第九章概率與統(tǒng)計(jì)專題突破18概率與統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題

1.甲、乙兩個(gè)乒乓球隊(duì)進(jìn)行單打擂臺(tái)賽，規(guī)則如下：每隊(duì)兩名隊(duì)員參賽，編號(hào)分別為1號(hào)、

2號(hào)，第一局先由雙方1號(hào)對(duì)1號(hào)，負(fù)者淘汰，之后的每局競(jìng)賽均由上一局的勝方隊(duì)員與負(fù)

方的另一名隊(duì)員進(jìn)行競(jìng)賽，直到某隊(duì)的兩名隊(duì)員全部淘汰，則另一隊(duì)勝出.表格中，第m行

第九列的數(shù)是甲隊(duì)m號(hào)隊(duì)員戰(zhàn)勝乙隊(duì)九號(hào)隊(duì)員的概率.

0.50.4

0.60.5

(1)求甲隊(duì)勝出的概率；

解：“甲隊(duì)勝出”可分為2個(gè)互斥事務(wù)：“競(jìng)賽兩局勝出”和“競(jìng)賽三局勝出”.

“競(jìng)賽兩局勝出”的概率為0.5x0.4=0.2,

“競(jìng)賽三局勝出”的概率為。5x(1-0.4)x0.5+(1-0.5)X0.6X0.5=0.3,

故“中隊(duì)勝出”的概率為0.2+0.3=0.5.

(2)設(shè)X為競(jìng)賽局?jǐn)?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

［答案］

乙隊(duì)兩局勝出的概率為(1一。.5)X(1-0.6)=0.2,

乙隊(duì)三局勝出的概率為0.5x(1-0.4)x(1-0.5)+(1-0.5)X0.6X(1-0.5)=0.3.

故P(X=2)=0.2+0.2=0.4,

P(X=3)=0.3+0.3=0.6.

X的分布列為

X23

P0.40.6

E(X)=2X0.4+3X0.6=2.6.

2.數(shù)學(xué)建模是中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)組成部分,數(shù)學(xué)建模實(shí)力是應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的

重要表現(xiàn).為全面推動(dòng)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的開展，某學(xué)校實(shí)行了一次數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)，已知該

競(jìng)賽共有60名學(xué)生參加，他們成果的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將60分以下的成果定為不合格，60分以上（含60分）的成

果定為合格.為科學(xué)評(píng)估該校學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平，確定利用分層隨機(jī)抽樣的方法從這60名學(xué)

生中選取10人，然后從這10人中抽取4人參加座談會(huì).記X為抽取的4人中，成果不合格

的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：由頻率分布宜方圖和分層隨機(jī)抽樣的方法，可知抽取的10人中合格的人數(shù)為

（0.01+0.02）X20X10=6,不合格的人數(shù)為10—6=4.因此X的可能值為0,1,2,

41以8成圖3

3,4,則P（X=°）=諄=誦，「?=1）=鬲=力，。（乂=2）=鬲=，

GQ4

。5=3）=扁=對(duì)

（41

P（X=4）=昂=而?

故X的分布列為

X01234

P1￡31

1421735210

183418

所以X的數(shù)學(xué)期望E（X）二=OXT4+1X2T+2X7+3X35+4X21O=5-

（2）已知這60名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽成果V近似聽從正態(tài)分布NS，。?），其中〃可用樣

本平均數(shù)近似代替，。2可用樣本方差近似代替（用一組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表），若成果在

46分以上的學(xué)生均能得到嘉獎(jiǎng)，本次數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽滿分為100分，試估計(jì)此次競(jìng)賽受到完

獎(jiǎng)的人數(shù)（結(jié)果依據(jù)四舍五入保留到整數(shù)位）.

附：若X?N。,，），則P（〃一）vXW〃+°）、0.6827,

P（〃一2。＜X4〃+2。）x0.9545,P（〃-3。＜X4〃+3。）《0.9973.

［答案］

由題意，可知〃=（30X0.005+50X0.0154-70X0.02+90X0.01）X20=64.

2222

0r2=(30-64)x0.1+(50-64)x0.3+(70-64)x0.44-(90-64)x0.2「二川

=324，所以

(7=18.

由y?N(64,182),得p(64-18<V<64+18)=P(46<V<82)?0.6827,

則P(Y>82)v：x(1-0.6827)=0.15865,

P(Y>46)*0.6827+0.15865=0.84135.

60x0.84135?50.

所以估計(jì)此次競(jìng)賽受到嘉獎(jiǎng)的人數(shù)為50.

3.[2024年新課標(biāo)I卷]一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為探討某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣

(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱

為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了10C人(稱為比照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

項(xiàng)目衛(wèi)生習(xí)慣

不夠良好良好

病例組4060

比照組1090

(1)依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)

慣是否有差異.

