22.2《二次函數(shù)與一元二次方程》

分層練習(xí)

基礎(chǔ)練

考查題型一利用函數(shù)圖象確定不等式的解集

1.（2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考一模）如圖是二次函數(shù)必=。/+隊(duì)+。和一次函數(shù)為=，址+〃的圖像，觀察圖像寫

A.x>0B.0<x<lC.-2<x<lD.x<l

【答案】C

【分析】根據(jù)圖像解答即可.

【詳解】解：由圖象可.知，當(dāng)％之乂時(shí)，x的取值范圍

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)圖象解不等式，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

2.12023春?四川內(nèi)江?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）拋物線尸cM+bx+c的部分圖象如圖所示，則當(dāng)了>0時(shí)，x的

取值范圍是（）

【答案】C

【分析】利用拋物線的對(duì)稱性確定拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,然后結(jié)合二次函數(shù)圖象，”出

拋物線在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可.

【詳解】解：,??拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（7,0），對(duì)稱軸是直線x=l,

.,?拋物線與％軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,

;拋物線開口向下，

.,.當(dāng)-l<x<3時(shí)，y>0.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)》=U/+&+《《”。是常數(shù)，aw。）與x軸的交點(diǎn)

坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的?元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖象法解?元二次方程.

3.（2022秋?安徽蚌埠?九年級(jí)校考期末）如圖，由二次函數(shù)y=a/+6+c的圖象可知，不等式/+隊(duì)+c>0

的解集是（）

A.-6<x<2B.x>2C.x<-6或x>2D.x<-6

【答案】A

【分析】由求不等式/+云+0。的解集即求二次函數(shù)尸以2+HC?的圖象在x軸上方時(shí)x的取值范圍，再

結(jié)合圖象即可得出答案.

【詳解】解：???求不等式ad+bx+c>0的解集即求二次函數(shù)y=依2+人+。的圖象在戈軸上方時(shí)x的取值范圍,

乂；當(dāng)-6cx<2時(shí)，二次函數(shù)》=0?+狂。的圖象在x軸上方，

.,.不等式ax'++c>（）的解集為-6<x<2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查圖象法解一元二次不等式.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

4.（2022?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）圖示為拋物線》=紈2+隊(duì)+c的一部分，其對(duì)稱軸為直線x=2,若其與x軸

的一交點(diǎn)為8（6,0）,則由圖象可知，不等式a/+bx+c>0的解集是（）

A.x>6B.0<x<6C.-2<x<6D.x<-2"kx>6

【答案】D

【分析】由拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)（6,0）和對(duì)稱軸x=2可以確定另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,乂_7=4/+隊(duì)+。

>。時(shí)，圖象在x軸上方，由此可以求出x的取值范圍.

【詳解】解：???拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)（6,0）

而對(duì)稱軸x=2

???拋物線與x軸的另一交點(diǎn)（-2,0）

當(dāng)y=a/+6x+c>0時(shí)，圖象在x軸上方

此時(shí)xV-2或x>6

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是求出圖象與工軸的交點(diǎn)，然后由圖象

找出當(dāng)y>0時(shí)，自變量x的范圍，本題鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法.

考查題型二利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍

1.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線G：y=2/-（m+l）x+機(jī)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后

得到拋物線G，在拋物線G上，當(dāng)戈<1時(shí)，V隨X的增大而增大，則”的取值范圍是（）

A.m>5B.m<5C.m>-5D.m<I-5

【答案】D

【分析】根據(jù)題意先求得旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式，然后確定旋轉(zhuǎn)后的拋物線的開口方向和對(duì)稱軸，最后

根據(jù)在旋轉(zhuǎn)后的拋物線上，當(dāng)X<1時(shí)，V隨X的增大而增大，可得到關(guān)于〃?的不等式，從而求解得〃，的取

值范圍.

