8＝0的兩根，且a＞0，則2+4=6=2a+4a，解得a＝（Ⅱ）f（x）＝（ax﹣4）（x﹣2）＞0，當a＞2時，4a＜2當a＝2時，解集為（﹣∞，2）∪（2，+∞）；當0＜a＜2時，4a＞2當a＜0時，4a＜2（Ⅲ）因為f（1）＝﹣a+4，f（2）＝0，對稱軸為x0=1+2當a＜0或0＜a≤2時，對稱軸在區(qū)間外或端點，函數(shù)在[1，2]單調(diào)遞減，最小值為f（2）＝0，不符合題意；當a＞2時，對稱軸在區(qū)間內(nèi)，開口向上，最小值為頂點值，令4-a-4a=-1，解得a＝驗證a＝4時頂點在區(qū)間內(nèi)，最小值為﹣1，符合條件，故a＝4．【點評】本題主要考查了二次不等式與二次方程轉(zhuǎn)化關(guān)系的應用，二次不等式的求法，二次函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論思想的應用，屬于中檔題．18．已知關(guān)于x的方程Ω：ax2﹣（2a+8）x+16＝0（a為常數(shù)且a＞0）．（1）證明：Ω必有實數(shù)根．（2）設(shè)x1，x2是Ω的兩個根，證明2（x1+x2）﹣x1x2為定值．（3）求關(guān)于x的不等式ax2﹣（2a+8）x+16≤0的解集．【考點】解一元二次不等式；一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】（1）證明：Δ＝[﹣（2a+8）]2﹣4a×16＝4（a﹣4）2≥0，故Ω必有實數(shù)根；（2）證明：x1，x2是Ω的兩個根，可得x1+x2=2a+8a，x1故2（x1+x2）﹣x1x2＝2×2a+8a-16a=4，即2（x1+x2（3）當a＝4時，不等式的解集為{2}；當a＞4時，不等式的解集為{x|8a≤x≤當0＜a＜4時，不等式的解集為{x|2≤x≤8a【分析】（1）求解判別式即可求解結(jié)論；（2）根據(jù)韋達定理即可求解結(jié)論；（3）通過討論兩根的大小即可求解結(jié)論．【解答】（1）證明：Δ＝[﹣（2a+8）]2﹣4a×16＝4（a﹣4）2≥0，故Ω必有實數(shù)根；（2）證明：x1，x2是Ω的兩個根，可得x1+x2=2a+8a，x1故2（x1+x2）﹣x1x2＝2×2a+8a-16a=4，即2（x1+x2（3）解：ax2﹣（2a+8）x+16≤0，即a（x-8a）（x﹣2）≤由a＞0，可得（x-8a）（x﹣2）≤0，當a＝4時，可得x＝當a＞4時，8a≤x≤當0＜a＜4時，2≤x≤8綜上可得：當a＝4時，不等式的解集為{2}；當a＞4時，不等式的解集為{x|8a≤x≤當0＜a＜4時，不等式的解集為{x|2≤x≤8a【點評】本題主要考查韋達定理的定義域，考查計算能力，屬于中檔題．19．設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）．（Ⅰ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集為[0，b]，求實數(shù)a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（x）≥﹣2對于任意實數(shù)x都恒成立，求a的取值范圍；（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式：f（x）＜a﹣1．【考點】一元二次不等式恒成立問題；解一元二次不等式．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】（I）a＝2，b=（II）[1（III）當a＝0時，解集為（﹣∞，1）；當a＞0時，解集為(-1a，1)；當a＝﹣1時，{x當a＜﹣1時，解集為(-∞，-1a)∪(1，+∞)；當﹣1＜【分析】（I）借助不等式解集與方程根的關(guān)聯(lián)求解參數(shù)；（II）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)性質(zhì)分析；（III）對參數(shù)a分多類討論，逐一求解含參二次不等式．【解答】解：（I）由不等式f（x）≤0的解集為[0，b]，得f（0）＝0，即a﹣2＝0，解得a＝2．此時f（x）＝2x2﹣x，解2x2﹣x≤0，得x（2x﹣1）≤0，故0≤x≤（II）不等式f（x）≥﹣2恒成立，即ax2+（1﹣a）x+a≥0對任意實數(shù)x恒成立．當a＝0時，x≥0，不滿足條件；當a≠0時，需a＞0且Δ＝（1﹣a）2﹣4a2≤0，化簡得3a2+2a﹣1≥0，解得a≥（III）解不等式f（x）＜a﹣1，即ax2+（1﹣a）x﹣1＜0．當a＝0時，x﹣1＜0，解得x＜1；當a＞0時，（ax+1）（x﹣1）＜0，解得-1當a＝﹣1時，﹣（x﹣1）2＜0，解得x≠1；當a＜﹣1時，(x+1a)(x-當﹣1＜a＜0時，(x+1a)(x-綜上所述，當a＝0時，解集為（﹣∞，1）；當a＞0時，解集為(-1a，1)；當a＝﹣1時，{x當a＜﹣1時，解集為(-∞，-1a)∪(1，+∞)；當﹣1＜【點評】本題主要考查二次函數(shù)、二次不等式的綜合應用，涉及解集與根的關(guān)系、恒成立問題、含參不等式分類求解，屬于中檔題．20．已知函數(shù)f（x）＝mx2+（m﹣3）x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側(cè)．（1）求實數(shù)m的取值范圍：（2）令t＝﹣m+2，求[1（其中[t]表示不超過t的最大整數(shù)，例如：[1]＝1，[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3）（3）對（2）中的t，求函數(shù)g(【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；函數(shù)與方程的綜合運用．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）（﹣∞，1]．（2）[1t]=（3）{12}∪[56，【分析】（1）分m＝0和m≠0兩種情況討論，在m＝0時進行驗證即可；在m≠0時，由f（0）＝1可分二次函數(shù)y＝f（x）有且只有一個零點且為正零點、一個正零點和一個負零點、兩個正零點三種情況進行分類討論，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．