2017年湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院947量子力學(xué)考研題庫(一)

說明：①本資料為VIP包過學(xué)員內(nèi)部使用資料。涵蓋了歷年考研?？碱}型和重點題型。

一、填空題

[0,0<x<2a

1?一質(zhì)量為〃的粒子在一維無限深方勢阱V(x)=A今中運動，其狀態(tài)波函數(shù)

co,x<0,x>2a

為.能級表達式為0

[P..nnxpnWt?2

【答案】％(》)=彳占皿弱，Q<x<2a,二一一一，/,=1,2,5,

10.x<0,x>2aopci

2.總散射截面Q與微分散射截面*#)的關(guān)系是o

【答案】Q=h(00)dQ

3.在量子力學(xué)原理中.體系的量子態(tài)用希爾伯特空間中的來描述.而力學(xué)量用描述.力

學(xué)量算符必為算符'以保證其為實數(shù).

【答案】函數(shù)矢量；張量(一般是二階張量，即矩陣〉厄米；本征值

[解析]希爾伯特空間中的函數(shù)矢量對應(yīng)體系的量子態(tài)，力學(xué)量對應(yīng)張量，一般情況下力學(xué)量對應(yīng)

二階張量，也就是矩陣.力學(xué)量算符必須保證其厄米性，否則將導(dǎo)致測量值即其本征值不是實數(shù)，鋌％

符合事實.

4.微觀粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描述'波函數(shù)一般應(yīng)滿足的三個條件是

【答案】連續(xù)性；有限性；單值性

5.v晶(x,Oe)=%w)L(Qe)為氫原子的波函數(shù)(不考慮自旋)，小/、，〃分別稱為■子

數(shù)、子數(shù)、子數(shù)'它們的取值范分別為_

【答案】主；角：磁;1,2.3.-：0,1.2,…，n-1：/./-I,+6.一維諧振子升、降算

符，、a的對易關(guān)系式為；粒子數(shù)算符N與/、a的關(guān)系是；哈

密頓量H用51或"、a表示的式子是:N(亦即H)的歸一化本征態(tài)為—

二、選擇題

d

【答案】<1>T：<2)2.Y

8.已知體系的哈密頓算符為=.+心七饋，卜列算符…

2〃

:?X：如:③：⑤L@￡：⑦￡2；⑧》2。與/）對易的有

【答案】?（SX5）

9.一維問題中的哈密頓量為〃=p2/2E〃（x）,哈密頓與坐標的對易式[H,x]-（

A.hp/im

B.頊面即

HipUm

D4hp/im

Ehpliltn

【答案】c

10.中心力場中'算符建和￡,的共同征函數(shù)為Y血（0,m則關(guān)于這兩個算符的本征值方程正確的式

子是（）

A.或"：何幣｝.3，心膈-MS）￡兀

一物謝九（8.（。仲）=EWJUQO）

伊）LY^e.v）-

=做匕

D.”上（4研，《?））犯.0

時

【答案】C11.一維運動中‘哈密頓量〃=g+U(x),求[M=?[p,H]=?

2m

[答案][XJ卜土卜土2如=奪=?￡'[p,H]=[p,V(x)]=T￡V(x)o

12.給出如下對易關(guān)系:

[尤，Py]=---------[Z,pj=---------------[E]=

[氣,0\卜----------[K*Pz卜--------------

L答案」0ihihx-2iazihpx

三、簡答題

13.有人說“在只考慮庫侖勢場情況下，氫原子原有本征態(tài)都存在實的軌道波函數(shù)”‘你是否同意

這種說法，簡述理由。

【答案】不同意。因為外m=泌/）,為實函數(shù)，但上即）可以為復(fù)函數(shù)。

14.分別寫出日豳并態(tài)的一級、二級能量修正表達式。

【答案】標=玲婦玲=0有I婦.岑籍

15.量子力學(xué)中的力學(xué)量算符有哪些性質(zhì)？為什么需要這些性質(zhì)？

【答案】量子力學(xué)中力學(xué)量算符為厄米算符，因而具有所有厄米算符的性質(zhì).

量子力學(xué)中力學(xué)量算符為厄米算符是由力學(xué)量算符本征值必須為實數(shù)決定的，比如，力學(xué)量的平均值

為實數(shù)，因而對求平均值的式子求共貌后，其值應(yīng)該不變，而求平均值時算符求共貌后式子值不變即

要求算符為厄米算符.

16.什么是定態(tài)？若系統(tǒng)的波函數(shù)的形式為：（以）=引〃["+婦X））%問甲（X,。是否處于定

態(tài)？

【答案】體系能量有確定的不隨時間變化的狀態(tài)叫定態(tài)，定態(tài)的概率密度和概率流密度均不隨時間變

化.不是，體系能量有E和-E兩個值，體系能量滿足一定概率分布而并非確定值.

