第5章穩(wěn)恒磁場我們已經(jīng)知道,在靜止電荷的周圍存在著電場.當(dāng)電荷運動時,在其周圍不僅有電場,而且還存在磁場.本章將討論運動電荷(電流)產(chǎn)生磁場的基本規(guī)律以及磁場對運動電荷(電流)的作用.1其主要內(nèi)容為：磁場磁感應(yīng)強度畢奧—薩伐爾定律及其應(yīng)用運動電荷的磁場磁場的高斯定理和安培環(huán)路定理磁場對載流導(dǎo)線的作用洛侖茲力磁力的功物質(zhì)的磁性2第一節(jié)磁場磁感應(yīng)強度一、磁場人們對磁現(xiàn)象的認(rèn)識與研究有著悠久的歷史,早在春秋時期(公元前6世紀(jì)),我們的祖先就已有“磁石召鐵”的記載；宋朝發(fā)明了指南針,且將其用于航海.我國古代對磁學(xué)的建立和發(fā)展作出了很大的貢獻(xiàn).早期對磁現(xiàn)象的認(rèn)識局限于磁鐵磁極之間的相互作用,當(dāng)時人們認(rèn)為磁和電是兩類截然分開的現(xiàn)象,直到1819—1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)后,人們才認(rèn)識到磁與電是不可分割地聯(lián)系在一起的.1820年安培相繼發(fā)現(xiàn)了磁體對電流的作用和電流與電流之間的作用,進(jìn)一步提出了分子電流假設(shè),即：一切3磁現(xiàn)象都起源于電流(運動電荷),一切物質(zhì)的磁性都起源于構(gòu)成物質(zhì)的分子中存在的環(huán)形電流.這種環(huán)形電流稱為分子電流.安培的分子電流假設(shè)與近代關(guān)于原子和分子結(jié)構(gòu)的認(rèn)識相吻合.關(guān)于物質(zhì)磁性的量子理論表明,核外電子的運動對物質(zhì)磁性有一定的貢獻(xiàn),但物質(zhì)磁性的主要來源是電子的自旋磁矩.與電荷之間的相互作用是靠電場來傳遞的類似,磁相互作用力是通過磁場來進(jìn)行的.一切運動電荷(電流)都會在周圍空間產(chǎn)生磁場,而這磁場又會對處于其中的運動電荷(電流)產(chǎn)生磁力作用,其關(guān)系可表示為4磁場和電場一樣,也是客觀存在的,它是一種特殊的物質(zhì),磁場的物質(zhì)性表現(xiàn)在：進(jìn)入磁場中的運動電荷或載流導(dǎo)線受磁場力的作用；載流導(dǎo)線在磁場中運動時,磁場對載流導(dǎo)線要作功,即磁場具有能量.二、磁感應(yīng)強度1磁感應(yīng)強度為了定量的描述磁場的分布狀況,引入磁感應(yīng)強度.它可根據(jù)進(jìn)入磁場中的運動電荷或載流導(dǎo)線受磁場力的作用來定義,下面就從運動電荷在磁場中的受力入手來討論.實驗發(fā)現(xiàn),磁場對運動電荷的作用有如下規(guī)律：51)磁場中任一點都有一確定的方向,它與磁場中轉(zhuǎn)動的小磁針靜止時N極的指向一致.我們將這一方向規(guī)定為磁感應(yīng)強度的方向.2)運動試探電荷在磁場中任一點的受力方向均垂直于該點的磁場與速度方向所確定的平面,如圖5.1所示.受力的大小,不僅與試探電荷的電量、經(jīng)該點時的速率υ以及該點磁場的強弱有關(guān),還與電荷運動的速度相對于磁場

的取向有關(guān),當(dāng)電荷沿磁感應(yīng)強度的方向運動時,其受力為零；當(dāng)沿與磁感應(yīng)強度圖5.16垂直的方向運動時,其受力最大,用Fmax表示.3)不管q0

、υ和電荷運動方向與磁場方向的夾角θ如何不同,對于給定的點,比值Fmax/q0υ不變,其值僅由磁場的性質(zhì)決定.我們將這一比值定義為該點的磁感應(yīng)強度,以B

表示,即在國際單位制中,磁感應(yīng)強度的單位為特斯拉(T).有時也采用高斯單位制的單位——高斯（G）2磁感應(yīng)線為了形象的描述磁場中磁感應(yīng)強度的分布,類比電7場中引入電場線的方法引入磁感應(yīng)線(或叫B線).磁感應(yīng)線的畫法規(guī)定與電場線畫法一樣.為能用磁感應(yīng)線描述磁場的強弱分布,規(guī)定垂直通過某點附近單位面積的磁感應(yīng)線數(shù)(即磁感應(yīng)線密度)等于該點B的大小.實驗上可用鐵粉來顯示磁感應(yīng)線圖形.磁感應(yīng)線具有如下性質(zhì)：1)磁感應(yīng)線互不相交,是既無起點又無終點的閉合曲線；2)閉合的磁感應(yīng)線和閉合的電流回路總是互相鏈環(huán),它們之間的方向關(guān)系符合右手螺旋法則.8第二節(jié)畢奧—薩伐爾定律及其應(yīng)用一、畢奧—薩伐爾定律在靜電學(xué)部分,大家已經(jīng)掌握了求解帶電體的電場強度的方法,即把帶電體看成是由許多電荷元組成,寫出電荷元的場強表達(dá)式,然后利用疊加原理求整個帶電體的場強.與此類似,載流導(dǎo)線可以看成是由許多電流元組成,如果已知電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度,利用疊加原理便可求出整個電流的磁感應(yīng)強度.電流元的磁感應(yīng)強度由畢奧—薩伐爾定律給出,這條定律是拉普拉斯(Laplace)把畢奧(Biot)、薩伐爾(Savart)等人在19世紀(jì)20年代的實驗資料加以分析9和總結(jié)后得出的,故稱為畢奧—薩伐爾—拉普拉斯定律,簡稱畢奧—薩伐爾定律,其內(nèi)容如下：電流元Idl