（2）求出t≥1，可得1t∈[0，1]，然后分t＞1和t＝1兩種情況討論，根據(jù)定義得出[1t（3）分t＝1，1＜t＜2，t＞2三種情況討論，在t＝1時代入函數(shù)y＝g（t）的解析式計算即可，在1＜t＜2時，利用函數(shù)y＝g（t）的單調(diào)性得出該函數(shù)的值域，在t≥2時，考查n≤t＜n+1（n≥2，n∈N*），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性不得出值域，由此能求出函數(shù)g(【解答】解：（1）①若m＝0，則f（x）＝1﹣3x，令f（x）＝0，得x=1此時函數(shù)y＝f（x）只有一個正零點，符合題意；②若m≠0，由于f（0）＝1＞1，（i）若函數(shù)f（x）有且只有一個零點且為正數(shù)，則Δ=m2-10（ii）若函數(shù)y＝f（x）有一個正零點和一個負零點，則1m＜0，解得m（iii）若函數(shù)y＝f（x）有兩個正零點時，則Δ=解得0＜m＜1，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，1]．（2）∵m≤1，∴t＝﹣m+2≥1，當t＞1時，0＜1此時，[1t]＝0，當t＝1時，1t=1，此時[1t∴[1t]=（3）∵g(①當t＝1時，g（1）=2②當1＜t＜2時，[t]＝1，[1t]＝0，則g（t）=12（t+1t∴1＜g（t）＜5③當t≥2時，設(shè)n≤t＜n+1（n≥2，n∈N*），則[t]＝n，[1t]＝0此時，g（t）=1n+1(t+1則1n設(shè)h（n）=1n+1（n+1n）=則h（n+1）﹣h（n）＝（1+1n+1-2n當n＝2時，h（2）＝h（3）；當n＞2且n∈N*時，n-2n(n+1)(n+2)＞0，則∴h（n）≥h（2）=5設(shè)φ（n）=(n+1當n≥2且n∈N*時，數(shù)列{φ（n）}單調(diào)遞減，∴φ（n）≤φ（2）=10∴當t≥2時，函數(shù)y＝g（t）的值域為[56，10綜上所述，函數(shù)g(t)=t+1t[t][【點評】本題考查函數(shù)中參數(shù)的取值范圍、函數(shù)值、函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是難題．

考點卡片1．元素與集合的屬于關(guān)系的應用【知識點的認識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．【命題方向】知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．2．求集合的交集【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．3．命題的真假判斷與應用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標準》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．4．等式與不等式的性質(zhì)【知識點的認識】1．不等式的基本性質(zhì)（1）對于任意兩個實數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質(zhì)①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，且5．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【知識點的認識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點撥】二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學的拋物線的焦點、準線和曲線的平移．這里面略談一下他的一些性質(zhì)．①開口、對稱軸、最值與x軸交點個數(shù)，當a＞0（＜0）時，圖象開口向上（向下）；對稱軸x=-b2a；最值為：f（-b2a）；判別式△＝b2﹣4ac，當△＝0時，函數(shù)與x②根與系數(shù)的關(guān)系．若△≥0，且x1、x2為方程y＝ax2+bx+c的兩根，則有x1+x2=-ba，x1?x③二次函數(shù)其實也就是拋物線，所以x2＝2py的焦點為（0，p2），準線方程為y=-p④平移：當y＝a（x+b）2+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命題方向】熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出拋物線的準確形狀，特別是注意拋物線焦點和準線的關(guān)系，拋物線最值得取得，這也是一個?？键c．6．二次函數(shù)的最值【知識點的認識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點撥】二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學的拋物線的焦點、準線和曲線的平移．二次函數(shù)的最值出現(xiàn)在頂點處．對于f（x）＝ax2+bx+c，最值為f(-b2a﹣計算頂點x坐標x=﹣計算頂點處的函數(shù)值f(﹣根據(jù)a的正負判斷最值類型（最大值或最小值）．【命題方向】主要考查二次函數(shù)最值的計算與應用題．設(shè)a為實數(shù)，若函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3在區(qū)間[a，2]上的最大值為154，則a的值為_____解：函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，對稱軸為x＝﹣1，當a≤﹣1時，則x＝﹣1時，函數(shù)取得最大值為4，不滿足題意；當﹣1＜a≤2時，則x＝a時，函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3在區(qū)間[a，2]上的最大值為154即﹣a2﹣2a+3=154，解得a=-1綜上，a的值為-1故選：C．7．二次函數(shù)的圖象及其對稱性【知識點的認識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點撥】二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學的拋物線的焦點、準線和曲線的平移．①開口、對稱軸、最值與x軸交點個數(shù)，當a＞0（＜0）時，圖象開口向上（向下）；對稱軸x=-b2a；最值為：f（-b2a）；判別式△＝b2﹣4ac，當△＝0時，函數(shù)與x②平移：當y＝a（x+b）2+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；﹣確定對稱軸x=﹣確定頂點坐標(-﹣根據(jù)a的正負確定開口方向．