高中數(shù)學選擇性必修第二冊等（同步訓練）

目錄

《4.4數(shù)學探究活動了解高考選考科目的確定是否與性別有關》同步訓練1

《第四章概率與統(tǒng)計》試卷........................................28

《4.4數(shù)學探究活動了解高考選考科目的確定是否與

性別有關》同步訓練（答案在后面）

一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）

1、在研究“高考選考科目的確定是否與性別有關”的數(shù)學探究活動中，以卜哪項

不屬于數(shù)據(jù)的收集方法？

A.對一定范圍內(nèi)的學生進行問卷調(diào)查

B.通過學校教務處獲取學生的選考科目和性別數(shù)據(jù)

C.對學生進行一對一訪談

D.利用網(wǎng)絡平臺收集學生自我報告的選考科目和性別信息

2、在調(diào)查某高中高一年級學生選考科目時，隨機抽取了100名學生，其中男生60

名，女生40名。調(diào)查結果顯示，男生中選擇物理的有35名，女生中選擇物理的有15

名。以下關于這一調(diào)查結果的描述，正確的是:

A.高中男生選擇物理的比例明顯高于女生

B.高中女生選擇物理的比例明顯高于男生

C.高中男生和女生選擇物理的比例大致相同

D.高中男生和女生選擇物理的比例沒有顯著差異

3、某地區(qū)高中數(shù)學高考成績調(diào)查中，隨機抽取了200名學生，其中男生100名，

女生100名。調(diào)查結果顯示，男生中數(shù)學成績在90分以上的有30名，女生中數(shù)學成績

在90分以上的有20名。若要探究數(shù)學成績與性別是否有關，以下哪種統(tǒng)計方法最為合

適？（）

A.抽樣調(diào)查法

B.概率法

C.列聯(lián)表法

D.方差分析法

4、某高中在數(shù)學探究活動中，隨機抽取了100名學生，其中男生60名，女生40

名。經(jīng)調(diào)查得知，選擇數(shù)學作為高考選考科目的男生有48名，女生有32名。以下關于

選擇數(shù)學作為高考選考科目與性別關系的說法中，正確的是（）

A.選擇數(shù)學作為高考選考科目的男生比例明顯高于女生比例

B.選擇數(shù)學作為高考選考科目的女生比例明顯高于男生比例

C.選擇數(shù)學作為高考選考科目的男生比例和女生比例基本相同

D.無法從現(xiàn)有數(shù)據(jù)中判斷選擇數(shù)學作為高考選考科目與性別之間的關系

5、在研究高考選考科目與性別關系的研究中，以下哪種方法最適宜用于收集數(shù)據(jù)？

()

A.問卷調(diào)查法

B.實驗法

C.訪談法

D.檔案法

6、某學校為了研究學生對數(shù)學的偏好與性別之間的關系，隨機抽取了100名學生

進行調(diào)查，并統(tǒng)計了他們的性別和是否選擇數(shù)學作為選考科目的情況。結果顯示，男生

中有20人選擇了數(shù)學，女生中有30人選擇了數(shù)學。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，下列哪個選項最有

可能正確描述了學生對數(shù)學選擇與性別的關系？

A.男生比女生更傾向于選擇數(shù)學作為選考科目。

B.女生比男生更傾向于選擇數(shù)學作為選考科目。

C.男生和女生選擇數(shù)學的比例相同。

D.根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)無法判斷性別與選擇數(shù)學的關系。

7、在調(diào)查某高中高一年級學生的選考科目時，隨機抽取了100名學生，其中男生

60名，女生40名。結果發(fā)現(xiàn)，男生中有40人選考物理，20人選考化學；女生中有20

人選考物理，20人選考化學。以下哪個選項表明選考科目與性別有關？

A.男生選考物理的比例高于女生

B.女生選考化學的比例高于男生

C.男生選考化學的比例高于女生

D.男生和女生選考物理和化學的比例相同

8、在調(diào)查某地區(qū)高中生的選考科目時，隨機抽取了100名學生，其中男生60名，

女生40名。統(tǒng)計結果顯示，男生中選考數(shù)學的有50名，女生中選考數(shù)學的有30名。

以下關于這一調(diào)查結果的描述，正確的是（）

A.男生選考數(shù)學的比例高于女生

D.社會就業(yè)趨勢

E.學生性別

三、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）

第一題：

某高中為了了解該校學生在高考選考科目上的性別差異，隨機抽取了100名學生進

行調(diào)查，統(tǒng)計結果顯示，男生中選擇物理的學生有30人，女生中選擇物理的學生有20

人；男生中選擇歷史的男生有10人，女生中選擇歷史的女生有15人。請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，

計算以下問題：

（1）該校學生中選擇物理的學生比例是多少？

（2）該校學生中選擇歷史的學生比例是多少？

（3）該校學生中選擇物理且是女生的比例是多少？

第二題

題目描述

某高中為了研究性別對高考選考科目選擇的影響，隨機抽取了100名學生進行調(diào)查,

并得到了以下數(shù)據(jù)：

?性別與選考科目統(tǒng)計表:

性別物理化學生物合計

男生35151060

女生20251560

合計554025120

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可以計算出男生和女生在物理、化學、生物這三門科目中選擇的頻

率（例如：男生選擇物理的概率）。

計算題

問題1:計算男生選擇物理科目的概率。

問題2:計算女生選擇化學科目的概率。

問題3:比較男生和女生在選擇化學科目的概率，分析其差異是否具有統(tǒng)計學意義

（假設顯著性水平a=0.05）。

第三題

在某次高考前的模擬考試中，為了研究學生是否選擇“物理、化學、生物”（簡稱

“物化生”）作為高考選考科目是否與性別有關，研究人員從參加此次模擬考試的學生

中隨機抽取了500名學生進行調(diào)查，并將這些學生按性別分組，具體數(shù)據(jù)如下：

性別物理（A）化學（B）生物（C）合計

男生1208090290

女生7060110240

合11190140200530

假設選擇“物化生”作為高考選考科目的概率為（0），且已知男生選擇“物化生”