在真空中某一點P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度dB的大小與電流元的大小及電流元與它到P點的位矢

r

之間的夾角θ的正弦乘積成正比,與位矢大小的平方成反比；方向與Idl×r

的方向相同.（這里用到矢量Idl與矢量

r

的叉乘.叉乘的大小為Idlr

sinθ

；其方向滿足右手螺旋關(guān)系,即伸直的右手,四指從Idl轉(zhuǎn)向

r的方向,那么拇指所指的方向即為Idl×r的方向,如圖5.2所示）其數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖5.210式中k為比例系數(shù),在國際單位制中取為所以畢奧—薩伐爾定律在真空中可表示為其矢量形式為11利用疊加原理,則整個載流導(dǎo)線在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B是上式沿載流導(dǎo)線的積分,即畢奧—薩伐爾定律和磁場疊加原理,是我們計算任意電流分布磁場的基礎(chǔ)，上式是這二者的具體結(jié)合.但該式是一個矢量積分公式,在具體計算時,一般用它的分量式.二、畢奧—薩伐爾定律應(yīng)用舉例1直線電流的磁場設(shè)在真空中有一長為

L的載流導(dǎo)線MN,導(dǎo)線中12的電流強度為I,現(xiàn)計算該直電流附近一點P處的磁感應(yīng)強度B.如圖5.3所示,設(shè)a為場點P到導(dǎo)線的距離,θ為電流元Idl與其到場點P的矢徑的夾角,θ1、θ2分別為M、N

處的電流元與M、N

到場點P的矢徑的夾角.按畢奧—薩伐爾定律,電流元Idl在場點P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度dB的大小為dB的方向垂直紙面向里（即Z軸負(fù)向）圖5.313導(dǎo)線MN上的所有電流元在點P所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度都具有相同的方向,所以總磁感應(yīng)強度的大小應(yīng)為各電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的代數(shù)和,即則上積分為B的方向垂直于紙面向里.14對于無限長載流直導(dǎo)線(θ1=0,θ2=π),距離導(dǎo)線為a

處的磁感應(yīng)強度大小為2圓電流軸線上的磁場在半徑為R的圓形載流線圈中通過的電流為I,現(xiàn)確定其軸線上任一點P的磁場.在圓形載流導(dǎo)線上任取一電流元Idl,點P相對于電流元Idl的位置矢量為r,點P到圓心O的距離OP=x,如圖5.4所示.由此可見,對于圓形導(dǎo)線上任一電流元,總有Idl⊥r,所以Idl在點P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小為15dB的方向垂直于Idl和r所決定的平面.顯然圓形載流導(dǎo)線上的各電流元在點P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的方向是不同的,它們分布在以點P為頂點、以O(shè)P的延長線為軸的圓錐面上.將dB分解為平行于軸線的分量和垂直于軸線的分量.由軸對稱性可知,磁感應(yīng)強度dB的垂直分量相互抵消.所以磁感應(yīng)強度B的大小就等于各電流元在點P所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的軸向分量的代數(shù)和.由圖5.4可知圖5.416所以總磁感應(yīng)強度的大小為B的方向沿著軸線,與分量dB||的方向一致.在圓形電流中心(即x=0)處,其磁感應(yīng)強度為B的方向可由右手螺旋定則確定.而且圓形電流的任一電流元在其中心處所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的方向都沿軸線且滿足右手螺旋定則.所以,圓形電流在其中心的磁感應(yīng)強度是由組成圓形電流的所有電流元17在中心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的標(biāo)量和,對圓心角為θ的一段圓弧電流,在其圓心的磁感應(yīng)強度為可以看出,一個圓形電流產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)線是以其軸線為軸對稱分布的,這與條形磁鐵或磁針的情形頗相似,并且其行為也與條形磁鐵或磁針相似.于是我們引入磁矩這一概念來描述圓形電流或載流平面線圈的磁行為,圓電流的磁矩m定義為方向說明。對于多匝平面線圈18

利用圓電流在軸線上的磁場公式通過疊加原理可以計算直載流螺線管軸線上的磁感應(yīng)強度.對于長直密繞載流螺線管,其軸線上的磁感應(yīng)強度為μ0nI

例5.1電流為I的無限長載流導(dǎo)線

abcde

被彎曲成如圖5.5所示的形狀.圓弧半徑為R,θ1=450,θ2=135o.求該電流在O點處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度.作業(yè)(P204)：5.14，5.18圖5.5例5.1示圖19第三節(jié)運動電荷的磁場由于電流是運動電荷形成的,所以可以從電流元的磁場公式導(dǎo)出勻速運動電荷的磁場公式.根據(jù)畢奧—薩伐爾定律,電流元Idl在空間的一點P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為如圖5.6所示,設(shè)S是電流元Idl的橫截面的面積,并設(shè)在導(dǎo)體單位體積內(nèi)有n個載流子,每個載流子帶電量為

