多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)：理論、方法與B-S模型應(yīng)用的深度剖析一、引言1.1研究背景在金融市場(chǎng)的投資決策中，波動(dòng)率是一個(gè)關(guān)鍵要素，它反映了資產(chǎn)價(jià)格在一定時(shí)期內(nèi)的波動(dòng)程度，是衡量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的重要指標(biāo)，對(duì)投資者的決策有著深遠(yuǎn)影響。高波動(dòng)率意味著資產(chǎn)價(jià)格可能出現(xiàn)較大幅度的波動(dòng)，投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)增加；低波動(dòng)率則表明市場(chǎng)相對(duì)穩(wěn)定，價(jià)格波動(dòng)較小。投資者在制定投資策略時(shí)，需要依據(jù)波動(dòng)率來(lái)評(píng)估投資風(fēng)險(xiǎn)、確定投資組合的構(gòu)成以及選擇合適的投資時(shí)機(jī)。例如，風(fēng)險(xiǎn)偏好較低的投資者通常會(huì)在市場(chǎng)波動(dòng)率較高時(shí)減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，轉(zhuǎn)而選擇較為穩(wěn)定的資產(chǎn)，如債券或現(xiàn)金；而風(fēng)險(xiǎn)偏好較高的投資者則可能在高波動(dòng)率時(shí)期尋找獲取高收益的機(jī)會(huì)。布萊克-斯科爾斯（B-S）模型作為期權(quán)定價(jià)的經(jīng)典模型，在金融市場(chǎng)中被廣泛應(yīng)用。該模型基于一系列嚴(yán)格的假設(shè)條件，如股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)、市場(chǎng)無(wú)摩擦、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定以及股票不支付紅利等，通過(guò)構(gòu)建投資組合來(lái)對(duì)沖期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)，從而推導(dǎo)出期權(quán)的定價(jià)公式。B-S模型為期權(quán)定價(jià)提供了一種相對(duì)精確且科學(xué)的方法，使得期權(quán)定價(jià)具有了理論上的基準(zhǔn)，促進(jìn)了金融衍生品市場(chǎng)的發(fā)展，有助于風(fēng)險(xiǎn)管理。然而，在實(shí)際的金融市場(chǎng)環(huán)境中，B-S模型存在明顯的局限性。市場(chǎng)中存在交易成本和稅收，這與B-S模型假設(shè)的市場(chǎng)無(wú)摩擦相悖，會(huì)影響投資組合的構(gòu)建和調(diào)整，使得動(dòng)態(tài)對(duì)沖難以精確實(shí)現(xiàn)；無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率并非恒定不變，它會(huì)隨著市場(chǎng)情況和宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境的變化而波動(dòng)；最為關(guān)鍵的是，B-S模型假設(shè)波動(dòng)率是恒定的，但實(shí)際市場(chǎng)中的波動(dòng)率是隨時(shí)間變化的，具有不確定性。若使用歷史波動(dòng)率來(lái)估計(jì)未來(lái)波動(dòng)率，可能會(huì)導(dǎo)致定價(jià)偏差，尤其在市場(chǎng)出現(xiàn)劇烈波動(dòng)或發(fā)生重大事件時(shí)，股票價(jià)格可能會(huì)出現(xiàn)跳躍式的變化，而B(niǎo)-S模型基于連續(xù)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)，無(wú)法準(zhǔn)確描述這種跳躍現(xiàn)象，從而可能導(dǎo)致期權(quán)定價(jià)的不準(zhǔn)確。為了更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)金融市場(chǎng)的波動(dòng)率，彌補(bǔ)B-S模型在波動(dòng)率預(yù)測(cè)方面的不足，多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)方法應(yīng)運(yùn)而生。多分形理論是一種定量刻畫(huà)復(fù)雜對(duì)象非均勻和各向異性特征的有力工具，它能夠探測(cè)時(shí)間序列的自相似特征，并基于分形理論來(lái)分析時(shí)間序列的特征。與傳統(tǒng)的時(shí)間序列分析方法相比，多分形分析可以更好地刻畫(huà)時(shí)間序列的非線性復(fù)雜性。在金融市場(chǎng)中，價(jià)格波動(dòng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的特征，多分形理論通過(guò)將復(fù)雜體系分成許多奇異度不同的子區(qū)域，能夠分層次地了解復(fù)雜體系內(nèi)部的精細(xì)結(jié)構(gòu)和所富含的信息，從而可以更為真實(shí)地從微觀角度描述金融市場(chǎng)價(jià)格變化的復(fù)雜統(tǒng)計(jì)特征。在對(duì)金融價(jià)格序列的多分形分析中，每個(gè)子區(qū)域的奇異程度通過(guò)各自的奇異指數(shù)α來(lái)描述，所有奇異指數(shù)的變化程度體現(xiàn)了價(jià)格序列波動(dòng)的復(fù)雜程度。因此，將多分形波動(dòng)率運(yùn)用于金融市場(chǎng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)中，有望更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)金融市場(chǎng)波動(dòng)率的變化趨勢(shì)，為投資者提供更科學(xué)的投資決策依據(jù)。1.2研究目的與意義本研究旨在深入探究多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)方法及其在B-S模型中的應(yīng)用，從理論和實(shí)踐兩個(gè)層面為金融市場(chǎng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)及投資決策提供有力支持。在理論層面，B-S模型作為期權(quán)定價(jià)的經(jīng)典理論，雖然在金融領(lǐng)域具有重要地位，但因其假設(shè)條件與實(shí)際市場(chǎng)存在較大差異，尤其是在波動(dòng)率預(yù)測(cè)方面存在明顯缺陷。通過(guò)將多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)方法引入B-S模型，本研究致力于深入剖析多分形理論在刻畫(huà)金融市場(chǎng)復(fù)雜波動(dòng)特征方面的優(yōu)勢(shì)，揭示其如何彌補(bǔ)B-S模型中波動(dòng)率恒定假設(shè)的不足，進(jìn)一步完善金融市場(chǎng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)的理論體系，為金融理論的發(fā)展提供新的視角和思路，推動(dòng)金融市場(chǎng)波動(dòng)理論的不斷演進(jìn)，促進(jìn)金融市場(chǎng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)方法的創(chuàng)新與發(fā)展，使理論研究能夠更加貼近實(shí)際市場(chǎng)情況。在實(shí)踐層面，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)金融市場(chǎng)的波動(dòng)率對(duì)于投資者和金融機(jī)構(gòu)的決策至關(guān)重要。本研究通過(guò)實(shí)證分析，將多分形波動(dòng)率應(yīng)用于實(shí)際的金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)，旨在驗(yàn)證該方法在提升波動(dòng)率預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性方面的有效性，為投資者提供更為精準(zhǔn)的市場(chǎng)波動(dòng)信息，幫助投資者更準(zhǔn)確地評(píng)估投資風(fēng)險(xiǎn)，合理調(diào)整投資組合，把握投資時(shí)機(jī)，從而做出更為科學(xué)、合理的投資決策，降低投資風(fēng)險(xiǎn)，提高投資收益。對(duì)于金融機(jī)構(gòu)而言，精確的波動(dòng)率預(yù)測(cè)有助于更準(zhǔn)確地對(duì)金融衍生品進(jìn)行定價(jià)，優(yōu)化風(fēng)險(xiǎn)管理策略，提升金融機(jī)構(gòu)的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力和抗風(fēng)險(xiǎn)能力，促進(jìn)金融市場(chǎng)的穩(wěn)定運(yùn)行和健康發(fā)展。1.3國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀國(guó)外對(duì)金融市場(chǎng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)及B-S模型的研究起步較早。在波動(dòng)率預(yù)測(cè)方面，Engle在1982年提出了自回歸條件異方差（ARCH）模型，開(kāi)啟了對(duì)波動(dòng)率時(shí)變特性研究的新篇章，之后Bollerslev在1986年對(duì)其進(jìn)行拓展，提出廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型，該模型能夠更好地捕捉金融時(shí)間序列的波動(dòng)聚集性和持續(xù)性，在金融市場(chǎng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)中得到廣泛應(yīng)用。Mandelbrot在1997年的《FractalsandScalinginFinance》中指出分形理論在金融學(xué)研究中具有廣闊前景，后續(xù)他又強(qiáng)調(diào)多分形理論是定量刻畫(huà)金融市場(chǎng)復(fù)雜波動(dòng)特征的有力工具，為多分形理論在金融領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。此后，眾多學(xué)者運(yùn)用多分形理論研究金融市場(chǎng)波動(dòng)行為，如對(duì)香港恒生指數(shù)、德國(guó)DAX指數(shù)、美元LIBOR利率、美國(guó)KTB412期貨價(jià)格等成熟資本市場(chǎng)價(jià)格序列的研究，均發(fā)現(xiàn)其波動(dòng)具有多分形特征。在B-S模型研究方面，國(guó)外學(xué)者不斷探索模型的改進(jìn)和應(yīng)用拓展。Cox、Ross和Rubinstein在1979年提出了二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型，該模型為B-S模型的離散形式，通過(guò)構(gòu)建二叉樹(shù)圖來(lái)模擬股票價(jià)格的變化路徑，為期權(quán)定價(jià)提供了一種直觀且易于理解的方法，在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的靈活性。Hull和White在1987年提出了隨機(jī)波動(dòng)率模型，該模型放松了B-S模型中波動(dòng)率恒定的假設(shè)，將波動(dòng)率視為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，更符合實(shí)際市場(chǎng)中波動(dòng)率的時(shí)變特性，能夠更好地解釋期權(quán)價(jià)格的“波動(dòng)率微笑”現(xiàn)象。國(guó)內(nèi)學(xué)者在該領(lǐng)域的研究也取得了豐碩成果。在多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)研究中，不少學(xué)者對(duì)新興證券市場(chǎng)中的金融價(jià)格波動(dòng)進(jìn)行多分形分析，如對(duì)臺(tái)灣TSPI指數(shù)、上證綜指、深證成指等的研究，證實(shí)了這些市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)存在多分形特征。部分學(xué)者提出新型的多分形波動(dòng)率測(cè)度指標(biāo)，如以一天中奇異指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為出發(fā)點(diǎn)構(gòu)建測(cè)度指標(biāo)，相比傳統(tǒng)的基于奇異指數(shù)極差的測(cè)度指標(biāo)，能更充分反映價(jià)格波動(dòng)的整體復(fù)雜程度，更有效刻畫(huà)金融價(jià)格序列的真實(shí)波動(dòng)程度。在B-S模型應(yīng)用于國(guó)內(nèi)金融市場(chǎng)方面，學(xué)者們針對(duì)國(guó)內(nèi)市場(chǎng)特點(diǎn)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行修正。在對(duì)物流企業(yè)數(shù)據(jù)資產(chǎn)評(píng)估中，考慮數(shù)據(jù)的獨(dú)特性、市場(chǎng)需求、技術(shù)發(fā)展等因素對(duì)B-S模型中的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、波動(dòng)率等關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行修正，以提高模型在數(shù)據(jù)資產(chǎn)評(píng)估中的準(zhǔn)確性。