深圳寶安區(qū)龍華中英文實驗學(xué)校九年級上冊壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷及答案一、壓軸題1．如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E為OC上動點(與點O不重合)，作AF⊥BE，垂足為G，交BO于H．連接OG、CG．(1)求證：AH=BE；(2)試探究：∠AGO的度數(shù)是否為定值？請說明理由；(3)若OG⊥CG，BG=，求△OGC的面積．2．已知拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點，頂點為點D．（1）求拋物線的解析式；（2）若過點C的直線交線段AB于點E，且，求直線CE的解析式（3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標；（4）已知點，在拋物線對稱軸上找一點F，使的值最小此時，在拋物線上是否存在一點K，使的值最小，若存在，求出點K的坐標；若不存在，請說明理由．3．已知函數(shù)均為一次函數(shù)，m為常數(shù)．（1）如圖1，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線，直線交y軸于點B．若直線恰好是中某個函數(shù)的圖象，請直接寫出點B坐標以及m可能的值；（2）若存在實數(shù)b，使得成立，求函數(shù)圖象間的距離；（3）當時，函數(shù)圖象分別交x軸，y軸于C，E兩點，圖象交x軸于D點，將函數(shù)的圖象最低點F向上平移個單位后剛好落在一次函數(shù)圖象上，設(shè)的圖象，線段，線段圍成的圖形面積為S，試利用初中知識，探究S的一個近似取值范圍．（要求：說出一種得到S的更精確的近似值的探究辦法，寫出探究過程，得出探究結(jié)果，結(jié)果的取值范圍兩端的數(shù)值差不超過0.01．）4．二次函數(shù)的圖象交y軸于點A，頂點為P，直線PA與x軸交于點B．（1）當m=1時，求頂點P的坐標；（2）若點Q（a，b）在二次函數(shù)的圖象上，且，試求a的取值范圍；（3）在第一象限內(nèi)，以AB為邊作正方形ABCD．①求點D的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；②若該二次函數(shù)的圖象與正方形ABCD的邊CD有公共點，請直接寫出符合條件的整數(shù)m的值．5．已知拋物線經(jīng)過原點，與軸相交于點，直線與拋物線交于兩點，與軸交于點，與軸交于點，點是線段上的一個動點(不與端點重合)，過點作交于點，連接（1）求拋物線的解析式及點的坐標；（2）當?shù)拿娣e最大時，求線段的長；（3）在（2）的條件下，若在拋物線上有一點和點P，使為直角三角形，請直接寫出點的坐標．6．如圖1，在中，，，點，分別在邊，上，，連接，點，，分別為，，的中點．（1）觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是_________，位置關(guān)系是_________；（2）探究證明：把繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．7．如圖1，拋物線的頂點在軸上，交軸于，將該拋物線向上平移，平移后的拋物線與軸交于，頂點為．（1）求點的坐標和平移后拋物線的解析式；（2）點在原拋物線上，平移后的對應(yīng)點為，若，求點的坐標；（3）如圖2，直線與平移后的拋物線交于．在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得以為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖①，在中，，，點、分別在邊、上，，連接，點、、分別為、、的中點．（1）觀察猜想：圖①中，線段與的數(shù)量關(guān)系是_____________，用含的代數(shù)式表示的度數(shù)是________________________；（2）探究證明：把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接，，，當時，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把繞點在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，若，，，請直接寫出線段的最大值和最小值．9．定義：對于已知的兩個函數(shù)，任取自變量的一個值，當時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等；當時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù).例如：正比例函數(shù)，它的相關(guān)函數(shù)為.（1）已知點在一次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像上，求的值；（2）已知二次函數(shù).①當點在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像上時，求的值；②當時，求函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值.（3）在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，連結(jié).直接寫出線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像有兩個公共點時的取值范圍.10．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是對角線BD上的一個動點（點P不與點B、D重合），過點P作PF⊥BD，交射線BC于點F．聯(lián)結(jié)AP，畫∠FPE=∠BAP，PE交BF于點E．設(shè)PD=x，EF=y．（1）當點A、P、F在一條直線上時，求△ABF的面積；（2）如圖1，當點F在邊BC上時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；（3）聯(lián)結(jié)PC，若∠FPC=∠BPE，請直接寫出PD的長．