第八章統(tǒng)計和概率

知識梳理

1.簡單隨機抽樣

(1)簡單隨機抽樣

分為放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣.除非特殊聲明，本章簡單隨機抽樣指不放回簡單隨機

抽樣.

(2)簡單隨機樣本

通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本.

(3)簡單隨機抽樣的常用方法

實現(xiàn)簡單隨機抽樣的方法很多，抽簽法和隨機數(shù)法是比較常用的兩種方法.

2.總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)

名稱定義

一般地，總體中有N個個體，它們的變量值

總體均值分別為匕，…，YN,則稱7=

(總體

匕+力+…+%

平均數(shù))N

如果從總體中抽取一個容量為〃的樣本，它

樣本均值

們的變量值分別為V，)*…，為，則秒y=

(樣本

平均數(shù))刀…+?為樣本均值,又稱樣本平均數(shù)

說明：①在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)7去估計總體平均數(shù)斤

②總體平均數(shù)是一個確定的數(shù)，樣本平均數(shù)具有隨機性(因為樣本具有隨機性)

③一般情況下，樣本量越大，估計越準(zhǔn)確

3.分層隨機抽樣

(1)分層隨機抽樣的概念

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個

子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在?起作為總樣本，這樣的抽樣方法

稱為分層照機抽樣,每一個子總體稱為層.

(2)分層隨機抽樣的平均數(shù)計算

在分層隨機抽樣中，以層數(shù)是2層為例，如果第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和M抽取的樣

本量分別為，〃和小第?層和第2層的樣本平均數(shù)分別為7,樣本平均數(shù)為蘇，則瘍=萬%；+舁^

7二一±：++7.我們可以用樣本平均數(shù)正估計總體平均數(shù)W.

4.統(tǒng)計圖表

(1)常見的統(tǒng)計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻數(shù)分布直方圖、頻率分布直方圖等.

(2)頻率分布表、頻率分布直方圖的制作步驟及意義

5.總體百分位數(shù)的估計

(1)第〃百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有心的數(shù)據(jù)小于或等于這個

值，且至少有(100—p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

(2)計算一組〃個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

第1步，按叢捶區(qū)排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=〃Xp%.

第3步，若，?不是整數(shù)，而大于，?的比鄰整數(shù)為則第〃百分位數(shù)為第2項數(shù)據(jù)；若，是整數(shù)，則第〃

百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

6.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(2)中位數(shù)：把〃個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于量里回位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

(3)平均數(shù)：把幼+.：…十出稱為=S，…，?！边@〃個數(shù)的平均數(shù).

(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)汨，X2,沏，…，x”的平均數(shù)為三，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s

222

=^^[(X|-x)+(x2-X)H-----F(X?-x)],

Xy+(X2-x)2-1---F(Xn-X)2].

7.常用結(jié)論

(I)若XI，X2，X”的平均數(shù)為1，那么〃因+。，心2+〃，…，"兇+.的平均數(shù)為〃?+A.

(2)數(shù)據(jù)即，M，…，X”與數(shù)據(jù)x'i=xi+a,X2=%2+〃，…，N”=%+”的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)

過平移后方差不變.

(3)若Xi，X2，…，X"的方差為』，那么的+〃，aX2-\-bt的+。的方差為。2/

7.樣本空間和隨機事件

(1)樣本點和有限樣本空間

①樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點,常用口表示.

全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Q表示.

②有限樣本空間:如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果(01，M，…，助I，則稱樣本空間0=｛幼,(02,…，

3“｝為有限樣本空間.

(2)隨機事件

①定義：將樣本空間。的工集稱為隨機事件，簡稱事件.

②表示：大寫字母A,B,C,….

③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件.

8.古典概型

具有以下特征的試驗叫做古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限仝.

(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相笠.

9.古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間。包含〃個樣本點，事件4包含其中的4個樣本點，則定

義事件A的概率P(A)=￡=^.

其中，〃(A)和"Q)分別表示事件A和樣本空間Q包含的樣本點個數(shù).