q,以速度υ沿Idl

的方向勻速運動,圖5.620形成導(dǎo)體中的電流.那么單位時間內(nèi)通過橫截面S的電量為qnυS,亦即電流強度為I=qnυS,則Idl=qnυSdl

,如果將q視為代數(shù)量,Idl的方向就是qυ的方向,因此可以把dl中的矢量符號加在速度υ上,即Idl=qnSdlυ.將Idl這一表達(dá)式代入畢奧——薩伐爾定律中就可得其中dN=nSdl代表此電流元內(nèi)的總載流子個數(shù),即這磁感應(yīng)強度是由dN=nSdl個載流子產(chǎn)生的,那么每一個電量為q,以速度為υ運動的點電荷所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B為21B的方向垂直于υ和r所組成的平面,其指向亦符合右手螺旋法則.值得注意,對于高速運動電荷,上結(jié)果不再適用.需要考慮相對論效應(yīng).22第四節(jié)磁場的高斯定理和安培環(huán)路定理穩(wěn)恒磁場與庫侖電場有著不同的基本性質(zhì),庫侖電場的基本性質(zhì)可以通過庫侖場的高斯定理和環(huán)路定理來描述；穩(wěn)恒磁場的基本性質(zhì)也可以用關(guān)于磁場的這兩個定理來描述.本節(jié)就來介紹穩(wěn)恒磁場的高斯定理和安培環(huán)路定理.

一、磁場的高斯定理1磁通量在說明磁場的規(guī)律時,類比電通量,也可引入磁通量的概念.通過某一面積S的磁通量的定義是即等于通過該面積的磁感應(yīng)線的總條數(shù).232磁場的高斯定理對于閉合曲面,若規(guī)定曲面各處的外法向為該處面元矢量的正方向,則對閉面上一面元的磁通量為正就表示磁感應(yīng)線穿出閉面,磁通量為負(fù)表示磁感應(yīng)線穿入閉面.對任一閉合曲面S,由于磁感應(yīng)線是無頭無尾的閉合曲線,不難想象,凡是從S某處穿入的磁感應(yīng)線,必定從S的另一處穿出,即穿入和穿出閉合曲面S的凈條數(shù)必定等于零.所以通過任意閉合曲面S的磁通量為零,即這是恒定磁場的一個普遍性質(zhì),稱為磁場的高斯定理.24二、安培環(huán)路定理由畢奧——薩伐爾定律表示的電流和它的磁場的關(guān)系,可以導(dǎo)出穩(wěn)恒磁場的一條基本規(guī)律——安培環(huán)路定理.其內(nèi)容為：在穩(wěn)恒電流的磁場中,磁感應(yīng)強度B沿任何閉合路徑L的線積分(即B對閉合路徑L的環(huán)量)等于路徑L所包圍的電流強度的代數(shù)和的μ0倍,它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為下面以長直穩(wěn)恒電流的磁場為例簡單說明安培環(huán)路定理.前已得到，距電流強度為I的無限長電流為

r

處的磁感應(yīng)強度為25其繞向與電流方向成右手螺旋關(guān)系.1)在上述平面內(nèi)圍繞導(dǎo)線作一任意形狀的閉合路徑L(如圖5.7所示),沿L計算B的環(huán)量.在路徑L上任一點P處,dl與B的夾角為θ,它對電流通過點所張之角為dα.由于B垂直于矢徑r,因而dlcosθ就是dl

在垂直于r方向上的投影,它就等于dα所對的以r為半徑的圓弧長,由于此弧長等于r

dα,所以B

線為在垂直于直導(dǎo)線的平面內(nèi)圍繞該導(dǎo)線的同心圓,圖5.726此式說明,當(dāng)閉合路徑L包圍電流I時,這個電流對該環(huán)路上B

的環(huán)路積分為μ0I.2)如果電流的方向相反,仍按圖5.7所示的路徑L的方向進(jìn)行積分時,由于B的方向與圖示方向相反,所以應(yīng)該得可見積分的結(jié)果與電流的方向有關(guān).如果對電流的正負(fù)作如下規(guī)定,即電流的方向與L的繞行方向符合右手螺旋關(guān)系時,此電流為正,否則為負(fù),則B的環(huán)路積分的值可以統(tǒng)一表示為.代數(shù)量可正可負(fù)273）如果閉合路徑不包圍電流,如圖5.8所示,L為在垂直于載流導(dǎo)線平面內(nèi)的任一不圍繞電流的閉合路徑.過電流通過點作L的兩條切線,將L分為L1和L2兩部分,沿圖示方向計算B的環(huán)量為可見,閉合路徑L不包圍電流時,該電流對沿這一閉合路徑的B的環(huán)路積分無貢獻(xiàn).圖5.828推廣：上面的討論只涉及在垂直于長直電流的平面內(nèi)的閉合路徑.1）易證在長直電流的情況下,對非平面閉合路徑,上述討論也適用；2）還可進(jìn)一步證明,對于任意的閉合穩(wěn)恒電流,上述B的環(huán)路積分和電流的關(guān)系仍然成立。這樣,再根據(jù)磁場的疊加原理可得到,當(dāng)有若干個閉合穩(wěn)恒電流存在時,沿任一閉合路徑L,合磁場的環(huán)路積分為式中∑Iint是環(huán)路L所包圍的電流的代數(shù)和.上式就是我們要證明的安培環(huán)路定理式.29值得指出,閉合路徑L包圍的電流的含義是指與L所鏈環(huán)的電流,對閉合穩(wěn)恒電流的一部分（即一段穩(wěn)恒電流）安培環(huán)路定理不成立；另外,在安培環(huán)路定理表達(dá)式中的電流∑Iint是閉合路徑L所包圍的電流的代數(shù)和,但定理式左邊的磁感應(yīng)強度B,卻代表空間所有電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的矢量和.三、安培環(huán)路定理的應(yīng)用1載流長直螺線管內(nèi)的磁場設(shè)有一長直螺線管,長為L,共有N匝線圈,通有電流I,由于螺線管很長,則管內(nèi)中央部分的磁場是均勻的,并可證明,方向與螺線管的軸線平行.管的外側(cè),磁場很弱,可以忽略不計.30為了計算螺線管中央部分某點P的磁感應(yīng)強度.可通過P點作一矩形閉合線

