數(shù)學(xué)符號與表達2025年專項真題卷一.選擇題。（共10題）

1.若集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x3-1=0}，則A∩B等于（）

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0}

2.函數(shù)f(x)=√(x2-4x+3)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.[1,3]C.(1,3)D.R

3.已知向量a=(3,m)，b=(-1,2)，若a∥b，則m的值為（）

A.-6B.6C.±6D.無解

4.不等式|2x-1|<3的解集為（）

A.(-1,2)B.(-2,2)C.(-1,4)D.(-2,4)

5.拋物線y=2x2-4x+1的焦點坐標是（）

A.(1,1)B.(1,0)C.(1,-1)D.(0,1)

6.已知等差數(shù)列{a_n}中，a?=5，d=2，則a?的值為（）

A.9B.11C.13D.15

7.若f(x)=ln(x+1)，則f'(0)等于（）

A.0B.1C.1/2D.不存在

8.復(fù)數(shù)z=2+3i的模長|z|等于（）

A.5B.√13C.√5D.1

9.已知直線l?:ax+y-1=0與l?:x+by=2互相平行，則ab的值等于（）

A.1B.-1C.2D.-2

10.極坐標方程ρ=4sinθ表示的曲線是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

二.填空題（共10題）

1.若f(x)=x3-2x+1，則f(2)+f(-2)的值為______。

2.已知集合A={1,2,3}，B={x|x<5}，則A∪B={______}。

3.函數(shù)y=3^x的反函數(shù)是______。

4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C=______。

5.已知向量u=(1,1)，v=(2,-1)，則向量u·v的值等于______。

6.不等式組{x|1<x≤3}∩{x|-2<x<4}的解集為______。

7.已知圓O的方程為x2+y2-4x+6y-3=0，則圓心坐標為______。

8.若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3n2-2n，則a?的值為______。

9.函數(shù)y=√(3-x)在區(qū)間[0,3]上的最大值是______。

10.已知直線y=kx+1與圓x2+y2=4相切，則k的值等于______。

三.判斷題。（共5題）

1.若a2=b2，則a=b。（）

2.函數(shù)y=1/x在定義域內(nèi)是增函數(shù)。（）

3.拋物線y=ax2+bx+c的開口方向由a的正負決定，a>0時開口向上。（）

4.兩個非零向量a和b，若a·b=0，則a⊥b。（）

5.命題“p或q”為真，則命題p和命題q中至少有一個為真。（）

四.計算題（共6題）。

1.解方程組：{x+2y=5{3x-y=2

2.求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|在區(qū)間[-3,3]上的最小值。

3.已知向量a=(3,-1)，b=(-2,4)，求向量3a-2b的坐標。

4.計算不定積分∫(x2+2x+1)dx。

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+3)2=4，求該圓的圓心坐標和半徑。

6.計算極限lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

五.應(yīng)用題。（共6題）。

1.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為8000元，每件產(chǎn)品的可變成本為60元，售價為100元。求生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，利潤最大？最大利潤是多少？

2.從甲地到乙地有兩條路徑，一條全程為10公里，另一條需先走6公里再轉(zhuǎn)乘汽車，汽車段全程為4公里。若步行速度為4公里/小時，汽車速度為40公里/小時，求選擇哪條路徑所需時間更短？

3.在一個底面半徑為3厘米，高為5厘米的圓錐形容器中注入水，水面高度為4厘米。求水的體積。

4.某班級有50名學(xué)生，其中男生與女生人數(shù)之比為3:2?，F(xiàn)要選舉班干部，若每位學(xué)生都有相同的當選概率，則至少要選出多少名學(xué)生，才能保證至少有3名女生當選的概率大于0.6？

5.一架飛機以400公里/小時的速度順風飛行，順風時飛行了1500公里，然后改為逆風飛行，逆風速度比順風速度慢40公里/小時，逆風飛行了1200公里后到達目的地。求整個飛行過程的總時間。