2

【詳解】???由題意得旋轉(zhuǎn)后的拋物線G的解析式為：y=-2x-（m+\）X-m,

，拋物線C,的開口向下，對(duì)稱軸為直線工=一4，

4

???在拋物線G上，當(dāng)工<1時(shí)，v隨x的增大而增大,

??可得：一一

4

解得：〃區(qū)-5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)圖象的變換，確定旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?福建福州?福建省福州楊橋中學(xué)?？寄M預(yù)測）點(diǎn)力（〃?-1,苗），4（〃?,必）都在拋物線》=（》-1）2+〃

上.若必<必，則川的取值范圍為（）

33

A.m>2B.m>—C.m<1D.-<m<2

22

【答案】B

【分析】根據(jù)必<必列出關(guān)于加的不等式即可解得答案.

【詳解】解：???點(diǎn)力（〃?-1，y）,8（%為）都在二次函數(shù)y=a-lf+〃的圖象上，

y]=（m-1-1）“+〃=（tn-2J+〃?

2

y2=（rn-l）+n?

,：為<必，

/.im-2）-+n<（m-1）-+n,

A（W-2）2-（W-1）2<0,

即-2m+3<0,

3

???陽>5，故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于加的不等式.

3.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?校聯(lián)考一模）在二次函數(shù)尸V-4x+c圖像上的兩點(diǎn)力&加）、以/+4,〃），若〃?<〃，

則/的取值范圍是（）

A.t>2B./>0C.0</<2D.t<2

【答案】B

【分析】將令（5）、5（f+4,〃）代入二次函數(shù)y=f-4x+c求解即可.

【詳解】將』&〃?）、8（f+4,〃）代入二次函數(shù)y=）-4x+c,

2

/.ffj=t-4/+c>zz=(r+4)--4(r+4)+c,

,:m<n,

：.t2-4t+c<（t+4）~-4（t+4yc,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式.

4.（2022秋?浙江溫州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）二次函數(shù)），=紈2+瓜+（;的部分圖象如圖所示，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y

的取值范圍是（）

A.VB.p<2C.v<2D.y<3

4'

【答案】A

【分析】根據(jù)待定系數(shù)求解析式，進(jìn)而求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即V的最大值，進(jìn)而即可求得答案

【詳解】解：???二次函數(shù)y=ax2+5x+c圖象的對(duì)稱軸為x，與V軸的交點(diǎn)為，（0,2）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為

（2，。），

???另一交點(diǎn)為（一1,0）

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+l）（."2）,將點(diǎn)（0,2）代入得

2=-2a

解得。=-1

二?拋物線解析式為y=-（x+l）（A2）=r2+x+2=/x」［+2

則頂點(diǎn)坐標(biāo)為d

9

.?.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵.

考查題型三根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集

1.（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線歹+瓜（。>0）和直線》二區(qū)（々>0）交

于點(diǎn)。和點(diǎn)A?則不等式or?+bx</cx的解集為.

【分析】根據(jù)已知圖象，確定交點(diǎn)橫坐標(biāo),再找出直線在拋物線上方的部分，即可得到答案.

【詳解】解：由圖象可知，拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0、3,

當(dāng)0<x<3時(shí)，直線在拋物線上方，

，不等式〃.，+取<去的解集為0<x<3,

故答案為：0<x<3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵.

2.（2023?吉林長春?校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，物物線必=口-一2內(nèi)（。>0）和直線

必=去住>0）交于點(diǎn)。和點(diǎn)A.若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是3,則-米+24〉公2一2迎的解集為.

【答案】-1<X<2/2>X>-1

［分析］根據(jù)題意可得x=3是方程a?_2G二b的一個(gè)解，據(jù)此求出k=a,則不等式-kx+2k>a^-2or可

以化簡為/一工一2<0,由此求解即可.

【詳解】解：???拋物線%=以2-2?(。>())和直線％=米(4>0：|交廣點(diǎn)O和點(diǎn)A,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是3,

?二I=3是方程or2-2ax=kx1勺一個(gè)解，

/.9。-6〃=3A,

:?k=a，

-kx+2k>ax2-lax即為-ax+2a>ax2-lax，

:.ax2-ax-2a<0

???拋物線開口向上，

<7>0,

x2-x-2<0>即(x+l)(x-2)<0,

-1<x<2,

故答案為：-l<x<2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)與一元二次方程，正確推出％=4是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?廣西梧州?統(tǒng)考一模)如圖，直線)，二履+刀與拋物線y=a/+bx+c交于力(-2,〃)陽6.〃)兩點(diǎn)，則

關(guān)于x的不等式h<ax2^(b-k)x+c的解集是.