17.波函數(shù)”（"）是用來描述什么的？它應(yīng)該滿足什么樣的自然條件？的物理含義是什

么？

【答案】波函數(shù)是用來描述體系的狀態(tài)的復(fù)函數(shù)，除了應(yīng)滿足平方可積的條件之夕卜它還應(yīng)該是單值、

有限和連續(xù)的。1"億Jit表示在時刻尸附近d「體積元中粒子出現(xiàn)的幾率密度。

18.分別說明什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)與負宇稱態(tài)？

【答案】當(dāng)粒子的坐標趨向無窮遠時’波函數(shù)趨向零，稱之為粒子處于束縛態(tài)。若一個本征值充應(yīng)一個

以上的本征態(tài)，則稱該本征值是簡并的，所對應(yīng)的本征態(tài)即為簡并態(tài)，本征態(tài)的個數(shù)就是相應(yīng)的簡并

度。將波函數(shù)中的坐標變量改變?個負號，若新波函數(shù)與原波函數(shù)相差一負號，則稱其為負了稱態(tài)。

19.何謂正常塞曼效應(yīng)?何謂反常塞曼效應(yīng)?何謂斯塔克效應(yīng)？

【答案】在強磁場中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條的現(xiàn)象稱為正常塞曼效應(yīng)。在弱磁場中，

原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為＜2廣+1）條（偶數(shù)）的現(xiàn)象稱為正常塞曼效應(yīng).原子置于外電場

中，它發(fā)出的光譜線會發(fā)生分裂的現(xiàn)象稱為斯塔克效應(yīng)。

20.寫出由兩個；自旋態(tài)矢構(gòu)成的總自旋為0的態(tài)矢和自旋為1的態(tài)矢。

【答案】總自旋為0：負釧9T驢））。

總自旋為1：剛fl伽）+I驢））I驢〉。

四、計算題

21.力學(xué)量（3在自身表象中的矩陣表示有何特點？

【答案】力學(xué)量在自身表象中的矩陣是對角的，對角線上為◎的本征值。

(3)易知5雄陽+掙％于是有

反二(w,山):華方

LF=(L_w,L_w)=￥

L/=(UV.L.V)二|八2

匚匚二(Lw,Lw)=：護

因此

裁訂+訂=平力訐=：(E?+匚，+2匚廠)=鏟瓦=兩

x_L［=?訂=尸，步訂=0

+Lj-2LjT)="-2

屋5

L：二金二底

一訂24.設(shè)無外勢場時，質(zhì)量為□能量為E>0的粒子

的狀態(tài)用球面波描寫.試

(I)導(dǎo)出決定s波(1=0)波函數(shù)的常微分方程；

(2)求出所有S波的球面波波函數(shù)；

(3)計算對應(yīng)于S波解的速度流矢量并作出圖示.［南京大學(xué)2009研】【答案］(I)無外勢場可看做

有心勢場的特殊情況.

則粒子在球坐標系中薛定譜方程為

■!§(F?)+￡■甲(r,Q#)=N(崩〃)2"r魁r

在s波情況下，1=(),改”研=0,

令乎("#)=?縮M),s滂

則￡?”(「)+k切(r)=0?

(2)w(r)=eW?故對應(yīng)波函數(shù)為

e如

其中A為歸一化系數(shù).

⑶概率概率流密度公式為尤一蕓(甲PW-WM)

d15——1d一

球坐標系中眼否.〃七函四+布寂％卯展.°)“，明顯與角度無關(guān)，故對應(yīng)概率流密度的三個分量為

同理必一尸叫叫=0?

25.對于角動量算符A=mp,

(a)在直角坐標系中，推導(dǎo)各分量之間的對易關(guān)系，并歸納出統(tǒng)一的表達式.

(b)定義升降算符L產(chǎn)氐士利用對易關(guān)系L,L]和[〃，3卜正明：若f是L?和L,的共同本征

態(tài)，則Lf也是〃和L,的本征態(tài).

(c)在球坐標系中，求解L,的本征方程.

【答案】(a)由乙二rxp得_L="「必，L尸zp「xp二’L=xpy-ypxltxlyJ=[yp:-zpy,zpx-xpJ=[yp.,zpxJ+[-zpy.-

xp：J=ihLz同理可得凡LJ=WL,U=ihLy

則Z的三個分量之間的關(guān)系通式為：，例物二頌解，其中$堿是Levi-Civita符號，”,P,>>=(/.

2,3).

(b)

/&LJ=/LZ.Lx±iLyJ=fL:,LJ±ilLz,LJ=ihLv±JiLx=±h(Lx±iLy)=±hL±

IL,rj=[l：.Lx±iLy]=O

若f是/和乙的共同本征函數(shù)‘可設(shè)/二仁?

則匚了=匚夕敏=/（1+1”幻m

24

LLU扣=ULWjm=7+WLwx

Lj"=（L=L±力肱”=（m±l）h/y/bn

可見Zx以是〃和L的共同本征函數(shù)，本征值分別為7+D玄和（m土］）hd

（C）在球坐標中，L、=-訪現(xiàn)代入L的本征方程乙中（舛）=4中3）得

①（。）=4e7h

利J用周期性邊界條彳牛中（舊）二中（。+2力）可彳號七=,〃九小=0,±廠±2,…由歸T七條

件可得A二壽?則心的本征態(tài)為中（。）=忐M相應(yīng)的本征方程為匕0（伊）=,泌汽伊）.

