7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差教學(xué)設(shè)計

科目授課時間節(jié)次一年一月一日（星期一一）第一節(jié)

指導(dǎo)教師授課班級、授課課時

授課題目

（包括教材

7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差教學(xué)設(shè)計

及章節(jié)名

稱）

“7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差教學(xué)設(shè)計"

本節(jié)課選自高中數(shù)學(xué)人教版選修2-3《概率與統(tǒng)計》第七章第三節(jié)。教材主

要介紹了離散型隨機(jī)變量的方差概念、計算方法和應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生理

教材分析

解方差的意義，掌握方差的計算過程，并能運(yùn)用方差分析隨機(jī)變量的離散

程度。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能夠運(yùn)用方差對離散型隨機(jī)變量的穩(wěn)定

性進(jìn)行評價，為后續(xù)學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計的其他內(nèi)容打下基礎(chǔ)。

核

心

1.數(shù)據(jù)分析觀念：培養(yǎng)學(xué)生從實際情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，運(yùn)用方差分析離散

型隨機(jī)變量的離散程度，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。

素2.邏輯推理能力：通過方差公式的推導(dǎo)和運(yùn)用，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力，提高學(xué)

生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

3.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)：引導(dǎo)學(xué)生理解方差概念，培養(yǎng)學(xué)生在抽象層面上把握數(shù)學(xué)概念、

養(yǎng)性質(zhì)和關(guān)系的能力。

4應(yīng)用意識：通過實際問題引入方差概念，激發(fā)學(xué)生運(yùn)用方差解決實際問題的興

趣，提高學(xué)生的應(yīng)用意識。

目

標(biāo)

本節(jié)課面對的是高中二年級學(xué)生，他們己經(jīng)具備了一定的概率統(tǒng)計基礎(chǔ)，

掌握了隨機(jī)事件、概率分布等基本概念，能夠理解并計算簡單的概率問

題。在知識方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平均數(shù)的概念，但對方差的概念較為陌

生，需要通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)來建立對方差的認(rèn)知。

在能力方面，學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)推理和計算能力，但可能在處理復(fù)雜數(shù)

學(xué)問題時缺乏耐心和細(xì)心，對方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用可能存在一定的困

學(xué)情分析

難。在素質(zhì)方面，學(xué)生具有較強(qiáng)的好奇心和探索精神，對于新概念有較強(qiáng)

的學(xué)習(xí)興趣。

行為習(xí)慣上，學(xué)生可能存在聽課注意力不集中、作業(yè)完成不認(rèn)真等問題，

這些習(xí)慣可能會影響他們對新知識的理解和掌握。此外，學(xué)生對數(shù)學(xué)課程

的態(tài)度也會影響他們的學(xué)習(xí)效果，積極的態(tài)度將有助于他們更好地學(xué)習(xí)方

差的概念和計算方法。

在課程學(xué)習(xí)方面，學(xué)生對于理論性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)概念可能存在理解上的困

難，因此需要通過具體的實例和練習(xí)來加深對方差的理解，并能夠?qū)⒎讲?/p>

應(yīng)用于實際問題中，這對于他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有積極的影響。

1.教材：提前為學(xué)生準(zhǔn)備人教版選修23《概率與統(tǒng)計》教材，確保每位學(xué)

生都有。

2.輔助材料：收集與離散型隨機(jī)變量方差相關(guān)的案例資料，制作PPT,包

教學(xué)資源準(zhǔn)

含方差計算的動態(tài)演示。

3.實驗器材：無需特殊實驗器材，但準(zhǔn)備計算器和紙張，以便學(xué)生進(jìn)行計

備

算和記錄。

4.教室布置：確保教室環(huán)境整潔，座位安排便于小組討論，提前設(shè)置好投

影設(shè)備。

1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過在線平臺或班級徵信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括衣節(jié)課