﹣繪制拋物線，標注對稱軸與頂點．【命題方向】考查二次函數(shù)圖象的繪制及其對稱性的判斷與應用題．如圖為二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象，則下列說法正確的是（）A．方程bx2﹣cx﹣1＝0的解集為{B．不等式bx2﹣cx﹣1≤0的解集為[C．不等式﹣x2+bx+c≥0解集為[1，4]D．函數(shù)y＝cx2﹣x+b的最大值為81解：由圖可知，方程﹣x2+bx+c＝0的解為x1＝1，x2＝4，則b＝5，﹣c＝4，即b＝5，c＝﹣4，對于A，方程bx2﹣cx﹣1＝0即為5x2+4x﹣1＝0，解得x＝﹣1或15所以方程bx2﹣cx﹣1＝0的解集為{-1，對于B，不等式bx2﹣cx﹣1≤0即為5x2+4x﹣1≤0，由A選項知，不等式的解集為[-1，對于C，不等式﹣x2+bx+c≥0即為﹣x2+5x﹣4≥0，解得1≤x≤4，所以不等式﹣x2+bx+c≥0解集為[1，4]，故C正確；對于D，y＝cx2﹣x+b＝﹣4x2﹣x+5，當x=-18時，函數(shù)取得最大值故選：ACD．8．一元二次不等式及其應用【知識點的認識】含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式．特征當△＝b2﹣4ac＞0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當△＝b2﹣4ac＝0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當△＝b2﹣4ac＜0時．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點．【解題方法點撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應用了特征當中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】①一元二次不等式恒成立問題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問題：f(x)g(x)＞0?f（f(x)g(x)＜0?f（f(x)gf(x)g9．解一元二次不等式【知識點的認識】含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式．特征當△＝b2﹣4ac＞0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當△＝b2﹣4ac＝0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當△＝b2﹣4ac＜0時．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點．【解題方法點撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應用了特征當中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣將不等式轉(zhuǎn)化為ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根據(jù)根的位置，將數(shù)軸分為多個區(qū)間．﹣在各區(qū)間內(nèi)選擇測試點，確定不等式在每個區(qū)間內(nèi)的取值情況．﹣綜合各區(qū)間的解，寫出最終解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}10．由一元二次不等式的解求參數(shù)【知識點的認識】含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式．特征當△＝b2﹣4ac＞0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當△＝b2﹣4ac＝0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當△＝b2﹣4ac＜0時．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點．【解題方法點撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應用了特征當中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0，﹣設(shè)定一元二次不等式的解，并根據(jù)解的形式建立不等式．﹣求出根，結(jié)合數(shù)軸分析區(qū)間．﹣通過區(qū)間分析，確定參數(shù)的取值范圍．設(shè)a，b，c為常數(shù)，若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），則不等式ax2﹣bx+c＜0的解集是（）解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），可得﹣3，2是方程ax2+bx+c＝0的兩根，且a＜0，則-3+2=-ba-3×2=c不等式ax2﹣bx+c＜0整理可得x2-bax+即x2﹣x﹣6＞0，解得x＞3或x＜﹣2，所以不等式ax2﹣bx+c＜0的解集為（3，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．11．一元二次不等式恒成立問題【知識點的認識】含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式．特征當△＝b2﹣4ac＞0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當△＝b2﹣4ac＝0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當△＝b2﹣4ac＜0時．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點．【解題方法點撥】﹣將不等式轉(zhuǎn)化為ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c≤0形式．﹣分析拋物線的開口方向和頂點位置．﹣結(jié)合不等式恒成立的條件，確定參數(shù)范圍．【命題方向】恒成立問題的題目多涉及參數(shù)范圍的求解，重點考查不等式在整個定義域內(nèi)成立的條件．