【答案】-2<x<6

【分析】根據(jù)題意得出當(dāng)履+。<〃2+以+?.時(shí)，則/?<仆2+。-土)工+。,進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象得出x的取值范

圍.

【詳解】解：根據(jù)題意得出當(dāng)依+。<3+瓜+c時(shí)，則力<ar，(b-k)x+c,

則從圖象看，關(guān)于x的不等式力<+(6-k)x+c的解集為-2<x<6,

故答案為：-2<x<6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解答該題時(shí)，要具備很強(qiáng)的讀圖能力.

4.(2022秋?河南信陽?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，一次函數(shù),=依+〃/工0)與二次函數(shù)

%=ad+bx+c(a。0)的圖象相交于力(-1,5)、8(9,2)兩點(diǎn),則關(guān)于》的不等式kx+〃>ax2+bx+c的解集

為.

【答案】-14x49

【分析】找到二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象下方的部分對(duì)應(yīng)的x的值即可.

【詳解】解：由圖象可知，關(guān)于x的不等式h+〃2ar2+bx+c的解集為-1WXW9,

故答案為：-l<x<9.

【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，利用交點(diǎn)求不等式的解集，解答本題的關(guān)鍵是熟

練掌握?qǐng)D象在下方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)值較小.

考查題型四拋物線與X軸的交點(diǎn)問題

1.已知二次函數(shù)y=/-2x-5,其與x軸有個(gè)交點(diǎn).

【答案】2/兩

【分析】二次函數(shù))，=/一2工-5的圖象與工軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)只需要判斷方程V—2》-5=0根的情況，也就是判

斷A=萬-4ac即可.

【詳解】當(dāng)八。時(shí)，/一2.”5=0

VA=Z>2-4?c=(-2)2-4xlx(-5)=24>0

.??方程/-2X-5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

，二次函數(shù)y=/—2x-5與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程得關(guān)系，二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換成求A=〃-4"是解題

的關(guān)鍵.

2.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考二模)二次函數(shù)^=〃二一2工+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則加=

【答案】1

【分析】根據(jù)二次函數(shù)歹=〃7一2x+l的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，得△=(-2/-4仆1=(),求解即可.

【詳解】解：???二次函數(shù)^二〃a2一2'+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

:.A=(-2)'-4mx1=0.即4-4/r=0,

解得：/〃=1

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題，熟練掌握“二次函數(shù)與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則A>0；二次函數(shù)與

x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則△=();二次函數(shù)與彳軸無交點(diǎn)，則△<()'’是解題的關(guān)鍵.

3.：2023?山東青島?統(tǒng)考三模)已知關(guān)于x的函數(shù)卜=(加+6)/+2(〃一1).丫+〃?+1的圖象與％軸有交點(diǎn)，則機(jī)

的取值范圍是.

【答案】w<

【分析】由于函數(shù)是二次函數(shù)還是一次函數(shù)不能確定，故應(yīng)分類討論，即當(dāng)m+6=0時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù),

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)：當(dāng)機(jī)+6工()時(shí)，根據(jù)△的取值范圍即可判斷.

【詳解】解：當(dāng)機(jī)+6=0,即〃?=-6時(shí)，此函數(shù)可化為，=-14l-5,此函數(shù)為一次函數(shù)與x軸必有交點(diǎn)；

當(dāng)m+6H0,即加工一6時(shí)，A=4|w-l)~-4(w+6)(w+l)=-20-36/〃>0,

解得小W-g且mw-6,綜上所述，機(jī)的取值范圍是加4-

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問題及一次函數(shù)的性質(zhì)，解答此題時(shí)一定要分函數(shù)是一次函數(shù)

與二次函數(shù)兩種情況討論.

4.(2023?山東淄博??？级?若函數(shù)丁=(〃?+1)/-3*+2的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則〃?的值為.