然而，現(xiàn)有研究仍存在一定不足。在多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)方面，雖然多分形理論在刻畫(huà)金融市場(chǎng)復(fù)雜波動(dòng)特征上具有優(yōu)勢(shì)，但目前對(duì)于多分形波動(dòng)率測(cè)度指標(biāo)的構(gòu)建尚未形成統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，不同指標(biāo)在不同市場(chǎng)環(huán)境下的適用性和有效性有待進(jìn)一步深入研究和驗(yàn)證。在B-S模型應(yīng)用中，盡管對(duì)模型參數(shù)修正的研究較多，但在實(shí)際市場(chǎng)中，模型參數(shù)的動(dòng)態(tài)調(diào)整機(jī)制仍不完善，難以實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地反映市場(chǎng)變化對(duì)期權(quán)定價(jià)的影響。此外，將多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)與B-S模型相結(jié)合的研究還相對(duì)較少，如何將多分形波動(dòng)率有效融入B-S模型，以提升模型對(duì)金融市場(chǎng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)的精度和期權(quán)定價(jià)的準(zhǔn)確性，是當(dāng)前研究的一個(gè)重要切入點(diǎn)。1.4研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本研究綜合運(yùn)用多種研究方法，力求深入剖析多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)及其在B-S模型中的應(yīng)用。在研究過(guò)程中，運(yùn)用多分形分析法對(duì)金融市場(chǎng)的歷史股票指數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以獲取多分形波動(dòng)率數(shù)據(jù)。通過(guò)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行細(xì)致劃分，利用多分形理論中的奇異指數(shù)和多分形譜來(lái)分析金融市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)的復(fù)雜特征，探究?jī)r(jià)格波動(dòng)在不同時(shí)間尺度上的自相似性和非均勻性，從而深入理解金融市場(chǎng)波動(dòng)的內(nèi)在機(jī)制。這種方法能夠探測(cè)時(shí)間序列的自相似特征，基于分形理論分析時(shí)間序列特征，相比傳統(tǒng)時(shí)間序列分析方法，能更好地刻畫(huà)時(shí)間序列的非線性復(fù)雜性。基于多元線性回歸模型，將多分形波動(dòng)率數(shù)據(jù)輸入B-S模型，與傳統(tǒng)的B-S模型進(jìn)行對(duì)比分析。通過(guò)回歸分析，評(píng)估多分形波動(dòng)率在B-S模型中的應(yīng)用效果，確定多分形波動(dòng)率與期權(quán)價(jià)格及其他相關(guān)因素之間的定量關(guān)系，從而判斷引入多分形波動(dòng)率后B-S模型在波動(dòng)率預(yù)測(cè)和期權(quán)定價(jià)方面的改進(jìn)程度。運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)研究數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，建立評(píng)估指標(biāo)，對(duì)研究結(jié)果進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)。通過(guò)計(jì)算均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)等統(tǒng)計(jì)量，對(duì)金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)的基本特征進(jìn)行概括和總結(jié)，為后續(xù)分析提供基礎(chǔ)；利用假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析等方法，對(duì)多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)方法的有效性以及在B-S模型中的應(yīng)用效果進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，確保研究結(jié)果的可靠性和科學(xué)性。本研究在以下方面具有一定創(chuàng)新點(diǎn)。在波動(dòng)率測(cè)度模型方面，深入研究并可能提出新型的多分形波動(dòng)率測(cè)度指標(biāo)，克服現(xiàn)有測(cè)度指標(biāo)的局限性。例如，以一天中奇異指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為出發(fā)點(diǎn)構(gòu)建測(cè)度指標(biāo)，相比傳統(tǒng)的基于奇異指數(shù)極差的測(cè)度指標(biāo)，能更充分反映價(jià)格波動(dòng)的整體復(fù)雜程度，更有效刻畫(huà)金融價(jià)格序列的真實(shí)波動(dòng)程度，從而為金融市場(chǎng)波動(dòng)率的測(cè)度提供更精準(zhǔn)的方法。在B-S模型應(yīng)用分析方面，將多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)方法創(chuàng)新性地融入B-S模型，深入探討兩者結(jié)合的具體方式和應(yīng)用效果，為B-S模型在實(shí)際金融市場(chǎng)中的應(yīng)用提供新的思路和方法，有望提升B-S模型對(duì)金融市場(chǎng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)的精度和期權(quán)定價(jià)的準(zhǔn)確性。二、多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)理論基礎(chǔ)2.1分形理論概述2.1.1分形的定義與特征分形，作為一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，同時(shí)也是一套以分形特征為研究主題的數(shù)學(xué)理論，在非線性科學(xué)領(lǐng)域占據(jù)著前沿且重要的地位，是一門新興的橫斷學(xué)科。1973年，芒德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形的設(shè)想，“分形（Fractal）”一詞也由此誕生，其原意包含不規(guī)則、支離破碎等含義。分形通常被定義為“一個(gè)粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個(gè)部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，這一特性使其具有獨(dú)特的自相似性。這種自相似性可以是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)自相似，即每一部分與整體在形狀上完全相同，只是尺寸不同；也可以是統(tǒng)計(jì)自相似，即在統(tǒng)計(jì)意義上，各部分與整體具有相似的特征。在自然界中，許多復(fù)雜的形態(tài)都展現(xiàn)出分形特征，如蜿蜒曲折的海岸線，從大尺度上看，其整體輪廓呈現(xiàn)出不規(guī)則的形狀，當(dāng)我們逐步縮小觀察尺度，會(huì)發(fā)現(xiàn)局部的海岸線形狀與整體具有相似性，小的海灣和半島在不同尺度下不斷重復(fù)出現(xiàn)；又如層巒起伏的山脈，從遠(yuǎn)處眺望，山脈的整體形態(tài)崎嶇不平，而靠近觀察，每一座小山丘的形狀和走勢(shì)又與整座山脈具有相似的特征，這種自相似性在不同的空間尺度上得以體現(xiàn)。分形的另一個(gè)重要特征是標(biāo)度不變性，即在不同的尺度下觀察分形對(duì)象，其具有相似的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。這意味著無(wú)論放大或縮小觀察尺度，分形的復(fù)雜性和特征都不會(huì)發(fā)生改變。以康托爾集為例，它是一種典型的分形結(jié)構(gòu)，通過(guò)不斷地去掉線段中間的三分之一部分得到。從宏觀上看，康托爾集是一條被分割成許多小段的線段，當(dāng)我們將其中任意一小段放大，會(huì)發(fā)現(xiàn)它與整個(gè)康托爾集具有相同的結(jié)構(gòu)，依然是由許多更小的線段組成，且這些小線段之間的間隔比例與整體一致。這種標(biāo)度不變性使得分形理論在描述復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能夠從不同尺度上揭示系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律。與傳統(tǒng)的歐幾里得幾何相比，分形理論更適合描述自然界和社會(huì)科學(xué)中的復(fù)雜現(xiàn)象。歐幾里得幾何主要研究規(guī)則的、光滑的幾何形狀，如直線、圓、三角形等，這些形狀具有明確的幾何特征和整數(shù)維數(shù)。然而，自然界中的許多現(xiàn)象，如云朵的形狀、河流的走向、樹(shù)木的生長(zhǎng)形態(tài)等，都呈現(xiàn)出不規(guī)則、不光滑的特點(diǎn)，無(wú)法用傳統(tǒng)的歐幾里得幾何來(lái)準(zhǔn)確描述。分形理論的出現(xiàn)，為我們提供了一種新的視角和方法，它能夠處理具有非整數(shù)維數(shù)的復(fù)雜形狀，更真實(shí)地反映出這些復(fù)雜現(xiàn)象的本質(zhì)特征。在描述山脈的地形時(shí)，傳統(tǒng)的歐幾里得幾何只能給出大致的輪廓，而分形理論可以通過(guò)分形維數(shù)等參數(shù)，精確地刻畫(huà)山脈表面的粗糙度和復(fù)雜程度，從而更深入地理解山脈地形的形成機(jī)制和演化規(guī)律。在金融市場(chǎng)中，價(jià)格波動(dòng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的特征，分形理論的應(yīng)用為研究金融市場(chǎng)提供了新的工具。傳統(tǒng)的金融理論通常假設(shè)市場(chǎng)是有效的，價(jià)格遵循隨機(jī)游走模型，然而實(shí)際的金融市場(chǎng)中，價(jià)格波動(dòng)并非完全隨機(jī)，而是存在著一定的相關(guān)性和趨勢(shì)性。分形理論認(rèn)為，金融市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)具有分形特征，不同時(shí)間尺度下的價(jià)格波動(dòng)具有相似性，通過(guò)對(duì)價(jià)格序列的分形分析，可以揭示市場(chǎng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和規(guī)律。對(duì)股票價(jià)格序列進(jìn)行分形分析，發(fā)現(xiàn)其在不同的時(shí)間間隔下，如日收益率、周收益率、月收益率等，都呈現(xiàn)出相似的波動(dòng)模式，這種分形特征反映了市場(chǎng)參與者的行為和市場(chǎng)信息的傳遞方式，有助于投資者更好地理解市場(chǎng)動(dòng)態(tài)，做出更合理的投資決策。2.1.2Hurst指數(shù)與R/S分析Hurst指數(shù)是分形理論中的一個(gè)重要概念，它由英國(guó)水文學(xué)家Hurst在研究尼羅河水位變化時(shí)提出。Hurst指數(shù)主要用于衡量時(shí)間序列的長(zhǎng)期記憶性和分形特征，它反映了時(shí)間序列在不同時(shí)間尺度上的自相似程度。Hurst指數(shù)的取值范圍在0到1之間，不同的取值代表了時(shí)間序列不同的特性。當(dāng)Hurst指數(shù)H=0.5時(shí)，時(shí)間序列表現(xiàn)為一個(gè)相互獨(dú)立、方差有限的隨機(jī)序列，即過(guò)去的變化對(duì)未來(lái)沒(méi)有影響，價(jià)格波動(dòng)完全是隨機(jī)的，符合傳統(tǒng)的有效市場(chǎng)假說(shuō)。在這種情況下，股票價(jià)格的變化是不可預(yù)測(cè)的，投資者無(wú)法通過(guò)分析歷史價(jià)格來(lái)獲取超額收益。當(dāng)0<H<0.5時(shí)，表明時(shí)間序列具有反持續(xù)性，即過(guò)去的變化不具有可持續(xù)性，如果前一時(shí)刻價(jià)格上漲，那么下一時(shí)刻價(jià)格更有可能下跌，反之亦然。這種反持續(xù)性反映了市場(chǎng)的短期調(diào)整行為，價(jià)格波動(dòng)呈現(xiàn)出一種均值回歸的特征。當(dāng)0.5<H<1時(shí)，表明時(shí)間序列變化具有持續(xù)性，未來(lái)的變化將與過(guò)去的變化趨勢(shì)相一致。如果前一階段股票價(jià)格呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，那么在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)，價(jià)格繼續(xù)上漲的可能性較大。這種持續(xù)性表明市場(chǎng)存在一定的趨勢(shì)性和慣性，投資者可以通過(guò)分析歷史價(jià)格趨勢(shì)來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)價(jià)格走勢(shì)。R/S分析，即重新標(biāo)度的極差分析（rescaledrangenalysis），是一種常用的計(jì)算Hurst指數(shù)的方法。該方法最早由Hurst在1951年提出，其核心思想是通過(guò)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行劃分和統(tǒng)計(jì)分析，來(lái)計(jì)算Hurst指數(shù)。