課程基本信息課例編號(hào)2020QJ08SXRJ039學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)八年級(jí)學(xué)期秋季課題等腰三角形的綜合運(yùn)用（第二課時(shí)）教科書(shū)書(shū)名：義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月教學(xué)人員姓名單位授課教師唐娟北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)指導(dǎo)教師崔佳佳北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：學(xué)習(xí)運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)和判定來(lái)證明線段相等，以及結(jié)合線段垂直平分線和全等三角形等知識(shí)進(jìn)行線段相等的證明,培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖，幾何推理分析和探究的綜合能力.教學(xué)重點(diǎn)：結(jié)合全等，線段垂直平分線的等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合使用教學(xué)難點(diǎn)：知識(shí)的綜合運(yùn)用及根據(jù)圖形特征添加合適輔助線教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)23分鐘教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的綜合運(yùn)用第一課時(shí)，利用等腰（邊）三角形的性質(zhì)和判定來(lái)判斷三角形形狀和計(jì)算三角形邊長(zhǎng)及角度；今天我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形的綜合運(yùn)用，利用等腰（邊）三角形的判定和性質(zhì)來(lái)證明幾何圖形中線段相等問(wèn)題.請(qǐng)看例題例如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,∠BAD=∠CBE.求證:AB=AC.教師提問(wèn)：首先我們觀察題目中有哪些邊角條件？教師提示：根據(jù)AD⊥BC于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E，我們可以推出∠ADC=∠BEC=90°，∠BAD=∠CBE，在圖形上進(jìn)行標(biāo)注.教師提問(wèn)：我們?cè)賮?lái)看看問(wèn)題，如何證明AB=AC？教師提示：我們發(fā)現(xiàn)AB和AC均在同一個(gè)三角形△ABC內(nèi).教師提問(wèn)：如何證明這兩條線段相等呢？教師提示：根據(jù)等腰三角形的判定方法“等角對(duì)等邊”，我們只需要證明∠ABC=∠C即可，在圖形上進(jìn)行標(biāo)注.教師追問(wèn)：請(qǐng)認(rèn)真觀察，利用已知條件，如何來(lái)證明這兩角相等呢？教師提示：我們發(fā)現(xiàn)∠ABC和∠C恰好分別是∠BAD和∠CBE的余角，根據(jù)“等角的余角相等”，我們便可得出∠ABC=∠C.證明：∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BEC=90°.∴∠ABD+∠BAD=90°，∠C+∠CBE=90°.∵∠BAD=∠CBE，∴∠ABD=∠C.∴AB=AC.【題后反思】當(dāng)要證明的兩條線段在同一個(gè)三角形內(nèi)時(shí)，一般我們先證明這兩條線段所對(duì)的角相等，然后根據(jù)等腰三角形的判定方法“等角對(duì)等邊”，即可證明這兩條線段相等.2.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,ME垂直平分AB點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)M，NF垂直平分線AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)N.求證:BM=MN=CN.AB=AC∠AB=AC∠A=120°∠B=∠B=∠C=30°∠∠BAM=30°∠NAC=30°ME垂直平分線ME垂直平分線AB,NF垂直平分線ACBM=AM,CN=AN∠∠AMN=∠ANM∠MAN=60°BM=MN=CNAM=MN=BM=MN=CNAM=MN=AN△AMN為等邊三角形教師提問(wèn)：首先我們觀察題目中有哪些邊角條件？教師提出：AB=AC,∠A=120°，根據(jù)“等邊對(duì)等角”，可以推出∠B=∠C=30°；教師提問(wèn)：ME垂直平分線AB,NF垂直平分線AC，你能得出什么結(jié)論？