的概率為（4），女生選擇“物化生”的概率為（外）。

1.計算（4）和?）的值。

2.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，能否判斷“選擇'物化生'的高考選考科目與性別之間存在顯著

關聯(lián)”？請給出你的理由。

四、解答題（第1題13分，第2、3題15,第4、5題17分，總分：

77）

第一題：

研究某地區(qū)高中學生的數(shù)學成績，隨機抽取了100名學生的數(shù)據(jù)，其中男生60人,

女生40人。統(tǒng)計結果顯示，男生的平均數(shù)學成績?yōu)?5分，女生平均數(shù)學成績?yōu)?5分。

假設成績服從正態(tài)分布，且男生和女生成績的方差相等。請根據(jù)以上信息，回答以下問

題：

（1）請構建假設檢驗模型，以檢驗該地區(qū)高中男生的數(shù)學成績是否顯著高于女生。

（2）計算檢驗統(tǒng)計量，并給出計算過程。

（3）假設顯著性水平Q=0.05,根據(jù)檢驗統(tǒng)計量確定接受或拒絕原假設。

第二題

在某次高考改革中，為了研究考生選擇性必修科目中的物理、化學、生物三門科目

與性別之間的關系，隨機抽取了1000名學生進行調(diào)查，并得到了以下數(shù)據(jù)：

?男生中有50人選擇了物理、30人選擇了化學、20人選擇了生物；

?女生中有30人選擇了物理、50人選擇了化學、40人選擇了生物。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，請回答以下問題：

3.計算男生選擇物理的概率；

4.計算女生選擇化學的概率；

5.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否認為選擇性必修科目的選擇與性別之間存在關聯(lián)？請用適當

的方法說明理由。

第三題：

某高中為了了解選考科目與性別的關系，隨機抽取了100名學生，記錄了他們的性

別和選考科目（數(shù)學、物理、化學、生物、歷史、地理）。數(shù)據(jù)如下表所示:

選考科目男生人數(shù)女生人數(shù)

數(shù)學3020

物理2515

化學2025

生物1020

歷史1530

地理510

假設男生和女生選考科目的選擇是獨立的，請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，使用卡方檢驗來判斷

選考科目與性別之間是否存在顯著的相關性。

（1）計算卡方檢驗的統(tǒng)計量X2。

（2）假設顯著性水平。=0.05,根據(jù)自由度和顯著性水平查表得到臨界值，判斷是

否拒絕原假設。

第四題

某學校為了研究高考選考科目（物理、化學、生物、政治、歷史、地理）的選擇是

否與性別有關，隨機調(diào)查了100名學生，統(tǒng)計了他們的性別和所選的科目情況如下：

高考選考科目物理化學生物政治歷史地理

男生25151c）535

女生202020101010

能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為高考選考科目與性別有關？

第五題：

已知某高中一年級有300名學生，其中男生180名，女生120名。該校在數(shù)學、物

理、化學、生物四門科目中，要求學生選擇其中兩門作為選修科目?，F(xiàn)從學生中隨機抽

取100名學生，記錄他們的性別和所選的兩門科目。

請根據(jù)以下數(shù)據(jù)回答問題：

性別：

?男生：60名

?女生：40名

所選科目組合及人數(shù)（性別分開統(tǒng)計）：

?數(shù)學+物理：男生30名，女生20名

?數(shù)學+化學：男生25名，女生15名

?數(shù)學+生物：男生10名，女生10名

?物理+化學：男生20名，女生10名

?物理+生物：男生15名，女生5名

?化學+生物：男生10名，女生10名

6.請“算男生和女生選擇數(shù)學作為第一門選修科目的比例。

7.請分析男生和女生在選擇物理作為第一門選修科目時是否存在性別差異。

《4?4數(shù)學探究活動了解高考選考科目的確定是否與

性別有關》同步訓練及答案解析

一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）

1、在研究“高考選考科目的確定是否與性別有關”的數(shù)學探究活動中，以下哪項

不屬于數(shù)據(jù)的收集方法?

A.對一定范圍內(nèi)的學生進行問卷調(diào)查

B.通過學校教務處獲取學生的選考科目和性別數(shù)據(jù)

C.對學生進行一對一訪談

D.利用網(wǎng)絡平臺收集學生自我報告的選考科目和性別信息

答案：C

解析：本題考查數(shù)據(jù)的收集方法。A、B、D選項均屬于收集數(shù)據(jù)的合理方法，可以

通過問卷調(diào)查、學校教務處數(shù)據(jù)或網(wǎng)絡平臺等方式獲取數(shù)據(jù)。而C選項的“一對一訪談”