11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AB上，AF＝BE＝2，連結(jié)DE，DF，動點M在EF上從點E向終點F勻速運動，同時，動點N在射線CD上從點C沿CD方向勻速運動，當點M運動到EF的中點時，點N恰好與點D重合，點M到達終點時，M，N同時停止運動．（1）求EF的長．（2）設(shè)CN＝x，EM＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）連結(jié)MN，當MN與△DEF的一邊平行時，求CN的長．12．在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；（2）若P為線段BC上一點，過點P作軸的平行線，交拋物線于點D，當△BCD面積最大時，求點P的坐標；（3）若M（m，0）是軸上一個動點，請求出CM+MB的最小值以及此時點M的坐標.13．如圖，在直角中，，，作的平分線交于點，在上取點，以點為圓心經(jīng)過、兩點畫圓分別與、相交于點、（異于點）．（1）求證：是的切線；（2）若點恰好是的中點，求的長；（3）若的長為．①求的半徑長；②點關(guān)于軸對稱后得到點，求與的面積之比．14．如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為中心的正方形ABCD的邊長為4m，我們把軸時正方形ABCD的位置作為起始位置，若將它繞點O順時針旋轉(zhuǎn)任意角度時，它能夠與反比例函數(shù)的圖象相交于點E，F(xiàn)，G，H，則曲線段EF，HG與線段EH，GF圍成的封閉圖形命名為“曲邊四邊形EFGH”．（1）①如圖1，當軸時，用含m，k的代數(shù)式表示點E的坐標為________；此時存在曲邊四邊形EFGH，則k的取值范圍是________；②已知，把圖1中的正方形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45o時，是否存在曲邊四邊形EFGH？請在備用圖中畫出圖形，并說明理由．當把圖1中的正方形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)任意角度時，直接寫出使曲邊四邊EFGH存在的k的取值范圍．③若將圖1中的正方形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度得到曲邊四邊形EFGH，根據(jù)正方形和雙曲線的對稱性試探究四邊形EFGH是什么形狀的四邊形？曲邊四邊形EFGH是怎樣的對稱圖形？直接寫出結(jié)果，不必證明；（2）正方形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2位置，已知點A在反比例函數(shù)的圖象上，AB與y軸交于點M，，，試問此時曲邊四邊EFGH存在嗎？請說明理由．15．在平面直角坐標系xoy中，點A(-4,-2)，將點A向右平移6個單位長度，得到點B.（1）若拋物線y＝-x2＋bx＋c經(jīng)過點A,B，求此時拋物線的表達式；（2）在（1）的條件下的拋物線頂點為C，點D是直線BC上一動點（不與B，C重合），是否存在點D，使△ABC和以點A,B,D構(gòu)成的三角形相似？若存在，請求出此時D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若拋物線y＝-x2＋bx＋c的頂點在直線y＝x＋2上移動，當拋物線與線段有且只有一個公共點時，求拋物線頂點橫坐標t的取值范圍．16．如圖①，在矩形中，cm，，點從點出發(fā)，沿射線以(cm/s)的速度勻速移動．連接，過點作,與射線相交于點，作矩形，連接．設(shè)點移動的時間為(s)，的面積為(cm2),與的函數(shù)關(guān)系如圖②所示．(1)=；(2)求矩形面積的最小值；(3)當為等腰三角形時，求的值．17．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點A、B在函數(shù)的圖象上，頂點C、D在函數(shù)的圖象上，其中，對角線軸，且于點P．已知點B的橫坐標為4．（1）當，時，①點B的坐標為________，點D的坐標為________，BD的長為________．②若點P的縱坐標為2，求四邊形ABCD的面積．③若點P是BD的中點，請說明四邊形ABCD是菱形．（2）當四邊形ABCD為正方形時，直接寫出m、n之間的數(shù)量關(guān)系．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，記∠ABC＝α，點D為射線BC上的動點，連接AD，將射線DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α角后得到射線DE，過點A作AD的垂線，與射線DE交于點P，點B關(guān)于點D的對稱點為Q，連接PQ．（1）當△ABD為等邊三角形時，①依題意補全圖1；②PQ的長為；（2）如圖2，當α＝45°，且BD＝時，求證：PD＝PQ；（3）設(shè)BC＝t，當PD＝PQ時，直接寫出BD的長．（用含t的代數(shù)式表示）19．已知四邊形是矩形．（1）如圖1，分別是上的點，垂直平分，垂足為，連接．①求證：；②若，求的大?。唬?）如圖2，，分別是上的點，垂直平分，點是的中點，連接，若，直接寫出的長．20．對于⊙C與⊙C上的一點A，若平面內(nèi)的點P滿足：射線AP與⊙C交于點Q（點Q可以與點P重合），且，則點P稱為點A關(guān)于⊙C的“生長點”．已知點O為坐標原點，⊙O的半徑為1，點A（-1，0）．（1）若點P是點A關(guān)于⊙O的“生長點”，且點P在x軸上，請寫出一個符合條件的點P的坐標________；（2）若點B是點A關(guān)于⊙O的“生長點”，且滿足，求點B的縱坐標t的取值范圍；（3）直線與x軸交于點M，與y軸交于點N，若線段MN上存在點A關(guān)于⊙O的“生長點”，直接寫出b的取值范圍是_____________________________．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、壓軸題1．(1)見解析；(2)45°；(3)9.【解析】【分析】（1）利用正方形性質(zhì)，證△ABH