【答案】T或)

O

【分析】根據(jù)機(jī)+1=0和機(jī)+1工0兩種情況，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與方程的關(guān)系解答.

【詳解】解：當(dāng)機(jī)+1=0,即州=7時(shí)，函數(shù)解析式為：y=-3x+2是一次函數(shù)，圖象與X軸有且只有一個(gè)

交點(diǎn)，

當(dāng)〃?+1工0即mw-l時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，

???函數(shù))，=W+l)x2-3x+2的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

???。+1）爐一3工+2=0有1個(gè)實(shí)數(shù)根,

AA=9-8（w+l）=0,

解得〃包.

o

故答案為：T或:.

O

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)問題，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的

關(guān)系、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.

考查題型五求拋物線與X粕的交點(diǎn)坐標(biāo)

1.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考一模）拋物線y=2（x-3）2-4與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】（3+后,0）,（3-6,0）

【分析】令P=0,求出x的值，進(jìn)而拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：令y=。，BP0=2（X-3）2-4,

解得$=3+五,x1=3-姓,

則拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3+右,0）,（3-60）,

故答案為：（3+?0）,（3-6,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是基礎(chǔ)題，掌握拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法是解題

的關(guān)鍵.

2.（2022秋?廣東肇慶?九年級(jí)校考期中）拋物線y=--3x-4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】（-1,0）或（4Q）

【分析】把y=。代入y=/一3工一4,即可求出與;v軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：令，=。代入y=/一3工一4,

得0=X2-3X-4

解得演=4,x2=-1,

所以拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（7,0）或（4,0）,

故答案為：（-L0）或（4Q）.

【點(diǎn)睛】本題是對(duì)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的考查，令y=0,可求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，掌握交點(diǎn)的求

法是解題關(guān)鍵.

3.12023秋?河南信陽?九年級(jí)統(tǒng)考期末）二次函數(shù)歹二9-4工+3的圖象與直線y=7的交點(diǎn)坐標(biāo)是

【答案】（2,-1）

【分析】聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式求解即可.

【詳解】解：由題意，得

y=x2-4x+3

x=2

解得一

卜=-1

???次函數(shù)—4%+3的圖象與直線y=T的交點(diǎn)坐標(biāo)是⑵-1）.

故答案為：（2,7）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題，聯(lián)立函數(shù)解析式求解是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2023?山東棗莊??？寄M預(yù)測）二次函數(shù)產(chǎn)-#+女+肉的圖象交工軸于點(diǎn)兒B.則點(diǎn)4E的距離

JJ

為.

【答案】10

【分析】令y=0,可得方程-#+2x+?=o,解方程即可求解.

【詳解】解：令y=。，則一:r+2x+?=0,

解得玉=-2,X2=8,

.??彳（-2,0）,3（8,0）,

:.”=8-（-2）=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的問題，掌握一元二次方程的求解方法是解答本題的關(guān)鍵.

考查題型六求X軸與拋物線的截線長

1.（2023秋?浙江金華?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知拋物線、=-2/+八+。經(jīng)過點(diǎn)4（-2,4）和點(diǎn)8（1,-2）,

⑴求這個(gè)拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo).

⑵求拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離.

【答案】⑴歹=一2/一4工+4,（-L6）

(2)2x/3

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求;H拋物線的解析式，再把解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解；

(2)令y=0,可得—2/-4工+4=0,即可求解.

【詳解】(1)解：把點(diǎn)4(-2,4)和點(diǎn)5(1,-2)代入得:

-2X(-2)2-2/>+C=4

-2x12+b+c=—2

b=-4

解得：/,

c=4

???這個(gè)拋物線的解析式為y=-2xJ4x+4,

Vy=-2x2-4x+4=-2(x+1)2+6,

???這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(T.6)；

⑵解：當(dāng)y=。時(shí)，-2x2-4x+4=0,

解得：X|=-1+5/3,x2=-1—5/3?

工拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1+百,o),(-1-6,0)，

???拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為(-1+百)-(-1-6)=25.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，利用待定系數(shù)法求出拋物線的

解析式是解題的關(guān)鍵.