通常用于深入了解某些特定問題，不適合大規(guī)模收集數(shù)據(jù)，因此不屬于此探究活動中的

數(shù)據(jù)收集方法。

2、在調(diào)查某高中高一年級學生選考科目時，隨機抽取了100名學生，其中男生60

名，女生40名。調(diào)查結果顯示，男生中選擇物理的有35名，女生中選擇物理的有15

名。以下關于這一調(diào)查結果的描述，正確的是：

A.高中男生選擇物理的比例明顯高于女生

B.高中女生選擇物理的比例明顯高于男生

C.高中男生和女生選擇物理的比例大致相同

D.高中男生和女生選擇物理的比例沒有顯著差異

答案：A

解析：從題目給出的數(shù)據(jù)可以看出，男生中選擇物理的有35名，占總男生人數(shù)的

35/60=0.5833,即58.33%；女生中選擇物理的有15名，占總女生人數(shù)的15/40=0.375,

即37.5機因此，高中男生選擇物理的比例明顯高于女生，選項A正確。選項B、C和D

與實際情況不符。

3、某地區(qū)高中數(shù)學高考成績調(diào)查中，隨機抽取了200名學生，其中男生100名，

女生100名。調(diào)查結果顯示，男生中數(shù)學成績在90分以上的有30名，女生中數(shù)學成績

在90分以上的有20名。若要探究數(shù)學成績與性別是否有關，以下哪種統(tǒng)計方法最為合

適？（）

A.抽樣調(diào)查法

B.概率法

C.列聯(lián)表法

D.方差分析法

答案：C

解析：本題需要探究數(shù)學成績與性別是否有關，列聯(lián)表法可以用來分析兩個分類變

量之間的關系，通過構建列聯(lián)表，觀察數(shù)學成績與性別之間的交叉頻率，從而判斷兩者

之間是否存在關聯(lián)。抽樣調(diào)查法用于獲取樣本數(shù)據(jù)，概率法用于計算事件發(fā)生的概率，

方差分析法用于比較多個樣本的均值差異。因此，C選項列聯(lián)表法最為合適。

4、某高中在數(shù)學探究活動中，隨機抽取了100名學生，其中男生60名，女生40

名。經(jīng)調(diào)查得知，選擇數(shù)學作為高考選考科目的男生有48名，女生有32名。以下關于

選擇數(shù)學作為高考選考科目與性別關系的說法中，正確的是（）

A.選擇數(shù)學作為高考選考科目的男生比例明顯高于女生比例

B.選擇數(shù)學作為高考選考科目的女生比例明顯高于男生比例

C.選擇數(shù)學作為高考選考科目的男生比例和女生比例基本相同

D.無法從現(xiàn)有數(shù)據(jù)中判斷選擇數(shù)學作為高考選考科目與性別之間的關系

答案：A

解析：根據(jù)題目數(shù)據(jù)，選擇數(shù)學作為高考選考科目的男生比例為48/60=0.8,女生

比例為32/40=0.8,即男生和女生選擇數(shù)學作為高考選考科目的比例相同。但男生人數(shù)

多于女生，所以選擇數(shù)學作為高考選考科目的男生比例明顯高于女生比例。因此，選項

A正確。

5、在研究高考選考科目與性別關系的研究中，以下哪種方法最適宜用于收集數(shù)據(jù)？

()

A.問卷調(diào)查法

B.實驗法

C.訪談法

D.檔案法

答案：A

解析：在研究高考選考科目與性別關系時，問卷調(diào)查法最適宜用于收集數(shù)據(jù)。問卷

調(diào)查法可以方便地收集大量樣本的信息，且操作簡便，成本較低，適合于大規(guī)模的調(diào)查

研究。實驗法、訪談法和檔案法在此類研究中的應用相對較少。

6、某學校為了研究學生對數(shù)學的偏好與性別之間的關系，隨機抽取了100名學生

進行調(diào)查，并統(tǒng)計了他們的性別和是否選擇數(shù)學作為選考科目的情況。結果顯示，男生

中有20人選擇了數(shù)學，女生中有30人選擇了數(shù)學。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，下列哪個選項最有

可能正確描述了學生對數(shù)學選擇與性別的關系？

A.男生比女生更傾向于選擇數(shù)學作為選考科目。

B.女生比男生更傾向于選擇數(shù)學作為選考科目。

C.男生和女生選擇數(shù)學的比例相同。

D.根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)無法判斷性別與選擇數(shù)學的關系。

答案：D

解析：根據(jù)題目提供的信息，我們只能知道男生中選擇數(shù)學的人數(shù)為20人，女生

中選擇數(shù)學的人數(shù)為30人，總共選擇了數(shù)學的學生有50人。然而，沒有給出總樣本中

的男女人數(shù)比例，因此我們不能直接得出男生或女生整體上對數(shù)學選擇的偏好程度。所

以，根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)，我們無法判斷性別與選擇數(shù)學之間的具體關系。

7-.在調(diào)查某高中高一年級學生的選考科目時，隨機抽取了100名學生，其中男生

60名，女生40名。結果發(fā)現(xiàn)，男生中有40人選考物理，20人選考化學；女生中有20

人選考物理，20人選考化學。以下哪個選項表明選考科目與性別有關？

A.男生選考物理的比例高于女生

B.女生選考化學的比例高于男生

C.男生選考化學的比例高于女生

D.男生和女生選考物理和化學的比例相同

答案：A

解析：通過計算男生和女生選考物理和化學的比例，我們可以發(fā)現(xiàn)男生選考物理的

比例(40/60-2/3)高于女生選考物理的比例(20/40-l/2)o因此，選考科目與性別有

關，選項A正確。其他選項通過計算比例可以得出不符合題意的結論。

8、在調(diào)查某地區(qū)高中生的選考科目時，隨機抽取了100名學生，其中男生60名，

女生40名。統(tǒng)計結果顯示，男生中選考數(shù)學的有50名，女生中選考數(shù)學的有30名。

以下關于這一調(diào)查結果的描述，正確的是()