教師提出：根據(jù)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等”，可以推出BM=AM,CN=AN,連接MA和NA.再根據(jù)“等邊對(duì)等角”推出∠BAM=30°，∠NAC=30°.我們來(lái)看下問(wèn)題，要證明BM=MN=CN，那么我們只需證明AM=MN=AN,也即是證明△AMN為等邊三角形.教師提問(wèn)：如何證明△AMN為等邊三角形呢？教師提示：我們只能從角度出發(fā)來(lái)證明，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可以推出∠AMN=∠ANM=60°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，很容易推出∠MAN=60°,故△AMN為等邊三角形.下面我們來(lái)寫一下具體證明過(guò)程.證明：∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°∴∠B=∠C=30°∵M(jìn)E垂直平分AB，NF垂直平分AC∴BM=AM,CN=AN∴∠B=∠BAM=30°，∠C=∠NAC=30°∴∠AMN=∠B+∠BAM=60°，∠ANM=∠C+∠NAC=60°∴∠MAN=180°-∠AMN-∠ANM=60°∴△AMN為等邊三角形∴AM=MN=AN∵BM=AM,CN=AN∴BM=MN=CN【題后反思】一般地，當(dāng)題目中出現(xiàn)垂直平分線時(shí)，我們會(huì)經(jīng)常使用垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等”，來(lái)證明線段的相等，或結(jié)合等腰（邊）三角形邊角關(guān)系進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，來(lái)證明目標(biāo)線段相等.如圖，點(diǎn)D,E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE教師提問(wèn)：首先我們觀察題目中有哪些邊角條件？教師提示：邊條件AB=AC，AD=AE，可以推出角條件∠B=∠C,∠ADE=∠AED教師提問(wèn)：如何來(lái)證明BD=CE？教師提示：我們發(fā)現(xiàn)BD和CE不在一個(gè)三角形內(nèi)，題目中也沒(méi)有出現(xiàn)垂直平分線，看來(lái)需要采取新的方法來(lái)解決.教師提問(wèn)：BD和CE分別在△ABD和△ACE中，我們能否通過(guò)證明這兩個(gè)三角形全等來(lái)證明這兩條線段相等呢？教師提示：我們來(lái)嘗試尋找兩三角形全等的條件！首先已經(jīng)有兩組對(duì)應(yīng)邊相等，還需尋找兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等，也即是需要證明∠BAD=∠CAE教師提問(wèn)：如何證明∠BAD=∠CAE?教師提示：∠BAD=∠ADE-∠B，∠CAE=∠AED-∠C，所以∠BAD=∠CAE，好，下面我們來(lái)一起寫下證明過(guò)程.證明：∵AB=AC，AD=AE∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED∵∠BAD=∠ADE-∠B，∠CAE=∠AED-∠C∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE同學(xué)們，這道題還有其他證明方法嗎？如果過(guò)點(diǎn)A做AO⊥BC于點(diǎn)O，你有思路了嗎？根據(jù)等腰三角形三線合一，我們可以推出BO=CO,DO=EO,所以BO-DO=CO-EO，即BD=CE【題后反思】利用全等三角形是證明線段相等的一個(gè)很好方法，往往我們結(jié)合等腰三角形的邊角關(guān)系來(lái)使用.邊角關(guān)系等腰三角形構(gòu)造全等三角形線段相等邊角關(guān)系等腰三角形構(gòu)造全等三角形線段相等2分鐘課堂小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了幾何圖形中證明線段相等的幾種常見(jiàn)方法：(1)利用等腰三角形的判定和性質(zhì)證明線段相等；(2)利用垂直平分線的判定和性質(zhì)證明線段相等；(3)利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明線段相等.以后還會(huì)學(xué)習(xí)更多的方法證明線段相等，經(jīng)常我們會(huì)需要綜合以上多種方法使用，希望同學(xué)們認(rèn)真理解和靈活運(yùn)用這些知識(shí)和方法，提高自己的思維和分析探究問(wèn)題的能力.作業(yè)已知：如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O,AB//CD，OA=OB,求證：OC=OD2.如圖，在等邊三角形△ABC中，∠ABC和∠AC