2.(2022秋?山東德州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)拋物線y=-r+l與x軸交于力、B兩點(diǎn)、(4在4的右側(cè))，與y軸

交于點(diǎn)C.

⑴求線段48的長；

(2)判斷-18c的形狀.

【答案】⑴2

(2)等腰直角三角形

【分析】(1)根據(jù)題意，可以求出點(diǎn)A和點(diǎn)4的坐標(biāo)，從而可以得到力3的長；

(2)先求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可以得到力。和BC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷“BC

的形狀.

【詳解】（1）解：???拋物線y=—f+i,

"iy=O時(shí)，x=±l,

;拋物線y=-/+l與％軸交于A、8兩點(diǎn)（/在8的右側(cè)），

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）,

48=1-（-1）=1+1=2,

即線段48的長為2；

（2）???拋物線y=—/+l,

，當(dāng)x=0時(shí)，y=1,

???拋物線y=—x?+i與y軸交于點(diǎn)。，

.??點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,1）,

又???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7,0）,

AB=2,,C=J『+12,BC=6+12=6，

r.AC2+BC2=AB2,AC=BC,

.?.△48C是等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考杳拋物線與x軸的交點(diǎn)、一次函數(shù)的性垢、勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵

是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理解答.

3.（2022秋?廣東東莞?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線歹=/一2丫-3.

⑴求出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；

⑵若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為/、B,求線段48的長.

【答案】（1）0，4）,對(duì)稱軸為x=l

⑵4

【分析】（1）將解析式化為頂點(diǎn)式即可求解.；

（2）令y=0,解方程得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解.

【詳解】（1）解：y=x~-2x-3=（X-1）2-4

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)；對(duì)稱軸為41；

(2)解：令y=0,BPX2-2X-3=0,

解得菁=3%=7，

???”的長為3-(-1)=4.

【點(diǎn)睛】本題考杳了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與工軸的截線的長，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2022秋?安徽蚌埠?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))已知二次函數(shù)y=2x24x6.

(1)求證：該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B,且它的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,求4ABP的面積.

【答案】(1)見解析；(2)16.

【分析】(1)根據(jù)b24ac與0的關(guān)系即可判斷出二次函數(shù)y=2x?4x6的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)先求出拋物線y=2x，4xG與x釉的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)二角形的面積公

式即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：△=t/4ac

=(4)"2x(6)

=64

*/A>0.

，該拋物線一定與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

(2)當(dāng)y=0時(shí)得:2x24x6=0

解得:xx=l,x^=3

即A(1,0),B(3,0),

AAB=4,

Vy=2x24x6=2(x22x)6=2(xl)28

AP(1,8)

AAABP的面積?卜J=gx4x8=16

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，可以通過判別式△的符號(hào)判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)4

>0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，當(dāng)△=()時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，即頂點(diǎn)在x軸上，當(dāng)△<(),拋物線與x

軸沒有交點(diǎn).

提升練

1.（2023?山西大同?校聯(lián)考三模）綜合與探究：如圖，拋物線y=彳.6與x軸交于4,8兩點(diǎn)（點(diǎn)/

在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)G點(diǎn)。是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為陰（1＜加＜4）,連接

備用圖

⑴求兒B,。三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)△8CQ的面積等于“OC的面積的?時(shí)，求吠的值：

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)仍是X軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試探究是否存在這樣的點(diǎn)例，使

得以點(diǎn)兒。，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【答案】⑴力（-2,0）,3（4,0）,C（O,-6）

（2）3

（3）存在,（8,0）或（0,0）或（＞/聞0）或（_/40）

【分析】（1）令＞=0和x=0求解即可；

339

（2）過點(diǎn)。作。交EO的延長線于凡首先求出28e=zS“w=Wx6=5,求出直線8c的函數(shù)表

達(dá)式為：y=^x-6,得到Q,然后根據(jù)5、8c=SA6G+5加；列方程求解

2142J\2

即可;

（3）首先得到0（3,一2），然后設(shè)M&0）,然后根據(jù)題意分3種情況討論：80是平

行四邊形友的邊，4。是平行四邊形BONN的邊，80是平行四邊形8M）M的對(duì)角線，分別根據(jù)平行

四邊形的性質(zhì)列方程求解即可.