≌△BCE.可得AH=BE

.（2）證△AOH∽△BGH，，，再證△OHG∽△AHB.，得∠AGO=∠ABO=45°；（3）先證△ABG

∽△BFG.

得,所以，AG·GF=BG

2

=（）2=18.

再證△AGO

∽△CGF.得,所以，GO·CG

=AG·GF=18.所以，S△OGC

=CG·GO.

【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°，AB=CB，∠ABO=∠ECB

=45°∵AF⊥BE,∴∠BAG+∠ABG=∠CBE

+∠ABG=90°.∴∠BAH=∠CBE.

∴△ABH

≌△BCE.

∴AH=BE

.

（2）∵∠AOH=∠BGH=90°,

∠AHO=∠BHG,

∴△AOH∽△BGH∴∴

∵∠OHG

=∠AHB.∴△OHG∽△AHB.

∴∠AGO=∠ABO=45°,即∠AGO的度數(shù)為定值（3）∵∠ABC=90°,AF⊥BE,∴∠BAG=∠FBG,∠AGB=∠BGF=90°,∴△ABG

∽△BFG.

∴,∴AG·GF=BG

2

=（）2=18.

∵△AHB∽△OHG，∴∠BAH=∠GOH=∠GBF.∵∠AOB=∠BGF=90°,∴∠AOG=∠GFC.

∵∠AGO=45°,CG⊥GO,∴∠AGO=∠FGC=45°.∴△AGO

∽△CGF.

∴,∴GO·CG

=AG·GF=18.∴S△OGC

=CG·GO=9.