當1≤x≤3時，不等式x2﹣mx+4＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_____．解：當1≤x≤3時，x2因此，當1≤x≤3時，不等式x2﹣mx+4＞0恒成立，即m＜x而當1≤x≤3時，x+4x≥2x?4x=4，當且僅當x所以實數(shù)m的取值范圍為m＜4．故答案為：{m|m＜4}．12．一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系【知識點的認識】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系其實可以用一個式子來表達，即當ax2+bx+c＝0（a≠0）有解時，不妨設(shè)它的解為x1，x2，那么這個方程可以寫成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1?x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1?x2＝0．它表示根與系數(shù)有如下關(guān)系：x1+x2=-ba，x1?x【解題方法點撥】例：利用根與系數(shù)的關(guān)系求出二次項系數(shù)為1的一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2﹣3x+1＝0兩根的平方．解：方程x2﹣3x+1＝0中，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)方程兩根分別為x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴（x1+x2）2=x12+x22+2x∴x12+x22=7，又x12x22則所求方程為x2﹣7x+1＝0．這個題基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2與x1?x2可以變換，不管是變成加還是減還是倒數(shù)，都可以應用上面的公式（韋達定理）．【命題方向】首先申明，這是必考點．一般都是在解析幾何里面，通過聯(lián)立方程，求出兩交點的橫坐標與系數(shù)的關(guān)系，然后通過這個關(guān)系去求距離，或者斜率的積等等．所以在復習的時候要結(jié)合解析幾何一同復習效果更佳．13．二元一次不等式（組）與平面區(qū)域【知識點的認識】二元一次不等式（組）與簡單線性規(guī)劃問題1、二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，直線l：ax+by+c＝0把直角坐標平面分成了三個部分：①直線l上的點（x，y）的坐標滿足ax+by+c＝0；②直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x，y）的坐標滿足ax+by+c＞0；③直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x，y）的坐標滿足ax+by+c＜0．所以，只需在直線l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點（x0，y0），從ax0+by0+c值的正負，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域．2、線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義目標函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)約束條件目標函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組可行解滿足約束條件的解（x，y）可行域由所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的頂點處取得二元線性規(guī)劃問題如果兩個變量滿足一組一次不等式，求這兩個變量的一次函數(shù)的最大值或最小值問題叫作二元線性規(guī)劃問題3、線性規(guī)劃（1）不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．z＝Ax+By是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標函數(shù)．由于z＝Ax+By又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函數(shù)．另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．（2）一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．（3）那么，滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域．其中可行解（x1，y1）和（x2，y2）分別使目標函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解．線性目標函數(shù)的最值常在可行域的頂點處取得；而求最優(yōu)整數(shù)解必須首先要看它們是否在可行．4、用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：①首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域）．②設(shè)z＝0，畫出直線l0．③觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優(yōu)解．④最后求得目標函數(shù)的最大值及最小值．5、利用線性規(guī)劃研究實際問題的解題思路：首先，應準確建立數(shù)學模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標函數(shù)．然后，用圖解法求得數(shù)學模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標函數(shù)取得最值的解．最后，還要根據(jù)實際意義將數(shù)學模型的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解，即結(jié)合實際情況求得最優(yōu)解．【解題方法點撥】1．畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化．2．