的PPT和預(yù)習(xí)指南，明確要求學(xué)生預(yù)習(xí)方差的概念和計算方法。

-設(shè)計預(yù)習(xí)問題：設(shè)計問題如“什么是方差？〃，“方差和平均數(shù)有什么關(guān)

系？〃，“如何計算離散型隨機(jī)變量的方差？”等，引導(dǎo)學(xué)生思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過在線平臺的預(yù)習(xí)進(jìn)度跟蹤功能，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)情

況。

學(xué)生活動：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生按照要求，閱讀預(yù)習(xí)資料，初步理解方差的定義

和計算過程。

-思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生針對預(yù)習(xí)問題進(jìn)行獨立思考，記錄疑問和初步的理

解。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)筆記和思考的問題提交至在線平臺。

教學(xué)方法/手段/資源：

教學(xué)實施過-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生自主探索，培養(yǎng)獨立思考能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺進(jìn)行資源分享和進(jìn)度監(jiān)控。

程作用與目的：

-為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，幫助學(xué)生對方差有初步的認(rèn)識。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和探究精神。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動：

-導(dǎo)入新:果：通過生活中的實例，如投籃命中率的波動，引出方差的概念。

-講解知識點：詳細(xì)講解方差的定義、計算公式和意義，結(jié)合具體案例進(jìn)行

分析。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論，讓學(xué)生通過計算不同數(shù)據(jù)集的方差無感受

方差的實際意義。

-解答疑問：對學(xué)生在學(xué)習(xí)和活動中產(chǎn)生的問題進(jìn)行解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：學(xué)生積極參與小組討論，通過實際計算加深對方差的理

解。

-提問與討論：學(xué)生提出自己的疑問，與同學(xué)和老師進(jìn)行討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：詳細(xì)講解方差的知識點，確保學(xué)生理解。

-實踐活動法：通過實際計算和討論，讓學(xué)生在實踐中學(xué)習(xí)。

-合作學(xué)習(xí)法：小組討論促進(jìn)學(xué)生之間的交流和合作。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解方差的定義和計算方法。

-培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和合作精神。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：布置與方差相關(guān)的練習(xí)題，鞏固學(xué)生對方差的理解和計算能

力。

-提供拓展資源：提供相關(guān)的在線資源，如方差在統(tǒng)計學(xué)中的應(yīng)用案例。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生具體的反饋和改進(jìn)建議。

學(xué)生活動：

-完成作業(yè)：學(xué)生認(rèn)真完成作業(yè)，鞏固對方差的理解。

-拓展學(xué)習(xí)：學(xué)生利用提供的資源進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)，加深對方差應(yīng)用的理解。

-反思總結(jié)：學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容，提高學(xué)生的方差計算和應(yīng)用能力。

-拓寬學(xué)生的知識視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并解決學(xué)習(xí)中的問題，提升學(xué)習(xí)效率。

1.離散型隨機(jī)變量的概念

離散型隨機(jī)變量是指在一個試驗中可能找到的值是有限個或可列無限個的

隨機(jī)變量。例如，拋一枚硬幣正面朝上的次數(shù)、抽一張撲克牌是紅桃的概

率等。

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

離散型隨機(jī)變量的分布列是指隨機(jī)變量雙每一個可能值的概率。分布列可

以表示為一個表格或公式，表格中每一行的第一列是隨機(jī)變量可能取的

值，第二列是對應(yīng)的概率。

3.離散型隨機(jī)變量的期望

離散型隨機(jī)變量的期望(均值)是隨機(jī)變量取值的加權(quán)平均，權(quán)重是各個

知識點梳理

取值的概率。期望的公式為：

\[E(X)=\sum_{i=l}A{n}x_ip_i\]

其中，\(x_i\)是隨機(jī)變量可能取的值,\(p_i\)是對應(yīng)取值的概率。

4.離散型隨機(jī)變量的方差

方差是衡量隨機(jī)變最取值離散程度的指標(biāo)。離散型隨機(jī)變量的方差定義為

隨機(jī)變量的平方的期望減去期望的平方，公式為：

\[D(X)=E(X%-(E(X)F2\]