abcda

如圖5.9所示.在如圖的繞行方向下,B矢量的線積分為圖5.9由于磁場方向與螺線管的軸線平行,故bc,da段上B與dl

處處垂直,所以31又cd在螺線管外側(cè)附近,其上磁感應(yīng)強度為零,所以由于P點是長直螺線管內(nèi)的中央部分任一點,所以上式就是螺線管中央部分的磁場分布,它是一勻強磁場.2環(huán)形螺線管內(nèi)的磁場如圖5.10是環(huán)形空心螺線管的示意圖.設(shè)線圈匝數(shù)為N,圖5.1032電流為I,方向如圖所示.如果導(dǎo)線繞的很密,則全部磁場都集中在管內(nèi),磁感應(yīng)線是一系列圓環(huán),圓心都在螺線管的對稱軸上.由對稱性可知,在同一磁感應(yīng)線上的各點,磁感應(yīng)強度B的大小相等,B的方向為沿磁感應(yīng)線的切線方向,為計算管內(nèi)某一點P

的磁感應(yīng)強度B,選通過該點的一條磁感應(yīng)線為閉合路徑（如圖是半徑為

r的圓周）,應(yīng)用安培環(huán)路定理得可見,環(huán)形螺線管內(nèi)的磁感應(yīng)強度B的大小與r

成反比.若環(huán)形螺線管的內(nèi)外半徑之差比

r小得多,則可認(rèn)為環(huán)內(nèi)各點的B值近似相等,其大小為33其中R是環(huán)形螺線管的平均半徑,n=N/2πR為平均周長上單位長度的匝數(shù).作業(yè)(P205)：5.20，5.2234第五節(jié)磁場對載流導(dǎo)線的作用一、安培定律磁場的基本屬性就是對處于其中的運動電荷有力的作用,前面我們根據(jù)這一屬性定義了磁感應(yīng)強度.而大量電荷作定向運動形成電流.載流導(dǎo)線處于磁場中,由于作定向運動的自由電子所受的磁力,傳遞給金屬晶格,宏觀上就表現(xiàn)為磁場對載流導(dǎo)線的作用.關(guān)于磁場對載流導(dǎo)線的作用力,安培從許多實驗結(jié)果的分析中總結(jié)出關(guān)于載流導(dǎo)線上一段電流元受力的基本定律,即安培定律,其內(nèi)容如下：磁場對電流元Idl的作用力dF與電流元的大小Idl、35電流元所在處的磁感應(yīng)強度B的大小,以及B與Idl之間的夾角θ的正弦成正比,其方向垂直于Idl和B決定的平面,指向遵守右手螺旋法則,即

Idl×B

的方向(如圖5.11所示).其數(shù)學(xué)表達(dá)式為任何形狀的載流導(dǎo)線在外磁場中所受的磁場力(即安培力),應(yīng)該等于各段電流元所受磁力的矢量和,即

這是一個矢量積分,一般情況下應(yīng)化為分量式求解.但若各電流元的受力都沿同一方向,矢量積分就自然化為標(biāo)量積分.圖5.1136例5.2半徑為R,電流為I的半圓形載流導(dǎo)線置于磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場中,B和I

的方向如圖5.12所示.求半圓形載流導(dǎo)線受到的安培力.解建立如圖5.12所示的直角坐標(biāo)系XOY.在半圓環(huán)上任取一電流元Idl,它受到的安培力的大小為方向沿電流元的位矢方向.由圖可知,dF

沿X、Y軸的投影dl=-Rdα,故圖5.12例5.2示圖37即半圓形載流導(dǎo)線受到的安培力為F=2BIR,方向沿Y軸正向.二、兩平行長直電流之間的相互作用電流能夠產(chǎn)生磁場,磁場又會對處于其中的電流施加作用力.因此,一電流與另一電流的作用就是一電流的磁場對另一電流的作用,這作用力可利用畢奧—薩伐爾定律和安培定律通過矢量積分獲得,在一般情況下計算比較困難.下面討論一種簡單情形,38即兩平行長直電流之間的相互作用.如圖5.13所示,兩條相互平行的長直載流導(dǎo)線,相距為a,分別載有同向電流I1、I2，I1在導(dǎo)線2中各點所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小為那么載流導(dǎo)線2中每單位長度所受載流導(dǎo)線1的作用力大小為圖5.1339f12與f21大小相等、方向相反,體現(xiàn)為引力；若兩平行導(dǎo)線中的電流方向相反,則彼此間的相互作用為斥力.在國際單位制中,電流強度被作為基本物理量,它的單位安培(A)作為基本單位.這一基本單位就是利用兩條相互平行的長直載流導(dǎo)線間的相互作用力來定義的：真空中兩條載有等量電流,且相距為1米的長直導(dǎo)線,當(dāng)每米長度上的相互作用力為2×10-7N時,導(dǎo)線中的電流大小定義為1安培.可見真空的磁導(dǎo)率μ0是一個具有單位的導(dǎo)出量.40三、磁場對載流線圈的作用利用安培定律可以分析勻強磁場對載流線圈的作用.圖5.14表示了一個矩形平面線圈ABCD,其中邊長AB=CD=l1,BC=DA=l2,線圈內(nèi)通有電流I,我們規(guī)定線圈平面法線n的正方向與線圈中的電流方向滿足右手螺旋關(guān)系.將這個線圈放在磁感應(yīng)強度為B