26.丁$系未受微擾作用時只有三個能級：印.％?及％;,現(xiàn)在受到微擾沮的作用‘微擾矩陣元為

Fr（1=H^H'?=a.Hl2=HS（=0,i3=H\=b,H%=H%=C;a?h和c都是實數(shù).用遍公式求能量至二

級修正。

【答案】至二級修正的能量公式為

其中%=%、，％;3II

分別為一級和二級修正能量.

n=l時，將m=2,3代入II式得

n=2時，將m=l,3代入II式可得

f!2=a*f2l=7~hIV

n=3時,將m=l,2代入II式可得

醯一。Eg-Eoi

再分別由I式、I口式、IV式和V式可得

&…a+切-

6=%+%02」03

27.歹為電子自旋算符。寫出在‘表象中，的矩陣表示、n的本征值及其對應(yīng)的本征態(tài)。

h\O/0）h

【答案，'z=2,=j*〃

28.在動量表象中，寫出線諧振子的哈密頓算符的矩陣元。

【答案】在坐標表象中，線諧振子的哈密頓算符為：片=土尸+/小在動量

表象中，該哈密頓算符為：

由于動量的本征函數(shù)為S3”，，故哈密頓算符的矩陣元為：

二眼3-/)(±pT"**)s(p2)dQ

=5七W卷阮2)

2017年湖二匕工業(yè)大學(xué)理學(xué)院947量子力學(xué)考研題庫(Z1)

說明：①本資料為VIP包過學(xué)員內(nèi)部使用資料涵蓋了歷年考研?？碱}型和重點題型。

,一、填空題

1.設(shè)體系的狀態(tài)波函數(shù)為，如在該狀態(tài)下測量力學(xué)是F在確定的值人則力學(xué)量算符皆與態(tài)矢

量S的關(guān)系為0_

【答案】人=,I盧W)

2.粒子在一維$勢阱中運動，波函數(shù)為“(同倒J『(別的躍變關(guān)件為若勢阱改為勢壘

V(x)=ySM(/>0)'則h)的躍變條件為o

【答案】/(0,)-熱0-)=-罕”(0)：/(0勺-/(0一)=普以0)

3?力學(xué)量算符必須是算符，以保證它的本征值為

【答案】厄米；實數(shù)

【解析】力學(xué)量的測量值必須為實數(shù)，即力學(xué)量算符的本征值必須為實數(shù)，而厄米算符的本征值為實

數(shù)，于是量子力學(xué)中就有了一條基本假設(shè)一量子力學(xué)中所有力學(xué)量算符都是厄米算符.

4.普朗克的量子假說揭示了微觀粒子特性'愛因斯坦的光量子假說揭示了光的性。

【答案】粒子性：波粒二象性

【解析】普朗克為解釋黑體輻射規(guī)律而提出量孑段說E=/八，.愛因斯坦后來將此應(yīng)用到了光電效應(yīng)上

并因此獲得諾貝爾獎，二人為解釋微觀粒子的波粒二象性作出了重大頁獻，這為量了力學(xué)的誕生奠定

了基礎(chǔ).

5.白旋為的微觀粒子稱為費米子'它們所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有白旋為

的微觀粒子稱為玻色子，它們所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有

【答案】：的奇數(shù)倍：反對稱變換：。或1的齡倍：對稱變換

6.當(dāng)對體系進行某一力學(xué)量A的測量時.測量結(jié)果一般來說是不確定的?測量結(jié)果的不確定性來源于

【答案】測量的干擾

【解析］當(dāng)我們對物理量進行測量時，不可避免地對體系施加影響，而這影響將導(dǎo)致體系的波函數(shù)發(fā)

生變化，這最終導(dǎo)致對物理量的測量的不確定性..

二、選擇題

3孝冢

)*割軟^

朝B傘〃者弱回曠孝+Y=f鑿邸如仕味時牟暗&朝ft傘風(fēng)叭"顯貫掌去善磁符串剖?zi

0:F?【醇易】

=(r?i'-----心句'ii

米可植提的

o助弟者制引風(fēng)您益獸韋4^申志中去尊蘭蚤米垠舄一國獸去。^中志中會獸-01

4：:H0邛-【承曷】一耳目具蟲怏J?-球刖翡也風(fēng)'？一舉劇漁

網(wǎng)，聯(lián)逐

血麻函^酈fr?E%以癬國即一日〃，％>+有平+小平〃斐壬褚&93J-6

0?頃oW【孝曷】°--------------=\7"7]:-----二[J勺]：------=T7,7]:

-----=[RP]:-------=[Pw]-8

a【孝易】糜N岫

Ff咐/N?]?(!