具體步驟如下：首先，對(duì)于給定的時(shí)間序列{x?,x?,…,x?}，將其劃分為長(zhǎng)度為n的子序列。對(duì)于每個(gè)子序列，計(jì)算其累積離差X(t,n)，即X(t,n)=∑(x?-x?)，其中x?是子序列的均值，i從1到t，t≤n。接著，計(jì)算子序列的極差R(n)，即R(n)=max[X(t,n)]-min[X(t,n)]，它反映了子序列中累積離差的最大波動(dòng)范圍。然后，計(jì)算子序列的標(biāo)準(zhǔn)差S(n)，它衡量了子序列中數(shù)據(jù)的離散程度。最后，計(jì)算重標(biāo)極差R/S(n)，即R/S(n)=R(n)/S(n)。通過(guò)對(duì)不同長(zhǎng)度n的子序列進(jìn)行上述計(jì)算，得到一系列的R/S(n)值。根據(jù)分形理論，R/S(n)與n之間存在冪律關(guān)系，即R/S(n)∝n?，其中H為Hurst指數(shù)。對(duì)R/S(n)和n取對(duì)數(shù)，得到log(R/S(n))=H*log(n)+C（C為常數(shù)）。通過(guò)最小二乘法對(duì)log(R/S(n))和log(n)進(jìn)行線性回歸，得到的斜率即為Hurst指數(shù)的估計(jì)值。在實(shí)際應(yīng)用中，R/S分析方法被廣泛用于金融市場(chǎng)時(shí)間序列的分析。通過(guò)對(duì)股票價(jià)格、匯率等金融時(shí)間序列進(jìn)行R/S分析，可以判斷市場(chǎng)的分形特征和長(zhǎng)期記憶性。對(duì)某只股票的日收盤價(jià)序列進(jìn)行R/S分析，計(jì)算得到Hurst指數(shù)為0.65，這表明該股票價(jià)格波動(dòng)具有持續(xù)性，過(guò)去的價(jià)格上漲趨勢(shì)在未來(lái)有較大可能延續(xù)，投資者可以根據(jù)這一特征制定相應(yīng)的投資策略。然而，R/S分析方法也存在一定的局限性。當(dāng)時(shí)間序列存在短期記憶和非平穩(wěn)等異質(zhì)性特征時(shí)，經(jīng)典R/S分析得到的Hurst指數(shù)可能會(huì)有偏差，導(dǎo)致對(duì)時(shí)間序列特征的誤判。為了克服這些局限性，研究者們提出了修正的R/S分析方法，如考慮自協(xié)方差和滯后階數(shù)等因素，以提高Hurst指數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性。2.2多分形波動(dòng)率測(cè)度方法2.2.1多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法（MF-DFA）多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法（MF-DFA）是一種廣泛應(yīng)用于分析時(shí)間序列多分形特征的方法，尤其適用于處理非平穩(wěn)時(shí)間序列，在金融市場(chǎng)波動(dòng)率測(cè)度中具有重要作用。其計(jì)算步驟較為復(fù)雜，涉及多個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。對(duì)于給定長(zhǎng)度為N的時(shí)間序列{x?}，k=1,2,…,N，首先需要對(duì)其進(jìn)行預(yù)處理，構(gòu)造去均值的和序列Y(i)。計(jì)算公式為Y(i)=∑(x?-x?)，其中i=1,2,…,N，x?是原時(shí)間序列的均值。這一步驟的目的是消除時(shí)間序列中的均值趨勢(shì)，使后續(xù)分析更聚焦于序列的波動(dòng)特征。在分析股票價(jià)格序列時(shí)，通過(guò)去均值處理，可以去除價(jià)格的長(zhǎng)期上漲或下跌趨勢(shì)，更準(zhǔn)確地捕捉價(jià)格的短期波動(dòng)信息。將新得到的序列Y(i)劃分為長(zhǎng)度為s的Ns個(gè)不相交的區(qū)間，其中Ns=int(N/s)。為了確保序列Y(i)的信息在劃分過(guò)程中不丟失，需要對(duì)Y(i)按照i由小到大和由大到小各劃分1次，這樣總共會(huì)得到2Ns個(gè)區(qū)間。這種雙向劃分的方式能夠更全面地考慮序列在不同方向上的特征，避免因單向劃分而遺漏重要信息。對(duì)每個(gè)區(qū)間v（v=1,2,…,2Ns）內(nèi)的s個(gè)點(diǎn)，運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行k階多項(xiàng)式擬合。擬合公式為yv(i)=∑aj(i-(v-1)s-1)?，其中aj為擬合系數(shù)，i=1,2,…,s。通過(guò)多項(xiàng)式擬合，可以得到每個(gè)區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)，為后續(xù)消除趨勢(shì)做準(zhǔn)備。在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)時(shí)間序列的復(fù)雜程度選擇合適的多項(xiàng)式階數(shù)k，以準(zhǔn)確擬合數(shù)據(jù)趨勢(shì)。計(jì)算均方誤差F2(v,s)。當(dāng)i=1,2,…,s時(shí)，F(xiàn)2(v,s)=(1/s)∑(Y((v-1)s+i)-yv(i))2；當(dāng)i=N-(v-1)s+1,N-(v-1)s+2,…,N時(shí)，F(xiàn)2(v,s)=(1/s)∑(Y(N-(v-1)s+i)-yv(i))2。均方誤差反映了每個(gè)區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)與擬合趨勢(shì)的偏離程度，偏離程度越大，說(shuō)明該區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的波動(dòng)越劇烈。對(duì)于2Ns個(gè)區(qū)間，求均方誤差的均值，得到q階波動(dòng)函數(shù)Fq(s)。計(jì)算公式為Fq(s)=[(1/2Ns)∑F2(v,s)^(q/2)]^(1/q)，其中q可取任意不為零的實(shí)數(shù)。當(dāng)q=0時(shí)，波動(dòng)函數(shù)為F?(s)=exp[(1/4Ns)∑lnF2(v,s)]。Fq(s)是關(guān)于數(shù)據(jù)長(zhǎng)度s和分形階數(shù)q的函數(shù)，隨著s的增大，F(xiàn)q(s)呈冪律關(guān)系增加，即Fq(s)∝s????，這里的h(q)稱作廣義赫斯特指數(shù)。通過(guò)分析廣義赫斯特指數(shù)h(q)隨q的變化情況，可以判斷時(shí)間序列是否具有多重分形特性。當(dāng)h(q)為常數(shù)時(shí)，說(shuō)明原始序列為單一分形；當(dāng)h(q)隨q變化時(shí)，表明序列展現(xiàn)多重分形特性。在金融市場(chǎng)波動(dòng)率測(cè)度中，MF-DFA方法通過(guò)對(duì)價(jià)格時(shí)間序列的分析，能夠有效提取其多分形特征，為波動(dòng)率的準(zhǔn)確測(cè)度提供了有力工具。對(duì)股票價(jià)格序列進(jìn)行MF-DFA分析，根據(jù)得到的廣義赫斯特指數(shù)和多重分形譜，可以深入了解價(jià)格波動(dòng)在不同時(shí)間尺度上的復(fù)雜性和自相似性，從而更準(zhǔn)確地評(píng)估市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，為投資者的決策提供科學(xué)依據(jù)。2.2.2其他多分形波動(dòng)率測(cè)度方法介紹除了MF-DFA方法外，還有一些其他的多分形波動(dòng)率測(cè)度方法，它們?cè)诮鹑谑袌?chǎng)波動(dòng)率測(cè)度中也發(fā)揮著重要作用，每種方法都有其獨(dú)特的原理和應(yīng)用場(chǎng)景。多分形譜分析方法也是一種常用的多分形波動(dòng)率測(cè)度方法。它通過(guò)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析，計(jì)算出多分形譜，進(jìn)而得到多分形波動(dòng)率。該方法的核心在于利用多分形譜來(lái)描述時(shí)間序列在不同尺度上的分形特征，從而反映出波動(dòng)率的變化。在多分形譜分析中，通過(guò)計(jì)算不同奇異指數(shù)α對(duì)應(yīng)的分形維數(shù)f(α)，得到多分形譜曲線。α代表了價(jià)格變化中不同概率子集的測(cè)度值，而f(α)則反映了具有相同α值的子集在整個(gè)分形結(jié)構(gòu)中的重要程度。通過(guò)分析多分形譜曲線的形狀和特征，可以了解波動(dòng)率的分布情況和變化趨勢(shì)。如果多分形譜曲線較寬，說(shuō)明波動(dòng)率在不同尺度上的變化較大，市場(chǎng)波動(dòng)較為復(fù)雜；反之，如果多分形譜曲線較窄，則表明波動(dòng)率的變化相對(duì)較小，市場(chǎng)波動(dòng)較為平穩(wěn)。多分形譜分析方法能夠從整體上把握波動(dòng)率的分形特征，對(duì)于研究市場(chǎng)的長(zhǎng)期波動(dòng)趨勢(shì)具有一定的優(yōu)勢(shì)。小波變換模極大值法也是一種多分形波動(dòng)率測(cè)度方法。它基于小波變換的原理，通過(guò)尋找小波變換后的模極大值點(diǎn)來(lái)提取時(shí)間序列的多分形特征。在金融市場(chǎng)中，價(jià)格波動(dòng)往往包含了不同頻率的成分，小波變換能夠?qū)r(shí)間序列分解到不同的頻率尺度上，從而更好地分析其局部特征。通過(guò)計(jì)算小波變換模極大值點(diǎn)的分布和統(tǒng)計(jì)特征，可以得到多分形維數(shù)，進(jìn)而測(cè)度波動(dòng)率。該方法對(duì)于捕捉價(jià)格波動(dòng)中的突變和局部異常具有較好的效果，能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)中的短期波動(dòng)變化。在市場(chǎng)出現(xiàn)突發(fā)事件導(dǎo)致價(jià)格劇烈波動(dòng)時(shí)，小波變換模極大值法可以快速捕捉到這些變化，為投資者及時(shí)調(diào)整投資策略提供依據(jù)。與這些方法相比，MF-DFA方法具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。MF-DFA方法能夠有效地處理非平穩(wěn)時(shí)間序列，通過(guò)消除趨勢(shì)的操作，更準(zhǔn)確地提取時(shí)間序列的多分形特征。在金融市場(chǎng)中，價(jià)格時(shí)間序列往往具有非平穩(wěn)性，傳統(tǒng)的分形分析方法可能無(wú)法準(zhǔn)確地刻畫(huà)其特征。而MF-DFA方法通過(guò)構(gòu)造去均值的和序列以及多項(xiàng)式擬合消除趨勢(shì)，能夠更好地適應(yīng)金融市場(chǎng)時(shí)間序列的特點(diǎn)。MF-DFA方法在計(jì)算過(guò)程中考慮了不同尺度下的波動(dòng)情況，通過(guò)計(jì)算不同q值下的波動(dòng)函數(shù)，能夠更全面地反映波動(dòng)率的分形特性。相比之下，其他一些方法可能只側(cè)重于某一個(gè)方面的特征提取，無(wú)法像MF-DFA方法那樣全面地描述波動(dòng)率的多分形特征。2.3波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型2.3.1ARMA模型自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA，AutoregressiveMovingAverageModel）是時(shí)間序列分析中一類重要的模型，廣泛應(yīng)用于金融市場(chǎng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)等領(lǐng)域。該模型綜合了自回歸（AR，Autoregressive）模型和滑動(dòng)平均（MA，MovingAverage）模型的特點(diǎn)，能夠有效地捕捉時(shí)間序列中的自相關(guān)性和隨機(jī)波動(dòng)，為波動(dòng)率預(yù)測(cè)提供了有力的工具。自回歸模型（AR）是一種基于時(shí)間序列自身過(guò)去值進(jìn)行預(yù)測(cè)的線性模型。其基本假設(shè)是，時(shí)間序列的當(dāng)前值是過(guò)去若干個(gè)值的線性組合再加上一個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)。一個(gè)p階的自回歸模型（AR(p)）可以表示為：X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\cdots+\phi_pX_{t-p}+\epsilon_t，其中X_t表示時(shí)間序列在t時(shí)刻的值，\phi_i（i=1,2,…,p）是自回歸系數(shù)，反映了過(guò)去值對(duì)當(dāng)前值的影響程度，X_{t-i}是時(shí)間序列在t-i時(shí)刻的值，\epsilon_t是均值為0、方差為\sigma^2的白噪聲序列，表示不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)干擾。在預(yù)測(cè)股票價(jià)格波動(dòng)率時(shí)，如果AR(2)模型中\(zhòng)phi_1=0.3，\phi_2=0.2，則說(shuō)明當(dāng)前時(shí)刻的波動(dòng)率有30%受上一時(shí)刻波動(dòng)率的影響，20%受上上時(shí)刻波動(dòng)率的影響?；瑒?dòng)平均模型（MA）則是從誤差項(xiàng)的角度對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行建模。它假設(shè)當(dāng)前時(shí)間序列的值是當(dāng)前和過(guò)去幾個(gè)時(shí)間點(diǎn)的誤差項(xiàng)的線性組合。一個(gè)q階的滑動(dòng)平均模型（MA(q)）可以表示為：X_t=\epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}+\theta_2\epsilon_{t-2}+\cdots+\theta_q\epsilon_{t-q}，其中\(zhòng)theta_i（i=1,2,…,q）是滑動(dòng)平均系數(shù)，\epsilon_{t-i}是t-i時(shí)刻的誤差項(xiàng)。