的勻強磁場中,并設(shè)線圈的法線方向與磁場方向成α角.圖5.1441根據(jù)安培定律,AD邊和BC邊所受磁場力始終處于線圈平面內(nèi),并且大小相等,方向相反,作用在同一條直線上,因而相互抵消.而AB邊和CD邊,由于電流的方向始終與磁場垂直,它們所受磁力fAB和fCD的大小相等為它們的方向相反,但不在同一直線上,因而構(gòu)成力偶,為線圈提供了力矩,如圖5.14(b)所示.此力矩的大小為可知,當(dāng)α=π/2(即線圈平面與磁場方向平行)時,線圈所受力矩最大.在此力矩作用下,線圈將繞其中心并平42行于AB邊的軸轉(zhuǎn)動.隨著線圈的轉(zhuǎn)動,α角逐漸減小,當(dāng)α=0(即線圈平面與磁場方向垂直)時,力矩等于零,線圈達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài).當(dāng)α=π時,力矩也等于零,也是線圈的平衡位置,但這個位置不是線圈的穩(wěn)定平衡位置,稍受擾動就會立即轉(zhuǎn)到α=0的位置上去.以上結(jié)論是通過對均勻磁場中的矩形載流線圈的討論得到的,但可證明對均勻磁場中的任意形狀的載流平面線圈,上結(jié)果均適用.可見,對均勻磁場中的任意平面剛性線圈,線圈所受磁力為零而不發(fā)生平動,但在不為零的磁力矩作用下將發(fā)生轉(zhuǎn)動.如果線圈處于非均勻磁場中,線圈除受力矩的作用43外,還要受合力的作用,這樣線圈除轉(zhuǎn)動外,還要發(fā)生平動.例5.3如圖5.15所示,在通有電流I1的長直導(dǎo)線旁有一平面圓形線圈,線圈半徑為R,線圈中心到導(dǎo)線的距離為

l,線圈通有電流I2,線圈與直導(dǎo)線電流在同一平面內(nèi),求線圈所受到的磁場力.方向垂直于紙面向內(nèi).據(jù)安培定律,電流元I2dl受到的磁場力大小為

圖5.15例5.3示圖44方向沿半徑向外,垂直于I2dl.由對稱性可知上半球所受的力與下半球所受的力在豎直方向上的分量互相抵消,即所以整個線圈所受的力為方向沿X軸正向.作業(yè)(P206)：5.2445第六節(jié)洛侖茲力一、洛侖茲力實驗表明,運動電荷在磁場中會受磁力作用,這種力稱為洛侖茲力.本章第一節(jié)正是用這一力定義了磁感應(yīng)強度.前已述及,磁場對電流元的作用是磁場對運動電荷作用的整體體現(xiàn),即安培力起源于洛侖茲力.下面利用安培定律推出洛侖茲力公式.設(shè)電流元Idl的橫截面積為S,如果載流子的電量為q,都以速度υ作定向運動而提供電流I.設(shè)導(dǎo)體單位體積內(nèi)的載流子數(shù)為n,則46電流元Idl的方向就是正載流子作定向運動的方向,即qυ的方向,于是安培定律可化為式中N是電流元所包含的載流子總數(shù).則單個載流子所受的力為這就是電量為q,以速度為υ運動的帶電粒子在磁感應(yīng)強度為B的磁場中運動時所受的洛侖茲力.電量q是代數(shù)量,當(dāng)q>0時,f

的方向與υ×B的方向相同；當(dāng)q<0時,f

的方向與υ×B的方向相反.由于洛侖茲力的方向垂直于粒子運動的方向,所以洛侖茲力不做功。47例5.4如圖5.16是速度選擇器的原理圖.它是由均勻磁場(方向垂直紙面向外,設(shè)B=1.0×10-3T)中兩塊金屬板P1、P2構(gòu)成.其中P1板帶正電,P2板帶負(fù)電,于是兩板間產(chǎn)生一勻強電場(設(shè)E=300V·m-1),電場的方向垂直于磁場.試求當(dāng)速度υ不同的正離子沿圖示方向進(jìn)入速度選擇器時,離子受到的電場力fe的方向和洛侖茲力的方向.速度為多大的正離子才能沿原來的方向直線前進(jìn),并穿過速度選擇器？圖5.16例5.4示圖48二、帶電粒子在磁場中的運動1υ

垂直于B的情形當(dāng)帶電粒子以垂直于磁場的方向進(jìn)入磁場時,粒子在垂直于磁場的平面內(nèi)作勻速圓周運動,洛侖茲力提供了向心力,于是有下面的關(guān)系式中m和q分別是粒子的質(zhì)量和電量,R是圓形軌道的半徑.由上式可得粒子作圓形軌道運動的半徑為粒子運動的周期T,即粒子運動一周所需要的時間為49以上關(guān)系表明,盡管速率大的粒子在大半徑的圓周上運動,速率小的粒子在小半徑的圓周上運動,但它們運行一周所需要的時間卻都是相同的.這個重要的結(jié)論是回旋加速器的理論依據(jù).2υ與B