【詳解】（1）由y=o,得92_3_6=（）.

解，得馬=-2,x2=4.

???點(diǎn)4,8的坐標(biāo)分別為力（一2,0）,5（4,0）,

由x=0,得尸-6.

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為。（0,-6）.

（2）如圖，過點(diǎn)。作。E_Lx軸于七，交BC于G,

過點(diǎn)。作Cr_LEZ）交ED的延長線于F.

???點(diǎn)力的坐標(biāo)為（-2,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-6）.

0A=2,OC=6.

SA/iv/c=-2OA-OC=—2x2x6=6.

.339

??S,.BCD=區(qū)SJDG=W*6=5.

?點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-6）,

4k+b=0k=—

設(shè)直線8c的函數(shù)表達(dá)式為9=履+"則，匚.解得2

…[/,=-€

???直線8c的函數(shù)表達(dá)式為：y=；x-6.

,?,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為機(jī)（1＜加＜4）,

，33、（3

，點(diǎn)。的坐標(biāo)為/明]〃/一”一6，點(diǎn)G的坐標(biāo)為：

I，Z/I」

3(3,3)3

，GD=—T?Z—6——m~—ni—6=—nr+3m,CF—m,BE=4—m.

2U2J4

?*,S4BCD=S&CDG+SGBDG=QDG-CF+—DG-BE

=；DG(CF+BE)

1/32、

zzz+3m(m+4-m)

324

=——m~+oni

2

解得：/叫=1（不合題意舍去），川2=3,

m的值為3.

?，15

（3）將機(jī)=3代入），=一犬—x-6=-----

424

??.D（3,制，

設(shè)M&0）,N（吟/一1一6）,

???8（4,0）,

，如圖所示，當(dāng)BD是平行四邊形8DWN的邊時(shí),

???由平行四邊形的性質(zhì)可得,

3+〃=4+，/=V14/=-V14

1533〃八八，解得或

---+一，廣2—n-6=0+0?=1+V14zz=l-x/14

442

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(V14,0)或(-V14,0)；

當(dāng)BD是平行I四邊形BDNM的邊時(shí),

???由平行四邊形的性質(zhì)可得，

4+〃=3+f(__j_3

,323，八15八，解得｛:二或:二(不合題意，應(yīng)舍去)

一〃~——〃-6+0=---+0r=0/=4

〔4241

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0)；

如圖所示，當(dāng)8。是平行四邊形8VDW的對(duì)角線時(shí)，

3+4=/+〃1r.

n=-\72=3

c15八3,3」解得，0或〈d(不合題意，應(yīng)舍去)

0---=0+-w——n-6/=8/=4

1442

???點(diǎn)”的坐標(biāo)為(8,0)；

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(8,0)或(0,0)或(加,0)或.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四

邊形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

2.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）拋物線），=-丁-2*+3交工軸于48兩點(diǎn)（點(diǎn)4在點(diǎn)8的左邊），交y

軸于點(diǎn)C.

（圖1）（圖2）

⑴直接寫出點(diǎn)力，B,C的坐標(biāo)；

（2）如圖1,連接力C,BC,點(diǎn)夕在拋物線上，RZPCA=ZBCOf求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

⑶如圖2,直線/：y=Ax（〃<0）與拋物線交于點(diǎn)E,產(chǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)尸的左邊），與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M

直線y=f（f>0）交直線/于點(diǎn)M（點(diǎn)M在點(diǎn)E的左邊），使器=怨恒成立，求/的值.