A.男生選考數(shù)學的比例高于女生

B.女生選考數(shù)學的比例高于男生

C.男生和女生選考數(shù)學的比例相同

D.無法判斷男生和女生選考數(shù)學的比例

答案：A

解析：男生選考數(shù)學的比例為50/60=5/6,女生選考數(shù)學的比例為30/40=3/4。將

兩個比例轉換為小數(shù)，男生為5/620.833,女生為3/4=0.75。比較兩個比例，男生選

考數(shù)學的比例高于女生，因此選項A正確。

二、多選題（本大題有3小題，每小題6分，共18分）

1、以下哪些因素可能影響高考選考科目的確定與性別的關系？（）

A.學生個人興趣

B.學校教育資源分配

C.社會性別角色期望

D.家長期望

E.學生學業(yè)成績

答案：ABCD

解析?：本題考查影響高考選考科?目確定與性別關系的因素。根據(jù)題目要求，需要從

給出的選項中選擇所有可能影響的因素。A選項“學生個人興趣”可能影響學生選擇選

考科目，B選項“學校教育資源分配”可能影響學生接觸到不同科目的機會，C選項“社

會性別角色期望”可能影響學生和家長對選考科目的選擇，D選項“家長期望”也可能

影響學生的選考科目選擇。向E選項“學生學業(yè)成績”雖然可能影響學生的選考科目選

擇，但與性別關系無直接關聯(lián)，故排除。因此，正確答案為ABCD。

2、在“了解高考選考科目的確定是否與性別有關”的數(shù)學探究活動中，以下哪些

因素可能影響學生選擇選考科目的決定？

A.學生的性別

B.家長的意愿

C.學校的教育資源

D.學生對科目的興趣

E.社會就業(yè)前景

答案：ACDE

解析：本題旨在探究性別是否會影響學生選擇選考科目的決定。選項A,學生的性

別是探究的核心因素；選項C,學校的教育資源可能會影響學生對某些科目的選擇；選

項D,學生對科目的興趣是一個重要的個人因素，可能影響選考科目的選擇；選項E,

社會就業(yè)前景可能會影響學生對未來職業(yè)發(fā)展的考慮，從而影響選考科目的選擇。而選

項B,家長的意愿雖然可能對學生有影響，但并不直接關聯(lián)到性別因素，因此天選。

3、以下哪些因素可能對高考選考科目的確定有影響？（）

A.學生個人興趣

B.學校教育資源

C.家長意愿

D.社會就業(yè)趨勢

E.學生性別

答案：ABCD

解析：本題考查的是影響高考選考科目確定的因素。學生個人興趣、學校教育資源、

家長意愿以及社會就業(yè)趨勢都是可能影響學生選擇高考選考科目的因素。而性別因素雖

然在實際中可能存在一定影響，但并非決定性因素，故不選E。

三、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）

第一題：

某高中為了了解該校學生在高考選考科目上的性別差異，隨機抽取了100名學生進

行調(diào)查，統(tǒng)計結果顯示，男生中選擇物理的學生有30人，女生中選擇物理的學生有20

人；男生中選擇歷史的男生有10人，女生中選擇歷史的女生有15人。請根據(jù)以上數(shù)據(jù),

計算以下問題：

（1）該校學生中選擇物理的學生比例是多少？

（2）該校學生中選擇歷史的學生比例是多少？

（3）該校學生中選擇物理且是女生的比例是多少？

答案：

（1）選擇物理的學生總數(shù)為30（男生）+20（女生）=50人。

該校學生中選擇物理的學生比例為50/100=0.5,即50%。

（2）選擇歷史的學生總數(shù)為10（男生）+15（女生）=25人。

該校學生中選擇歷史的學生比例為25/100=0.25,即25%。

（3）選擇物理且是女生的學生總數(shù)為20人。

該校學生中選擇物理且是女生的比例為20/100=0.2,即20機

解析：

（1）首先計算出選擇物理的學生總數(shù)，然后除以總學生數(shù)得到比例。

（2）同理，計算出選擇歷史的學生總數(shù)，然后除以總學生數(shù)得到比例。

（3）直接從數(shù)據(jù)中找出選擇物理且是女生的學生數(shù)，然后除以總學生數(shù)得到比例。

第二題

題目描述

某高中為了研究性別對高考選考科目選擇的影響，隨機抽取了100名學生進行調(diào)查,

并得到了以下數(shù)據(jù)：

?性別與選考科目統(tǒng)計表:

性別物理化學生物合計

男生35151060

女生20251560

合計554025120

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可以計算出男生和女生在物理、化學、生物這三門科目中選擇的頻

率（例如：男生選擇物理的概率）。

計算題

問題1:計算男生選擇物理科目的概率。

問題2:計算女生選擇化學科目的概率。

問題3:比較男生和女生在選擇化學科目的概率，分析其差異是否具有統(tǒng)計學意義

（假設顯著性水平a-0.05）o

答案

問題1：

男生選擇物理科目的概率為g=￡）或約0.5833。

問題2:

女生選擇化學科目的概率為（附二3或約0.4167。

問題3:

為了判斷男生和女生在選擇化學科目的概率是否有顯著差異，我們可以通過卡方檢

驗來解決這個問題。首先，我們需要構造一個期望頻數(shù)矩陣。

期望頻數(shù)矩陣如下:

性別物理化學生物合計

男生隔橫、6。(40值3噎x6060

[Ei2--60

=29.17\=20)=11.75)

女生(E--x60(40(3=備6060

V21-12060&=痂*6。

=29.17、)=20)=11,75)

合計554025120

計算卡方值：

I

將各單元格的觀測頻數(shù)（0。和期望頻數(shù)（歷）代入公式計算:

X2=(3629.17)2+&斡2?+(5.劭2十(一封2十(_/.7力][乂2_33.3889+

29.17--20--11.75.~29.172011.75\~29.17

S+7F^1[x2=1.1606+1.25+0.2604\[x2=2.671]

查卡方分布表，自由度（"=（次數(shù)-1）X（列教-1）二/義2二學，當顯著性水平

（。二。.公）時，（、工）的臨界值約為5.991o

因為（>2=2.67/<5.9勿），所以沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設，即男生和女生在選

