高三數(shù)學等差數(shù)列多選題專項訓練單元易錯題學能測試試題一、等差數(shù)列多選題1．已知數(shù)列是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)1＝3 B．若d＝1，則an＝n2+2n C．a(chǎn)2可能為6 D．a(chǎn)1，a2，a3可能成等差數(shù)列解析：ACD【分析】利用等差數(shù)列的性質和通項公式，逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，則an＝n(n+2n)；若d＝0，則a2＝6.因為a2＝6+6d，a3＝11+22d，所以若a1，a2，a3成等差數(shù)列，則a1+a3＝a2，即14+22d＝12+12d，解得.故選ACD2．已知數(shù)列滿足：，當時，，則關于數(shù)列說法正確的是（）A． B．數(shù)列為遞增數(shù)列C．數(shù)列為周期數(shù)列 D．解析：ABD【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，結合選項可得結果.【詳解】得，∴，即數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，得，由二次函數(shù)的性質得數(shù)列為遞增數(shù)列，所以易知ABD正確，故選：ABD.【點睛】本題主要考查了通過遞推式得出數(shù)列的通項公式，通過通項公式研究數(shù)列的函數(shù)性質，屬于中檔題.3．已知等差數(shù)列的前n項和為Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3與a9的等比中項，則下列選項正確的是（）A．a(chǎn)1=22 B．d=－2C．當n=10或n=11時，Sn取得最大值 D．當Sn>0時，n的最大值為21解析：BC【分析】分別運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，可判斷A，B；由配方法，結合n為正整數(shù)，可判斷C；由Sn>0解不等式可判斷D．【詳解】由公差，可得，即，①由a7是a3與a9的等比中項，可得，即，化簡得，②由①②解得，故A錯，B對；由，可得或時，取最大值，C對；由Sn>0，解得，可得的最大值為，D錯；故選：BC【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．4．設等差數(shù)列的前項和為，公差為.已知，，則（）A． B．數(shù)列是遞增數(shù)列C．時，的最小值為13 D．數(shù)列中最小項為第7項解析：ACD【分析】由已知得，又，所以，可判斷A；由已知得出，且，得出時，，時，，又，可得出在上單調遞增，在上單調遞增，可判斷B；由，可判斷C；判斷，的符號，的單調性可判斷D；【詳解】由已知得，，又，所以，故A正確；由，解得，又，當時，，時，，又，所以時，，時，，所以在上單調遞增，在上單調遞增，所以數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B不正確；由于，而，所以時，的最小值為13，故C選項正確；當時，，時，，當時，，時，，所以當時，，，，時，為遞增數(shù)列，為正數(shù)且為遞減數(shù)列，所以數(shù)列中最小項為第7項，故D正確；【點睛】本題考查等差數(shù)列的公差，項的符號，數(shù)列的單調性，數(shù)列的最值項，屬于較難題.5．已知數(shù)列的前n項和為則下列說法正確的是（）A．為等差數(shù)列 B．C．最小值為 D．為單調遞增數(shù)列解析：AD【分析】利用求出數(shù)列的通項公式，可對A，B，D進行判斷，對進行配方可對C進行判斷【詳解】解：當時，，當時，，當時，滿足上式，所以，由于，所以數(shù)列為首項為，公差為2的等差數(shù)列，因為公差大于零，所以為單調遞增數(shù)列，所以A，D正確，B錯誤，由于，而，所以當或時，取最小值，且最小值為，所以C錯誤，故選：AD【點睛】此題考查的關系，考查由遞推式求通項并判斷等差數(shù)列，考查等差數(shù)列的單調性和前n項和的最值問題，屬于基礎題6．定義為數(shù)列的“優(yōu)值”已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，前n項和為，則（）A．數(shù)列為等差數(shù)列 B．數(shù)列為等比數(shù)列C． D．，，成等差數(shù)列解析：AC【分析】由題意可知，即，則時，，可求解出，易知是等差數(shù)列，則A正確，然后利用等差數(shù)列的前n項和公式求出，判斷C，D的正誤.【詳解】解：由，得，所以時，，得時，，即時，，當時，由知，滿足．所以數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，故A正確，B錯，所以，所以，故C正確．，，，故D錯，故選：AC．【點睛】本題考查數(shù)列的新定義問題，考查數(shù)列通項公式的求解及前n項和的求解，難度一般.7．已知數(shù)列的前項和為，前項積為，且，則（）A．當數(shù)列為等差數(shù)列時，B．當數(shù)列為等差數(shù)列時，C．當數(shù)列為等比數(shù)列時，D．當數(shù)列為等比數(shù)列時，解析：AC【分析】將變形為，構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性可得，再結合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質即可判斷正確選項【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調遞減，所以，所以當數(shù)列為等差數(shù)列時，；當數(shù)列為等比數(shù)列時，且，，同號，所以，，均大于零，故.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查邏輯推理能力，轉化與化歸的數(shù)學思想，屬于中檔題8．等差數(shù)列中，為其前項和，，則以下正確的是（）A．B．C．的最大值為D．使得的最大整數(shù)解析：BCD【分析】設等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式可得，再逐項判斷即可得解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由題意，，所以，故A錯誤；所以，所以，故B正確；因為，所以當且僅當時，取最大值，故C正確；要使，則且，所以使得的最大整數(shù)，故D正確.故選：BCD.9．設公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，若，則下列各式的值為0的是（）A． B． C． D．解析：BD【分析】由得，利用可知不正確；；根據(jù)可知正確；根據(jù)可知不正確；根據(jù)可知正確.【詳解】因為，所以，所以，因為公差，所以，故不正確；，故正確；，故不正確；，故正確.故選：BD.