間有任意夾角α如圖5.17所示,υ與B間有任意夾角α,我們可以將粒子的運動速度υ分解為垂直于磁場的分量和平行于磁場的分量,它們分別表示為圖5.1750顯然,如果只有垂直分量,帶電粒子的運動如上1中情形討論的結(jié)果,它將在垂直于磁場的平面內(nèi)作圓周運動,運動周期由式(5.29)所給；如果只有平行分量,帶電粒子不受磁場力,它將沿B的方向作勻速直線運動.一般當(dāng)這兩個分量同時存在,粒子則沿磁場的方向作螺旋線運動,如圖5.17(b)所示,在一個周期T內(nèi),粒子回旋一周,沿磁場方向移動的距離為這個距離稱為螺旋線的螺距.上式表示螺旋線的螺距h與速度的垂直分量無關(guān).這意味著,無論帶電粒子以多大的速率進(jìn)入磁場,也無論沿何方向進(jìn)入磁51場，只要它們平行于磁場的速度分量是相同的,它們螺旋線運動的螺距就一定相等.如果它們是從同一點射入磁場,那么它們必定在沿磁場方向上與入射點相距螺距h整數(shù)倍的地方又會聚在一起.這與光束經(jīng)透鏡后聚焦的現(xiàn)象相類似,故稱為磁聚焦.電子顯微鏡中的磁透鏡就是磁聚焦原理的應(yīng)用.作業(yè)(P207)：5.27三、霍爾效應(yīng)1879年霍爾發(fā)現(xiàn)下述現(xiàn)象：在勻強度磁場B中放一板狀金屬導(dǎo)體,使金屬板面與磁場垂直,金屬板的52寬度為a,厚度為b,如圖5.18所示,在金屬板中沿著與磁場B垂直的方向通一電流I時,在金屬板的上下兩表面間會出現(xiàn)橫向電勢差UH.這個現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng),電勢差UH稱為霍爾電勢差.實驗測定,霍爾電勢差UH的大小與磁感應(yīng)強度B的大小成正比,與電流強度I成正比,與金屬板的厚度b成反比,即僅與導(dǎo)體材料有關(guān)的霍爾系數(shù)圖5.1853金屬導(dǎo)體中的電流是電子的定向運動形成的,運動著的電子在磁場中受到洛侖茲力作用.如圖5.18所示,以速度υ運動的電子受到向上的洛侖茲力的作用,在這力的作用下,電子向上漂移,使得導(dǎo)體的上表面積累過多的電子,下表面出現(xiàn)電子不足,從而在導(dǎo)體內(nèi)出現(xiàn)方向向上的電場.這電場對電子有向下的作用力,當(dāng)這電場大到使其對電子的作用力-eE

與電子受到的洛侖茲力大小相等時就達(dá)到穩(wěn)態(tài),相應(yīng)的電場也就穩(wěn)定下來,這時的電場稱為霍爾電場,用EH表示,因此有54由此可求得霍爾電勢差(導(dǎo)體上下表面之間的電勢差)為式中負(fù)號表示電勢梯度的方向與EH的方向相反.設(shè)導(dǎo)體內(nèi)電子的數(shù)密度為n,于是I=neυab,將由此得到的定向運動速度代入上式,可得比較可得霍爾系數(shù)KH=－1/ne?；魻栃?yīng)不只在金屬導(dǎo)體中產(chǎn)生,在半導(dǎo)體和導(dǎo)電流體(如等離子體)中也會產(chǎn)生.相應(yīng)的載流子可以是電子,也可以是正、負(fù)離子.霍爾電勢差和霍爾系數(shù)一般可表為55其中q是載流子的電量,可正可負(fù),是代數(shù)量.通過對霍爾系數(shù)的實驗測量可以確定導(dǎo)體或半導(dǎo)體中載流子的性質(zhì).據(jù)霍爾系數(shù)的大小,還可測量載流子的濃度.值得指出,金屬是電子導(dǎo)電,霍爾系數(shù)應(yīng)為負(fù)值,但實驗發(fā)現(xiàn)對有些金屬,如鐵、鈷、鋅、鎘和銻等,霍爾系數(shù)為正,對此,需用金屬中電子的量子力學(xué)理論予以解釋.等離子體的霍爾效應(yīng)是磁流體發(fā)電的基本理論依據(jù).工作氣體(常用含有少量容易電離的堿金屬的惰性氣體)在高溫下充分電離而達(dá)到等離子態(tài),當(dāng)以高56速垂直通過磁場時,正、負(fù)電荷在洛侖茲力的作用下將向相反方向偏轉(zhuǎn)并分別聚集在正、負(fù)電極上,使兩極出現(xiàn)電勢差.只要工作氣體連續(xù)地運行,兩極就會不斷地對外提供電能.磁流體發(fā)電是直接將熱能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿?所以具有比火力發(fā)電高得多的效率,并且可以在極短的時間內(nèi)達(dá)到高功率運行狀態(tài),從而可以方便地按時間合理分布電能生產(chǎn)的要求.*量子霍爾效應(yīng)57第七節(jié)磁力的功一、載流導(dǎo)線在磁場中運動所作的功載流導(dǎo)線在磁場中運動時磁力所作的功如圖5.19所示,在磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場中,有一導(dǎo)線ab長為l,可在含源導(dǎo)體框架上滑動.當(dāng)框架上的電流為I