【點睛】此題為綜合題，要熟練掌握正方形性質(zhì)和相似三角形判定方法還有相似三角形的性質(zhì).2．（1）；（2）；（3）點P的坐標為；（4）存在，點K的坐標為【解析】【分析】（1）由于點A、B為拋物線與x軸的交點，可設(shè)兩點式求解；也可將A、B、C的坐標直接代入解析式中利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)兩個三角形的高相等，則由面積比得出，求出AE,根據(jù)點A坐標可解得點E坐標,進而求得直線CE的解析式；（3）分兩種情況討論①當四邊形為平行四邊形時；②當四邊形為平行四邊形時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和點的坐標位置關(guān)系得出縱坐標的關(guān)系式，分別代入坐標數(shù)值，解方程即可解答；（4）根據(jù)拋物線的對稱性，AF=BF，則HF+AF=HF+BF，當H、F、B共線時，HF+AF值最小，求出此時點F的坐標，設(shè)，由勾股定理和拋物線方程得，過點K作直線SK，使軸，且點的縱坐標為，則點S的坐標為，此時，,∴KF+KG=KS+KG,當S、K、G共線且平行y軸時，KF+KG值最小，由點G坐標解得，代入拋物線方程中解得，即為所求K的坐標．【詳解】解：（1）方法1：設(shè)拋物線的解析式為將點代入解析式中，則有．∴拋物線的解析式為．方法二：∵經(jīng)過三點拋物線的解析式為，將代入解析式中，則有，解得：，∴拋物線的解析式為．（2），．．．．的坐標為．又點的坐標為．直線的解析式為．（3）．∴頂點D的坐標為．①當四邊形為平行四邊形時，由DQ∥CP，DQ=CP得：，即．．令，則．．∴點P的坐標為．②當四邊形為平行四邊形時，由CQ∥DP，CQ=DP得：，即．令，則．．∴點P的坐標為．∴綜合得：點P的坐標為（4）∵點A或點B關(guān)于對稱軸對稱∴連接與直線交點即為F點．∵點H的坐標為，點的坐標為，∴直線BH的解析式為：．令，則．當點F的坐標為時，的值最?。?1分設(shè)拋物線上存在一點，使得的值最?。畡t由勾股定理可得：．又∵點K在拋物線上，代入上式中，．如圖，過點K作直線SK，使軸，且點的縱坐標為．∴點S的坐標為．則．（兩處絕對值化簡或者不化簡者正確．）．當且僅當三點在一條直線上，且該直線干行于y軸，的值最?。帧唿cG的坐標為，，將其代入拋物線解析式中可得：．∴當點K的坐標為時，最?。军c睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、、三角形面積、求線段和的最小值（即將軍飲馬模型）等知識，解答的關(guān)鍵是認真審題，找出相關(guān)條件，運用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法確定解題思路，對相關(guān)信息進行推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計算．3．（1）（0,1）；1或0（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意，可得點B坐標，進而求得直線的解析式，再分情況討論即可解的m值；（2）由非負性解得m和b的值，進而得到兩個函數(shù)解析式，設(shè)與x軸、y軸交于T，P，分別與x軸、y軸交于G，H，連接GP，TH，證得四邊形GPTH是正方形，求出GP即為距離；（3）先根據(jù)解析式，用m表示出點C、E、D的坐標以及y關(guān)于x的表達式為，得知y是關(guān)于x的二次函數(shù)且開口向上、最低點為其頂點,根據(jù)坐標平移規(guī)則，得到關(guān)于m的方程，解出m值，即可得知點D、E的坐標且拋物線過D、E點，觀察圖象，即可得出S的大體范圍，如：，較小的可為平行于DE且與拋物線相切時圍成的圖形面積．【詳解】解：（1）由題意可得點B坐標為（0,1），設(shè)直線的表達式為y=kx+1，將點A（-1,0）代入得：k=1，所以直線的表達式為：y=x+1,若直線恰好是的圖象，則2m-1=1,解得：m=1，若直線恰好是的圖象，則2m+1=1,解得：m=0，綜上，，或者（2）如圖，，，，設(shè)與x軸、y軸交于T，P，分別與x軸、y軸交于G，H，連接GP，TH，四邊形GPTH是正方形，，即；（3），分別交x軸，y軸于C，E兩點，圖象交x軸于D點二次函數(shù)開口向上，它的圖象最低點在頂點頂點拋物線頂點F向上平移,剛好在一次函數(shù)圖象上且，∴，由，得到，，由得到與x軸，y軸交點是，，，拋物線經(jīng)過，兩點的圖象，線段OD，線段OE圍成的圖形是封閉圖形，則S即為該封閉圖形的面積探究辦法：利用規(guī)則圖形面積來估算不規(guī)則圖形的面積．