其中，\(E(X>2)\)是隨機(jī)變量的平方的期望,\(E(X)\)是隨機(jī)變量的期望。

5.方差的計算

方差的計算可以通過以下步驟進(jìn)行：

（1）計算隨機(jī)變量每個可能取值的平方。

（2）將每個平方乘以其對應(yīng)的概率。

（3）將所有乘積相加，得到隨機(jī)變量的平方的期望。

（4）計算隨機(jī)變量的期望。

（5）將隨機(jī)變量的平方的期望減去隨機(jī)變量期望的平方，得到方差。

6.方差的意義

方差越大，表示隨機(jī)變量的取值離散程度越大，即數(shù)據(jù)分布越分散；方差

越小，表示隨機(jī)變量的取值離散程度越小，即數(shù)據(jù)分布越集中。

7.方差的應(yīng)用

方差在統(tǒng)計學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，例如：

（1）比較不同數(shù)據(jù)集的離散程度。

（2）在概率論中，用于計算隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。

（3）在質(zhì)量控制中，用于衡量產(chǎn)品的質(zhì)量穩(wěn)定性。

8.方差的性質(zhì)

（1）方差總是非負(fù)的。

（2）如吳隨機(jī)變量是常數(shù)，那么它的方差為0。

（3）方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方。

（4）方差具有線性性質(zhì)，即對丁?常數(shù)a和b,有\(zhòng)（D（aX+b）=aA2D（X）\）,）

9.方差的推廣

對?于連續(xù)型隨機(jī)變量，方差的定義和性質(zhì)類似，但是計算方法不同。連續(xù)

型隨機(jī)變量的方差計算需要使用積分。

10.方差和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系

標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，它是一個更直觀的離散程度指標(biāo)，因為它的單位

