專題5.1平面向量的線性運(yùn)算、基本定理與坐標(biāo)表示目錄目錄 1一、5年高考?真題感悟 2二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析 7【課程標(biāo)準(zhǔn)】 7【考情分析】 7【2026考向預(yù)測】 7三、知識點(diǎn)?逐點(diǎn)夯實(shí) 7知識點(diǎn)1、向量的有關(guān)概念 7知識點(diǎn)2、平面向量的線性運(yùn)算與共線定理 8知識點(diǎn)3、平面向量的基本定理與性質(zhì) 8知識點(diǎn)4、平面向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算 9知識點(diǎn)5、平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 9四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破 10考點(diǎn)1平面向量的有關(guān)概念 10考點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算 12考點(diǎn)3共線與平行 14考點(diǎn)4平面向量基本定理的應(yīng)用 16考點(diǎn)5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 18考點(diǎn)6平面向量共線的坐標(biāo)表示 19五、必考題型?分層訓(xùn)練 21A、基礎(chǔ)保分 22B、綜合提升 25TOC\o"1-2"\h\z\u

一、5年高考?真題感悟1．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點(diǎn)】向量加法法則的幾何應(yīng)用、向量夾角的計算、二倍角的余弦公式、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.2．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【難度】0.65【知識點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、向量垂直的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對A，當(dāng)時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當(dāng)時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當(dāng)時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當(dāng)時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.3．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】向量垂直的坐標(biāo)表示、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.4．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、向量垂直的坐標(biāo)表示、利用向量垂直求參數(shù)【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．5．（2023·全國乙卷·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、用基底表示向量、數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積的坐標(biāo)表示【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.6．（2025·天津·高考真題）中，D為AB邊中點(diǎn)，，則（用，表示），若，，則【答案】；【難度】0.65【知識點(diǎn)】用基底表示向量、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量減法的法則【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可空一，應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律計算求解空二.【詳解】如圖，因為，所以，所以．因為D為線段的中點(diǎn)，所以；又因為，所以，，所以所以，所以．故答案為：；.7．（2025·全國二卷·高考真題）已知平面向量若，則【答案】【難度】0.94【知識點(diǎn)】坐標(biāo)計算向量的模、向量垂直的坐標(biāo)表示、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算得，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，因為，則，則，解得.則，則.故答案為：.8．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知，且，則的值為．【答案】15【難度】0.94【知識點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，，解得．故答案為：15．9．（2021·全國乙卷·高考真題）已知向量，若，則．【答案】【難度】0.94【知識點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出．【詳解】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析【課程標(biāo)準(zhǔn)】（1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．（2）掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．（3）了解平面向量基本定理及其意義．（4）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．【5年考情分析】5年考情分析考題示例考點(diǎn)分析難易程度（簡單、一般、較難、很難）2025年新Ⅱ卷，第12題,5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及概念簡單2024年新I卷，第3題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示簡單2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示簡單2022年新Ⅱ卷，第4題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示簡單2021年新Ⅱ卷，第10題,5分坐標(biāo)計算向量的模簡單【2026考向預(yù)測】通過對近5年高考試題分析可知，高考在本節(jié)以考查基礎(chǔ)題為主，考查形式也較穩(wěn)定，考查內(nèi)容一般為平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算，預(yù)計后面幾年的高考也不會有大的變化．三、知識點(diǎn)?逐點(diǎn)夯實(shí)知識點(diǎn)1．向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長度等于1個單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．知識點(diǎn)2．向量的線性運(yùn)算和向量共線定理（1）向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算（1）（2）當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，知識點(diǎn)3．平面向量基本定理和性質(zhì)（1）、共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．（2）、平面向量基本定理如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．（3）、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB（4）、三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；知識點(diǎn)4．平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有向量向量點(diǎn)．（3）設(shè)，，則，，即兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．（4）設(shè)，，則=，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．知識點(diǎn)5．平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算①已知點(diǎn)，，則，②已知，，則，，③，．④，四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破考點(diǎn)1平面向量的有關(guān)概念例1、（24-25高三下·浙江·期中）給出下列命題，正確的是（

）A．的充要條件是且B．若，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)均相同C．若存在實(shí)數(shù)，使得，則D．若是平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，則四點(diǎn)一定能構(gòu)成平行四邊形【答案】C【知識點(diǎn)】平行向量（共線向量）、相等向量、平面向量的概念與表示【分析】由，可得且向量與同向，可判定A錯誤；相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，可判定B錯誤；根據(jù)向量的共線定理，可得判定C正確；根據(jù)可能在同一條直線上，可判定D錯誤.【詳解】對于A中，由，可得且向量與同向，所以的必要不充分條件是且，所以A錯誤；對于B中，若，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定均相同，所以B錯誤；對于C中，若存在實(shí)數(shù)，使得，根據(jù)向量的共線定理，可得，所以C正確；對于D中，若是平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，則可能在同一條直線上，不一定構(gòu)成平行四邊形，所以D錯誤.故選：C.例2、以下說法中，正確的是（