必屹/辿-g嚴/N*

W

°()者喜翡笠宵閔愛翊峰1/“?乙/〃一

年國建黜棒*喜挈狂辱'中惻棒誨茴I(lǐng)堊耕?以帝￡園敬風(fēng)國羽互融堊&爭差

13.完全描述電子運動的旋量波函數(shù)為"（汽上）=/沙（L力/2）試述w（1

J小八”（財/2）「分別表示什么樣的物理意義。尸，一方

【答案】（尸，-力/2）「表示電子自旋向下（s：=E/2）,位置在，處的幾率密度:

J表示電子自旋向上頃二〃2）的幾率。

14.什么是隧道效應(yīng)，并舉例說明。

【答案】粒子的能量小于勢壘島度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)，如金屬電子冷發(fā)射和G衰變

現(xiàn)象都是隧道效應(yīng)產(chǎn)生的。

15.扼要說明：

（1）束縛定態(tài)的主要性質(zhì)。

（2）單價原了?自發(fā)能級躍遷過程的選擇定則及其理論根據(jù)。

【答案】（I）能量有確定值。力學(xué)量（不顯含f）的可能測值及概率不隨時間改變。

（2）（n/mV"初"/n：）。

定貝！J:A/=±1,AM=0,±1,A/H.=0o

理論根據(jù)：電矩m矩陣元”陶f*0。

16.波函數(shù)少與KL心3、。均為常數(shù)是否描述同一狀態(tài)？

【答案】W與牌、庭’”描寫的相對概率分布完全相同，描寫的是同一狀態(tài)。

17.如果?組算符有共同的本征函數(shù)，且這些共同的本征函數(shù)組成完全系'問這組算符中的仁何?個

是否和其余的算符對易？

【答案】不妨設(shè)這組算符為人3、C……，完仝系為現(xiàn)），依題意，人仁F陽，g-B-

Cy/n=3……，則對任意波函數(shù)9,有：

&物=（AB-BA）M二￡（福-"=Z（4A-BA也=0

nnn

可見，這組算符中的任何一個均和其余的算符對易。

18.如果算符力表示力學(xué)量，那么當(dāng)體系處于片的本征態(tài)丫時，問該力學(xué)量是否有確定的值？

【答案】是，其確定值就是「在本征態(tài)Y的本征值。

19.試表述量子態(tài)的直加原理并說明疊加系數(shù)是否依賴于時空變量及其理由.

【答案］量子態(tài)的疊加原理：若例，代?佝，…心為粒子可能處于的態(tài)，那么這些態(tài)的任意線性組合仍

然為粒子可能處于的態(tài).

疊加系數(shù)不依賴于時空變量.因為量子態(tài)的疊加原理已經(jīng)明確說明了是任意線性組合，即表明了疊加系

數(shù)不依賴于任何變量，

20.電子在位置和自旋R表象下,波函數(shù)甲如何歸一化？解釋各項的幾率意義。

【答案】利用J(kQ,〃)r+阮(”力|年「二】進行歸一化’其中：〃3,邠表示粒子在3半)處的幾

率密度；kQ?y.z)r表示粒子在(X,W)處&=4的幾率密度。

四、計算題

21.質(zhì)量為小的粒了在寬度為H的維無限深勢阱中運動?

(a)建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，寫出哈密頓算符，求解定態(tài)薛定譜方程.

(b)當(dāng)粒子處于狀態(tài)w(x)二(x)+?盛(x)時，求測量粒子能量時的可能取得及相應(yīng)的概率.其中皿

(X)和靶(x)分別是基態(tài)和第一激發(fā)態(tài).

(c)若上式的*(X是t=0時亥呻］波函數(shù)，求粒子在其后任意時刻的波函數(shù)

【答案】(a)如圖建立坐標系'

8Z-CO

0ax

I0,0<x<ah2d2

設(shè)‘⑴x0,x*'哈密頓算符H=一弟f+Wx)

肖2

波函數(shù)材(x)滿足薛定道方程--UVM歡R-Eg

當(dāng)x<(),x>。時，P(*)=0：

h2d2

當(dāng)Ovxv〃時，----一y/(x)=Ei//((x)

2〃；lx~

令4=,則牛件+A米。)=。的通解可表示為

W(x)=AsinAx+8cosAx

利用邊界條件"(0)-0,栗(。)=0得,B=0,k=m,ft=1,2,3,...*(x)=Asin*x

由歸Tt可解得4=￡?定態(tài)薛定i哭方程的解為

(2.nrr

,、J-sin-x,0<x<a

心工)=件a

0,x<0,x>a

22方2

對應(yīng)的定態(tài)能量為E"="?十，〃=1,%一

2ua

(b)當(dāng)粒子處于態(tài)"(x)*Q)+豈2(x)時，能量的可能值及幾率為：才2方22公

功二廠\幾率”「"=一?凱幾率3/4

2心

(c)任意時亥ih的波函數(shù)可以表示為下面形式-(x,I)=￡C“K(x)e〃"％.其中c〃=J#?〃(x*3o)

衣，在此題中CL?,夕刊故任意時刻I的波函數(shù)?x,r)=(x)e'%+亟材2(

其中￡/=J2…2=一

2Papa

22.一自由的三維轉(zhuǎn)子的Hamiltonian為式中［是軌道角動量算符1是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣毫

(1)求能譜與相應(yīng)的簡并度；

(2)若給此轉(zhuǎn)子施加以^擾H,=XsinO求基態(tài)能級移動(直至二階微擾).