擇化學科目的概率沒有顯著差異。

第三題

在某次高考前的模擬考試中，為了研究學生是否選擇“物理、化學、生物”（簡稱

“物化生”）作為高考選考科目是否與性別有關，研究人員從參加此次模擬考試的學生

中隨機抽取了500名學生進行調(diào)查，并將這些學生按性別分組，具體數(shù)據(jù)如下：

性別物理（A）化學（B）生物（C）合計

性別物理(A)化學(B)生物(C)合計

男生1208090290

女生7060110240

合計190140200530

假設選擇“物化生”作為高考選考科目的概率為3),且已知男生選擇“物化生”

的概率為(外)，女生選擇“物化生”的概率為(4)。

8.計算(外)和(4)的值。

9.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，能否判斷“選擇'物化生'的高考選考科目與性別之間存在顯著

關聯(lián)”？請給出你的理由。

答案：

10.計算3)和必)的值

?對于男生，選擇“物化生”的概率(Pm)可以通過男生中選擇“物化生”的人數(shù)除

以男生總數(shù)來計算：

_120_12

外二兩二為

?對于女生，選擇“物化生”的概率(Pw)可以通過女生中選擇“物化生”的人數(shù)除

以女生總數(shù)來計算：

?_70_7-

『小礪二匹

2.判斷“選擇'物化生'的高考選考科目與性別之間是否存在顯著關聯(lián)”

為判斷兩變量間是否存在顯著關聯(lián)，我們可以使用卡方檢驗(Chi-SquareTest)。

首先,構建一個(2X0列聯(lián)表，然后根據(jù)公式計算卡方值。

性別物理(A)化學(B)生物(C)合計

性別物理（A）化學（B）生物（C）合計

男生1208090290

女生7060110240

合計190140200530

計算每個格子的期望頻數(shù)（ExpectedFrequency）,公式為:

.行合計,.x列合計;

E-=-----------------

“總樣本數(shù)

比如男生選擇“物化生”的期望頻數(shù)（為/）為:

290X190290X190

530

繼續(xù)計算其他期望頻數(shù)后,可以得到整個表格的期望頻數(shù)如下:

性別物理（A）化學（B）生物（C）合計

男生95.5485.46109.02290

女生94.4654.5490.98240

合計190140200530

然后計算每個格子的卡方值，公式為:

.二?廠％)

Eij

其中（0Q是實際觀測頻數(shù)，（功力是期望頻數(shù)。計算卡方值后，需要查表確認其對

應的P值。通常，如果計算出的卡方值大于自由度為（行數(shù)-1）*（列數(shù)T）的臨界值,

則拒絕原假設，認為變量之間存在顯著關聯(lián)。

由于上述計算過程較為繁瑣，實際應用中一般會借助統(tǒng)計軟件或計算器進行精確計

算。這里假設已經(jīng)通過計算得出卡方值為（叼，并且經(jīng)過查表得到相應的P值。

若P值小于顯著性水平（例如0.05）,則可以認為選擇“物化生”的高考選考科目

與性別之間存在顯著關聯(lián)；否則，認為沒有顯著關聯(lián)。

本題由于沒有具體數(shù)值，無法給出精確的卡方值和P值，但理論上，根據(jù)提供的數(shù)

據(jù)，可以進行類似的計算步驟來判斷兩者之間的關聯(lián)性。

四、解答題（第1題13分，第2、3題15,第4、5題17分，總分：

77）

第一題：

研究某地區(qū)高中學生的數(shù)學成績，隨機抽取了100名學生的數(shù)據(jù)，其中男生60人,

女生40人。統(tǒng)計結果顯示，男生的平均數(shù)學成績?yōu)?5分，女生平均數(shù)學成績?yōu)?5分。

假設成績服從正態(tài)分布，旦男生和女生成績的方差相等。請根據(jù)以上信息，回答以下問

題：

（1）請構建假設檢驗模型，以檢驗該地區(qū)高中男生的數(shù)學成績是否顯著高于女生。

（2）計算檢驗統(tǒng)計量，并給出計算過程。

（3）假設顯著性水平。=0.05,根據(jù)檢驗統(tǒng)計量確定接受或拒絕原假設。

答案：

（1）假設檢驗模型如下：

?原假設（H0）：男生=女生

?備擇假設（H1）：口_男生）、女生

其中，口一男生表示男生數(shù)學成績的總體均值，女生表示女生數(shù)學成績的總體

均值。

（2）檢驗統(tǒng)計量的計算過程:

?樣本均值：u_男生樣本=85,u_女生樣本=75

?樣本標準差：s_男生樣本=V（S（x_i-男生樣本）2/（n_男生-D）,

s_女生樣本=V；S（x_i-女生樣本）2/（n_女生-1））

?樣本數(shù)量：n_男生=60,n_女生=40

?由于方差相等，可以使用合并樣木標準差公式：

s_合并=V［（s_男生樣本2*n_男生+s_女生樣本2*n_女生）/（n_男

生+n_女生）］

?t統(tǒng)計量計算公式：

t=（u_男生樣本-u_女生樣本）/（s_合并*V（l/n_男生+l/n_女生））

?將具體數(shù)值代入計算得到檢驗統(tǒng)計量t的值。

（3）根據(jù)計算得到的檢驗統(tǒng)計量t的值，查t分布表，以自由度df二n_男生

+n_女生-2（本題中df=98）和顯著性水平a=0.05,找到相應的臨界值t_a。

如果計算得到的t統(tǒng)計量大于臨界值t_a,則拒絕原假設，認為男生的數(shù)學成績

顯著高于女生；否則，不拒絕原假設，認為男生的數(shù)學成績沒有顯著高于女生。由于具

體數(shù)值未給出，無法直接計算和給出t統(tǒng)計量的具體值和臨界值。

第二題

在某次高考改革中，為了研究考生選擇性必修科目中的物理、化學、生物三門科目

與性別之間的關系，隨機抽取了1000名學生進行調(diào)查，并得到了以下數(shù)據(jù)：

?男生中有50人選擇了物理、30人選擇了化學、20人選擇了生物；

?女生中有30人選擇了物理、50人選擇了化學、40人選擇了生物。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，請回答以下問題：