MNNF

【答案】⑴力（-3,0）,8（1,0）,C（O,3）

⑵（-4,-5）或卜5a

（3H

【分析】（1）分別把x=0、y=o代入解析式求解即可；

（2）①如圖（1）,當(dāng)2點(diǎn)在第三象限時(shí)記為過點(diǎn)4作交PCfO點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE上AB,

證明ABEQ泌CO8,可得OE=BO=1,BE=OC=3,從而可得。（-2,-1）,利用待定系數(shù)法求得直線C。的

解析式為，=2x+3,再聯(lián)立拋物線，可得-——2X+3=2X+3,進(jìn)行求解即可；②如圖（2）,當(dāng)P點(diǎn)在第

二象限時(shí)記為呂，在。力上取一點(diǎn)凡使得09=08=1,

過點(diǎn)尸作/GJ.R7,且FG=FC,過點(diǎn)G作G〃_L4O,連接CG,證明△/GHmCFO,可得GH=O尸=1,

FH=OC=3,從而可得G（-4,l）,利用待定系數(shù)法求得直線CG的解析式為歹=；x+3,再聯(lián)立拋物線，可

得—2_2x+3=9+3,再進(jìn)行求解即可；

2

（3）如圖，直線y=f交對(duì)稱軸于“，過點(diǎn)E作￡7_1河〃于點(diǎn)兀EP^LHN于點(diǎn)P,過F作FG工HN于點(diǎn)、

G，根據(jù)平行線段成比例可得黑=黑，裝號(hào),由黑=管，可得需=祟，求得從

MNMHNFFGMNNFMHFGyk）

而可得二^4二上乎整理得XFXF-；（XF+XF）=1+M，再聯(lián)立方程組得x2+[2+k）x-3=0,可得

_1.￡必+1kk

k

4+工尸=一（2+左），m中尸=一3,再代入求解即可.

【詳解】（1）解：???拋物線尸T-2x+3交,軸于點(diǎn)C,

???當(dāng)k—0時(shí)，y-3,

AC（0,3）,

???拋物線一2x+3交x軸于小8兩點(diǎn)（點(diǎn)力在點(diǎn)8的左邊），

???當(dāng)y=0時(shí)，一乂2—2x+3=0解得：芭=-3,x2=1,

???/（—3,0）,8（1,0）.

（2）解：①如圖（1）,當(dāng)尸點(diǎn)在第三象限時(shí)記為過點(diǎn)4作次）18。交尸C于。點(diǎn)，過。點(diǎn)作QE人45,

???。/=0。=3,

ZACO=45°,

?:/P\CA=/BCO,

???/BCD=45。,

,,,NCBD=90。,

???NBDC=45。=/BCD,

???BC=BD,

,/AEBD+ZCBO=90P,4CBO+ZBCO=90°,

J￡EBD=NBCO,

〈2DEB=2B0C=90。，

UEDSB,

:?DE=BO=1,BE=OC=3,

???/）點(diǎn)坐標(biāo)為（一2,-1）,

設(shè)直線CO的解析式為》=6+3（〃工0）,

將。（一2,-1）代入得，k=2,

，直線CD的解析式為y=2x+3,

聯(lián)立拋物線，得：一九2_2.丫+3=2\+3,解得：*=0（舍），與二一4,

，[點(diǎn)坐標(biāo)為（-4,-5）；

②如圖（2）,當(dāng)P點(diǎn)在第二象限時(shí)記為￡,在。力上取一點(diǎn)凡使得。r=。占=1,

過點(diǎn)尸作尸G1尸C,且FG=FC，過點(diǎn)G作GHJL4O,連接CG,

?:FC-FG、且77G_LR,

ZFCG=45°,

'：OB=OF,且。。J,F8,

CF=CB,

，￡OCB=NOCF,

*/NFCG=NOCA=45°,

/.￡GCA=NFCO=NBCO,

￡GFH+zero=9（r=Z.CFO+NOCF,

/.￡GFH=40CF,

tGHF=Z.COF=90°,FG=FC,

，AFGHm1cFO,

：.GH=OF=\,FH=OC=3,

???G點(diǎn)坐標(biāo)為（Tl）,

設(shè)直線CG的解析式為y=A+31尸0）,

將G點(diǎn)坐標(biāo)為（T1）代入，可得：勺=：,

，直線CG的解析式為y=夫+3,

聯(lián)立拋物線，得：―一―2x+3=5工+3,解得：X]=0（舍），x;=-,

_5_7]

即:6點(diǎn)坐標(biāo)為

EPtHN于點(diǎn)P,過F作FGLHN

-EMMTENEP

于占G,n則il---=----,——=——

.......MNMHNFFG

..EM_EN

?加一赤’

.MT_EP

??而一方’

???直線'=小>0)交直線歹=去(〃<0)于點(diǎn)憶

???對(duì)稱軸k—1,

It

加與-7（&+與）=1+7

???聯(lián)江方程組得：一/一2》+3=京，即f+（2+%）x-3=0,

AxE+xF=-（2+Zr）,xE-xF=-3,

.?.一3一：（一2—%）=1+：,解得：f=4.