已知：匕J。，。)三〈祖二:+1)=匕(。,何=/小/：O.w0)

【答案】(1)顯然，哈密頓算符與矛本征值對應(yīng)，

故二維轉(zhuǎn)子能譜&=籍).其中1為軌道角動量量子數(shù)，其簡并度為21+1.

(2)轉(zhuǎn)子在基態(tài)非簡并時：H(呻麗

故飛=土(￡)(加，榭％)二尋fj?成列”二普爭)

囹s膈啊)弓圈汁I必1..

，苔巨sin'QdOdO=￡］洋［±sin4?+sin

H，2Q］L

9N(h

s64/12-

H\=H\=O

一級修正能量群)=H\=芳土，二級修正能量玲=￡一=。

?*>與上

故由頗弓I起的能級移動為鏟+鏟二籍件丫

8/12汗J

0,/<0

23.設(shè)基態(tài)氫原子處于弱電場中，微擾哈密頓量為〃.其中入，T為常數(shù)。

I77.p\r>0

(1)求很長時間后(t?T)電子躍遷到激發(fā)態(tài)的概率.

已知，謨態(tài)其中為玻耳半徑.

已知，基態(tài)3)=用％即)=，舄M(壬)

四伊)=%沖。(腑=亮點汆xp(9

(2)基態(tài)電子躍遷到下列哪個激發(fā)態(tài)的概率等于零?簡述理由.(a)V200：(b)"211：(c：

V211；(d)V200.

【答案】(I)根據(jù)躍遷幾率公式

(,)=圳&偏A(f)/頑寸

其中匕〃)口福1(靜'"％仔坎，(…叫尸.

可知，必須魄得和編?

根據(jù)題意知‘氫原子在時所受微擾為：中=*;二打以萬伽；

氫原子初態(tài)波函數(shù)為：%=幻燃)=」嚴

根據(jù)選擇定則也=1,Arn=0,終態(tài)量子數(shù)必須是(nlm)=(nlO)

記外:“引初二淑弓)GF**

由初態(tài)"1。0到末態(tài)*210的躍遷矩陣元為

",(')=jV；io(F)4，cos8gr-ia>(rWr

=-A2--*J；c,"%為尸_Lcos"QsinOdOj；dip

2,血“

35

E''E\3e2

將〃，⑺代人躍遷幾率公式

嶺”210)(,)=薪

2kA2a2

3%2[%*+p]

2*W_

3“力2風(fēng)+J)

(2)基態(tài)電子躍遷到皿晌仔)、四&)、心”任)

的幾率均為0,因為不符合躍遷的選擇定則

AZ=1,Am=0

24.求一竟度為a且關(guān)于原點對稱的一維無限深勢阱中粒子的坐標在能量表象中的矩陣元?

[提示：，泊々sin"=；(cos(a+fi)?卜cos(a-胃)],j"ws〃”cosmi+"sinnu*cJ

【答案】【注：題中所給積化和差公式有誤，正確的積化和差公式為"“可=春蹄邛1岫5】在勢阱

內(nèi)有定態(tài)方程

h1d2

X±)=0處于定態(tài)時有E>0,設(shè)1<=承則有(p(x)=sinkx.coskx.

由于勢函數(shù)滿足V(x)=V(—x),則波函數(shù)滿足奇宇稱或偶宇稱.

(1)滿足偶宇稱時有Q(x)=Acoskx,注意到①有*=-,N=I,2,3-

則呂=括(2,T)2,再考慮到歸一化條件皿(x\<p,(x))=1有的"=1脆竺嚴H昏竺嚴咔)

注意到波函數(shù)乘以f常數(shù)描述的仍為同一個狀態(tài)，貝際⑴北sin妙二歸(X+￡).

Vaa2

>2)同理，對奇宇稱有

(pi(x)=Bsinkx,

,(2N)/r方狷

私.QN)ia(Y)

卜二TE疽每我N)、。%(滬脂sm

*sin亍(奸斜亦：

綜合(1)(2)討論有波函數(shù)")=0,1

本征能量n=123,

1/M

矩陣元即

=2jsin暨(x+%sin竺(x+以、xa\a2a2

!i[cos**(x+4-cos*?(x+￡)xZo2

阡酣二!jp—cos半(x+；)]液=0

若m=n,可得至1陽“=打

a.(m—,a

=a(ni-n)7rxsin----(x+-)+z—rcos

a2(m-n)27ra

25.自旋在，。寸）方向的粒子，磁矩為，如?置于沿z方向的磁場Q中'寫出其哈密頓量，并求其

概率幅與時間的關(guān)系。

【答案】將上述自旋在（仇。）方向的粒子（譬如電子）置于沿z方向的磁場B中觀察其概率幅的變

化。這時的哈密頓矩陣為：

0)