10.概率的性質(zhì)

性質(zhì)1：對仔意的事件A.都有0<P(A)<1.

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Q)=1,P(0)=O.

性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么RAU8)=產(chǎn)(A)+P(B).

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(8)=1—P(A),P(A)=\-P(B).

性質(zhì)5：如果473,那么P(A)WP(B),由該性質(zhì)可得，對于任意事件A,因為。旦AGO,所以O(shè)WP(A)W1.

性質(zhì)6：設(shè)A,4是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(AUB)=P(A)+P(B)—P(An8).

考點突破

考點一簡單隨機抽樣

【例1】下列抽樣方法是簡單隨機抽樣的是()

A.質(zhì)檢員從50個零件中一次性抽取5個做質(zhì)量檢驗

B.“隔空不隔愛，停課不停學(xué)”，網(wǎng)課上，李老師對全班45名學(xué)生中點名表揚了3名發(fā)言積極的

C.老師要求學(xué)生從實數(shù)集中逐個抽取10個分析奇偶性

D.某運動員從8條跑道中隨機抽取一條跑道試跑

【答案】D

【解析】選項A：錯在“一次性”抽??；選項B：老師表揚的是發(fā)言積極的，對每一個個體而言，不

具備“等可能性”；選項C：錯在總體容量是無限的.

歸納點撥

(1)簡單隨機抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；②逐個抽??；③是不放回抽?。虎苁堑?/p>

可能抽取.

(2)簡單隨機抽樣常有抽簽法(適用于總體中個體數(shù)較少的情況)、隨機數(shù)法(適用于個體數(shù)較多的情況).

對點訓(xùn)練

I.用簡單隨機抽樣的方法從含有1()個個體的總體中，抽取一個樣本量為3的樣本，其中某一個體?！暗?/p>

一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是()

A-10,10]0,5

-13>33

C亍wD-To*To

【答案】A

【解析】第一次被抽到，顯然為七；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可

9||

能性為小聲而

考點二分層抽樣

【例2】某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有20000人,

其中各種態(tài)度對應(yīng)的人數(shù)如下表所示：

最喜愛喜愛一般不喜歡

4800720064001600

電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽選出：00人進行更為詳細(xì)的調(diào)查，為此要進行分

層抽樣，那么在分層抽樣時，每類人中應(yīng)抽選出的人數(shù)分別為()

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

【答案】D

【解析】解法一：因為抽樣比為5s=志，

所以每類人中應(yīng)抽選出的人數(shù)分別為4800X東=24,7200X+=36,6400X定=32,1600X擊=8.故

選D.

解法二：最喜愛、喜愛、一般、不喜歡的比例為4800：72(K)：6400：1600=6：9：8：2,所以每類人

中應(yīng)抽選出的人數(shù)分別為6+9工+2、1°°=24,6+9工+2乂記°=36,市不乂100=32,用而

X100=8,故選D.

歸納點撥

(1)求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算.

(2)已知某層個體數(shù)量，求總體數(shù)量或反之求解：

根據(jù)分層隨機抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算.

(3)在分層隨機抽樣中，如果第一層的樣本量為相，平均值為K第二層的樣本量為〃，平均值為y,則

樣本的平均值為二.

m-rn

對點訓(xùn)練

1.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)

量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取

件.

【答案】18

【解析】應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取60X訴工就言后訴=18(件).

ZvU?4UU十OUU?1vU

2.某班級有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測試平均成績是92分，如果30名男生的平均成績?yōu)?0分，那么20

名女生的平均成績?yōu)榉?

【答案】95

【解析】設(shè)所求平均成績?yōu)椋唬深}意得50X92=30X90+20X；,.?.3=95.

考點三統(tǒng)計圖表

【例3］已知某市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖①和圖②所示，為了解該小

區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層隨機抽樣的方法抽取30%的戶主進行調(diào)查，則樣本量和抽取的戶主

對四居室滿意的人數(shù)分別為(

A.240,18B.200,2()

C.240,20D.200,18

t答案】A

【解析】樣本量〃=(250+l50+400)X30%=240,抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為150X30%X40%

=18.