探究過程：①觀察大于S的情況．很容易發(fā)現(xiàn)，，（若有S小于其他值情況，只要合理，參照賦分．）②觀察小于S的情況．選取小于S的幾個特殊值來估計更精確的S的近似值，取值會因人而不同，下面推薦一種方法，選取以下三種特殊位置：位置一：如圖當直線MN與DE平行且與拋物線有唯一交點時，設(shè)直線MN與x，y軸分別交于M，N，直線設(shè)直線，直線點，位置二：如圖當直線DR與拋物線有唯一交點時，直線DR與y軸交于點R設(shè)直線，直線，直線點，位置三：如圖當直線EQ與拋物線有唯一交點時，直線EQ與x軸交于點Q設(shè)直線，直線點，我們發(fā)現(xiàn)：在曲線DE兩端位置時的三角形的面積遠離S的值，由此估計在曲線DE靠近中間部分時取值越接近S的值探究的結(jié)論：按上述方法可得一個取值范圍（備注：不同的探究方法會有不同的結(jié)論，因而會有不同的答案．只要來龍去脈清晰、合理，即可參照賦分，但若直接寫出一個范圍或者范圍兩端數(shù)值的差不在0.01之間不得分．）【點睛】本題是一道綜合性很強的代數(shù)與幾何相結(jié)合的壓軸題，知識面廣，涉及有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標平移規(guī)則、非負數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程、不規(guī)則圖形面積的估計等知識，解答的關(guān)鍵是認真審題，找出相關(guān)信息，利用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法確定解題思路，利用相關(guān)信息進行推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計算．4．（1）P（2，）；（2）a的取值范圍為：a＜0或a＞4；（3）①D（m，m+3）；②2，3，4．【解析】【分析】（1）把m=1代入二次函數(shù)解析式中，進而求頂點P的坐標即可；（2）把點Q（a，b）代入二次函數(shù)解析式中，根據(jù)得到關(guān)于a的一元二次不等式即一元一次不等式組，解出a的取值范圍即可；（3）①過點D作DE⊥x軸于點E，過點A作AF⊥DE于點F，求出二次函數(shù)與y軸的交點A的坐標，得到OA的長，再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AP的解析式，進而求出與x軸的交點B的坐標，得到OB的長；通過證明△ADF≌△ABO，得到AF=OA=m，DF=OB=3，DE=DF+EF=DF+OA=m+3，求出點D的坐標；②因為二次函數(shù)的圖象與正方形ABCD的邊CD有公共點，由①同理可得：C（m+3，3），分當x等于點D的橫坐標時與當x等于點C的橫坐標兩種情況，進行討論m可能取的整數(shù)值即可．【詳解】解：（1）當m=1時，二次函數(shù)為，∴頂點P的坐標為（2，）；（2）∵點Q（a，b）在二次函數(shù)的圖象上，∴，即：∵，∴＞0，∵m＞0，∴＞0，解得：a＜0或a＞4，∴a的取值范圍為：a＜0或a＞4；（3）①如下圖，過點D作DE⊥x軸于點E，過點A作AF⊥DE于點F，∵二次函數(shù)的解析式為，∴頂點P（2，），當x=0時，y=m，∴點A（0，m），∴OA=m；設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b(k≠0)，把點A（0，m），點P（2，）代入，得：，解得：，∴直線AP的解析式為y=x+m，當y=0時，x=3，∴點B（3，0）；∴OB=3；∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB=90°，∴∠DAF=∠OAB，在△ADF和△ABO中，，∴△ADF≌△ABO（AAS），∴AF=OA=m，DF=OB=3，DE=DF+EF=DF+OA=m+3，∴點D的坐標為：（m，m+3）；②由①同理可得：C（m+3，3），∵二次函數(shù)的圖象與正方形ABCD的邊CD有公共點，∴當x=m時，，可得，化簡得：．