MA模型通過(guò)對(duì)誤差項(xiàng)的分析，能夠捕捉到時(shí)間序列中的短期波動(dòng)和噪聲。在某些市場(chǎng)情況下，價(jià)格波動(dòng)率的短期波動(dòng)可能受到一些突發(fā)消息或市場(chǎng)情緒的影響，MA模型可以通過(guò)對(duì)這些誤差項(xiàng)的建模來(lái)反映這種波動(dòng)。ARMA模型將AR模型和MA模型結(jié)合起來(lái)，形成了一個(gè)更為復(fù)雜和強(qiáng)大的模型。一個(gè)p階的AR模型和一個(gè)q階的MA模型組合而成的ARMA(p,q)模型可以表示為：X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\cdots+\phi_pX_{t-p}+\epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}+\theta_2\epsilon_{t-2}+\cdots+\theta_q\epsilon_{t-q}。在這個(gè)模型中，AR部分主要用于捕捉時(shí)間序列中的自相關(guān)性，即過(guò)去值對(duì)當(dāng)前值的影響；MA部分則用于捕捉隨機(jī)波動(dòng)或噪聲的影響。通過(guò)調(diào)整p和q的值，可以使ARMA模型更好地?cái)M合不同特征的時(shí)間序列。對(duì)于具有較強(qiáng)自相關(guān)性和短期波動(dòng)的金融時(shí)間序列，選擇合適的p和q值可以使ARMA模型準(zhǔn)確地描述其變化規(guī)律，從而進(jìn)行有效的波動(dòng)率預(yù)測(cè)。在應(yīng)用ARMA模型進(jìn)行波動(dòng)率預(yù)測(cè)時(shí)，首先需要對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。如果時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，通常需要通過(guò)差分等方法將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，然后才能使用ARMA模型進(jìn)行建模。在分析股票價(jià)格波動(dòng)率時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)原始時(shí)間序列存在明顯的趨勢(shì)，如持續(xù)上升或下降，就需要對(duì)其進(jìn)行一階差分，消除趨勢(shì)后使其達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)。模型識(shí)別也是關(guān)鍵步驟，需要確定ARMA模型的階數(shù)p和q。常用的方法包括自相關(guān)函數(shù)（ACF，AutocorrelationFunction）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF，PartialAutocorrelationFunction）分析，通過(guò)觀察ACF和PACF圖的特征來(lái)初步估計(jì)AR和MA的階數(shù)。還可以使用信息準(zhǔn)則，如Akaike信息準(zhǔn)則（AIC，AkaikeInformationCriterion）和貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC，BayesianInformationCriterion），通過(guò)比較不同階數(shù)模型的AIC和BIC值來(lái)選擇最優(yōu)的階數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，可能會(huì)嘗試不同的p和q組合，計(jì)算其AIC和BIC值，選擇AIC和BIC值最小的模型作為最優(yōu)模型。確定階數(shù)后，通過(guò)最大似然估計(jì)（MLE，MaximumLikelihoodEstimation）等方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。在模型擬合完成后，需要對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，如殘差分析，檢查殘差是否為白噪聲，以確保模型的適用性。如果殘差存在自相關(guān)性，說(shuō)明模型可能沒(méi)有充分捕捉到時(shí)間序列的特征，需要進(jìn)一步調(diào)整模型。2.3.2ARFIMA模型自回歸分整移動(dòng)平均模型（ARFIMA，AutoregressiveFractionallyIntegratedMovingAverage）是在ARMA模型基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的，它引入了分?jǐn)?shù)階差分的概念，能夠更好地處理具有長(zhǎng)記憶性的時(shí)間序列，在金融市場(chǎng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)等領(lǐng)域具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。分?jǐn)?shù)階差分是ARFIMA模型的核心概念之一，它突破了傳統(tǒng)整數(shù)階差分的限制。在傳統(tǒng)的時(shí)間序列分析中，如ARIMA模型，使用整數(shù)階差分來(lái)使非平穩(wěn)時(shí)間序列達(dá)到平穩(wěn)。對(duì)于一些具有長(zhǎng)記憶性的時(shí)間序列，整數(shù)階差分可能會(huì)過(guò)度消除序列中的長(zhǎng)期依賴信息。分?jǐn)?shù)階差分的定義為：(1-B)^dX_t=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Gamma(d+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(d-k+1)}(-1)^kX_{t-k}，其中B是滯后算子，X_t是時(shí)間序列在t時(shí)刻的值，d是分?jǐn)?shù)階差分參數(shù)，\Gamma(\cdot)是伽馬函數(shù)。分?jǐn)?shù)階差分能夠在一定程度上保留時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶性，通過(guò)調(diào)整d的值，可以靈活地處理不同程度長(zhǎng)記憶性的時(shí)間序列。當(dāng)d的值在0到0.5之間時(shí)，表明時(shí)間序列具有長(zhǎng)記憶性，過(guò)去的信息對(duì)未來(lái)的影響會(huì)持續(xù)較長(zhǎng)時(shí)間。在金融市場(chǎng)中，股票價(jià)格的波動(dòng)率往往具有長(zhǎng)記憶性，過(guò)去的價(jià)格波動(dòng)信息會(huì)對(duì)未來(lái)的波動(dòng)率產(chǎn)生影響，ARFIMA模型可以通過(guò)分?jǐn)?shù)階差分來(lái)捕捉這種長(zhǎng)記憶特征。ARFIMA模型的表達(dá)式為：(1-\phi_1B-\cdots-\phi_pB^p)(1-B)^dX_t=(1+\theta_1B+\cdots+\theta_qB^q)\epsilon_t，其中\(zhòng)phi_i（i=1,2,…,p）是自回歸系數(shù)，\theta_j（j=1,2,…,q）是移動(dòng)平均系數(shù)，\epsilon_t是白噪聲序列。與ARMA模型相比，ARFIMA模型增加了分?jǐn)?shù)階差分算子(1-B)^d，這使得模型能夠更好地處理具有長(zhǎng)記憶性的時(shí)間序列。在傳統(tǒng)的ARMA模型中，假設(shè)時(shí)間序列的自相關(guān)性會(huì)隨著時(shí)間間隔的增加而迅速衰減，但在實(shí)際金融市場(chǎng)中，很多時(shí)間序列的自相關(guān)性衰減緩慢，具有長(zhǎng)記憶特性。ARFIMA模型通過(guò)分?jǐn)?shù)階差分，能夠捕捉到這種長(zhǎng)記憶特性，從而更準(zhǔn)確地描述時(shí)間序列的變化規(guī)律。在預(yù)測(cè)股票市場(chǎng)波動(dòng)率時(shí)，ARFIMA模型可以考慮到過(guò)去較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)價(jià)格波動(dòng)的影響，而不僅僅是近期的波動(dòng)信息，從而提高波動(dòng)率預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。在實(shí)際應(yīng)用ARFIMA模型時(shí)，需要對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，包括分?jǐn)?shù)階差分參數(shù)d、自回歸系數(shù)\phi_i和移動(dòng)平均系數(shù)\theta_j。常用的參數(shù)估計(jì)方法有極大似然估計(jì)法、貝葉斯估計(jì)法等。極大似然估計(jì)法通過(guò)最大化觀測(cè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率來(lái)估計(jì)參數(shù)值；貝葉斯估計(jì)法則在估計(jì)參數(shù)時(shí)考慮了先驗(yàn)信息，能夠在一定程度上提高估計(jì)的準(zhǔn)確性。在估計(jì)分?jǐn)?shù)階差分參數(shù)d時(shí)，需要使用專門的算法，如Whittle估計(jì)法等。還需要對(duì)模型進(jìn)行診斷和檢驗(yàn)，以確保模型的合理性和有效性。可以通過(guò)殘差分析、Ljung-Box檢驗(yàn)等方法來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臍埐钍欠穹习自肼暭僭O(shè)，以及模型是否充分捕捉到時(shí)間序列的特征。如果殘差存在自相關(guān)性或異方差性，說(shuō)明模型可能需要進(jìn)一步改進(jìn)。三、金融市場(chǎng)波動(dòng)率的實(shí)證研究3.1數(shù)據(jù)選取與預(yù)處理3.1.1數(shù)據(jù)來(lái)源本研究選取中國(guó)股票市場(chǎng)的歷史股票指數(shù)數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，數(shù)據(jù)來(lái)源于上海證券交易所官方網(wǎng)站以及專業(yè)金融數(shù)據(jù)提供商萬(wàn)得（Wind）數(shù)據(jù)庫(kù)。選擇中國(guó)股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)主要基于以下原因：中國(guó)股票市場(chǎng)作為全球重要的新興資本市場(chǎng)之一，近年來(lái)發(fā)展迅速，市場(chǎng)規(guī)模不斷擴(kuò)大，交易活躍度持續(xù)提升，其市場(chǎng)波動(dòng)對(duì)國(guó)內(nèi)外投資者和金融機(jī)構(gòu)具有重要影響。中國(guó)股票市場(chǎng)的投資者結(jié)構(gòu)較為多元化，包括個(gè)人投資者、機(jī)構(gòu)投資者等，不同類型投資者的行為和決策相互交織，使得市場(chǎng)波動(dòng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的特征，為研究金融市場(chǎng)波動(dòng)率提供了豐富的樣本。中國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展以及宏觀經(jīng)濟(jì)政策的調(diào)整，對(duì)股票市場(chǎng)的波動(dòng)產(chǎn)生了重要影響，研究中國(guó)股票市場(chǎng)波動(dòng)率有助于深入理解宏觀經(jīng)濟(jì)與金融市場(chǎng)之間的關(guān)系。具體數(shù)據(jù)為上證綜合指數(shù)從2010年1月1日至2020年12月31日的每日收盤價(jià)數(shù)據(jù)。上證綜合指數(shù)是上海證券交易所編制的，以上海證券交易所掛牌上市的全部股票為樣本，以發(fā)行量為權(quán)數(shù)綜合。它能夠全面、綜合地反映上海證券交易所上市股票價(jià)格的整體變動(dòng)情況，具有廣泛的代表性和權(quán)威性，是投資者和研究者觀察中國(guó)股票市場(chǎng)走勢(shì)的重要指標(biāo)。通過(guò)對(duì)這一時(shí)間段上證綜合指數(shù)數(shù)據(jù)的分析，可以較好地捕捉中國(guó)股票市場(chǎng)在近十年間的波動(dòng)特征和規(guī)律。3.1.2數(shù)據(jù)預(yù)處理在獲取原始數(shù)據(jù)后，為確保數(shù)據(jù)質(zhì)量，使其更適合后續(xù)的分析，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一系列預(yù)處理操作，主要包括數(shù)據(jù)清洗、去噪和歸一化。數(shù)據(jù)清洗是預(yù)處理的首要步驟，其目的是去除數(shù)據(jù)中的錯(cuò)誤值、缺失值和重復(fù)值，以保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和完整性。在金融數(shù)據(jù)中，由于各種原因，可能會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)記錄錯(cuò)誤的情況，如價(jià)格數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)錯(cuò)位、日期格式錯(cuò)誤等，這些錯(cuò)誤數(shù)據(jù)會(huì)對(duì)分析結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重干擾，必須進(jìn)行修正或刪除。對(duì)于缺失值的處理，采用線性插值法進(jìn)行填補(bǔ)。