歸納點撥

(1)通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.

(2)由條形圖可知總體中樣本的種類及對應(yīng)各類樣本的數(shù)量.

對點訓(xùn)練

1.某網(wǎng)站為了了解某“跑團”每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11月期間

該“跑團”每月跑步的平均里程(單位：公里)的數(shù)據(jù)，繪制了下而的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的

是()

°I2345678910II月份

A.月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應(yīng)的里程數(shù)

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在8,9月份

D.1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)

【答案】D

【解析】由折線圖可知月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11,共3個月，比6月份低的有

123,4,578,共7個月，故6月份對應(yīng)里程數(shù)不是中位數(shù)，因此A不正確；月跑步平均里程在1月到2月，

6月到7月，7月到8月，10月到11月都是減少的，故不是逐月增加，因此B不正確；月跑步平均里程高

峰期大致在9,10.11三個月，8月分是相對較低的，因此C不正確；從折線圖來看，I月至5月的跑步平均

里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，因此D正確.

考點四頻率分布直方圖

【例4】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A,B

兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，8組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積

相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)禽子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)

據(jù)分別得到如下頻率分布直方圖：

頻率/組距

a

a.30

a20

a15

a10

005

1.5253545556.575百分比

甲離子殘留百分比仃方圖

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中〃，〃的值；

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).

【解析】(1)由已知得0.70=。+0.20+0.15,故。=0.35,b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2X0.15+3X0.20十4X0.30十5X0.20+6X0.10十7X0.05=

4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8X0.15=

6.00.

歸納點撥

⑴謹(jǐn)記頻率分布直方圖的相關(guān)公式

①直方圖中各小長方形的面積之和為1.

痂率頻率

②直方圖中縱軸表示薪，故每組樣本的頻率為組距X品，即矩形的面積.

③直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率X總數(shù).

(2)頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算

①最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.

③平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.

對點訓(xùn)練

1.(多選)去年12月，有關(guān)部門出臺在疫情防控常態(tài)化條件下推進電影院恢更開放的通知，規(guī)定低風(fēng)

險地區(qū)在電影院各項防控措施有效落實到位的前提下，可有序恢復(fù)開放營業(yè).?批影院恢復(fù)開放后，統(tǒng)計

影院連續(xù)14天的相關(guān)數(shù)據(jù)得到如下的統(tǒng)計圖表.其中，編號為I的日期是周一，票房指影院門票銷售金額，

觀影人次相當(dāng)于門票銷售數(shù)量.

由統(tǒng)計圖表可以看出，連續(xù)14天內(nèi)（）

A.周末口均的票房和觀影人次低于北周木

B.影院票房，第二周相對于第一周同期趨于上升

C.觀影人次，在第一周的統(tǒng)計中逐日增長量大致相同

D.每天的平均單場門票價格都高于20元

【答案】B

【解析】由題意，根據(jù)統(tǒng)計圖表，可得：當(dāng)編號為6,7,13,14時，影院門票銷售金額分別為3022萬元，

3238萬元，3736萬元，4842萬元，觀影人數(shù)分別為：121.5萬人，132萬人，140.2萬人，177.8萬人，票

房和觀影人次高于非周末，所以A是錯誤的；根據(jù)統(tǒng)計圖表，可得影院票房，第二周相對于第一周同期趨

于上升，所以B是正確的；根據(jù)統(tǒng)計圖表，可得增長量分別為：5.1,5.8,3.5,45,45.6,10.5,所以觀影人次在第

一周的統(tǒng)計中逐日增長量有明顯差別，所以C不正確；由統(tǒng)計圖表，可得第一周的第4天，每天的平均單

場門票價格為詈*公18.414（元）,所以D不正確.故選B.