6.已知某校學(xué)生身高（單位：厘米）近似服從正態(tài)分布N(170,102)，其中μ=170，σ=10。求身高超過180厘米的學(xué)生所占的百分比。

六.思考題

1.結(jié)合具體實例，闡述函數(shù)單調(diào)性的判定方法及其應(yīng)用價值。

2.試比較解析法、幾何法、代入法等解決方程（組）問題的優(yōu)缺點，并說明在不同情境下應(yīng)如何選擇合適的方法。

3.探討向量在平面幾何、物理等領(lǐng)域中的基本應(yīng)用，并舉例說明向量運算（如加減、數(shù)量積）如何簡化問題的解決過程。

4.分析數(shù)列的通項公式與前n項和公式之間的關(guān)系，并說明在什么情況下使用通項公式更簡便，什么情況下使用前n項和公式更有效。

5.討論極限思想在微積分學(xué)習中的基礎(chǔ)作用，并解釋如何通過極限來理解導(dǎo)數(shù)和定積分的概念。

6.聯(lián)系實際生活，舉例說明概率統(tǒng)計知識是如何幫助我們進行決策或預(yù)測的，并探討在收集和處理數(shù)據(jù)時可能遇到的問題及其應(yīng)對方法。

一.選擇題。（共10題）

1.C2.A3.B4.A5.B

6.C7.B8.A9.B10.A

解析：

1.解方程x2-3x+2=0得x=1或x=2；解方程x3-1=0得x=1或x=-1或x=√3i或x=-√3i。取實數(shù)集，則A∩B={1,2}。

2.需x2-4x+3≥0，即(x-1)(x-3)≥0，解得x≤1或x≥3。

3.由3×2-m×(-1)=0得m=6。

4.|2x-1|<3等價于-3<2x-1<3，解得-1<x<2。

5.配方得y=2(x-1)2-1，焦點在x=1處，p=1/4，焦點為(1,-1/4)。題目可能筆誤或特指頂點附近，最接近選項為B(1,0)。

6.a?=a?+4d=5+8=13。

7.f'(x)=1/(x+1)，f'(0)=1/(0+1)=1。

8.|z|=√(22+32)=√13。

9.l?斜率-k，l?斜率-1/b。平行需-k=-1/b且ab≠0，得ab=1。

10.ρ=4sinθ等價于ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，配方為x2+(y-2)2=4，為圓。

二.填空題（共10題）

1.82.{1,2,3}∪{x|x<5}={1,2,3,...,4}3.y=log?x4.75°

5.36.(1,3)7.(2,-3)8.229.√310.±2√3

解析：

1.f(2)=8-4+1=5，f(-2)=-8+4+1=-3，和為2。

2.A∪B包含A中所有元素及B中不在A中的元素，即1,2,3,4,...,4。

3.令y=3^x，則x=log?y，反函數(shù)為y=log?x。

4.180°-60°-45°=75°。

5.u·v=1×2+1×(-1)=2-1=3。

6.解集為兩個區(qū)間的交集，即(1,3)。

7.圓心為方程組{x-2=0{y+3=0的解，得(2,-3)。

8.a?=S?-S?=3(52)-2(5)-[3(42)-2(4)]=75-10-(48-8)=22。

9.函數(shù)在[0,3]上單調(diào)遞減，最大值為f(0)=√(3-0)=√3。

10.圓心(0,0)，半徑2。直線與圓相切需圓心到直線距離等于半徑，|k×0-0+1|/√(k2+1)=2，得k2=12，k=±2√3。

三.判斷題。（共5題）

1.×2.×3.√4.√5.√

解析：

1.a=-b也滿足a2=b2，例如a=2,b=-2。

2.例如y=-1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上均為減函數(shù)。

3.正確，a>0時拋物線開口向上，a<0時開口向下。

4.數(shù)量積a·b=|a||b|cosθ，若a·b=0則|a||b|cosθ=0，因|a|,|b|≠0，必cosθ=0，即θ=π/2，故a⊥b。

5.“或”邏輯為至少一個為真即p為真或q為真或pq都為真，故命題正確。

四.計算題（共6題）

1.{x=1{y=2

2.3

3.(-3,14)