11.計算男生選擇物理的概率;

12.計算女生選擇化學的概率；

13.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否認為選擇性必修科目的選擇與性別之間存在關聯(lián)？請用適當

的方法說明理由。

答案：

14.計算男生選擇物理的概率：

男生中選擇物理的人數(shù)為50人，總人數(shù)為男生人數(shù)之和，即50+30+20二100人。因

此，男生選擇物理的概率為：

男生選擇物理的人數(shù)50

《選擇物理I男生）二—0.5

男生總人數(shù)100

3.計算女生選擇化學的概率:

女生中選擇化學的人數(shù)為50人，總人數(shù)為女生人數(shù)之和，即30+50+40=120人。因

此，女生選擇化學的概率為：

女生選擇化差的人數(shù)二之二巨-。0

《選擇化學I女生）

女生總人數(shù)12012

3.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否認為選擇性必修科目的選擇與性別之間存在關聯(lián)?

為了判斷選擇性必修科目的選擇與性別之間是否存在關聯(lián)，我們可以使用卡方檢驗

（X?檢驗）來分析。首先，我們需要構建一個2義3的列聯(lián)表:

物理化學生物總計

男生503020100

女生305040120

總計808060220

然后，我們計算每個單元格的期望頻數(shù)。期望頻數(shù)可以通過公式（￡%=

行總計,X列總計J

計算得到。具體地:

~總樣本數(shù)—

?對于男生選擇物理（50人），其期望頻數(shù)為:

100X80_8000

-220"~220=36.36

?對于男生選擇化學（30人），其期望頻數(shù)為:

/00X80_8000

E12=%36.36

~~220~220

?對于男生選擇生物（20人），其期望頻數(shù)為:

100X606000

~220=~220%27,2

?對于女生選擇物理（30人），其期望頻數(shù)為:

120X809600

43.64

J220220

?對于女生選擇化學（50人），其期望頻數(shù)為:

120X80_9600

43.64\

220~~220

?對于女生選擇生物（40人），其期望頻數(shù)為:

120X60_7200…

一~220~220^32.73

接下來，我們計算卡方統(tǒng)計量（乂2）：

i=l戶/

代入各個單元格的觀測頻數(shù)(%)和期望頻數(shù)(%)，得到：

222

[2-(50-36.36)2(30-36.:粉2{20-27.27)130-43.64){50-43.64)(40-32.7叫r.

L36.3636.3627.2743.6443.6432.73\L

1.11+1.77+1.99+3.69+2.47+2.47\[x2^13.80

查卡方分布表，自由度為(2T)X(3-1)=2,對應顯著性水平為0.05時的臨界值約

為5.991。由于我們的x2值大于臨界值5.991,因此在顯著性水平為0.05的情況下,

可以認為選擇性必修科目的選擇與性別之間存在關聯(lián)。

解析：

通過計算期望頻數(shù)并應用卡方檢驗，我們發(fā)現(xiàn)X2值為13.86,遠大于臨界值5.991。

這表明選擇性必修科目的選擇與性別之間存在顯著關聯(lián)。

第三題：

某高中為了了解選考科目與性別的關系，隨機抽取了100名學生，記錄了他們的性

別和選考科目(數(shù)學、物理、化學、生物、歷史、地理)。數(shù)據(jù)如下表所示：

選考科目男生人數(shù)女生人數(shù)

數(shù)學3020

物理2515

化學2025

生物1020

歷史1530

地理510

假設男生和女生選考科目的選擇是獨立的，請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，使用卡方檢驗來判斷

選考科目與性別之間是否存在顯著的相關性。

(1)計算卡方檢驗的統(tǒng)計量X2。

(2)假設顯著性水平a=0.05,根據(jù)自由度和顯著性水平查表得到臨界值，判斷是

否拒絕原假設。

答案:

（1）卡方檢驗統(tǒng)計量X2的計算公式為:

2「名）［

X

其中，0_i為觀察頻數(shù)，E_i為期望頻數(shù)。

首先，我們需要計算每個單元格的期望頻數(shù)E_i,公式為:

'_（沅京數(shù)）X（列總黔

1總樣本數(shù)

計算期望頻數(shù)：

?數(shù)學：［傷尸毀詈=2Z5

?物理：同=吟泮=匈

?化學：卜3二券迎二名同

?生物：［%=強泮=網(wǎng)