2.對某市“四城同創(chuàng)”活動中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖［如圖），但是

年齡組為［25,30）的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：

（1）［25,30）年齡組對應(yīng)小長方形的高為：

（2）據(jù)此估計該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在［25,35）的人數(shù)為.

【答案】0.04（2）440

［解析］設(shè)［25,30）年齡組對應(yīng)小長方形的高為h,則5X（0.01+〃+0.07+0.06+（）.（）2）=1,解得A=0.04.

則志愿者年齡在［25,35）的頻率為5X（0.04+0.07）=0.55,故志愿者年齡在［25,35）的人數(shù)約為0.55X800=440.

考點五總體百分位數(shù)的估計

【例5】如圖所示是某市3月1日至3月10日的最低氣溫（單位：C）的情況繪制的折線統(tǒng)計圖，由圖

可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是（）

溫度

012345678910日期/日

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的排列為：-3,—2,-1,-1,0,0,122,2,

2+。

因為共有10個數(shù)據(jù)，所以10X80%=8,是整數(shù)，則這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是==2.

歸納點撥

（1）計算一組n個數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟

（2）頻率分布直方圖中第〃百分位數(shù)的計算

①確定要求的〃％分位數(shù)所在分組［A,B）.

②由頻率分布表或頻率分布直方圖計算樣本中小于4的頻率為。，小于8的頻率為6則〃％分位數(shù)=

A+組距義鏟.

b-a

對點訓(xùn)練

1.一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：

122,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為__________,第86百分位數(shù)

為.

【答案】14.517

【解析】V75%X20=15,???第75百分位數(shù)為"二"=145

V86%X20=17.2,；.第86百分位數(shù)為第18個數(shù)據(jù)17.

2.將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績（成績均為整數(shù)）整理后畫出頻率分布直方圖

如圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

【答案】124.44

【解析】由頻率分布直方圖可知.分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為(001+0.()15+0.015+

0.03)X10X100%=70%,分?jǐn)?shù)在130分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01+0.015+0.015+0.03+

0.0225)X10X100%=92.5%,因此，80%分位數(shù)一定位于［120,130)內(nèi).因為120+：黑X10F24.44,

所以此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)約為124.44.

考點六頻率分布直方圖的數(shù)字特征

【例6】某市市民用水?dāng)M實行階梯水價，每人月用水量中不超過訕立方米的部分按4元/立方米收費，

超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水后數(shù)

據(jù)，整埋得到如卜.頻率分布直方圖：

(1)如果⑷為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，⑷至少定

為多少？

(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當(dāng)a，=3時，估計該市居民該月的人均水費.

【解析】(1)如題圖所示，用水量在［().5,2)的頻率的和為(0.2+0.3+0.4)X0.5=0.45,用水量在［0.5,3)的

頻率的和為(0.2+0.3+0.4+0.5+03)X0.5=0.85.

J用水量小于等于2立方米的頻率為0.45,用水量小于等于3立方米的頻率為0.85,又比為整數(shù)，

，為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3.

(2)當(dāng)w=3時，該市居民該片的人均水費估計為

(0.1XI+0.15X1.5+0.2X2-0.25X2.5+0.15X3)X4+0.15X3X4+［0.05X(3.5-3)+0.05X(4-3)4-

0.05X(4.5-3)］X10=7.2+1.8+1.5=10.5(元).

即當(dāng)訓(xùn)=3時，該市居民該月的人均水費估計為10.5元.

歸納點撥

頻率分布直方圖的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻型分布直方圖

中，最高小長方形的底邊中點的橫坐標(biāo).

(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.

（3）平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應(yīng)頻率之積的和.