4.x3/3+x2+x+C

5.圓心(1,-3)，半徑2

6.12

解析：

1.代入法消元，將第二個式子乘2加到第一個式子，得4x=8，x=1，代入y=2。

2.函數(shù)像為折線，分段討論：

在[-3,-1)上，f(x)=-x+1-2=-x-1，最小值在x=-1處取到，為f(-1)=2；

在[-1,1)上，f(x)=x+1-2=x-1，最小值在x=1處取到，為f(1)=-1；

在[1,3]上，f(x)=x-1+2=x+1，最小值在x=1處取到，為f(1)=2。

綜上，最小值為-1。

3.3a=(9,-3)，2b=(-4,8)，3a-2b=(9-(-4),-3-8)=(13,-11)。

4.∫(x2+2x+1)dx=∫(x+1)2dx=∫(x2+2x+1)dx=x3/3+x2+x+C。

5.將方程寫成標準形式(x-1)2+(y+3)2=22，圓心為(1,-3)，半徑為2。

6.分子因式分解：(x-2)(x2+2x+4)，約去(x-2)得x2+2x+4，極限為22+2*2+4=12。

五.應(yīng)用題。（共6題）

1.設(shè)生產(chǎn)x件，利潤P=100x-(60x+8000)=40x-8000。P為增函數(shù)，x越大P越大，但需x≥0且40x-8000≥0，即x≥200。最大利潤P(200)=40*200-8000=0。此模型下利潤最大為0，即盈虧平衡點，實際生產(chǎn)應(yīng)大于200件以盈利。

2.路徑一：10/4=2.5小時。路徑二：6/4+4/40=1.5+0.1=1.6小時。路徑二時間短。

3.圓錐體積V=(1/3)πr2h=(1/3)π(32)(4)=12πcm3。

4.設(shè)需選出n名學(xué)生，至少有3名女生即女生數(shù)≥3。P(女生數(shù)<3)=P(0)+P(1)+P(2)=C(50,0)(3/5)?(2/5)?+C(50,1)(3/5)1(2/5)?+C(50,2)(3/5)2(2/5)3≈0.103。P(女生數(shù)≥3)=1-0.103=0.897。需解P(X≥3)>0.6，n需足夠大。n=20時，P(X≥3)≈0.999。至少需選出20人。

5.順風速度400公里/小時，逆風速度400-40=360公里/小時。順風時間1500/400=3.75小時，逆風時間1200/360=10/3小時?？倳r間3.75+10/3=12.25小時。

6.標準正態(tài)分布表或計算器得P(X>180)=P(Z>(180-170)/10)=P(Z>1)=1-P(Z≤1)=1-0.8413=0.1587。約15.87%。

六.思考題

1.函數(shù)單調(diào)性用于判斷函數(shù)增減趨勢，如求最值、證明不等式。例：f(x)=x2在(-∞,0)減，(0,+∞)增，可判斷x=0為最小值點。

2.解方程組：代入法簡單但隨未知數(shù)增多復(fù)雜度高；加減法需消元技巧；解析法（如Cramer法則）通用但需行列式計算；幾何法（如線性規(guī)劃）直觀用于最值問題。例：解3x+2y=6，2x-y=4，代入法先解y得y=4-2x，代入第一式3x+2(4-2x)=6，x=2，y=0。幾何法可視為兩條直線交點。

3.向量用于力的合成與分解，如a=(3,4)代表3i+4j力，b=(-2,1)代表-2i+j力，合力c=a+b=(1,5)，大小√(12+52)=√26，方向角tanθ=5/1=5。比用分力計算更直觀。

4.a_n=S_n-S_{n-1}。若能簡便求S_n，則求a_n更易。例：S_n=n2，a_n=S_n-S_{n-1}=n2-(n-1)2=2n-1。若已知a_n=2n-1，求S_n可用累加，S_n=1+3+...+(2n-1)=n2。求a?用公式更簡，a?=2*5