）A．兩個具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量B．零向量的長度為0，沒有方向C．單位向量都是共線向量D．兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小【答案】D【知識點(diǎn)】平行向量（共線向量）、零向量與單位向量、平面向量的概念與表示【分析】根據(jù)向量、共線向量、零向量、單位向量的概念逐一判斷．【詳解】對于A，如果兩個向量的起點(diǎn)，終點(diǎn)不在同一直線上，它們不是共線向量，故A錯；對于B，零向量的長度（大?。?，方向是任意的，B錯，對于C，單位向量可以垂直，它們不一定是共線向量，C錯；對于D，向量既有大小又有方向，因此兩個向量不能比較大小，而它們的模是表示它們的有向線段的長度，是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小，D正確；故選：D．【變式訓(xùn)練1】、（23-24高二下·福建福州·期中）（多選題）已知、、是任意的非零向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．非零向量、，滿足且與同向，則B．C．若，則不與垂直D．【答案】BD【知識點(diǎn)】垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量的概念與表示【分析】根據(jù)向量的概念，可判定A錯誤；根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，以及，可判定B正確；根據(jù)向量的運(yùn)算律，得到，可判定C錯誤；根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可判定D正確.【詳解】對于A中，根據(jù)向量的概念，向量不能比較大小，所以A錯誤；對于B中，由向量的數(shù)量積的定義，可得，因為，可得，所以，所以B正確；對于C中，由，可得，所以，所以C錯誤；對于D中，由，又，因為，所以，所以D正確.故選：BD.【變式訓(xùn)練2】、（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選題）有關(guān)平面向量的說法，下列錯誤的是（

）A．若，，則B．若與共線且模長相等，則C．若且與方向相同，則D．恒成立【答案】ABC【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、平行向量（共線向量）、相等向量、平面向量的概念與表示【分析】取，可判斷A選項；利用平面向量的概念可判斷B選項；利用向量不能比大小可判斷C選項；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】對于A選項，取，滿足，，但、不一定共線，A錯；對于B選項，若與共線且模長相等，則或，B錯；對于C選項，任何兩個向量不能比大小，C錯；對于D選項，恒成立，D對.故選：ABC.考點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算例3、（2024·河北·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】向量加法的法則、向量加法法則的幾何應(yīng)用【分析】利用相似三角形的性質(zhì)以及向量的加法運(yùn)算來表示即可.【詳解】因為在平行四邊形中，，所以，因為是的中點(diǎn)，所以，即，，根據(jù)向量的加法法則，，故選：B.例4、平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的一個三等分點(diǎn)（靠近），則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用【分析】用向量的加法和數(shù)乘法則運(yùn)算.【詳解】由題意：是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的一個三等分點(diǎn)，∴.故選：D.【變式訓(xùn)練3】、（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】向量加法法則的幾何應(yīng)用、用基底表示向量、平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】法一，在中分別利用向量加法的三角形法則表示，，再根據(jù)平面向量共線定理及向量相等轉(zhuǎn)化即可表示出；法二，在中利用向量加法的三角形法則表示，再根據(jù)平面向量共線定理及向量相等轉(zhuǎn)化即可表示出.【詳解】在平行四邊形中，有.已知，，法一：.法二：.故選：D【變式訓(xùn)練4】（2025·甘肅甘南·三模）中，若，，，則向量可用，表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算、用基底表示向量【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算直接求解即可.【詳解】在中，，則.又因為，所以.故選：A考點(diǎn)3共線與平行例5、（2024高三·上?！ぶ軠y）已知向量，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【知識點(diǎn)】利用平面向量基本定理求參數(shù)、相等向量【分析】由已知結(jié)合平面向量基本定理可求，，進(jìn)而求出答案.【詳解】由，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，得，解得，，所以.故選：A例6、（24-25高三下·陜西渭南·期中）設(shè)是單位向量，，則四邊形一定是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【知識點(diǎn)】向量數(shù)乘的有關(guān)計算、平行向量（共線向量）、向量的?！痉治觥扛鶕?jù)給定條件，利用共線向量及向量模的意義判斷即得.【詳解】由，得，，所以四邊形一定是菱形.故選：B【變式訓(xùn)練5】、（2025·湖南永州·模擬預(yù)測）已知非零向量，滿足，且，則與的關(guān)系是（