對點訓(xùn)練

1.（多選）空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級，指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對人體危害越大，指數(shù)范圍

為[0,50],[51,100],[101,200],[201,300],[301,500],對應(yīng)“優(yōu)”“良”“輕度污染”“中度污染”“重度

污染”五個等級，下面是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)變化趨勢圖，下列說法中正確的是（）

巖

卑

三

rw

六

A.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越好

B.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為195

C.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103.5

D.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”的頻率為能

【答案】BC

【解析】從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高，故空氣質(zhì)量越來越差，故A不對；這14天中空氣質(zhì)

量指數(shù)的極差為220—25=195,故B正確；14天空氣質(zhì)量指數(shù)由小到大排列，中間為86,121,故中位數(shù)為

的:21=]03.5,故C正確；14天中有：1日，3日，12日，13日空氣質(zhì)量指數(shù)為良，共4天，所以空氣

質(zhì)量指數(shù)為“良”的頻率為三=多故D不對.故選BC.

2.某市質(zhì)監(jiān)部門嚴(yán)把食品質(zhì)量關(guān)，在2022年3月15日前夕，根據(jù)質(zhì)量管理考核指標(biāo)對本地的500家

食品生產(chǎn)企業(yè)進行考核，通過隨機抽樣抽取其中的50家企業(yè)，統(tǒng)計其考核成績（單位：分）制成如圖頻率分

布直方圖.

這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)1=分.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代

替）

【答案】84.80

【解析】這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)1=74X0.04+78X0.12+82X0.28+86X0.36+

90X0.10+94X0.06+98X0.04=84.80（分）.

考點七古典概型

[例7](1)從分別寫有1,2,345,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字

之積是4的倍數(shù)的概率為()

(2)將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為()

A-3B-5

C.|D.1

【答案】(l)C(2)C

【解析】(1)無放回隨機抽取2張的抽法有(1,2),(1,3),(1.4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),

(26),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共30種,其中2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的有(1,4),(2,4),(2,6),

?

(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4),共12種，故所求概率為亍故選C.

(2)解法一：從6個位置中任選2個位置排2個0,其他44位置排4個1,共有Cr：|=15種排法；先

1()7

排4個1,再將2個。插空，共有Cg=10種插法，故所求概率?=方/故選C.

解法二：由題意知2個0相鄰共有CaCg種排列方法，故所求概率。=1一窗3=1一得=].故選C.

歸納點撥

古典概型概率問題的應(yīng)用技巧

(1)一定要針對具體問題認(rèn)真分析事件特點，準(zhǔn)確判斷事件類型，古典概型中事件特點是結(jié)果有限且等

可能性.

(2)計算古典概型中事件A的概率的關(guān)鍵是求出基本事件總數(shù)〃和事件4中所含基本事件數(shù)n

(3)計算基本事件總數(shù)常用計數(shù)原理與排列組合計算，分清是排列還是組合問題，另外還有列舉法、列

表法、樹狀圖法等.

對點訓(xùn)練

I.“仁、義、禮、智、信”為儒家“五?！?，由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、

禮、智”,董仲舒擴充為禮二、義、禮、智、信”.將“仁、義、禮、智、信”排成一排，則“仁”排在

第一位，且“智、信”相鄰的概率為()

23

A-5B-10

C1D工

J510

【答案】D

【解析】“仁、義、禮、智、信”排成一排，有AW種排法，其中“仁”排在第一位，且“智、信”

相鄰的排法有A認(rèn):!種，故所求概率為券=志，故選D.

2.一張方桌有四個座位，A先坐在如圖所示的座位上，B,C,。三人隨機坐到其他三個座位上，則

C與。相鄰的概率為.

【答案】彳2

【解析】B,C,。三人隨機坐到其他三個座位上，共有A§=6（種）等可能情況.

解法一："C與D相鄰”的對立事件是“C與D不相鄰”，血要使C與。不相鄰，則8必坐在A的

對面，此時C與。的坐法共有2種情況.所以根據(jù)古典概型的概率計算公式可知C與。相鄰的概率為聯(lián)

_2

~y

解法二：C,。捆綁，有A鄉(xiāng)種情況，再與3排序有A之種情況，共A*XA名=4（種）情況.所以C與。相

鄰的概率為4丸某2

o5

跟蹤訓(xùn)練

一、選擇題

1.為了解某地區(qū)的“健步走”活動情況，擬從該地區(qū)的人群中抽取部分人員進行調(diào)查，事先已了解到

該地區(qū)老、中、青三個年齡段人員的“健步走”活動情況有較大差異，而男、女“健步走”活動情況差異

不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）

A.抽簽法抽樣

B.按性別分層隨機抽樣

C.按年齡段分層隨機抽樣

D,利用隨機數(shù)表抽樣

【答案】C

【解析】根據(jù)分層隨機抽樣的特征知選C.