時,ab導(dǎo)體所受的磁力大小F=IlB,方向向右.當(dāng)滑動距離aa`不大時,ab中的電流可以認(rèn)為不變,這時磁力由于載流導(dǎo)線或線圈在磁場中會受到力或力矩的作用,因此當(dāng)它們在磁場中運動時,磁力或磁力矩將會對導(dǎo)線或線圈做功.圖5.1958的功為式中ΔΦ為通過載流回路所圍面積的磁通量的增量.上式表明,當(dāng)載流導(dǎo)線在磁場中運動時,如果電流保持不變,磁力所作的功等于電流乘以通過回路所環(huán)繞的面積內(nèi)磁通量的增量,即等于電流乘以載流導(dǎo)線ab在移動中所切割的磁感應(yīng)線數(shù).二、載流線圈在磁場內(nèi)轉(zhuǎn)動時磁場力所作的功載流線圈在磁場內(nèi)轉(zhuǎn)動時磁場力所作的功如圖5.20所示,在磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場中,有一矩形載流線圈abcd,面積為S,所載電流為I,所受到的磁力矩59圖5.2060上式表明,當(dāng)載流線圈在磁場中轉(zhuǎn)動時,如果電流保持不變,磁力矩所作的功也等于電流乘以線圈中磁通量的增量.可以證明,一個任意的閉合電流回路在磁場中改變位置或形狀時,如果保持回路中電流不變,則磁力和磁力矩所作的功都可按A=IΔΦ計算,這是磁力作功的一般表示.61第八節(jié)物質(zhì)的磁性一、磁介質(zhì)的磁化及磁化強度1磁介質(zhì)及其磁化在磁場中,凡受到磁場的作用并能夠?qū)Υ艌霭l(fā)生影響的物質(zhì)都屬于磁介質(zhì).實驗表明,一切物質(zhì)都能夠?qū)Υ艌霭l(fā)生影響,所以都屬于磁介質(zhì).磁介質(zhì)在磁場作用下的變化稱為磁介質(zhì)的磁化.實驗證明,在勻強磁場(如一載流長直螺線管內(nèi)的磁場)中,如果放有均勻磁介質(zhì),那么在磁化了的磁介質(zhì)中,磁感應(yīng)強度B可能大于、也可能小于磁介質(zhì)不存在時真空中的磁感應(yīng)強度B0.磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強度B,是B0

62和磁介質(zhì)因磁化而產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B`疊加的結(jié)果,即按磁性,物質(zhì)可分為三類：一類為順磁質(zhì),例如錳、鉻、氧、鉑、氮等,這些物質(zhì)中,B`與B0同向,因此B>B0

；第二類為抗磁質(zhì),例如水銀、銅、鉍、氫、銀、金、鉛等,這些物質(zhì)中,B`與B0反向,因而B<B0,第三類為鐵磁質(zhì),有鐵、鈷、鎳、扎及這些金屬的合金等,這些物質(zhì)中B與B0成非線性關(guān)系,通常B>>B0.物質(zhì)的磁性可以從其電結(jié)構(gòu)中得到解釋.構(gòu)成物質(zhì)的原子中每一個電子同時參與兩種運動,一種是繞63核的軌道運動,一種是自旋.這兩種運動都對應(yīng)一定的磁矩：與繞核的軌道運動相對應(yīng)的是軌道磁矩,與自旋相對應(yīng)的是自旋磁矩.整個原子的磁矩是它所包含的所有電子軌道磁矩和自旋磁矩的矢量和.不同物質(zhì)的原子包含的電子數(shù)目不同,電子所處的狀態(tài)不同,其軌道磁矩和自旋磁矩合成的結(jié)果也不同.所以有些物質(zhì)的原子磁矩大些,有些物質(zhì)的原子磁矩小些,還有些物質(zhì)的原子磁矩恰好為零.另外,有些物質(zhì)的原子磁矩雖然不為零,但多個原子合成一個分子時,合成的結(jié)果使分子磁矩等于零.分子磁矩不為零的物質(zhì),其分子磁矩可以看作為由一個等效的圓電流所提供的,這個圓電流稱為64分子電流.在無外磁場時,由于分子的熱運動,物質(zhì)中各分子磁矩混亂取向,致使任何宏觀體積元內(nèi)的分子磁矩的矢量和等于零,所以宏觀上不顯磁性.當(dāng)受到外磁場作用時,分子磁矩將在一定程度上沿外磁場方向排列,任何宏觀體積元內(nèi)所有分子磁矩的矢量和不再為零,從而對外顯示磁性,并且外磁場越強,分子磁矩排列的有序程度越高,相同體積內(nèi)分子磁矩的矢量和也越大,對外所顯示的磁性也就越強.分子熱運動是會破壞分子磁矩的有序排列的,一旦將外磁場撤除,分子磁矩立即回到無序狀態(tài),磁性也就消失了.這種磁性稱為順磁性,具有順磁性的物質(zhì)便為順磁質(zhì).65分子磁矩為零的物質(zhì),其磁性來源于原子中電子在外磁場的作用下所產(chǎn)生的附加運動(即進(jìn)動),這種附加運動也等效為某一圓電流并對應(yīng)一定磁矩.但由于電子帶負(fù)電,這種磁矩的方向總是與外磁場的方向相反,故得名為抗磁性.具有抗磁性的物質(zhì)便是抗磁質(zhì).2磁化強度為描述磁介質(zhì)磁化的強弱程度,可引入一個新的物理量——磁化強度矢量M,其定義為單位體積分子磁矩矢量和,即66式中∑mi是體積ΔV內(nèi)的分子磁矩矢量和.如果磁介質(zhì)中各處的磁化強度的大小和方向都一致,就稱為均勻磁化.3磁化強度與磁化電流的關(guān)系磁介質(zhì)磁化的另一個宏觀表現(xiàn)是出現(xiàn)束縛電流(即磁化電流),例如載流直螺線管中圓柱形磁介質(zhì)的磁化,在圓柱側(cè)面就會出現(xiàn)磁化電流.顯然,磁化電流和磁化強度是同一物理現(xiàn)象的不同表現(xiàn),它們之間一定存在著某種確定的關(guān)系,下面就來討論這一關(guān)系.在被磁化了的介質(zhì)內(nèi)任取一閉合回路L,現(xiàn)我們來計算穿過L的磁化電流.磁化電流是分子電流的宏觀表現(xiàn),如圖5.21(a)所示,對于閉合回路L,分子電流有如67下三種情況：一是與L所圍的曲面相交兩次；二是與上曲面不相交；三是與上曲面相交一次(即與L所環(huán)繞的分子電流).顯然只有第三種情況的分子電流對穿過L的電流有貢獻(xiàn).如圖5.21(b)在L上選一線元dl,設(shè)其上分子電流圈的面矢為a,現(xiàn)以dl為軸,作一底面為a的斜圓柱.那么中心處于這一圓柱的分圖5.2168子,其分子電流均與dl所鏈環(huán),由此可得與dl所鏈環(huán)的電流為其中i是每個分子的電流,n是單位體積的分子數(shù).對整個閉路L積分就可得穿過L的磁化電流為這就是磁化電流與磁化強度的關(guān)系.將上關(guān)系應(yīng)用于已被磁化的介質(zhì)的表面,進(jìn)一步可得磁化強度與介質(zhì)表面磁化電流的關(guān)系其中Mt是磁化強度M沿介質(zhì)表面的切向分量,i`是磁化電流面密度.69二、磁場強度有介質(zhì)時的安培環(huán)路定理