∵，∴，∴，顯然：m=1，2，3，4是上述不等式的解，當時，，，此時，，∴符合條件的正整數(shù)m=1，2，3，4；當x=m+3時，y≥3，可得，∵，∴，即，顯然：m=1不是上述不等式的解，當時，，，此時，恒成立，∴符合條件的正整數(shù)m=2，3，4；綜上：符合條件的整數(shù)m的值為2，3，4．【點睛】本題考查二次函數(shù)與幾何問題的綜合運用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（1）拋物線的解析式為，點的坐標為；（2）；（3）點的坐標為或【解析】【分析】（1）因為拋物線經(jīng)過原點，A,B點，利用待定系數(shù)法求得拋物物線的解析式，再令y=0，求得與x軸的交點F點的坐標。（2）過點作軸于點，先求出直線與坐標軸的兩個交點，利用三角函數(shù)求出OM與OE的比值，再利用配方法求得面積的最值．（3）利用兩點間的距離公式求得，，，再利用勾股定理與分類討論求出P點的坐標．【詳解】解：拋物線經(jīng)過原點兩點在拋物線上解得故拋物線的解析式為令，則解得（舍去），故點的坐標為過點作軸于點，對于當時，；當時，設(shè)直線與軸交于點，直線的解析式為則，易求直線的解析式為令，解得故點的橫坐標為又當時，的面積最大，此時點的坐標為【提示】把代入，得設(shè)點的坐標為則，當時，即解得，故點的坐標為當時，即解得(不合題意，舍去)，故點的坐標為當時．過點作軸．交拋物線于點，連接解得，此時故點與點重合，此時綜上可知．點的坐標為【點晴】本題主要考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，拋物線與xx軸的交點，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，勾股定理，三角形的面積，兩點間的距離公式，運用了分類討論思想．6．（1），；（2）等腰直角三角形，見解析；（3）【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理及平行的性質(zhì)可得PN與PM等于DE或CE的一半，又△ABC為等腰直角三角形，AD=AE，所以得PN=PM，且互相垂直；（2）由旋轉(zhuǎn)可推出，再利用PM與PN皆為中位線，得到PM=PN，再利用角度間關(guān)系推導(dǎo)出垂直即可；（3）找到面積最大的位置作出圖形，由（2）可知PM=PM，且PM⊥PN，利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1），；已知點，，分別為，，的中點，根據(jù)三角形的中位線定理可得，，，根據(jù)平行線性質(zhì)可得，在中，，，可得，即得，故答案為：；．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得，又，∴∴，，∵點，分別為，的中點∴是的中位線∴，且，同理可證，且∴，，，∴，，∴，即為等腰直角三角形．（3）把繞點旋轉(zhuǎn)的如圖的位置，此時，且、的值最長，由（2）可知，所以面積最大值為．【點睛】本題主要考查三角形中位線的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等相關(guān)知識，解題關(guān)鍵在于找到圖形中各角度之間的數(shù)量關(guān)系．7．（1）B點坐標(0，-1)，平移后的拋物線為；（2）點M的坐標為或；（3）存在，，，，，詳解見解析．【解析】【分析】（1）將x=0代入拋物線公式求出y值，即可得到拋物線與y軸交點B的坐標，平移后的拋物線的頂點為E(1,4)，可根據(jù)頂點式求出平移后拋物線的解析式；（2）因為拋物線向上平移4個單位，所以MN=4，又因為OM=ON，可知點M的縱坐標為-2，將y=-2代入原拋物線，即可求出x值，點M的坐標就可以表示出來．（3）要使C、F、P為頂點的三角形為直角三角形，可以畫一個以C、F為直徑的圓（直徑對應(yīng)圓周角為直角），交拋物線對稱軸x=-1可得點、的坐標解，另外可以使∠PCF=90°或∠CFP=90°，可分別得出點、的坐標解．【詳解】解：（1）拋物線與y軸相交于點B，將x=0代入，求得y=-1，∴B點坐標(0，-1)．∵設(shè)平移后的拋物線為，頂點為E(1,4)，即h=1，k=4，∴，即平移后的拋物線為．（2）如上圖所示，∵原坐標頂點A(1，0)，平移后拋物線頂點為E(1,4)，∴拋物線向上平移了4個單位，即MNy軸，MNx軸，又∵OM=ON，MN=4，∴點O在垂直平分線上，點M、N關(guān)于x軸對稱，∴M點的縱坐標為–2，將代入，得：解得：，∴點M的坐標為或．