2.某中學(xué)有高中生960人，初中生480人，為了了解學(xué)生的身體狀況，采用分層隨機抽樣的方法，從

該校學(xué)生中抽取樣本量為〃的樣本，其中高中生有24人，那么〃等于（）

A.12B.18C.24D.36

【答案】D

〃24

【解析】根據(jù)分層隨機抽樣方法知96（）；480=京=解得〃=36.

3.（2023?廣東實驗中學(xué)月考）某工廠生產(chǎn)的30個零件編號為01,02,…，19,30,現(xiàn)利用如下隨機數(shù)表從

中抽取5個進行檢測.若從表中第1行第5列的數(shù)字開始，從左往右依次讀取數(shù)字，則抽取的第5個零件

編號為（）

34570786360468960823234578890784421253312530073286

32211834297864540732524206443812234356773578905642

A.25B.23C.12D.07

【答案】C

【解析】從表中取到的有效數(shù)字依次為0704.08,23,12,則抽取的第5個零件編號為12.故選C.

4.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示.為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成

原因，用分層隨機抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）

A.100,40B.100,20

C.200,40D.200,20

【答案】D

【解析】由圖甲可知，學(xué)生總數(shù)為4500+3500+2000=10（X）0,故抽取的樣本容量為10000X2%=200,

其中抽取的高中學(xué)生有200x］需=40（人）.由圖乙可知，高中生近視率為50%,故抽取的高中生近視人

數(shù)為40X50%=20.故選D.

5.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)

生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大核心素養(yǎng)為指標(biāo)對兩人進行了測驗，根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達(dá)圖（如圖，

每項指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下列敘述正確的是（）

H觀想象

數(shù)學(xué)建慎數(shù)學(xué)運算

邏輯推理數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)抽象——甲

—乙

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙

B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

C.乙的六大核心素養(yǎng)中邏輯推理最差

D.乙的六大核心素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲

【答案】D

【解析】依題意知，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的分值比乙低，因此選項A不正確；甲的數(shù)學(xué)是模素養(yǎng)與數(shù)

學(xué)抽象素養(yǎng)均為3分，因此甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)基本相當(dāng)，因此選項B不正確；乙的數(shù)學(xué)運

算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)均為4分，直觀想象、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理素養(yǎng)均為5分，因此選項C不正

確；甲的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的得分由低到高依次為3,3,3,445,乙的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的得分由低到高依次

為444,5,5,5,因此乙的六大核心素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲，因此選項D正確.綜上所述，故選D.

6.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)％1X”的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10即,10必…，10心的方差為()

A.0.01B.0.1C.ID.10

【答案】C

【解析】???樣本數(shù)據(jù)為,X2.…，X”的方差為0.()1，，樣本數(shù)據(jù)10X1.10X2,…，10.%的方差為l^xo.oi

=1,故選C.

7.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制訂合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過

抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸)，將數(shù)據(jù)按照。0.5),[0.5』)…，[4,4.5]分成9組,

制成了如圖所示的頻率分布直方圖.則估計全市居民月均用水量的中位數(shù)是()

A.2.25噸B.2.24mt

C.2.06噸D.2.04噸

【答案】D

【解析】由頻率分布直方圖可知，月均用水量在10,0.5)的頻率為0.08X0.5=0.04.同理，月均用水量

在忖.5,1),[1.5,2),12,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1一(0.04+

0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.D2)=2X0.5Xa,解得4=0.30,設(shè)中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和

為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0,5,所以

2Wx<2.5.由0.50X(x—2)=0.5—0.48,解得x=2.04.