.歷史：|心=臂=2。］

?地理：際=吟泮=可

然后，計算每個單元格的卡方值：

?數(shù)學：［寫:*0./幽

?物理：［歿藝二〃7n

?化學：咋!誓=0.555熊

?生物：忤浮=。］

?歷史：喏藝=〃.625］

?地理：［號-二。

求和得到卡方檢驗統(tǒng)計量：

\x2=0.1818+0.75+0.5556+0+0.625+0=2.117\

(2)自由度df為(行數(shù)T)X(列數(shù)-1)=(2-1)X(6-1)=5o

查表得到顯著性水平a=0.05時的臨界值x2（5,0.05）約為11.070。

因為計算得到的乂2=2.117小于臨界值11.070,所以我們不能拒絕原假設，即沒有

足夠的證據(jù)表明選考科目與性別之間存在顯著的相關性。

第四題

某學校為了研究高考選考科目（物理、化學、生物、政治、歷史、地理）的選擇是

否與性別有關，隨機調(diào)查了100名學生，統(tǒng)計了他們的性別和所選的科目情況如下：

高考選考科目物理化學生物政治歷史地理

男生251510535

女生202020101010

能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為高考選考科目與性別有關？

答案：

通過計算得到的卡方值為（N=12.%）,查表得臨界值（J,。0廣6.635）,因為（一＞

Q-U.UiJ所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為高考選考科目與性別有關。

解析：

首先，我們需要明確這是?個關于獨立性的檢驗問題，使用卡方檢驗來判斷變量之

間是否存在顯著的相關性。給定的數(shù)據(jù)是2X6的列聯(lián)表，其中行變量是“性別”（分為

男生和女生），列變量是“高考選考科目”。

卡方檢驗的步驟如下：

15.建立原假設和備擇假設:

一（帥:高考選考科目與性別無關。

-W）：高考選考科目與性別有關。

4.計算期望頻數(shù)：

對于每個單元格，其期望頻數(shù)計算公式為：

'_（行總和）X1列總和、

Ej--------------------------------------------

J總樣本數(shù)

根據(jù)題目中提供的數(shù)據(jù)，我們計算出各個單元格的期望頻數(shù)。

4.計算卡方值：

卡方檢驗的統(tǒng)計量公式為：

卜￡￡中

i=lj=lJ

其中（。工/）是實際頻數(shù)，（%）是期望頻數(shù)。

4.確定臨界值并做出決策：

通過查卡方分布表，找到自由度為（"二（行數(shù)一乂（列數(shù)-i）=.9的卡方分布臨

界值。根據(jù)題目中的顯著水平”0.01,查表得到臨界值（82〃〃「6.634

5.比較卡方值與臨界值：

如果計算得到的卡方值大于臨界值，則拒絕原假設，即認為變量之間存在顯著相關

性；否則，不拒絕原假設。

接下來，我們計算期望頻數(shù)并進行卡方檢驗的具體步驟：

16.計算各單元格的期望頻數(shù)：

以“物理”科目為例，男生的實際頻數(shù)為25,女生的實際頻數(shù)為20,總樣本數(shù)為

100o期望頻數(shù)計算如下:

(2介/*/0岳*5)X100_OJ[_(2多15+/加93+5)X100=20[E=

Too1[12TooJ3

(2升/*/口分*協(xié)=20卜=(2及1扭及夕5jX100=20忸=(2*/5/D5*5)X/O0

(2*/5+/」*3+5)x/。

100

同理可得其他單元格的期望頻數(shù)。

5.計算卡方值：

將實際頻數(shù)與期望頻數(shù)代入卡方檢驗的公式中，計算得到卡方值為12.96o

5.比較卡方值與臨界值：

查卡方分布表，自由度為5時，臨界值為6.635,而計算得到的卡方值為：2.96,

顯然大于6.635。

因此，我們拒絕原假設（砌，即能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為高考

選考科目與性別有關。

第五題：

已知某高中一年級有300名學生，其中男生180名，女生120名。該校在數(shù)學、物

理、化學、生物四門科目中，要求學生選擇其中兩門作為選修科目。現(xiàn)從學生中隨機抽

取100名學生，記錄他們的性別和所選的兩門科目。

請根據(jù)以下數(shù)據(jù)回答問題：

性別：

?男生：60名

?女生：40名

所選科目組合及人數(shù)（性別分開統(tǒng)計）：

?數(shù)學+物理：男生30名，女生20名

?數(shù)學+化學：男生25名，女生15名

?數(shù)學+生物：男生10名，女生10名

?物理+化學：男生20名，女生10名

?物理+生物：男生15名，女生5名

?化學+生物：男生10名，女生10名

17.請計算男生和女生選擇數(shù)學作為第一門選修科目的比例。

18.請分析男生和女生在選擇物理作為第一門選修科目時是否存在性別差異。

答案：

19.男生選擇數(shù)學作為第一門選修科目的比例計算如下：

男生選擇數(shù)學的總人數(shù):數(shù)學+物理的男生人數(shù)+數(shù)學+化學的男生人數(shù)+數(shù)學

+生物的男生人數(shù)

=30+25+10

=65

男生選擇數(shù)學的比例=男生選擇數(shù)學的總人數(shù)/男生總人數(shù)

-65/180

=0.3611

236.11%

女生選擇數(shù)學作為第一門選修科目的比例計算如下：

女生選擇數(shù)學的總人數(shù)=數(shù)學+物理的女生人數(shù)+數(shù)學+化學的女生人數(shù)+數(shù)學

+生物的女生人數(shù)

=20+15+10

=45

女生選擇數(shù)學的比例二女生選擇數(shù)學的總人數(shù)/女生總人數(shù)

=45/120

=0.375

二37.5%

6.分析男生和女生選擇物理作為第一門選修科目時是否存在性別差異：

男生選擇物理的總人數(shù)=物理+化學的男生人數(shù)+物理+生物的男生人數(shù)

=20+15

=35

女生選擇物理的總人數(shù)二物理+化學的女生人數(shù)+物理+生物的女生人數(shù)

=10+5

=15

男生選擇物理的比例二男生選擇物理的總人數(shù)/男生總人數(shù)

=35/180

Q0.1944

?19.44%

女生選擇物理的比例二女生選擇物理的總人數(shù)/女生總人數(shù)