磁化電流與傳導(dǎo)電流一樣,也有磁效應(yīng),考慮到磁化電流的貢獻(xiàn),有介質(zhì)時磁場的安培環(huán)路定理為磁化電流I`不能預(yù)先知道,也不能實驗測量,所以有必要用可測物理量來代替.將磁化電流式代入上式并整理得對于給定的介質(zhì),B與M有一確定的關(guān)系,這可用實驗測定,從而知道電流I就可確定B的分布.為方便,引入一個新的物理量——磁場強度H

,即70此式也稱為磁介質(zhì)的性能方程,這樣前式變?yōu)榇思从薪橘|(zhì)時的安培環(huán)路定理.它表明磁場強度H沿磁場中任意閉合路徑L的線積分(即H的環(huán)量),等于此閉合回路所包圍傳導(dǎo)電流的代數(shù)和.說明:1)在磁場分布具有一定對稱性時,可利用上式求解磁介質(zhì)中給定電流分布時磁場強度H的分布,并進(jìn)一步求出磁感應(yīng)強度B的分布.2)對于各向同性線性非鐵磁物質(zhì),實驗表明磁化強度M與磁感應(yīng)強度B成正比,進(jìn)而磁化強度M與磁場71強度H成正比,即當(dāng)μ=μ0時,就回到了真空情形.所以本章前面對真空情形的所有關(guān)系,只要將μ0換為μ就可將其推廣到各向同性線性非鐵磁物質(zhì)中來.在國際單位制中,磁化強度M和磁場強度H的單位都是安培·米-1(A·m

-1).*三、抗磁性72四、鐵磁質(zhì)鐵磁質(zhì)具有很大的磁導(dǎo)率,在外磁場的作用下,鐵磁質(zhì)將產(chǎn)生與外磁場方向相同,量值很大的磁感應(yīng)強度.不僅如此,鐵磁質(zhì)還有如下特性：1)鐵磁質(zhì)的磁導(dǎo)率(以及磁化率)不是恒量,而隨所在處的磁場強度H而變化,且有較復(fù)雜的關(guān)系；2)有明顯的磁滯效應(yīng).下面簡單介紹鐵磁質(zhì)的特性用實驗研究鐵磁質(zhì)的性質(zhì)時通常把鐵磁質(zhì)試樣做成環(huán)狀,外面繞上若干匝線圈(如圖5.23).線圈通電后,鐵磁質(zhì)就被磁化.當(dāng)這勵磁電流為I時,環(huán)中的磁場強度H為73式中N為環(huán)上線圈的總匝數(shù),r為環(huán)的平均半徑.這時環(huán)內(nèi)B可以用另外的方法測出,于是可得一組對應(yīng)的H和B的值,改變電流I,可依次測得許多組H和B的值(由于磁化強度M和H及B有一定的關(guān)系,所以也就可以求得許多組H和M的值),這樣就可以繪出一條關(guān)于試樣的H-B(或H-M)關(guān)系曲線以表示試樣的磁化特點.這樣的曲線叫磁化曲線.1磁化曲線如果從試樣完全沒有磁化開始,逐漸增大電流I,從而圖5.2374逐漸增大H,那么所得的磁化曲線叫起始磁化曲線

,一般如圖5.24所示.H增大時,B隨H成正比的增大.H再稍大時B就開始急劇地但也約成正比的增大,接著增大變慢,當(dāng)H達(dá)到某一值后再增大時,B就幾乎不再隨H的增大而增大了.這時鐵磁質(zhì)試樣達(dá)到了一種磁飽和狀態(tài),它的磁化強度M達(dá)到了最大值.根據(jù)μr=B/(μ0H),可以求出不同H值時的μr值,μr隨H變化的關(guān)系曲線也對應(yīng)的以虛線畫在圖5.24中.實驗證明,各種鐵磁質(zhì)的起始磁化曲線都是“不可逆”的,即當(dāng)鐵磁質(zhì)達(dá)到飽和后,如果圖5.2475慢慢減小磁化電流以減小H的值,鐵磁質(zhì)中的B并不沿起始磁化曲線逆向逐漸減小,而是減小的比原來增加時慢.如圖5.25中ab線段所示,當(dāng)I=0,因而H=0時,B并不等于0,而是還保持一定的值.這種現(xiàn)象叫磁滯效應(yīng).H恢復(fù)到零時鐵磁質(zhì)內(nèi)仍保留的磁化狀態(tài)叫剩磁,相應(yīng)的磁感應(yīng)強度常用Br表示.要想把剩磁完全消除,必須改變電流的方向,并