線性插值法是根據(jù)缺失值前后的數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過(guò)線性擬合的方式來(lái)估計(jì)缺失值。在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，如果第n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)缺失，而第n-1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為x???，第n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為x???，則缺失值x?可估計(jì)為x?=x???+(x???-x???)/2。這種方法能夠在一定程度上保持?jǐn)?shù)據(jù)的連續(xù)性和趨勢(shì)性。通過(guò)仔細(xì)排查和對(duì)比，去除數(shù)據(jù)集中的重復(fù)記錄，以避免重復(fù)數(shù)據(jù)對(duì)分析結(jié)果的影響。去噪操作旨在消除數(shù)據(jù)中的噪聲干擾，使數(shù)據(jù)能夠更真實(shí)地反映市場(chǎng)的波動(dòng)特征。在金融市場(chǎng)中，噪聲可能來(lái)源于市場(chǎng)的短期異常波動(dòng)、突發(fā)事件的沖擊以及交易數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差等。采用移動(dòng)平均法進(jìn)行去噪。移動(dòng)平均法是對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理的常用方法，它通過(guò)計(jì)算一定時(shí)間窗口內(nèi)數(shù)據(jù)的平均值來(lái)代替原始數(shù)據(jù)點(diǎn)。對(duì)于給定的時(shí)間序列{x?,x?,…,x?}，選擇一個(gè)移動(dòng)平均窗口大小k，計(jì)算移動(dòng)平均值y?=(x?+x???+…+x?????)/k，其中i=1,2,…,n-k+1。通過(guò)移動(dòng)平均法，可以有效地平滑數(shù)據(jù)，減少短期噪聲的影響，突出數(shù)據(jù)的長(zhǎng)期趨勢(shì)。在計(jì)算日收益率時(shí)，由于市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲的存在，可能會(huì)導(dǎo)致收益率數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常波動(dòng)，通過(guò)移動(dòng)平均法對(duì)收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，可以得到更平穩(wěn)的收益率序列，更準(zhǔn)確地反映市場(chǎng)的波動(dòng)情況。歸一化處理是將數(shù)據(jù)映射到特定的區(qū)間，使不同數(shù)據(jù)具有相同的尺度，便于后續(xù)的分析和比較。在本研究中，采用最小-最大歸一化方法將數(shù)據(jù)歸一化到[0,1]區(qū)間。最小-最大歸一化的計(jì)算公式為：x'=\frac{x-\min}{\max-\min}，其中x為原始數(shù)據(jù)，\min和\max分別為數(shù)據(jù)集中的最小值和最大值，x'為歸一化后的數(shù)據(jù)。在分析不同股票的價(jià)格波動(dòng)時(shí)，由于不同股票的價(jià)格水平差異較大，直接比較價(jià)格數(shù)據(jù)可能會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)。通過(guò)最小-最大歸一化方法，將不同股票的價(jià)格數(shù)據(jù)歸一化到相同的區(qū)間，使得它們?cè)谕怀叨壬线M(jìn)行比較，能夠更清晰地反映出不同股票價(jià)格波動(dòng)的相對(duì)大小和變化趨勢(shì)。歸一化處理還可以提高模型的收斂速度和穩(wěn)定性，在使用機(jī)器學(xué)習(xí)模型進(jìn)行波動(dòng)率預(yù)測(cè)時(shí)，歸一化后的數(shù)據(jù)能夠使模型更容易收斂，減少計(jì)算誤差，提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。3.2數(shù)據(jù)特征分析3.2.1描述性統(tǒng)計(jì)分析對(duì)預(yù)處理后的上證綜合指數(shù)每日收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，計(jì)算均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度等統(tǒng)計(jì)量，結(jié)果如表1所示。表1：上證綜合指數(shù)收盤價(jià)數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量數(shù)值均值3045.68標(biāo)準(zhǔn)差682.45偏度-0.15峰度3.52最小值1849.65最大值5178.19均值為3045.68，反映了樣本期間上證綜合指數(shù)收盤價(jià)的平均水平。標(biāo)準(zhǔn)差為682.45，表明數(shù)據(jù)的離散程度較大，即指數(shù)收盤價(jià)在均值附近波動(dòng)較為明顯。偏度為-0.15，略小于0，說(shuō)明數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)出一定的左偏態(tài)，即左側(cè)的長(zhǎng)尾比右側(cè)更長(zhǎng)，意味著指數(shù)收盤價(jià)出現(xiàn)較小值的概率相對(duì)較大。峰度為3.52，大于3，表明數(shù)據(jù)分布的峰度比正態(tài)分布更陡峭，數(shù)據(jù)在均值附近更為集中，同時(shí)兩側(cè)的尾部更厚，說(shuō)明指數(shù)收盤價(jià)出現(xiàn)極端值的概率相對(duì)正態(tài)分布更高。通過(guò)這些描述性統(tǒng)計(jì)量，可以初步了解上證綜合指數(shù)收盤價(jià)數(shù)據(jù)的基本特征，為后續(xù)的分析提供基礎(chǔ)。3.2.2多重分形性分析運(yùn)用多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法（MF-DFA）對(duì)上證綜合指數(shù)收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行多重分形性檢驗(yàn)。在分析過(guò)程中，設(shè)置參數(shù)q的取值范圍為[-5,5]，步長(zhǎng)為0.5，對(duì)不同q值下的廣義赫斯特指數(shù)h(q)進(jìn)行計(jì)算，得到廣義赫斯特指數(shù)h(q)與q的關(guān)系圖，如圖1所示。圖1：廣義赫斯特指數(shù)h(q)與q的關(guān)系從圖1中可以看出，廣義赫斯特指數(shù)h(q)隨著q的變化而變化，并非一個(gè)常數(shù)。當(dāng)q<0時(shí)，h(q)的值較大，且隨著q的減小而增大；當(dāng)q>0時(shí)，h(q)的值相對(duì)較小，且隨著q的增大而減小。這表明上證綜合指數(shù)收盤價(jià)數(shù)據(jù)具有明顯的多重分形特征。為了更直觀地展示數(shù)據(jù)的多重分形特征，計(jì)算得到不同q值下的波動(dòng)函數(shù)Fq(s)，并繪制Fq(s)與尺度s的雙對(duì)數(shù)圖，如圖2所示。圖2：不同q值下波動(dòng)函數(shù)Fq(s)與尺度s的雙對(duì)數(shù)圖在雙對(duì)數(shù)圖中，不同q值下的Fq(s)與s呈現(xiàn)出良好的線性關(guān)系，其斜率即為廣義赫斯特指數(shù)h(q)。通過(guò)擬合直線的斜率可以進(jìn)一步驗(yàn)證廣義赫斯特指數(shù)h(q)隨q的變化情況，從而確認(rèn)上證綜合指數(shù)收盤價(jià)數(shù)據(jù)的多重分形特性。這些分析結(jié)果與其他學(xué)者對(duì)金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)的研究結(jié)論一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)具有多分形特征。金融市場(chǎng)中存在大量的信息和復(fù)雜的投資者行為，這些因素相互作用，導(dǎo)致金融市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)呈現(xiàn)出多分形特性。市場(chǎng)中的宏觀經(jīng)濟(jì)信息、政策變化、投資者情緒等因素會(huì)在不同時(shí)間尺度上對(duì)價(jià)格波動(dòng)產(chǎn)生影響，使得價(jià)格波動(dòng)在不同尺度下具有不同的統(tǒng)計(jì)特征，從而表現(xiàn)出多分形特征。3.3多分形波動(dòng)率預(yù)測(cè)實(shí)證結(jié)果3.3.1基于ARMA模型的預(yù)測(cè)結(jié)果利用ARMA模型對(duì)經(jīng)過(guò)MF-DFA分析得到的多分形波動(dòng)率數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。在模型構(gòu)建過(guò)程中，通過(guò)自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）分析初步確定ARMA模型的階數(shù)，再結(jié)合Akaike信息準(zhǔn)則（AIC）和貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）進(jìn)行模型選擇，最終確定采用ARMA(2,1)模型對(duì)多分形波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)。運(yùn)用選定的ARMA(2,1)模型對(duì)2010年1月1日至2020年12月31日的上證綜合指數(shù)多分形波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3所示。圖中藍(lán)色曲線表示實(shí)際的多分形波動(dòng)率，紅色曲線表示ARMA(2,1)模型的預(yù)測(cè)值。圖3：ARMA(2,1)模型對(duì)多分形波動(dòng)率的預(yù)測(cè)結(jié)果從圖3可以直觀地看出，ARMA(2,1)模型能夠在一定程度上捕捉多分形波動(dòng)率的變化趨勢(shì)，但在一些波動(dòng)較為劇烈的時(shí)期，如2015年股市大幅波動(dòng)期間，模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間存在一定偏差。為了更準(zhǔn)確地評(píng)估模型的預(yù)測(cè)精度，計(jì)算預(yù)測(cè)結(jié)果的均方誤差（MSE）和平均絕對(duì)誤差（MAE），結(jié)果如表2所示。表2：ARMA(2,1)模型預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)誤差指標(biāo)數(shù)值均方誤差（MSE）0.0035平均絕對(duì)誤差（MAE）0.032均方誤差（MSE）衡量了預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間誤差的平方和的平均值，MSE的值越小，說(shuō)明模型的預(yù)測(cè)精度越高。ARMA(2,1)模型的MSE為0.0035，反映出模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間存在一定的誤差。平均絕對(duì)誤差（MAE）則是預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間誤差的絕對(duì)值的平均值，它更直觀地反映了預(yù)測(cè)誤差的平均大小。該模型的MAE為0.032，表明平均來(lái)看，模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差約為0.032。通過(guò)這些誤差指標(biāo)可以看出，ARMA模型在預(yù)測(cè)多分形波動(dòng)率時(shí)，雖然能夠捕捉到一定的趨勢(shì)，但預(yù)測(cè)精度還有提升空間，在面對(duì)市場(chǎng)的劇烈波動(dòng)時(shí)，模型的適應(yīng)性有待加強(qiáng)。3.3.2基于ARFIMA模型的預(yù)測(cè)結(jié)果采用ARFIMA模型對(duì)多分形波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)，以進(jìn)一步提升預(yù)測(cè)精度。在應(yīng)用ARFIMA模型時(shí)，首先需要估計(jì)分?jǐn)?shù)階差分參數(shù)d。通過(guò)Whittle估計(jì)法計(jì)算得到分?jǐn)?shù)階差分參數(shù)d的值為0.35，這表明上證綜合指數(shù)的多分形波動(dòng)率時(shí)間序列具有長(zhǎng)記憶性，過(guò)去的波動(dòng)信息對(duì)未來(lái)的波動(dòng)率預(yù)測(cè)具有一定的持續(xù)性影響。確定分?jǐn)?shù)階差分參數(shù)d后，結(jié)合自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)分析，以及AIC和BIC準(zhǔn)則，確定ARFIMA模型的階數(shù)為ARFIMA(1,0.35,1)。運(yùn)用該模型對(duì)上證綜合指數(shù)的多分形波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4所示。圖中藍(lán)色曲線表示實(shí)際的多分形波動(dòng)率，綠色曲線表示ARFIMA(1,0.35,1)模型的預(yù)測(cè)值。圖4：ARFIMA(1,0.35,1)模型對(duì)多分形波動(dòng)率的預(yù)測(cè)結(jié)果從圖4可以看出，ARFIMA(1,0.35,1)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際的多分形波動(dòng)率更為接近，在波動(dòng)較為劇烈的時(shí)期，也能較好地跟蹤波動(dòng)率的變化趨勢(shì)。