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了等差數(shù)列的下標性質，屬于基礎題.10．記為等差數(shù)列前項和，若且，則下列關于數(shù)列的描述正確的是（）A． B．數(shù)列中最大值的項是C．公差 D．數(shù)列也是等差數(shù)列解析：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關系式，然后結合等差數(shù)列的有關知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對于A選項，，所以A選項正確.對于C選項，，，所以，所以C選項錯誤.對于B選項，，令得，由于是正整數(shù)，所以，所以數(shù)列中最大值的項是，所以B選項正確.對于D選項，由上述分析可知，時，，當時，，且.所以數(shù)列的前項遞減，第項后面遞增，不是等差數(shù)列，所以D選項錯誤.故選：AB【點睛】等差數(shù)列有關知識的題目，主要把握住基本元的思想.要求等差數(shù)列前項和的最值，可以令或來求解.11．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則下列說法正確的是（）A．數(shù)列的前n項和為 B．數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列為遞增數(shù)列 D．數(shù)列為遞增數(shù)列解析：AD【分析】先根據(jù)和項與通項關系化簡條件，再構造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項公式求，最后根據(jù)和項與通項關系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；所以，即A正確；當時所以，即B，C不正確；故選：AD【點睛】本題考查由和項求通項、等差數(shù)列定義與通項公式以及數(shù)列單調性，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.12．等差數(shù)列的前項和為，若，公差，則（）A．若，則 B．若，則是中最大的項C．若，則 D．若則.解析：BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和性質判斷．【詳解】A錯：；B對：對稱軸為7；C對：，又，；D錯：，但不能得出是否為負，因此不一定有．故選：BC．【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列的前項和性質，（1）是關于的二次函數(shù)，可以利用二次函數(shù)性質得最值；（2），可由的正負確定與的大小；（3），因此可由的正負確定的正負．13．已知遞減的等差數(shù)列的前項和為，，則（）A． B．最大C． D．解析：ABD【分析】轉化條件為，進而可得，，再結合等差數(shù)列的性質及前n項和公式逐項判斷即可得解.【詳解】因為，所以，即，因為數(shù)列遞減，所以，則，，故A正確；所以最大，故B正確；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：ABD.14．設等差數(shù)列的前項和為．若，，則（）A． B．C． D．解析：BC【分析】由已知條件列方程組，求出公差和首項，從而可求出通項公式和前項和公式【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，所以，，故選：BC15．已知數(shù)列滿足，，則下列各數(shù)是的項的有（）A． B． C． D．解析：BD【分析】根據(jù)遞推關系式找出規(guī)律，可得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，從而可求解結論．【詳解】因為數(shù)列滿足，，；；；數(shù)列是周期為3的數(shù)列，且前3項為，，3；故選：．【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推關系式的應用，考查數(shù)列的周期性，解題的關鍵在于求出數(shù)列的規(guī)律，屬于基礎題．16．著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記Sn為數(shù)列的前n項和，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．解析：ABD【分析】根據(jù)，，，計算可知正確；根據(jù)，，，，，，累加可知不正確；根據(jù)，，，，，，累加可知正確.【詳解】依題意可知，，，，，，，，故正確；，所以，故正確；由，，，，，，可得，故不正確；，，，，，，所以，所以，故正確.故選：ABD.【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式，考查了累加法，屬于中檔題.17．題目文件丟失！18．(多選)在數(shù)列中，若為常數(shù)，則稱為“等方差數(shù)列”下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．是等方差數(shù)列.D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列解析：BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結合特殊反例對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故B正確；對于C，數(shù)列中，不是常數(shù)，不是等方差數(shù)列，故C錯誤；對于D，是等差數(shù)列，，則設，是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故D正確.故選：BD.【點睛】關鍵點睛：本題考查了數(shù)列的新定義問題和等差數(shù)列的定義，解題的關鍵是正確理解等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，利用定義進行判斷.19．已知等差數(shù)列的公差，前項和為，若，則下列結論中正確的有（）A． B．C．當時， D．當時，解析：ABC【分析】因為是等差數(shù)列，由可得，利用通項轉化為和即可判斷選項A；利用前項和公式以及等差數(shù)列的性質即可判斷選項B；利用等差數(shù)列的性質即可判斷選項C；由可得且，即可判斷選項D，進而得出正確選項.【詳解】因為是等差數(shù)列，前項和為，由得：，即，即，對于選項A：由得，可得，故選項A正確；對于選項B：，故選項B正確；對于選項C：，若，則，故選項C正確；對于選項D：當時，，則，因為，所以，，所以，故選項D不正確，故選：ABC【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是由得出，熟記等差數(shù)列的前項和公式和通項公式，靈活運用等差數(shù)列的性質即可.20．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則下列結論正確的是（）A．a(chǎn)8＝