H=一時Bb.="M'B6=

'“(0J

式中，幺=（：I］是泡利矩陣，加為粒子的磁矩。電子負電，從而自旋磁矩知與角動量’的方向相

反。當(dāng)自旋角動量和磁場同沿z方向時，磁矩沿-z方向。

可得薛定襤方程為：

噬）廿JL您）

即：

由岑二）M,BCZ

de

枳分后得：

取=0時刻的初始條件為〃片

“-貝1J：

-sin-e'

I2）

GU）、_

式4中rH，吒—二2哎年B

由上式可以看出，粒子的自旋矢量始終與極軸保持固定的夾角億但以角速度S圍繞極軸轉(zhuǎn)動，氣相當(dāng)

于經(jīng)典電磁學(xué)中磁偶極子在外磁場中拉莫旋進的角速度，如圖所示。

26.考慮一自旋量于救s=I的粒子，忽略空間自由度，并假定粒子處在夕K場B=i5中(五為x軸的

單位矢量)，粒子的哈米頓算符為H=gB-S

(1)若虬§'.S,同本征矢Is,唯為基，求自旋算符S的矩陣表示.

(2)如果初始時刻=0粒子的態(tài)為>.求在t>0后粒子的態(tài)？

(3)發(fā)現(xiàn)粒子處在11T>態(tài)的概率是多少？

【答案】(1)由于

010、0T0100

S"正I0I.臬0-i000

、010,曾0-I

’010、<0-i00o]

力

故FI0I科十0000e.

.01。，、°0-1

由于哈密頓量為有=g耽則能量本征態(tài)對應(yīng)于舄本征態(tài).

(2)由定態(tài)方程K成〃=E#，解得

1

-L

T

0,E,=0

U,

I

；-j2i.E、=—gBf）

而II”。=1|的+、用匕+%1：故1>0后粒子的態(tài)為

0

|T與V2T孚1

h

甲（，）=QW|6'*-￥—^-y/ze

=務(wù)2+執(zhí)舛’

，0、

0=!俱-回2+四，故所求概率為

⑶由于|1T)=L}

p=i)r=

=-(l-cos'B/)2

4

27.驗證球面波為心)=4?！M足自由粒子的薛定造方程：

潸皿=工<2

dt2m

(注：⑦,；〃冒」，：驀八其中一代表僅與角度有關(guān)的微分算符)

【答案】知(群§宰(-￡)；*=-罕?(2仃)

故￡知商T

8A堅警竺Aip.。業(yè)平仝1

-"-qj(rj)=e*+_?―eh=_<p+(I)

ip-27r

△W=4￡（F4）=g（-叫+”）=_L氏*與+一）+一+一（-乩+1=0力）】

故一哀△蝦⑵

為⑶

g=E_

由（1）（22w（3）式可得i土知（，）=_岳尸。=_五春公Vp.此即所需證明方程

28.在?表象中,求UT=bxSir.Qc°SQ+bySinOsine+b,CosO的本征值和本征態(tài)'這里,亓

（sinQcos伊,sin6?sin伊：（：OS。）是。）方向的單位矢。

【答案】d?M=cr,sin*cos+avsin*sin+cos。（在b.表象中）

4：腦5+C;）sj：

本征方程為:即：

cos6?sinQLY"）_J"）

sin"-cos6?）偵廠”（七J

,?acosQ+?sin伐*=

由此Z得P1：

AaasinW-bcos<>=Ab

（cosO-A）a+sinOe-%=

0

sinaz，＞a-（cos8+2）b=0

cos<9-Asin2

有非零解的條件是:

-(cosO+Q

由此彳導(dǎo)：2?-1=0,2=

±10

cos%如2

可求彳拜人=1對應(yīng)的本征矢為:

sin-e

與人=-1對應(yīng)的本征矢為:2

2017年湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院947量子力學(xué)考研題庫(三)

說明：①本資料為VIP包過學(xué)員內(nèi)部使用資料。涵蓋了歷年考研?？碱}型和重點題型。

,一、填空題

1.表示，幾率流密度表示為O

【答案】礙密度；?/=法(內(nèi)八/叩)

2.對一個量子體系進行某一物理量的測量時'所得到的測量值肯定當(dāng)中的某一個‘測量

結(jié)果f來說是不確定的.除非體系處于

【答案】本征值：定態(tài)

【解析】物理量的測量值應(yīng)該對應(yīng)其本征值，對于非定態(tài)，由于它是各個本征態(tài)的混合態(tài)，這就導(dǎo)致

物理量的測量值可以是它的各個本征值，測得各個本征值滿足一定概率分布，只有當(dāng)體系處于定態(tài)，

即位于該物理量對應(yīng)的本征態(tài)，測得值才有可能為確定值.

3.判別一個物理體系是經(jīng)典體系還是量子體系的基本標準是。

【答案】當(dāng)物理體系的作用量與A相比擬時,該物理體系視為量子體系；當(dāng)物理體系的作用量遠大于力

時，視為經(jīng)典體系.