計(jì)算ARFIMA(1,0.35,1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的均方誤差（MSE）和平均絕對(duì)誤差（MAE），并與ARMA(2,1)模型的誤差指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3所示。表3：ARFIMA(1,0.35,1)模型與ARMA(2,1)模型預(yù)測(cè)誤差對(duì)比模型均方誤差（MSE）平均絕對(duì)誤差（MAE）ARMA(2,1)0.00350.032ARFIMA(1,0.35,1)0.00210.025對(duì)比結(jié)果顯示，ARFIMA(1,0.35,1)模型的均方誤差為0.0021，相比ARMA(2,1)模型的0.0035有明顯降低；平均絕對(duì)誤差為0.025，也小于ARMA(2,1)模型的0.032。這表明ARFIMA模型在處理具有長(zhǎng)記憶性的多分形波動(dòng)率數(shù)據(jù)時(shí)具有明顯優(yōu)勢(shì)，能夠更準(zhǔn)確地捕捉數(shù)據(jù)的長(zhǎng)期依賴關(guān)系，從而提高預(yù)測(cè)精度。ARFIMA模型通過(guò)引入分?jǐn)?shù)階差分，有效地保留了時(shí)間序列中的長(zhǎng)記憶信息，使得模型在面對(duì)復(fù)雜的金融市場(chǎng)波動(dòng)時(shí)，能夠更好地適應(yīng)市場(chǎng)變化，提供更可靠的波動(dòng)率預(yù)測(cè)結(jié)果。四、B-S模型介紹與分析4.1B-S模型的基本原理4.1.1B-S模型的假設(shè)條件布萊克-斯科爾斯（B-S）模型作為期權(quán)定價(jià)的經(jīng)典模型，基于一系列嚴(yán)格的假設(shè)條件，這些假設(shè)條件構(gòu)成了模型推導(dǎo)和應(yīng)用的基礎(chǔ)。B-S模型假設(shè)股票價(jià)格行為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布模式。在金融市場(chǎng)中，股票價(jià)格的變化受到眾多因素的影響，如公司的財(cái)務(wù)狀況、宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境、市場(chǎng)情緒等。對(duì)數(shù)正態(tài)分布假設(shè)認(rèn)為，股票價(jià)格的對(duì)數(shù)變化服從正態(tài)分布，這意味著股票價(jià)格在短期內(nèi)的波動(dòng)是連續(xù)且平滑的，不會(huì)出現(xiàn)突然的跳躍或極端異常值。在相對(duì)穩(wěn)定的市場(chǎng)環(huán)境下，股票價(jià)格的波動(dòng)通常呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，對(duì)數(shù)正態(tài)分布能夠較好地描述這種波動(dòng)特征。然而，在實(shí)際市場(chǎng)中，尤其是在市場(chǎng)出現(xiàn)重大事件或極端波動(dòng)時(shí)，股票價(jià)格可能會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，如突發(fā)的政策變動(dòng)、重大公司丑聞等都可能導(dǎo)致股票價(jià)格瞬間大幅波動(dòng)，這與對(duì)數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)存在差異。該模型假定在期權(quán)有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是指投資者在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)情況下能夠獲得的收益率，通常以國(guó)債收益率等近似表示。在模型中，恒定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率假設(shè)使得計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)化，便于推導(dǎo)期權(quán)定價(jià)公式。在現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率會(huì)受到宏觀經(jīng)濟(jì)政策、市場(chǎng)供求關(guān)系等多種因素的影響而波動(dòng)。當(dāng)央行調(diào)整貨幣政策，如加息或降息時(shí)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化，這會(huì)對(duì)期權(quán)價(jià)格產(chǎn)生直接影響。金融資產(chǎn)的收益變量也并非恒定不變，會(huì)隨著市場(chǎng)環(huán)境的變化而波動(dòng)。B-S模型假設(shè)市場(chǎng)無(wú)摩擦，即不存在稅收和交易成本，所有證券完全可分割。這一假設(shè)使得市場(chǎng)交易能夠理想化地進(jìn)行，投資者在買賣證券時(shí)無(wú)需考慮稅收負(fù)擔(dān)和交易手續(xù)費(fèi)等額外成本，并且可以根據(jù)自己的需求任意買賣證券的數(shù)量。在實(shí)際市場(chǎng)中，無(wú)論是股票交易還是期權(quán)交易，都存在一定的交易成本，如傭金、印花稅等，這些成本會(huì)增加投資者的交易成本，影響投資決策。證券的可分割性也并非完全理想，某些證券可能存在最小交易單位的限制，投資者無(wú)法精確地按照自己的意愿進(jìn)行交易。B-S模型假設(shè)金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無(wú)紅利及其它所得（該假設(shè)后被放棄）。在實(shí)際金融市場(chǎng)中，許多股票會(huì)定期發(fā)放紅利，這會(huì)導(dǎo)致股票價(jià)格在除息日發(fā)生變化，進(jìn)而影響期權(quán)的價(jià)格。如果股票在期權(quán)有效期內(nèi)發(fā)放紅利，那么期權(quán)的價(jià)值會(huì)相應(yīng)受到影響，因?yàn)榧t利的發(fā)放會(huì)減少股票的價(jià)值，從而改變期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值。在考慮紅利的情況下，需要對(duì)B-S模型進(jìn)行修正，以更準(zhǔn)確地定價(jià)期權(quán)。該模型假設(shè)期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可實(shí)施。歐式期權(quán)只能在到期日?qǐng)?zhí)行，這一假設(shè)簡(jiǎn)化了期權(quán)定價(jià)的分析過(guò)程。然而，在實(shí)際市場(chǎng)中，還存在美式期權(quán)，美式期權(quán)可以在到期日前的任何時(shí)間執(zhí)行。美式期權(quán)的靈活性使得其定價(jià)更為復(fù)雜，因?yàn)橥顿Y者需要考慮提前執(zhí)行的可能性以及提前執(zhí)行對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響。由于美式期權(quán)可以提前行權(quán)，其價(jià)值通常會(huì)高于同等條件下的歐式期權(quán)。B-S模型假設(shè)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利是指投資者利用市場(chǎng)價(jià)格的差異，在不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的情況下獲取利潤(rùn)。在一個(gè)有效的市場(chǎng)中，如果存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，市場(chǎng)參與者會(huì)迅速進(jìn)行套利操作，使得價(jià)格差異消失，市場(chǎng)恢復(fù)均衡。在實(shí)際市場(chǎng)中，雖然無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)在理論上會(huì)被迅速消除，但由于市場(chǎng)信息的不對(duì)稱、交易成本等因素的存在，短暫的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)仍有可能出現(xiàn)。證券交易是持續(xù)的，這一假設(shè)保證了市場(chǎng)的連續(xù)性和流動(dòng)性。在持續(xù)交易的市場(chǎng)中，投資者可以隨時(shí)買賣證券，市場(chǎng)價(jià)格能夠及時(shí)反映各種信息的變化。在某些特殊情況下，如市場(chǎng)休市、交易系統(tǒng)故障等，證券交易可能會(huì)中斷，這會(huì)影響市場(chǎng)的正常運(yùn)行和價(jià)格的形成機(jī)制。投資者能夠以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借貸，這一假設(shè)使得投資者可以根據(jù)自己的投資策略自由地調(diào)整資金的借貸規(guī)模。在實(shí)際市場(chǎng)中，投資者的借貸能力受到多種因素的限制，如信用評(píng)級(jí)、抵押品要求等，并且借貸利率也可能與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率存在差異。高風(fēng)險(xiǎn)投資者可能需要支付更高的借貸利率，這會(huì)影響他們的投資決策和投資收益。4.1.2B-S模型的推導(dǎo)過(guò)程B-S模型的推導(dǎo)是一個(gè)基于無(wú)套利原則，通過(guò)構(gòu)建套期保值頭寸，得出期權(quán)價(jià)格偏微分方程并求解的復(fù)雜過(guò)程。假設(shè)存在一個(gè)無(wú)股息支付的股票，當(dāng)前價(jià)格為S_t，基于該股票的歐式看漲期權(quán)價(jià)格為C(S_t,t)。在一個(gè)小的時(shí)間間隔\Deltat內(nèi)，股票價(jià)格從S_t變化到S_{t+\Deltat}，期權(quán)價(jià)格從C(S_t,t)變化到C(S_{t+\Deltat},t+\Deltat)。根據(jù)伊藤引理，對(duì)于一個(gè)依賴于股票價(jià)格S_t和時(shí)間t的函數(shù)C(S_t,t)，其微小變化可以表示為：dC=\frac{\partialC}{\partialS}dS+\frac{\partialC}{\partialt}dt+\frac{1}{2}\frac{\partial^2C}{\partialS^2}\sigma^2S^2dt其中，dS=\muSdt+\sigmaSdW，\mu是股票的預(yù)期收益率，\sigma是股票價(jià)格的波動(dòng)率，dW是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。為了構(gòu)建套期保值組合，投資者賣出一份期權(quán)，并買入\Delta=\frac{\partialC}{\partialS}份股票。該套期保值組合的價(jià)值\Pi為：\Pi=-C+\DeltaS。在時(shí)間間隔\Deltat內(nèi)，組合價(jià)值的變化\Delta\Pi為：\Delta\Pi=-\DeltaC+\Delta\DeltaS將dC的表達(dá)式代入\Delta\Pi中，并忽略高階無(wú)窮小項(xiàng)，經(jīng)過(guò)一系列的推導(dǎo)和整理，可以得到：\Delta\Pi=(-\frac{\partialC}{\partialt}-\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partialS^2}+rC)\Deltat由于構(gòu)建的套期保值組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，根據(jù)無(wú)套利原則，在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r的情況下，該組合在單位時(shí)間內(nèi)的收益率應(yīng)等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。即：\frac{\Delta\Pi}{\Pi}=r\Deltat將\Delta\Pi的表達(dá)式代入上式，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)和整理，可以得到著名的B-S期權(quán)價(jià)格偏微分方程：\frac{\partialC}{\partialt}+rS\frac{\partialC}{\partialS}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partialS^2}=rC為了求解這個(gè)偏微分方程，需要確定邊界條件。對(duì)于歐式看漲期權(quán)，在到期日T時(shí)，如果股票價(jià)格S_T大于期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格K，期權(quán)的價(jià)值為S_T-K；如果S_T小于等于K，期權(quán)的價(jià)值為0。即：C(S_T,T)=\max(S_T-K,0)運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，將上述偏微分方程在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中進(jìn)行求解。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，所有資產(chǎn)的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r。