在通過求直線的截距zb的最值間接求出z的最值時，要注意：當b＞0時，截距zb取最大值時，z也取最大值；截距zb取最小值時，z也取最小值；當b＜0時，截距zb取最大值時，z取最小值；截距【命題方向】題型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx+43分為面積相等的兩部分，則k的值是A．73B．37C．43分析：畫出平面區(qū)域，顯然點（0，43）在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點（0，4解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．由于直線y＝kx+43過定點（0，43）．因此只有直線過AB中點時，直線y＝因為A（1，1），B（0，4），所以AB中點D（12，5當y＝kx+43過點（12，52）時，5答案：A．點評：二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點定域．注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線．測試點可以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，則測試點常選取原點．題型二：求線性目標函數(shù)的最值典例2：設(shè)x，y滿足約束條件：，求z＝x+y的最大值與最小值．分析：作可行域后，通過平移直線l0：x+y＝0來尋找最優(yōu)解，求出目標函數(shù)的最值．解答：先作可行域，如圖所示中△ABC的區(qū)域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直線l0：x+y＝0，再將直線l0平移，當l0的平行線l1過點B時，可使z＝x+y達到最小值；當l0的平行線l2過點A時，可使z＝x+y達到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．點評：（1）線性目標函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c處取得，也可能在邊界處取得．（2）求線性目標函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線的縱截距的關(guān)系．題型三：實際生活中的線性規(guī)劃問題典例3：某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表：年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤＝總銷售收入﹣總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50分析：根據(jù)線性規(guī)劃解決實際問題，要先用字母表示變量，找出各量的關(guān)系列出約束條件，設(shè)出目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題．解析設(shè)種植黃瓜x畝，韭菜y畝，則由題意可知x求目標函數(shù)z＝x+0.9y的最大值，根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示．當目標函數(shù)線l向右平移，移至點A（30，20）處時，目標函數(shù)取得最大值，即當黃瓜種植30畝，韭菜種植20畝時，種植總利潤最大．故答案為：B點評：線性規(guī)劃的實際應用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，最好是列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題，再按如下步驟完成：（1）作圖﹣﹣畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條l；（2）平移﹣﹣將l平行移動，以確定最優(yōu)解的對應點A的位置；（3）求值﹣﹣解方程組求出A點坐標（即最優(yōu)解），代入目標函數(shù)，即可求出最值．題型四：求非線性目標函數(shù)的最值典例4：（1）設(shè)實數(shù)x，y滿足，則的最大值為．（2）已知O是坐標原點，點A（1，0），若點M（x，y）為平面區(qū)域上的一個動點，則|OA→+OM→|的最小值是分析：與二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域有關(guān)的非線性目標函數(shù)的最值問題的求解一般要結(jié)合給定代數(shù)式的幾何意義來完成．解答：（1）yx表示點（x，y）與原點（0，0）連線的斜率，在點（1，3（2）依題意得，OA→+OM→=（x+1，y），|OA→+OM→|=(x+1)2+y2可視為點（x，y）與點（﹣1，0）間的距離，在坐標平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，在該平面區(qū)域內(nèi)的點中，由點（﹣1，0故答案為：（1）32（2）3點評：常見代數(shù)式的幾何意義有（1）x2+y2表示點（x，y）與原點（（2）(x-a)2+(y-b（3）yx表示點（x，y）與原點（0，0（4）y-bx-a表示點（x，y14．簡單線性規(guī)劃【知識點的認識】線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學模型．簡單的線性規(guī)劃指的是目標函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出．我們高中階段接觸的主要是由三個二元一次不等式組限制的可行域，然后在這個可行域上面求某函數(shù)的最值或者是斜率的最值．【解題方法點撥】1．畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化．2．在通過求直線的截距zb的最值間接求出z的最值時，要注意：當b＞0時，截距zb取最大值時，z也取最大值；截距zb取最小值時，z也取最小值；當b＜0時，截距zb取最大值時，z取最小值；截距【命題方向】例：若目標函數(shù)z＝x+y中變量x，y滿足約束條件x+2（1）試確定可行域的面積；（2）求出該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解．解：（1）作出可行域如圖：對應得區(qū)域為直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），則可行域的面積S