與隨機(jī)變量的單位相同。

11.方差的估計

在實際應(yīng)用中，我們通常無法得到隨機(jī)變量的確切分布，因此需要通過樣

本來估計力差。常用的估計方法有最大似然估計和矩估計。

12.方差相協(xié)方差的關(guān)系

協(xié)方差是衡量兩個隨機(jī)變量線性相關(guān)程度的指標(biāo)。當(dāng)兩個隨機(jī)變量同時增

加或減少時，它們的協(xié)方差為正；當(dāng)一個增加而另一個減少時，協(xié)方差為

負(fù)。

13.方差的獨立性

如果兩個隨機(jī)變量相互獨立，那么它們的協(xié)方差為0,因此它們各自的方差

等于它們聯(lián)合分布的方差。

14.方差的最小值

在所有具有相同期望的隨機(jī)變量中，具有最小方差的是具有最小二乘方差

的隨機(jī)變量。

15.方差的矩陣表示

對于多個隨機(jī)變量，它們的方差和協(xié)方差可以通過協(xié)方差矩陣來表示，這

是一個對稱矩陣。

1.課堂評價

（1）提問：在課堂講解過程中，教師可以通過提問的方式檢驗學(xué)生對方差概念的理

解。例如，詢問學(xué)生"方差是如何衡量隨機(jī)變量的離散程度的？〃、“方差和標(biāo)準(zhǔn)差有

什么關(guān)系？”等問題，以此了解學(xué)生對知識點的掌握情況。

（2）觀察：教師在課堂活動中，要密切觀察學(xué)生的參與程度、反應(yīng)速度和合作情

況。在小組討論環(huán)節(jié)，教師可以觀察學(xué)生在討論中的表現(xiàn)，如是否積極發(fā)言、是否

能夠有效地與他人合作等，從而評估學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和合作能力。

（3）測試：在課堂結(jié)束前，教師可以設(shè)計一些小測試，如計算特定數(shù)據(jù)集的方差，

讓學(xué)生現(xiàn)場完成v通過測試結(jié)果，教師可以了解學(xué)生對課堂內(nèi)容的掌握程度，以及

是否存在理解上的誤區(qū)。

2.作業(yè)評價

課（1）批改：教師需要認(rèn)真批改學(xué)生的作業(yè)，關(guān)注學(xué)生對方差計算方法的運(yùn)用是否正

堂確，是否存在計算錯誤，以及對概念的理解是否深入。在批改過程中，教師還要注

意學(xué)生的書寫規(guī)范和邏輯表達(dá)。

（2）點評：在作業(yè)批改完成后，教師應(yīng)針對學(xué)生的作業(yè)情況進(jìn)行點評。對于普遍存

在的問題，如對方差的定義理解不清、計算方法不當(dāng)?shù)?，教師?yīng)在課堂上進(jìn)行梟體

講解和糾正。對于個別學(xué)生的問題，教師可以單獨進(jìn)行指導(dǎo)，幫助學(xué)生克服困難。

（3）反饋：教師應(yīng)及時將作業(yè)評價結(jié)果反饋給學(xué)生，讓學(xué)生了解自己的學(xué)習(xí)效果。

在反饋時，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生繼續(xù)努力，特別是對于那叫進(jìn)步明顯的學(xué)生，要給予積

極的肯定和表揚(yáng)，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

（4）改進(jìn)建議：針對學(xué)生在作業(yè)中暴露出的問題，教師應(yīng)提出具體的改進(jìn)建議。例

如，如果學(xué)生對方差的概念理解不深，教師可以建議學(xué)生回顧教材中方差的定義和

性質(zhì)，通過實際例題加深理解。如果學(xué)生在計算過程中出現(xiàn)錯誤，教師可以指導(dǎo)學(xué)

生檢查計算步驟，確保計算的準(zhǔn)確性。

典型例題講解

例題1:

已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

|XI0I1I2I

|P|0.2|0,5|0.3|

求X的期望和方差。

答案：

期望\(E(X)=0\times0.2+1\times0.5+2\times0.3=1\)

方差\(D(X)=E(X△2)-(E(X))A2=(0A2\times0.2+1人2\times0.5+2A2\times0.3)-1A2=0.4\)

例題2：

某班級學(xué)生的體重(單位：kg)可以看作是一個離散型隨機(jī)變量X,其分布列如下：

|X|50|55|60|65|70|

|P|0.1|0.2|03|0.2|0.2|

求該班級學(xué)生體重X的方差。

答案：

方差\(D(X)=E(XA2)-(E(X))A2=(50A2\times0.1+55A2\times0.2+60A2\times0.3+65A2

\times0.2+70A2\timesC.2)-(55)人2-62.5\)

例題3：

拋擲一枚均勻的硬幣三次，求正面朝上次數(shù)X的方差。

答案：

正面朝上次數(shù)X服從二項分布\(B(3,0.5)\),方差\(D(X)=np(l-p)=3\times0.5\times0.5

=0.75\)

例題4：

某商店銷售某種商品，每天銷售量X(單位：件)的概率分布如下：

IX|0|1|2|3|

|P|0.1|0.2|0.4|0.3|

求該商品每天銷售量X的期望和方差。

答案：

期望\(E(X)=0\times0.1+1\times0.2+2\times0.4+3\times0.3=1.8\)

方差\(D(X)=E(XA2)-(E(X))A2=(0A2\times0.1+1A2\times0.2+2A2\times0.4+3A2\times

0.3)-1.8A2=0.76\)

例題5：

某班級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績：單位：分)可以看作是一個離散型隨機(jī)變量X,其分布列如下：

|X|60|70|80|90|100|

|P|0.1|0.2|0.4|0.2|0.1|

求該班級學(xué)生數(shù)學(xué)成績＞：的方差。

答案：

方差\(D(X)=E(XA2)-(E(X))A2=(60A2\