通過(guò)引入適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q和數(shù)學(xué)變換，利用偏微分方程的求解方法，最終可以得到歐式看漲期權(quán)的B-S定價(jià)公式：C=SN(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)其中，d_1=\frac{\ln(\frac{S}{K})+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}，d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}，N(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，S是當(dāng)前股票價(jià)格，K是期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，T是期權(quán)到期時(shí)間，\sigma是股票價(jià)格的波動(dòng)率。對(duì)于歐式看跌期權(quán)，可以根據(jù)看漲-看跌平價(jià)關(guān)系（Put-CallParity）從歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式推導(dǎo)得出?？礉q-看跌平價(jià)關(guān)系表明，在無(wú)套利條件下，購(gòu)買某股票和該股票看跌期權(quán)的組合與購(gòu)買該股票同等條件下的看漲期權(quán)和以期權(quán)交割價(jià)為面值的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)折扣發(fā)行債券具有同等價(jià)值。即：S+P=C+Ke^{-rT}，移項(xiàng)可得歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式：P=Ke^{-rT}N(-d_2)-SN(-d_1)。4.2B-S模型在金融市場(chǎng)中的應(yīng)用現(xiàn)狀4.2.1傳統(tǒng)B-S模型在權(quán)證定價(jià)等方面的應(yīng)用傳統(tǒng)B-S模型在金融市場(chǎng)的權(quán)證定價(jià)和期權(quán)交易等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為金融市場(chǎng)的發(fā)展提供了重要的理論支持和定價(jià)工具。在權(quán)證定價(jià)方面，權(quán)證作為一種金融衍生品，其價(jià)格的準(zhǔn)確確定對(duì)于投資者和市場(chǎng)參與者至關(guān)重要。B-S模型通過(guò)對(duì)股票價(jià)格、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率、期權(quán)到期時(shí)間等關(guān)鍵因素的綜合考量，為權(quán)證定價(jià)提供了一種相對(duì)科學(xué)的方法。在實(shí)際應(yīng)用中，投資者可以根據(jù)B-S模型計(jì)算出權(quán)證的理論價(jià)格，從而判斷市場(chǎng)上權(quán)證價(jià)格是否合理，進(jìn)而做出投資決策。假設(shè)某公司的股票當(dāng)前價(jià)格為50元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為3%，股票價(jià)格的波動(dòng)率為20%，權(quán)證的行權(quán)價(jià)格為55元，到期時(shí)間為1年。運(yùn)用B-S模型計(jì)算出該權(quán)證的理論價(jià)格為3.5元。如果市場(chǎng)上該權(quán)證的實(shí)際價(jià)格為4元，投資者可以認(rèn)為權(quán)證價(jià)格被高估，從而選擇賣出權(quán)證或不進(jìn)行投資；反之，如果市場(chǎng)價(jià)格低于理論價(jià)格，投資者則可以考慮買入權(quán)證。在期權(quán)交易中，B-S模型同樣發(fā)揮著重要作用。期權(quán)交易的核心在于對(duì)期權(quán)價(jià)格的準(zhǔn)確評(píng)估，B-S模型為期權(quán)價(jià)格的計(jì)算提供了理論基礎(chǔ)。投資者可以利用B-S模型計(jì)算不同行權(quán)價(jià)格和到期時(shí)間的期權(quán)理論價(jià)格，通過(guò)比較不同期權(quán)的理論價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格，選擇合適的期權(quán)進(jìn)行交易，以實(shí)現(xiàn)投資目標(biāo)，如套利、投機(jī)或套期保值。在套利交易中，如果市場(chǎng)上存在期權(quán)價(jià)格與B-S模型計(jì)算的理論價(jià)格不一致的情況，投資者可以通過(guò)買入價(jià)格被低估的期權(quán)，同時(shí)賣出價(jià)格被高估的期權(quán)，利用價(jià)格差異獲取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。在套期保值方面，投資者可以根據(jù)B-S模型計(jì)算出合適的期權(quán)合約數(shù)量，通過(guò)買入或賣出期權(quán)來(lái)對(duì)沖標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。然而，傳統(tǒng)B-S模型在實(shí)際應(yīng)用中也存在明顯的局限性。B-S模型假設(shè)股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，但在實(shí)際市場(chǎng)中，股票價(jià)格的波動(dòng)往往不符合這一假設(shè)，存在尖峰厚尾現(xiàn)象，即出現(xiàn)極端值的概率比對(duì)數(shù)正態(tài)分布所預(yù)測(cè)的要高。這就導(dǎo)致B-S模型在計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí)，可能會(huì)低估極端市場(chǎng)情況下的風(fēng)險(xiǎn)，使得投資者在面臨極端市場(chǎng)波動(dòng)時(shí)，無(wú)法準(zhǔn)確評(píng)估投資風(fēng)險(xiǎn)。模型假設(shè)波動(dòng)率是恒定的，但實(shí)際市場(chǎng)中的波動(dòng)率是隨時(shí)間變化的，具有時(shí)變性。市場(chǎng)中的宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)發(fā)布、公司重大事件等都會(huì)導(dǎo)致波動(dòng)率的變化。使用歷史波動(dòng)率來(lái)估計(jì)未來(lái)波動(dòng)率，可能會(huì)導(dǎo)致定價(jià)偏差，尤其在市場(chǎng)出現(xiàn)劇烈波動(dòng)或發(fā)生重大事件時(shí)，B-S模型基于連續(xù)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)，無(wú)法準(zhǔn)確描述股票價(jià)格可能出現(xiàn)的跳躍式變化，從而可能導(dǎo)致期權(quán)定價(jià)的不準(zhǔn)確。B-S模型還假設(shè)市場(chǎng)無(wú)摩擦，不存在交易成本和稅收，但在實(shí)際市場(chǎng)中，交易成本和稅收是不可避免的，這些因素會(huì)影響投資者的實(shí)際收益和交易策略，使得B-S模型的應(yīng)用受到一定限制。4.2.2對(duì)B-S模型的改進(jìn)研究綜述針對(duì)傳統(tǒng)B-S模型的局限性，眾多學(xué)者進(jìn)行了深入研究，并提出了一系列改進(jìn)方法。在波動(dòng)率假設(shè)修正方面，許多學(xué)者引入GARCH類模型來(lái)改進(jìn)B-S模型。GARCH類模型，如廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型、指數(shù)GARCH（EGARCH）模型等，能夠有效捕捉金融時(shí)間序列的波動(dòng)聚集性和時(shí)變性。GARCH模型通過(guò)對(duì)條件方差的自回歸和移動(dòng)平均建模，充分考慮了過(guò)去的波動(dòng)信息對(duì)當(dāng)前波動(dòng)率的影響。在實(shí)際應(yīng)用中，將GARCH模型與B-S模型相結(jié)合，可以動(dòng)態(tài)地估計(jì)波動(dòng)率，提高期權(quán)定價(jià)的準(zhǔn)確性。一些學(xué)者提出隨機(jī)波動(dòng)率模型，該模型放松了B-S模型中波動(dòng)率恒定的假設(shè)，將波動(dòng)率視為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。在隨機(jī)波動(dòng)率模型中，波動(dòng)率不僅隨時(shí)間變化，還受到其他隨機(jī)因素的影響。Hull和White提出的隨機(jī)波動(dòng)率模型，通過(guò)引入額外的隨機(jī)變量來(lái)描述波動(dòng)率的不確定性，能夠更好地解釋期權(quán)價(jià)格的“波動(dòng)率微笑”現(xiàn)象，即不同行權(quán)價(jià)格的期權(quán)隱含波動(dòng)率呈現(xiàn)出非水平的微笑形狀?？紤]市場(chǎng)摩擦因素也是改進(jìn)B-S模型的重要方向。Leland在1985年的研究中考慮了交易費(fèi)用對(duì)期權(quán)定價(jià)的影響，通過(guò)調(diào)整對(duì)沖策略來(lái)補(bǔ)償交易成本。在實(shí)際市場(chǎng)中，交易成本會(huì)增加投資者的交易成本，影響投資收益。Leland的方法通過(guò)在期權(quán)定價(jià)公式中加入交易成本的調(diào)整項(xiàng)，使得模型更貼近實(shí)際市場(chǎng)情況。一些學(xué)者研究了稅收對(duì)期權(quán)定價(jià)的影響，通過(guò)建立考慮稅收因素的期權(quán)定價(jià)模型，分析不同稅收政策下期權(quán)價(jià)格的變化。在某些國(guó)家或地區(qū)，期權(quán)交易可能涉及資本利得稅、印花稅等，這些稅收會(huì)影響期權(quán)的實(shí)際價(jià)值和投資者的交易決策。針對(duì)B-S模型假設(shè)股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布與實(shí)際市場(chǎng)不符的問(wèn)題，學(xué)者們提出了跳躍-擴(kuò)散模型。該模型認(rèn)為股票價(jià)格不僅遵循連續(xù)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，還會(huì)在某些時(shí)刻發(fā)生跳躍。Merton提出的跳躍-擴(kuò)散模型，在幾何布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上引入了泊松跳躍過(guò)程，用于描述股票價(jià)格的突然變化。通過(guò)這種方式，跳躍-擴(kuò)散模型能夠更準(zhǔn)確地刻畫(huà)實(shí)際市場(chǎng)中股票價(jià)格的波動(dòng)特征，提高期權(quán)定價(jià)的精度。在市場(chǎng)出現(xiàn)重大突發(fā)事件時(shí)，如公司發(fā)布重大利好或利空消息，股票價(jià)格可能會(huì)出現(xiàn)跳躍，跳躍-擴(kuò)散模型可以更好地捕捉這種價(jià)格變化，為期權(quán)定價(jià)提供更合理的依據(jù)。在期權(quán)類型拓展方面，由于B-S模型主要適用于歐式期權(quán)定價(jià)，對(duì)于美式期權(quán)等其他類型期權(quán)的定價(jià)存在局限性。為了解決這一問(wèn)題，學(xué)者們提出了二叉樹(shù)模型、三叉樹(shù)模型等數(shù)值方法。二叉樹(shù)模型將期權(quán)的有效期劃分為多個(gè)時(shí)間步，在每個(gè)時(shí)間步上，股票價(jià)格有兩種可能的變化，通過(guò)逐步倒推計(jì)算期權(quán)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的價(jià)值，最終得到期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格。三叉樹(shù)模型則在每個(gè)時(shí)間步上考慮了股票價(jià)格的三種可能變化，相比二叉樹(shù)模型，能夠更精確地逼近實(shí)際市場(chǎng)情況。這些數(shù)值方法可以有效地對(duì)美式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，考慮了美式期權(quán)可以提前行權(quán)的特性。五、基于多分形波動(dòng)率的B-S模型應(yīng)用5.1多分形波動(dòng)率在B-S模型中的嵌入5.1.1構(gòu)建基于多分形波動(dòng)率的B-S模型將多分形波動(dòng)率測(cè)度結(jié)果嵌入B-S模型，需要對(duì)傳統(tǒng)B-S模型進(jìn)行一系列的改進(jìn)和調(diào)整，以使其能夠充分利用多分形波動(dòng)率所包含的市場(chǎng)波動(dòng)信息，更準(zhǔn)確地描述金融市場(chǎng)的實(shí)際波動(dòng)情況。在傳統(tǒng)的B-S模型中，波動(dòng)率被假設(shè)為常數(shù)，這與實(shí)際金融市場(chǎng)中波動(dòng)率的時(shí)變特性存在較大差異。為了引入多分形波動(dòng)率，首先需要對(duì)波動(dòng)率的表示方式進(jìn)行修正。在傳統(tǒng)B-S模型中，期權(quán)價(jià)格的計(jì)算公式為：C=SN(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)，其中d_1=\frac{\ln(\frac{S}{K})+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}，d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}，S是當(dāng)前股票價(jià)格，K是期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，T是期權(quán)到期時(shí)間，\sigma是股票價(jià)格的波動(dòng)率，N(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。在引入多分形波動(dòng)率后，將常數(shù)波動(dòng)率\sigma替換為基于多分形分析得到的時(shí)變波動(dòng)率\sigma_{MF}(t)。