8.某學(xué)校有男生400人，女生600人.為調(diào)查該校全體學(xué)生每天的睡眠時間，現(xiàn)根據(jù)性別采用分層抽

樣的方法抽取樣本，計算得男生每天睡眠時間的平均數(shù)為7.5小時，方差為1,女生每天睡眠時間的平均數(shù)

為7小時，方差為05則可估計該校全體學(xué)生每天睡眠時間的方差為()

A.0.45B.0.62C.0.7D.0.76

【答案】D

【解析】由題意得，該校全體學(xué)生每天睡眠時間的平均數(shù)的估計值為怒X7.5+黑X7=7.2(小時),

根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，可得該校全體學(xué)生每天睡眠時間的方差的估計值為忍X[l+(7.5—7.2月+儒;

11UUU

XQ.5+(7—7.2)2]=0.436+0.324=0.76.故選D.

9.已知數(shù)據(jù)KI，X2，…，即0.2的平均值為2,方差為I,則數(shù)據(jù)為，也，…，xio相對于原數(shù)據(jù)()

A.一樣穩(wěn)定B.變得穩(wěn)定

C.變得不穩(wěn)定D.穩(wěn)定性不可以判斷

【答案】C

【解析】數(shù)據(jù)41,也，…，用0,2的平均值為2,方差為1,故=[(k-2)2+(12—2)?HF(xio-2)2+(2

—2)2]=1,數(shù)據(jù)Xi.X),…，Xin的方差s2==[(xi-2)2+(加一2y+…+(xm-2)勺>1,故相對于原數(shù)據(jù)變得

不穩(wěn)定，故選C.

10.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)

志是“連續(xù)10日，每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)

信息如下.

甲地：總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4；

乙地：總體平均數(shù)為1,總體方差大于0；

內(nèi)地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3；

丁地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3.

則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是()

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】C

【解析】對于甲地，平均數(shù)與中位數(shù)，不能限制極端值的出現(xiàn)，因而可能會出現(xiàn)超過7人的情況，

所以甲地不符合要求；對于乙地，沒有給出方差具體的大小，如果方差很大，有可能出現(xiàn)超過7人的情況，

所以乙地不符合要求；對于丁地，中位數(shù)為2,眾數(shù)為3.中位數(shù)與眾數(shù)不能限制極端值的大小，因而可能出

現(xiàn)超過7人的情況，所以丁地不符合要求：對于丙地，根據(jù)方差公式$2=言[(打一丫"+⑴一1)2+…+6。

—x)2].若出現(xiàn)大于7的數(shù)值加，則，=古[(加-2)2+(必一2)2+("-2)2]---F(xio-2)2]>3,與總體方差為3

矛盾，因而不會出現(xiàn)超過7人的情況.綜上可知，丙地符合要求.故選C.

II.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是020.3,0.1,則該射手在一次射擊中

不夠8環(huán)的概率為()

A.0.9B.0.3

C.0.6D.0.4

【答案】D

【解析】由題意知不夠8環(huán)的概率為1—(0.2+0.3+0.1)=04

12.從集合｛1,2,4｝中隨機抽取一個數(shù)小從集合｛245｝中隨機抽取一個數(shù)4則向量〃2=3,與與向量

〃=(2,-1)垂直的概率為()

1B2

八A.9n-9

【答案】B

【解析】從集合｛124｝中隨機抽取一個數(shù)4,從集合｛245｝中隨機抽取一個數(shù),則向量小=5，b)

的可能情況有(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5),(4,2),(4,4),(4,5),共9個.若〃2=3,協(xié)與〃=(2,

2

一1)垂直，則2〃一〃=0,即匕=2否則(1,2),(2,4)符合條件，配以所求概率故選B.