解：零假設(shè)“0：患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣沒(méi)有差

口2n(ad-bc)2200(40x90-60x10)2

異?*=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50x150x100x100=24>6<635=Xo.oi-

依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)不成立，即該疾病群體與未患該疾病群體的

衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

(2)從該地的人群中任選一人，4表示事務(wù)“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事務(wù)

“選到的人患有該疾病”,P指(B品\A)與端的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一

項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

_p(川8)pm

①證明：〃=麗■?瓦麗?

P(B\A)P出|為P(48)P(4)P(而)P(A)

證明：因?yàn)镽=p(B\Aj=P(4)■P(AHj■PQQ■P(ABY

所以?嚼p(砌p⑻

P田)?

由0硒

加以&=網(wǎng)麗?可麗?

②利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出「（川8）,。（4戶）的估計(jì)值，并利用①的結(jié)果給出R的估計(jì)值,

附.y2_________'叱兒）2_____

-（a+b）（c+d）（a+c）@+d>

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

［答案］

402,101—,、603—909

由已知P(4|B)=100=P(H|8)=旃=Tb?又PQHB)=麗=于。(月出)=旃=m,

a；...^lg）P硒一

所以R_p（K|B）,P（川⑸_6

4.［2024年四省聯(lián)考］一個(gè)池塘里的魚的數(shù)目記為N,從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上

標(biāo)識(shí)，然后把魚放回池塘里，過(guò)一小段時(shí)間后再?gòu)某靥晾飺瞥?00尾魚，X表示撈出的500

尾魚中有標(biāo)識(shí)的魚的數(shù)目.

（1）若N=5000,求>的數(shù)學(xué)期望；

解：依題意，知X聽從超兒何分布，且N=5000,M=200,幾=500,故

,、M200

E(X)=九x斤=500x50Q0=20.

（2）己知撈出的500尾魚中15尾有標(biāo)識(shí)，試給出N的估計(jì)值（以使得P（X=15）最大的N

的值作為N的估計(jì)值).

［答案］

當(dāng)N<685時(shí)，P(X=15)=0.

當(dāng)N>685時(shí)，P(X=15)=°?■藍(lán)%

C痂)C,Y墉0

i己Q(N)=—雨一，則

a(N+1)5+隼2ooC5/(A/+l-500)(/V+1-200)(N—499；(N-199)N2-698N+499x199

?N)=C科°】CN埸=(A/4-1)(/7+1-200-485)=(N+l)(/V-684)=爐―683N-684

由N2-698N+499X199>/V2-683/V-684,

499x199+684

得NV15~6665.7.

則可知當(dāng)685<N<6665時(shí),a(N4-1)>Q(N)；

當(dāng)N>6666時(shí)，a(N+1)<a(N).

故當(dāng)N=6666時(shí)，a(N)最大，所以N的估計(jì)值為6666.

考點(diǎn)一隨機(jī)抽樣r-命題角度1總體取值規(guī)律的估計(jì)

廠'或「麗ji廟隹寫?zhàn)坷蛟摷眱?Y2J-命題角度2總體百分位數(shù)的估計(jì)

考點(diǎn)二用樣本估計(jì)總體

命題角度3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

I命題角度4總體罔散程度的估計(jì)

考點(diǎn)一基本性質(zhì)

r.專題突版17藪字特征的性底；

*____________________.考點(diǎn)二變動(dòng)樣本的數(shù)字特征

考點(diǎn)三推斷問(wèn)題

y考點(diǎn)一成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

麗癱的統(tǒng)朝行考點(diǎn)二一元線性回歸模型及其應(yīng)用<彗需:鬻北然其應(yīng)用

，.....................................:XJ叩題角度2決定系數(shù)與殘差

、、考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)

考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理與分

步乘法計(jì)數(shù)原理

而不海瀚「茄嗚畫密考點(diǎn)二排列、組合颼本問(wèn)題

「命期角度1定序問(wèn)題

考點(diǎn)三排列、組合相合問(wèn)題《一命題角度2分組分配問(wèn)題

I命題角度3有條件限制的選派問(wèn)題

,考點(diǎn)一通項(xiàng)公式的應(yīng)用

概命題角度二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和

H9.4三加裝京通考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)的和{1

率、考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用命題角度2二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題

與

統(tǒng)

,考點(diǎn)一互斥、對(duì)立事件的判斷

計(jì)

-：9.5曲機(jī)事日寫褲考點(diǎn)二概率的基本性質(zhì)

核、■考點(diǎn)三古典概型

心

考考點(diǎn)一相互獨(dú)立事件

點(diǎn)J9.6事件的相互獨(dú)立桂二

考點(diǎn)二條件概率

?條件概率與全概率公式

考點(diǎn)三全概率公式的應(yīng)用

考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

J9.7南健南機(jī)逐■正NZ