=15/120

=0.125

=12.5%

從比例上看，女生選擇物理的比例明顯低于男生，說明在選擇物理作為第一門選修

科目時，存在性別差異，男生選擇物理的比例更高。

解析：

本題主要考察對概率和比例的計算以及對數(shù)據(jù)進行分析的能力。首先通過簡單的加

法計算出選擇數(shù)學作為第一門選修科目的男生和女生的總人數(shù)，然后分別除以男生和女

生的總人數(shù)得到比例。接著，通過比較男生和女生選搭物理作為第一門選修科目的比例,

可以判斷是否存在性別差異。在本例中，通過計算和分析，我們可以得出男生選擇物理

的比例高于女生，存在性別差異的結論。

《第四章概率與統(tǒng)計》試卷（答案在后面）

一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）

1、某班級有50名學生，其中30人喜歡籃球，20人喜歡足球，5人既喜歡籃球又

喜歡足球。那么這個班級中至少喜歡一項運動的學生比例是多少？

A.60%B.70%C.80%D.90%

2、在擲一枚均勻的正方體骰子的實驗中，事件A為“出現(xiàn)點數(shù)大于3”，事件B為

“出現(xiàn)點數(shù)小于4”。則下列說法正確的是（）

A.事件A和事件B互斥

B.事件A和事件B互為對立事件

C.事件A和事件B不可能同時發(fā)生

D.事件A和事件B一定同時發(fā)生

3、一個袋子里有5個紅球和3個藍球，不放回地依次抽取兩個球，求第一次抽到

紅球且第二次抽到藍球的概率。

,3

2

4、某班50名學生參加數(shù)學競賽，成績分布如下:

成績區(qū)間人數(shù)

90-1008

80~8915

70-7918

60~699

60以下0

(1)求該班數(shù)學競賽成績的眾數(shù)是多少？

A.70分

B.80分

C.90分

D.85分

5、在擲一枚均勻的正六面骰子的實驗中，事件”出現(xiàn)偶數(shù)點數(shù)”的概率是多少？

A.1/6

B.1/3

C.1/2

D.2/3

6、一個盒子中有5個紅球和3個藍球，從中隨機抽取兩個球，至少有一個紅球的

概率是：

A.2/7

B.5/8

C.3/7

D.4/7

7、從一副52張的標準撲克牌中隨機抽取一張牌，抽到紅桃的概率是多少？

A.1/2

B.1/4

C.1/26

D.1/13

8、甲、乙兩人獨立地解同一道題，已知甲能正確解答的概率為0.8,乙能正確解

答的概率為0.7,那么這道題至少有一人能正確解答的概率是：

A.0.94

B.0.96

C.0.98

D.0.92

二、多選題（本大題有3小題，每小題6分，共18分）

1、（多選題）某班50名學生參加數(shù)學競賽，成績分布如下表所示：

成績區(qū)間人數(shù)

0-60分10人

60-70分15人

70-80分20人

成績區(qū)間人數(shù)

80-90分5A

90-100分0人

若隨機抽取一名學生，則這名學生的成績在70-90分之間的概率是多少？

A.1/2

B.3/5

C.2/5

D.1/10

2、已知某班50名學生參加數(shù)學競賽，成績分布如下表所示：

成績區(qū)間人數(shù)

60-7010

70-8020

80-9015

90-1005

（1）求該班數(shù)學競賽成績的眾數(shù)；

（2）求該班數(shù)學競賽成績的中位數(shù)；

（3）求該班數(shù)學競賽成績的平均數(shù)。

A.（1）眾數(shù)二80分；（2）中位數(shù)二78分；（3）平均數(shù)二79分

B.（1）眾數(shù)二80分；（2）中位數(shù)=78分；（3）平均數(shù)二80分

C.（1）眾數(shù)=70分；（2）中位數(shù)=77分；（3）平均數(shù)=78分

D.（1）眾數(shù)=70分；（2）中位數(shù)=77分；（3）平均數(shù)=79分

3、在一組數(shù)據(jù)中，隨機抽取5個數(shù)進行分析。若已知這5個數(shù)的平均值為12,標

準差為3,則下列哪個選項描述了這組數(shù)據(jù)的變異情況？

A.數(shù)據(jù)點之間的差異較小，幾乎完全一致。

B.數(shù)據(jù)點之間有較大的差異。

C.數(shù)據(jù)點之間的差異適中。

D.根據(jù)現(xiàn)有信息無法判斷數(shù)據(jù)的變異情況。

三、計算題(本大題有3小題，每小題5分，共15分)

第一題：

某商店為促銷，開展了一個抽獎活動?；顒右?guī)則如下：顧客購買滿100元商品即可

獲得一次抽獎機會，抽獎箱中有5個紅球，10個藍球，15個白球。顧客抽獎時，從箱

中隨機抽取一個球，然后放回，再抽取一個球。請問：

(1)顧客連續(xù)抽取兩次，至少抽取到一個紅球的概率是多少？

(2)顧客連續(xù)抽取兩次，抽取到兩個同色球的概率是多少？

第二題

在一個盒子中有10個球，其中3個紅球、4個藍球和3個綠球。從這10個球中隨

機抽取兩個球。

(1)求這兩個球都是紅球的概率；

(2)求這兩個球顏色不同的概率。

第三題

某公司為了了解員工對新政策的接受度，隨機抽取了100名員工進行調(diào)查，并記錄

了他們的年齡分布如下：

年齡段（歲）18-2526-3536-4546-5556歲以上

年齡段（歲）18-2526-3536-4546-5556歲以上

人數(shù)103040155

從這100名員工中隨機選取一名員工，設事件A為“被選中的員工年齡在18-25

歲之間”，事件B為“被選中的員工年齡在36-45歲之間”。

求P(A)和P(B),并計算P(AUB)和P(ACB)。

四、解答題(第1題13分，第2、3題15,第4、5題17分，總分:

77)

第一題:

某學校為了了解學生參加課外活動的興趣，