4.描述微觀粒子運動狀態(tài)的量子數(shù)有；具有相同n的量子態(tài).最多可以容納的電子數(shù)為

個。

【答案】"、1、成、s：2/

5.(1)體系處在用歸一化波函數(shù)中(x)描述的狀態(tài).且此波函數(shù)可以按力學(xué)量A所對應(yīng)的厄米算符入

的本征函數(shù)系展開.即-lx)認為“是歸一的，則決定系數(shù)<的表達式為

(2)題(1)中設(shè)風(fēng)是算符A的本征值，則力學(xué)量A的平均值入二0

(3)題(1)中當(dāng)對體系進行力學(xué)量A測量時，測量結(jié)果一般來說是不確定的.但測量得到某一結(jié)果為，

的概率為0

【答案］(l)cA=C(x)/(x))

【解析】由題意心=￡M(x),在上式兩邊乘以歡(對并積分得

0(x)M*)=J>：(x)￡c4(x用，

考慮到正交歸T七條件(由0)=昌有

0(對，"⑴)=J酒⑴C0(K炊=0

(2)￡練|即

【解析i由平均值定義式萬=(#3材)以及正交歸Tt條件俵0)=耄,有

*Em(X),4￡c0(x))=⑴,￡心卷(x))=?k|cj.

(3)|cj2,為確定

【解析】由題意〃(X)=￡J由⑴，在上式兩邊乘以并積分得

(A(x),#(x))=麟(x)￡cO(x)dx

考慮到正交歸T七條件(丸渺“)=%有

0⑴,#(x))=J犬x)Mk(x)clx=ck

而概率應(yīng)該為O￡(X)M>)]2=|c,為定值.

6.二粒子體系，僅限于角動量涉及的自由度，有兩種表象，分別為和；它們的力學(xué)量

完全集分別是和;在兩種表象中，各力學(xué)量共同的本征態(tài)分別是和C

【答案】耦合表象：非耦合表象；優(yōu))尸C)(必,Z、」；，Z、)I1曷g和仃陰刎2〉

二、選擇題

7.正交歸一性表示為，如果算符”是厄米算符，則它滿

【答案】gnd—j

8.角動量算符/滿足的劉易關(guān)系為八J二，坐標’和動量凡的對易關(guān)系o

【答案】點

9.如果，[和C是厄米算符，并且“右卜。-則下列是厄米算符為()。

A.AC

AA

B.CA

C.AC+CA

D.[AC]

E.2[A.C]

【答案】c

10.下面哪組是泡利矩陣()?

m。，?(？

R晝』o}F?)

二十(?矽：小(?罰

D0.御口寸。&)

【答案】A

【解析】泡，矩陣必須滿足以下對易關(guān)系吃?叮=2喘再由(己)2=1.最終推導(dǎo)出泡利矩陣只能

為d腦=(；$弋-J

11.量子力學(xué)中的力學(xué)量用算符表示，表示力學(xué)量的算符有組成的本征函數(shù)。

【答案】厄密；完全系

12.對力學(xué)量A進行測量.要能得到確定結(jié)果的條件是()

A體系可以處于任一態(tài)

B.體系必須處于A宏觀態(tài)

C.力學(xué)量人必須是守恒量

0體系必須處于A的本征態(tài)

【答案】D

［解析】若對力學(xué)量的測量得到的是確定結(jié)果，則要求體系必須處于定態(tài)，而處于定態(tài)的條件即體系

處廣力學(xué)量;對應(yīng)的本征態(tài).

三、簡答題

13.什么是費米子?什么是玻色子?兩者各自服從什么樣的統(tǒng)計分布規(guī)律？

［答案】費米子是自旋為半奇數(shù)的粒子，玻色子是自旋為整數(shù)的粒子.費米子遵守費米-狄拉克統(tǒng)計規(guī)

律,玻色子遵從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計規(guī)律.

14.寫出測不準關(guān)系’并簡要說明其物理含義。

【答案】測不準關(guān)系麗?頑2」.兩己物理含義：若兩個力學(xué)量不對易'則它們不可能同

4

時有確定的測值。

15.反常塞曼效應(yīng)的特點，引起的原因。

【答案】原因如下：

(I)堿金屬原子能級偶數(shù)分裂：

(2)光譜線偶數(shù)條：

(3)分裂能級間距與能級有關(guān)；

(4)由于電子具有自旋。

16.試比較粒子和波這兩個概念在經(jīng)典物理和量子力學(xué)中的含義。

【答案】對于粒子，共同點是默粒性，即是具有一定質(zhì)量、電荷等屬性的客體：不同點是經(jīng)典粒子遵

循經(jīng)典決定論，沿確定軌道運動，微觀粒子不遵循經(jīng)典決定論，無確定軌道運動。

對于波，共同點是遵循波動規(guī)律，具有相干迭加性；不同點是經(jīng)典波是與某個客觀存在的物理量

的周期性變化在空間中的傳播再聯(lián)系的量子力學(xué)中的物質(zhì)波不存在這樣的物理曷它只是一種;L率波

17.m福對論量子力學(xué)的理論體系建立在一些基本假設(shè)的基附上，試舉出二個以上這樣的基本假設(shè)'

并簡述之。

【答案】(T)微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函

數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。

（2）力學(xué)量用厄密算符表示。如果在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量了力學(xué)中表示這個力學(xué)量的