KK

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、

解一元二次方程、平行線分線段成比例定理、一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)、一元二次方程的系數(shù)與根的關(guān)系,

熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

1

3.（2023?四川南充?四川省南充高級(jí)中學(xué)?？级＃┤鐖D，拋物線y=^x-bx+c與x軸交于掰-1,0）,

例4,0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)P在直線8C下方運(yùn)動(dòng)，且滿足/尸。8=2/44。時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶設(shè)的面積為S,當(dāng)S為某值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)。有且只有三個(gè)，不妨設(shè)為6，鳥，鳥，求△片勺4的

面積.

【答案】⑴/產(chǎn)一夕-2

⑵P的坐標(biāo)為（2,-3）

⑶12月

【分析1（1）待定系數(shù)法求解析式：

（2）作C關(guān)于1軸的對(duì)稱點(diǎn)C',連接BC',根據(jù)C,C'關(guān)于4軸對(duì)稱，則NC6C=24BC,結(jié)合已知條

件得出NPC4=NCBC,得出C尸〃8C',求得直線5c的解析式為y=—；x+2,直線CP解析式為

y=~x-2,聯(lián)立拋物線解析式，進(jìn)而即可求解.

（3）過點(diǎn)尸作軸交直線8C于點(diǎn)〃，過[作P%_Lx軸交「沙，求得直線8c解析式為y=gx-2,

設(shè)戶（〃?,；1刖213/〃-2）,貝1]“（"〃；〃?一2，當(dāng)P在BC卜.方時(shí)，夕〃=（；1桃-2-％7吁212c

—m+2〃?

222)U22

?3/1?

此時(shí)小2,-3),當(dāng)P在8c上方時(shí)，PH-2J=-/n2-2m,得出

6（2行+2,6+3），4（—S+2,d+W，進(jìn)而求得直線44解析式為y=；x+2,得出K（2,3）.則甲胃=6,

進(jìn)而根據(jù)三角形面枳公式即可求解.

【詳解】（1）解:把4T0）,8（4,0）代入”白？-云+c得:

,

—+/?+C=0

,2,

8-4/）+c=0

b=-

解得2,

c=-2

Ii

???拋物線的解析式為y=^2-1x-2；

（2）作C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C',連接8U,如圖：

/.C(0,-2),

vC,。'關(guān)于x軸對(duì)稱，

.??。(0、2),NCBC'=2ZABC,

???NPCB=24ABC,

ZPCB=/CBC',

:.CP〃BC、

由8(4,0),Cr(0.2)

設(shè)直線BC的解析式為y=kiX+2,

則0=%+2,

解得:4=_；，

???直線6C'的解析式為》=-1x+2,

設(shè)直線。尸解析式為y=-；x+》，把。（（），-2）代入得:

b=-2,

二.直線C?解析式為y=-gx-2,

尸;x-2

聯(lián)立|7得：

y=-d—x-2

I22

x=0[x=2

"或"，

"的坐標(biāo)為（2,-3）；

（3）過點(diǎn)P作軸交直線BC于點(diǎn)〃，過<作尸匹_Lx軸交打與「沙，如圖:

由8(4,0),C(0,-2)

設(shè)直線BC的解析式為》=k2x-2,

則0=4七-2

解得：心

???直線5c解析式為y=；x-2

w2—/?-2j,則Hyn,-rn-2j

當(dāng)P在6c下方時(shí)，P"=（；/〃一2）-（；加2-2=-;〃J+2〃i,

/.5=—x-—/7z2+2wx4=-w?2+4m=~