課程基本信息課例編號(hào)2020QJ08SXRJ041學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)八年級(jí)學(xué)期秋季課題最短路徑問題（第二課時(shí)）教科書書名：義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：2013年06月教學(xué)人員姓名單位授課教師張旖澈北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)指導(dǎo)教師崔佳佳北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：（1）利用平移、軸對(duì)稱解決最短路徑的問題，進(jìn)一步感悟化歸思想．（2）培養(yǎng)培養(yǎng)用符號(hào)語言和圖形語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)：利用平移、軸對(duì)稱解決最短路徑的問題教學(xué)難點(diǎn)：體會(huì)圖形的變化在解決最短路徑問題中的作用，感悟化歸思想教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)3分鐘復(fù)習(xí)引入上節(jié)課我們研究了兩類最短路徑問題：1.A，B在直線l異側(cè)時(shí)：如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得CA+CB最短．思考：（1）作圖方法：連接AB，交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求．（2）依據(jù)：“兩點(diǎn)之間，線段最短”，2.當(dāng)A、B在直線l同側(cè)時(shí)（牧馬人飲馬問題）（2）作法：通過軸對(duì)稱轉(zhuǎn)移線段，轉(zhuǎn)化為研究過的A、B兩點(diǎn)在直線異側(cè)的問題．利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”，找到滿足條件的點(diǎn)C．同時(shí)，我們通過幾何推理，證明了這個(gè)作法的正確性．12分鐘探索新知本節(jié)課我們繼續(xù)研究“最短路徑”問題．例：造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BABA思考：（1）實(shí)際問題，首先做什么？將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，用文、圖、示的語言表達(dá)．圖形語言：A、B兩點(diǎn)看作兩個(gè)定點(diǎn)，河的兩岸看成兩條平行線a和b．N為直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．先畫一個(gè)一般的點(diǎn)N．橋垂直于河的兩岸，即MN垂直于直線b，交直線a于M．文字/符號(hào)語言：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最?。◣缀萎嫲逖菔荆?）問題是否可以簡化？由于河的寬度是固定的，當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最?。詥栴}轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+NB最?。?）能否通過圖形的變化（軸對(duì)稱、平移等），將問題轉(zhuǎn)化為我們研究過的問題呢？將AM沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)N，點(diǎn)A移動(dòng)到A’，則AA'=MN，AM+NB=A’N所以問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，A’N+NB最?。?）這是我們上節(jié)課講的哪種類型？兩點(diǎn)在直線異側(cè)，連接A’，B兩點(diǎn)，與直線b的交點(diǎn)即為N．依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短．（5）結(jié)論在點(diǎn)N處造橋MN，所得路徑AMNB是最短的．（6）用文字和符號(hào)語言整理一下作法總結(jié)：①實(shí)際問題可以抽象為數(shù)學(xué)問題，用文、圖、示的語言表達(dá)．②利用平移，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移．平移：沿直線方向移動(dòng)．軸對(duì)稱：繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．③把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，體會(huì)化歸思想．思考（6）如何證明這條路徑最短？在直線b上任取一點(diǎn)N′，過N′作N′M′⊥a連接AM′，A′N′，N′B由平移性質(zhì)可知，AM=A′N，AM′=A′N′.AM+NB=A′N+NB=A′BAM′+N′B=A′N′+N′B.由兩點(diǎn)之間，線段最短可知：A′B<A′N′+N′B即AM+NB<AM′+N′B即AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B.總結(jié)④學(xué)會(huì)用符號(hào)語言進(jìn)行推理和表達(dá)6分鐘能力提升練習(xí)：已知線段a，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上求作兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）且PQ＝a，使得四邊形APQB的周長最?。伎迹?）哪些點(diǎn)是定點(diǎn)，哪些是動(dòng)點(diǎn)？A，B為定點(diǎn)，P，Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且PQ=a，距離不變．先從一般的點(diǎn)P和相應(yīng)的點(diǎn)Q出發(fā)，畫圖觀察．（2）問題是否可以簡化？由于AB、PQ的長度是固定的．當(dāng)AP+QB最小時(shí)，四邊形APQB的周長最?。?）如何通過平移、軸對(duì)稱等方式轉(zhuǎn)移線段，從而轉(zhuǎn)化為我們研究過的問題？將AP沿直線l的方向平移，點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)Q，點(diǎn)A移動(dòng)到A’，則AA'=PQ，AP+QB=A’所以問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)Q在直線l的什么位置時(shí)，A’Q+QB最?。?）這是我們研究過的哪種類型？兩點(diǎn)在直線異側(cè)，連接A’，B兩點(diǎn)，與直線l的交點(diǎn)即為Q．依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短．（5）如何證明這條路徑最短？總結(jié)：將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知（已解決）的問題．2分鐘課堂小結(jié)課堂小結(jié)：比較本節(jié)課研究的兩個(gè)問題（1）最短路徑的依據(jù)：兩點(diǎn)直線，