階段拔尖專訓(xùn)3二次函數(shù)的最值問(wèn)題

高分秘籍求線段最值問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)：設(shè)未知數(shù)，表示出線段，得到線段關(guān)于所設(shè)未知數(shù)的二次函數(shù)，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.題型1二次函數(shù)中的線段最值問(wèn)題1．[2024臨夏州改編]在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC.(1)拋物線的表達(dá)式為________________．y＝－x2＋2x＋3(2)如圖①，點(diǎn)P是線段BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，請(qǐng)問(wèn)線段PQ是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解】存在最大值．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∴∠EDB＝90°.對(duì)于y＝－x2＋2x＋3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C(0，3)．∵B(3，0)，∴易得直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋3，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，∵∠EDB＝90°，∴∠PEQ＝∠DEB＝45°，(3)如圖②，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，作線段MN∥OC(點(diǎn)N在直線BC下方)，已知MN＝2，若線段MN與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．

高分秘籍線段和最小值模型：(1)如圖①，兩點(diǎn)在直線異側(cè)模型(兩點(diǎn)之間，線段最短)；(2)如圖②，兩點(diǎn)在直線同側(cè)模型(將軍飲馬)．題型2二次函數(shù)中的線段和最值問(wèn)題2．[2024長(zhǎng)沙期末]如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)，點(diǎn)E為二次函數(shù)第一象限內(nèi)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，EH⊥x軸于點(diǎn)H，交直線BC于點(diǎn)F，以EF為直徑的⊙M與BC交于點(diǎn)R.(1)求b，c的值；(2)當(dāng)△EFR的周長(zhǎng)最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)及△EFR的

周長(zhǎng)．【解】∵以EF為直徑的⊙M與BC交于點(diǎn)R，∴∠ERF＝90°.對(duì)于y＝－x2＋2x＋3，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)，∴OC＝3.∵B(3，0)，∴OB＝3，∴OC＝OB，∵CO⊥OB，∴∠CBO＝∠OCB＝45°，∴∠EFC＝∠OCB＝45°，∴△ERF為等腰直角三角形，∴當(dāng)△EFR的周長(zhǎng)最大時(shí)，EF最長(zhǎng)．由C(0，3)，B(3，0)，易得直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋3，(2)如圖①，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OA，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E，求線段CE的長(zhǎng)．(3)點(diǎn)D為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)(O點(diǎn)除外)，在OC右側(cè)作平行四邊形OCFD.①如圖②，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②如圖③，連接BD，BF，求BD＋BF的最小值．

高分秘籍線段差最大值模型：(1)如圖①，兩點(diǎn)在直線同側(cè)(三角形三邊關(guān)系)；(2)如圖②，兩點(diǎn)在直線異側(cè)(三角形三邊關(guān)系)．題型3二次函數(shù)中的線段差最值問(wèn)題4．如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)O(0，0)，A(5，5)，且它的對(duì)稱軸為直線x＝2.(1)此拋物線的表達(dá)式為________________；y＝x2－4x(2)若點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限，當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；【解】如圖，∵點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限，∴設(shè)B(2，m)(m＞0)．(3)在(2)的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA－PB的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及PA－PB的最大值．

高分秘籍考查角度多為求面積最大時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出面積的最大值．解題方法一般為設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用面積公式或補(bǔ)形、割形法表示出圖形的面積，將圖形面積的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，一般得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解．題型4二次函數(shù)中的面積最值問(wèn)題5．[2024衡陽(yáng)一模]如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(1，0)，B(－3，0)，C(0，3)三點(diǎn)．(1)拋物線的表達(dá)式為_______________；y＝－x2－2x＋3(2)若點(diǎn)D為第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求△BCD面積的最大值；(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解】∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－1，設(shè)P(－1，y)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BP2＝(－1＋3)3＋y2＝4＋y2，CP2＝1＋(3－y)2，BC2＝32＋32＝18，6．[2024婁底期末]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線

y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(－1，0)，B(4，0)，C(0，4)三點(diǎn).(1)拋物線的表達(dá)式為______________，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________；y＝－x2＋3x＋4(2)在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)M的坐標(biāo)，使得點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最小；(3)在直線BC上方的拋物線上求一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大，并求出△PBC的面積的最大值．