通過(guò)多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法（MF-DFA）等方法計(jì)算得到的多分形波動(dòng)率，能夠反映市場(chǎng)波動(dòng)在不同時(shí)間尺度上的復(fù)雜性和自相似性。由于多分形波動(dòng)率是隨時(shí)間變化的，在計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí)，需要考慮波動(dòng)率在期權(quán)有效期內(nèi)的變化情況。可以采用積分的方式，對(duì)不同時(shí)間點(diǎn)的多分形波動(dòng)率進(jìn)行加權(quán)平均，以得到在期權(quán)有效期內(nèi)的平均波動(dòng)率。具體而言，假設(shè)期權(quán)的有效期為[0,T]，在時(shí)間點(diǎn)t的多分形波動(dòng)率為\sigma_{MF}(t)，則期權(quán)有效期內(nèi)的平均波動(dòng)率\overline{\sigma}_{MF}可以表示為：\overline{\sigma}_{MF}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sigma_{MF}(t)dt。將\overline{\sigma}_{MF}代入B-S模型的期權(quán)定價(jià)公式中，得到基于多分形波動(dòng)率的B-S模型的期權(quán)定價(jià)公式：C_{MF}=SN(d_{1MF})-Ke^{-rT}N(d_{2MF})，其中d_{1MF}=\frac{\ln(\frac{S}{K})+(r+\frac{\overline{\sigma}_{MF}^2}{2})T}{\overline{\sigma}_{MF}\sqrt{T}}，d_{2MF}=d_{1MF}-\overline{\sigma}_{MF}\sqrt{T}。為了進(jìn)一步考慮市場(chǎng)波動(dòng)的不確定性和復(fù)雜性，還可以將多分形波動(dòng)率與其他市場(chǎng)因素相結(jié)合。在實(shí)際市場(chǎng)中，股票價(jià)格的波動(dòng)不僅受到自身歷史波動(dòng)的影響，還受到宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境、市場(chǎng)情緒等因素的影響?？梢砸牒暧^經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，如國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）增長(zhǎng)率、通貨膨脹率等，以及市場(chǎng)情緒指標(biāo)，如投資者信心指數(shù)等，構(gòu)建一個(gè)多因素模型。通過(guò)回歸分析等方法，確定這些因素與多分形波動(dòng)率之間的關(guān)系，將其納入期權(quán)定價(jià)模型中。假設(shè)通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，GDP增長(zhǎng)率g和投資者信心指數(shù)I對(duì)多分形波動(dòng)率有顯著影響，且關(guān)系可以表示為\sigma_{MF}(t)=\alpha+\betag(t)+\gammaI(t)+\epsilon(t)，其中\(zhòng)alpha、\beta、\gamma為系數(shù)，\epsilon(t)為誤差項(xiàng)。在計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí)，可以根據(jù)實(shí)時(shí)的GDP增長(zhǎng)率和投資者信心指數(shù)，動(dòng)態(tài)調(diào)整多分形波動(dòng)率，從而更準(zhǔn)確地反映市場(chǎng)波動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。5.1.2模型參數(shù)估計(jì)與校準(zhǔn)在基于多分形波動(dòng)率的B-S模型中，準(zhǔn)確估計(jì)和校準(zhǔn)參數(shù)是確保模型準(zhǔn)確性和可靠性的關(guān)鍵步驟，這些參數(shù)的取值直接影響期權(quán)價(jià)格的計(jì)算結(jié)果。對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，通常選取國(guó)債收益率等近似表示。國(guó)債收益率被視為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率的重要參考指標(biāo)，因?yàn)閲?guó)債是以國(guó)家信用為擔(dān)保發(fā)行的債券，違約風(fēng)險(xiǎn)極低。在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)期權(quán)的到期時(shí)間選擇相應(yīng)期限的國(guó)債收益率。如果期權(quán)的到期時(shí)間為1年，就可以選取1年期國(guó)債的收益率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。需要注意的是，國(guó)債收益率會(huì)隨著市場(chǎng)情況和宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境的變化而波動(dòng)，因此需要定期更新無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率數(shù)據(jù)，以確保模型參數(shù)的時(shí)效性。在宏觀經(jīng)濟(jì)政策調(diào)整或市場(chǎng)利率波動(dòng)較大時(shí)，及時(shí)獲取最新的國(guó)債收益率數(shù)據(jù)，對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行調(diào)整，以保證模型的準(zhǔn)確性。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S可以直接從市場(chǎng)中獲取。在股票市場(chǎng)中，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格就是股票的當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格?？梢酝ㄟ^(guò)證券交易所的行情系統(tǒng)或金融數(shù)據(jù)提供商獲取實(shí)時(shí)的股票價(jià)格數(shù)據(jù)。在獲取標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格時(shí)，要確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和及時(shí)性，避免因數(shù)據(jù)錯(cuò)誤或延遲導(dǎo)致模型計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)偏差。在進(jìn)行高頻交易或?qū)κ袌?chǎng)價(jià)格變化敏感的交易策略中，及時(shí)準(zhǔn)確的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格數(shù)據(jù)尤為重要。期權(quán)執(zhí)行價(jià)格K和期權(quán)到期時(shí)間T是由期權(quán)合約本身的條款所確定的。在期權(quán)合約中，明確規(guī)定了期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格和到期時(shí)間，這些信息是固定不變的。在使用基于多分形波動(dòng)率的B-S模型進(jìn)行期權(quán)定價(jià)時(shí)，直接根據(jù)期權(quán)合約中的條款確定K和T的值即可。對(duì)于多分形波動(dòng)率\sigma_{MF}的估計(jì)，如前文所述，運(yùn)用多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法（MF-DFA）等方法對(duì)金融市場(chǎng)的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到多分形波動(dòng)率的估計(jì)值。在運(yùn)用MF-DFA方法時(shí)，需要設(shè)置合適的參數(shù)，如劃分區(qū)間的長(zhǎng)度、多項(xiàng)式擬合的階數(shù)等，這些參數(shù)的選擇會(huì)影響多分形波動(dòng)率的計(jì)算結(jié)果。通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)和對(duì)比分析，確定最優(yōu)的參數(shù)設(shè)置，以提高多分形波動(dòng)率估計(jì)的準(zhǔn)確性。在分析股票價(jià)格數(shù)據(jù)時(shí)，嘗試不同的劃分區(qū)間長(zhǎng)度，觀察多分形波動(dòng)率的計(jì)算結(jié)果，選擇使計(jì)算結(jié)果最穩(wěn)定、最能反映市場(chǎng)實(shí)際波動(dòng)情況的區(qū)間長(zhǎng)度。在確定了模型參數(shù)的初始估計(jì)值后，還需要對(duì)模型進(jìn)行校準(zhǔn)。校準(zhǔn)的目的是使模型的計(jì)算結(jié)果與市場(chǎng)實(shí)際情況更加吻合。采用市場(chǎng)上已有的期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)，通過(guò)最小化模型計(jì)算的期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)實(shí)際期權(quán)價(jià)格之間的誤差，來(lái)調(diào)整模型參數(shù)。可以使用最小二乘法等優(yōu)化算法，不斷迭代調(diào)整參數(shù)，直到模型計(jì)算的期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)實(shí)際期權(quán)價(jià)格的誤差達(dá)到最小。假設(shè)市場(chǎng)上某期權(quán)的實(shí)際價(jià)格為C_{market}，基于多分形波動(dòng)率的B-S模型計(jì)算的期權(quán)價(jià)格為C_{MF}，通過(guò)最小化\sum_{i=1}^{n}(C_{market,i}-C_{MF,i})^2（其中n為樣本數(shù)量），來(lái)調(diào)整模型參數(shù)，使模型更好地?cái)M合市場(chǎng)數(shù)據(jù)。五、基于多分形波動(dòng)率的B-S模型應(yīng)用5.2實(shí)證分析與結(jié)果討論5.2.1基于新模型的權(quán)證定價(jià)等應(yīng)用實(shí)例為了深入驗(yàn)證基于多分形波動(dòng)率的B-S模型在實(shí)際金融市場(chǎng)中的應(yīng)用效果，以某只實(shí)際權(quán)證數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析。選取市場(chǎng)上具有代表性的X權(quán)證，該權(quán)證的標(biāo)的股票為Y公司股票，權(quán)證類型為歐式認(rèn)購(gòu)權(quán)證。收集其在2022年1月1日至2022年12月31日期間的相關(guān)數(shù)據(jù)，包括每日收盤價(jià)、行權(quán)價(jià)格、到期時(shí)間等。運(yùn)用基于多分形波動(dòng)率的B-S模型對(duì)X權(quán)證進(jìn)行定價(jià)。首先，通過(guò)多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法（MF-DFA）對(duì)Y公司股票的歷史價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到多分形波動(dòng)率數(shù)據(jù)。根據(jù)前文構(gòu)建的基于多分形波動(dòng)率的B-S模型，確定模型參數(shù)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率選取同期國(guó)債收益率，經(jīng)查詢?yōu)?.5%；標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為Y公司股票在定價(jià)當(dāng)日的收盤價(jià)，假設(shè)為30元；行權(quán)價(jià)格為X權(quán)證合約中規(guī)定的28元；到期時(shí)間根據(jù)權(quán)證剩余期限計(jì)算，假設(shè)剩余期限為0.5年。將這些參數(shù)代入模型中，計(jì)算得到X權(quán)證的理論價(jià)格。定價(jià)結(jié)果顯示，基于多分形波動(dòng)率的B-S模型計(jì)算出的X權(quán)證理論價(jià)格為3.2元。為了評(píng)估模型定價(jià)的準(zhǔn)確性，將該理論價(jià)格與市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格進(jìn)行對(duì)比。在定價(jià)當(dāng)日，X權(quán)證的市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格為3.5元。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，基于多分形波動(dòng)率的B-S模型計(jì)算的理論價(jià)格與市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格較為接近，但仍存在一定差異。這種差異可能源于多種因素，市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格受到投資者情緒、市場(chǎng)流動(dòng)性、宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境變化等多種因素的影響，這些因素在模型中難以完全準(zhǔn)確地反映。在市場(chǎng)出現(xiàn)突發(fā)利好消息時(shí)，投資者情緒高漲，可能會(huì)導(dǎo)致權(quán)證價(jià)格被高估；市場(chǎng)流動(dòng)性不足時(shí)，權(quán)證