）A．垂直 B．共線 C．夾角為 D．夾角為【答案】B【知識點(diǎn)】平行向量（共線向量）、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計算【分析】由題意結(jié)合數(shù)量積定義直接計算得即可得解.【詳解】設(shè)已知兩個向量的夾角為θ，由題，，所以共線.故選：B.【變式訓(xùn)練6】、已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，假設(shè)共線，則存在，使得，因為不共線，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；對于B，假設(shè)共線，則存在，使得，即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；對于C，因為，所以兩向量共線，不能作為一組基底，C錯誤；對于D，假設(shè)共線，則存在，使得，即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底，故選:C.考點(diǎn)4平面向量基本定理的應(yīng)用例7、已知D為的邊的中點(diǎn)，O為上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】用基底表示向量【分析】根據(jù)題意作圖，然后利用向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖所示，因為D為的邊的中點(diǎn)，所以，因為，所以，．故選：B.例8、（2025·海南三亞·一模）已知為平行四邊形，為的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算、用基底表示向量【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計算可得.【詳解】因為為的中點(diǎn)，所以，所以.故選：C【變式訓(xùn)練7】如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，與對角線相交于點(diǎn)，記，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】用基底表示向量、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、向量減法的法則【分析】根據(jù)圖形特征及向量線性關(guān)系計算判斷.【詳解】由題意得，∽，所以，所以，所以.故選：A.【變式訓(xùn)練8】、（2025·四川自貢·三模）在中，是邊上的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因為是邊上的中點(diǎn)，所以，即.故選：A.考點(diǎn)5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例9、（24-25高三下·福建南平·期末）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因為，所以，則，故C正確.故選：C例10、已知，，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【知識點(diǎn)】由向量線性運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【分析】由平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可．【詳解】已知向量，，則，解得．故選：B．【變式訓(xùn)練9】、已知向量與，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】由向量線性運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及平面向量基本定理計算可得.【詳解】因為與，又，所以，所以.故選：A【變式訓(xùn)練10】、（24-25高三上·河北邢臺·開學(xué)考試）已知向量，若，則.【答案】6【知識點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、由向量線性運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)【分析】先由向量的坐標(biāo)運(yùn)算及相等求參，再根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)公式計算即可.【詳解】因為所以,所以,所以,.故答案為：.考點(diǎn)6平面向量共線的坐標(biāo)表示例11、（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測）已知向量，，若，則y的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【知識點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由，則，解得.故選：D.例12、（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【知識點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示以及充分條件和必要條件的定義即可求解．【詳解】因為，，若，則，解得：，所以“”可得出“”，由“”不一定得出，所以“”是“”充分不必要條件，故選：A．【變式訓(xùn)練11】、（2025·遼寧遼陽·二模）已知向量，若，則．【答案】/【知識點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的運(yùn)算律、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】由可解得的值，即可寫出的坐標(biāo)，從而得到的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)形式即可得出答案.【詳解】由，可得，解得，則，所以．故答案為：.【變式訓(xùn)練12】、（多選題）已知向量，則下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．與夾角為鈍角時，則的取值范圍為D．當(dāng)時，在上的投影向量為【答案】ACD【知識點(diǎn)】求投影向量、已知向量垂直求參數(shù)、由坐標(biāo)判斷向量是否共線、由向量線性運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)【分析】利用向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示列方程判斷A；向量垂直的坐標(biāo)表示列方程判斷B；注意有向量反向共線判斷C；根據(jù)投影向量定義求投影向量的坐標(biāo)判斷D.【詳解】A：由，則，不正確；B．由題意，則，正確；C：當(dāng)時，即向量反向共線，此時夾角不為鈍角，不正確；D：時在上的投影向量為，不正確．故選：ACD

五、分層訓(xùn)練一、單選題1．下列說法中，正確的是（

）A．模為的向量與任意向量共線B．單位向量只有一個C．方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小D．兩個有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同【答案】A【知識點(diǎn)】平面向量的概念與表示、零向量與單位向量、相等向量、平行向量（共線向量）【分析】根據(jù)零向量的定義可判斷A選項；利用單位向量的定義可判斷B選項；利用向量不能比大小可判斷C選項；利用向量的定義可判斷D選項.【詳解】對A，模為的向量為零向量，零向量與任意向量共線，故A正確；對B，單位向量的模為，但方向為任意方向，故B錯誤；對C，向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小，故C錯誤；對D，它們的方向不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同，故D錯誤．故選：A．2．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測）如圖，在中，為線段上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】已知向量共線（平行）求參數(shù)、用基底表示向量、平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】先利用基底表示，再設(shè)，即可構(gòu)造關(guān)于的方程組.【詳解】因，則，故，因三點(diǎn)共線，故設(shè)，則，因，則，解得．故選：D．3．（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知向量，若，則（

）A．8 B．4 C．2 D．【答案】A【知識點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式計算即可.【詳解】，由得，解得．故選：A．4．（22-23高三上·廣東佛山·期中）已知向量，，若，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】由向量線性運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計算向量的模、求投影向量【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出、，即可得到，，再根據(jù)計算可得.【詳解】解：因為，，所以，又，所以，解得，所以，，所以，，所以向量在向量上的投影向量為；故選：C二、多選題5．（多選題）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．與夾角為銳角時，則的取值范圍為D．當(dāng)時，【答案】ABC【知識點(diǎn)】由向量線性運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)、由向量共線（平行）求參數(shù)、向量垂直的坐標(biāo)表示、向量夾角的坐標(biāo)表示【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A選項；利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B選項；利用平面向量數(shù)量積結(jié)合B選項可判斷C選項；利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當(dāng)時，，可得，A對；對于B選項，當(dāng)時，則，解得，B對；對于C選項，當(dāng)與夾角為銳角時，則，解得，C對；對于D選項，當(dāng)，可得，解得，D錯.故