13.四名數(shù)學(xué)老師相約到定點醫(yī)院接種新冠疫苗，若他們一起登記后，等待電腦系統(tǒng)隨機叫號進入接

種室，則甲不被第一個叫到，且乙、丙被相鄰叫到的概率為()

【答案】D

【解析】四名教師總的進入接種室的順序有用=24種，則：①甲第二個被叫到，且乙、丙被相鄰

叫到的方法數(shù)有A*=2種；②甲第三個被叫到，且乙、丙被相鄰叫到的方法數(shù)有A9=2種；③甲第四個被

叫到，且乙、丙被相鄰叫到的方法數(shù)有2A3=4種，所以“甲不被第一個叫到，且乙、丙被相鄰叫到”的

2+2+4I

概率為24=亍故選D.

14.在一個不透明的容器中有6個小球，其中有4個黃球，2個紅球，它們除顏色外完全相同，如果

一次隨機取出2個球，那么至少有1個紅球的概率為()

【答案】B

【解析】一次隨機取出2人球，樣本點總數(shù)為以=15,至少有1個紅球包含的樣本點個數(shù)為C1C1+

o3

C—9,所以至少有1個紅球的概率2=怖=]

15.根據(jù)中央關(guān)于精準(zhǔn)脫貧的要求，某市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門隨機派遣甲、乙等4位專家對3個縣區(qū)進行

調(diào)研，每個縣區(qū)至少派1位專家，則甲、乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為()

A.1B.1

C,3D,2

【答案】A

【解析】甲、乙等4位專家分到3個縣區(qū)，每個縣區(qū)至少派一位專家，等可能的情況共有氣抖A,

=36(種)，其中甲、乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)等可能的情況有甯Ag=6(種)，所以甲、乙兩位專家派遣

至同一縣區(qū)的概率故選A.

16.某市質(zhì)監(jiān)部門嚴(yán)把食品質(zhì)量關(guān)，在2022年3月15日前夕，根據(jù)質(zhì)量管理考核指標(biāo)對本地的500

家食品生產(chǎn)企業(yè)進行考核，通過隨機抽樣抽取其中的50家企業(yè)，統(tǒng)計其考核成績(單位：分)制成如圖頻率

分布直方圖.

則這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)x=()

(其中，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)

A.84.80B.84.90

C.83.80D.83.90

【答案】A

【解析】這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)工=74X0.04+78X0.12+82X0.28+86X0.36+

90X0.10+94X0.06+98X0.04=84.80（分）.

二、解答題

17.某單位有2000名職工，老年、中年、青年分布在管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)各部門中，如下表

所示：

人數(shù)管理技術(shù)開發(fā)營輪生產(chǎn)共計

老年40404080200

中年80120160240600

青年401602807201200

共計16032048010402000

(I)若要抽取40人調(diào)查身體狀況，則應(yīng)怎樣抽樣？

(2)若要開一個25人的討論單位發(fā)展與薪金調(diào)整方面的座談會，則應(yīng)怎樣抽選出席人？

(3)若要抽20人調(diào)查對卡塔爾世界杯舉辦情況的了解，則應(yīng)怎樣抽樣？

【解析】(1)按老年、中年、青年分層用分層抽樣法抽取，抽取比例為湍5=點.故老年人、中年人、青

年人各抽取4人，12人，24人.

(2)按管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)分層用分層抽樣法抽取，抽取比例為2血5=點1，

故管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)各部門分別抽取2人，4人，6人，13人.

(3)用系統(tǒng)抽樣.

對全部2000人隨機編號，號碼從0001?2000,每100號分為一組，從第一組中用簡單隨機抽樣抽取一

個號碼，然后將這個號碼分別加100,200,…，1900,共20人組成一個樣本.

18.某城市實現(xiàn)了市區(qū)5G信號全覆蓋，為了檢查網(wǎng)絡(luò)的質(zhì)量，測試人員在市區(qū)隨機選取了100個地點，

測試這些地點處5G網(wǎng)絡(luò)的平均速度(單位：Mbps),測試結(jié)果整理成頻數(shù)分布表如卜.：

平