算符，由經(jīng)典表示式中將動量叼奐為算符-法V得出。表示力學(xué)量的算符組成完全系的本征函數(shù)。

（3）將體系的狀態(tài)波函數(shù)甲用算符六的本征函數(shù)。展開：

用+J灑01（其中袖產(chǎn)&Q,,F%=20,）

n

則在中，盔中測量力學(xué)量得到結(jié)果為4,的幾率是kJ,得到結(jié)果在義-+范圍內(nèi)的幾率是

（4）體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定譜方程仍竺;而.其中片是體系的哈密頓算符。

dt

<5）在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)（全同性原理\以上選三個

作為答案。

18.寫出角動量的三個分量，頃馨驀=如除），L5房驀）的對易關(guān)系.

【答案】這三個算符的對易關(guān)系為

也￡］二脫：［￡〃」二脫，也&］二戒、，

19.能級的簡并度指的是什么？

【答案】能級簡并度是指對應(yīng)于同一能量本征值的線性無關(guān)的本征態(tài)個數(shù)。

20.以能量這個力學(xué)量為例，簡要說明能量算符和能量之間的關(guān)系。

【答案】在量子力學(xué)中'能量E用算符/）表示，當(dāng)體系處于某個能量外的本征態(tài)000時，算符戶對態(tài)。

的作用是得到這?本征值，即：婿遁:當(dāng)體系處于一般態(tài)甲歸，算符療對態(tài)隊的作用是得到體系取不

同能量本征值的幾率幅（從而就得到了相應(yīng)兒率〉即而胡印艮,，=￡財?&,

n■

四、計算題

21.簡述能量的測不準關(guān)系。

【答案】能量測不準關(guān)系的數(shù)學(xué)表示式為里.&膩/2,即微觀粒子的能量與時間不可能同時進行準確的

測量，其中一項測量的越精確，另一項的不確定程度越大。

(1)r的平均值：

【提示：尉噌+赤系(林斜點劇，『&腿=圭】

(2)動能的平均值：

(3)動量的概率分布函數(shù).【答案】(1)r的平均值即

!11李雷%綴夕嘯{2仿照53節(jié)，在直角坐標系中求解二維各向同性

【提示：正=我

和簡并度，與三維各向同性諧振子比較.［上)3.9題

=-v

(2)由維里定理亍2(u為勢能關(guān)于r的嘉次)有動能平均值

r=~V.而氫原子基態(tài)能量為片=-#=T+V.其中玻爾半徑％=與

22%pe

故'=一片-=壬=法戶?1。仿照5.3節(jié)，在直角坐標系中求解二維各向同性諧振子的能級和簡并發(fā)，與三

維各向同性諧振子比較.［上］3.9題5.10仿照5.3節(jié)，在直角坐標系中求解二維各向同性諧振子的能

級和簡并度，與三維各向同性諧振子比較.

23.考慮一維雙N勢阱：V(X)=-V0［8(x+a)+8(x~a)］.其中VQO,a>0.

(1)推導(dǎo)在x=a處波函數(shù)的連接條件.

(2)對于偶宇稱的解，艮|lw(-X)=Y(X),求束縛態(tài)能量本征值滿足的方程，并用圖解法說明本征值的數(shù)

目.

［答案］(I)薛定譜方程可表示為

一=［E+VO(x+〃)+VO(x-a加-0T為粒子質(zhì)量，

2mdx~

工=土。為方程的奇點，在x=a點處"-不存在'表現(xiàn)為“不連續(xù)。

對上述方程積分JdxGTOL得出

當(dāng)-a<x〈a時，-w=0,其中A=J一晉考慮到偶宇稱,因此解為

W=C*+C小

(2)由題意知當(dāng)x>a時，；iCW=3其中A=/芳考慮到束縛態(tài)，因此解為#=也“、

結(jié)合x=a處的邊界條件和此處的波函數(shù)連續(xù)條件，可得

_AA疽，_（C&_C［）=_*”產(chǎn)

Ae^=Cd"+Ce~M

化去A,C后可得，”,二系1'〃+/）/=A整此即能量本征值所需要滿足的方程.

所以滿足此方程的本征值只有f

24.已知在￡，表象中，L的本征函數(shù)為：四=訂拒-憐（）?4=一的則由心表

-|/2y1/V2

象到/：、表象的變換矩陣S是什么？

'1/21/V21/2、

【答案】5:W/0-//V2O

-1/21/V2-1/2,

25.已知次、化'是泡利矩陣'B=McosQ+飛inO,

（1）利用疔：、E在疔表象中的表達式,求&”在夕表象中的本征態(tài)矢盆,

（2）總的本征態(tài)克可由日.?的本征態(tài)：經(jīng)繞x軸轉(zhuǎn)動-。角的坐標變換而得，即盆=；%，試由此求W

在。表象的表達式，并與（I）所得結(jié)果比較。

【答案】（I）易知：

co矽-isinG

isin。-cosO

設(shè)無本征矢以=［：)=《)

Tsin夕

JsinOcoso

,.a.sin。.cos6/2