（3）存在，且，，，．如圖所示，點P一共有四種結(jié)果，∵C點為平移后的解析式與x軸的左交點，將y=0代入，得，∴C(-1，0)，且點B(0，-1)，將點B(0，-1)、C(-1，0)代入直線BC解析式為：，∴，解得：，即直線BC解析式：，根據(jù)題意可知，直線BC與平移后的解析式相交于點F，∴，解得：x=-1（舍）或4，y=-5，即F(4，-5)，∵要使C、F、P為頂點的三角形為直角三角形，可以畫一個以C、F為直徑的圓，該圓與拋物線對稱軸x=-1交點即為點P（因為圓的直徑對應(yīng)的圓周角為90°，即∠CPF=90°）∴以C、F為直徑的圓，圓心為線段CF的中點(，)，直徑為線段CF的長，∴圓的方程為：，將x=1代入圓的方程，得：y=1或-6，即，，∵直線CF解析式：，即斜率k=-1，即直線CF與x軸夾角為45°，要使C、F、P為頂點的三角形為直角三角形，則使∠PCF=90°，直線CP與x軸夾角也為45°，即直線CP斜率為1，直線CP的解析式為：，此時該直線與拋物線對稱軸x=1的交點為，又∵直線CF解析式：，即斜率k=-1，即直線CF與x軸夾角為45°，要使C、F、P為頂點的三角形為直角三角形，則使∠CFP=90°，直線FP與x軸夾角也為45°，即直線FP斜率為1，直線FP的解析式為：，此時該直線與拋物線對稱軸x=1的交點為．【點睛】本題考查了一元二次函數(shù)與坐標軸、直線的交點，一元二次函數(shù)的平移及應(yīng)用，圓的直徑所對應(yīng)的圓周角為直角等知識點，該題有一定的難度，所以一定要結(jié)合圖形進行分析，這樣才不會把解遺漏．8．（1）MP=NP，180°－；（2）是等邊三角形，證明見解析；（3）的最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）由三角形的中位線的判定與性質(zhì)不難得出，MP=BD，MPBD以及NP=CE，NPCE，因此MP=NP，將利用平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為與的和求解即可．（2）有（1）同理可證MP=NP，MPBD，NPCE，在根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，，，這四個角的和，求出的度數(shù)，判斷的形狀即可．（3）由題意不難得出M的運動軌跡是以點A為圓心，為半徑的一個圓，分別找出MN最大與最小時M的位置，分別求出最大最小值即可．【詳解】（1）AB=AC，AD=DE，BD=EC，M、P分別是DE、BE的中點，MP=BD，MPBD，，同理可證：NP=CE，NPCE，MP=NP，，=+=+=180°－．（2）由旋轉(zhuǎn)可得：，AD=AE，，在與中，，≌，CE=BD，由（1）同理可證MP=BD，MPBD，NP=CE，NPCE，MP=NP，是等腰三角形，==+，=+=+，=+=+++=180°－120°=60°，是等邊三角形．（3）等腰直角中，AD=3，DE=3，M是DE的中點，AM=，M的運動軌跡是以點A為圓心，為半徑的一個圓，如圖，連接NA并延長分別交⊙A于點M1、M2，等腰直角中，AB=7，BC=7，N是BC的中點，AN=，ANBC，當點M旋轉(zhuǎn)至M1位置時，最大，=+=；當點M旋轉(zhuǎn)至M2位置時，最小，=－=．【點睛】本題較為綜合，主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線以及點的運動軌跡，本題關(guān)鍵在于利用平行線的性質(zhì)將角進行轉(zhuǎn)化以及分析出點的運動軌跡為圓．9．（1）1；（2）①、；②，；（3），【解析】【分析】（1）先求出的相關(guān)函數(shù)，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)，①分為m＜0和m≥0兩種情況將點B的坐標代入對應(yīng)的關(guān)系式求解即可；②當-3≤x＜0時，y=x2-4x+，然后可此時的最大值和最小值，當0≤x≤3時，函數(shù)y=-x2+4x-，求得此時的最大值和最小值，從而可得到當-3≤x≤3時的最大值和最小值；（3）首先確定出二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)與線段MN恰好有1個交點、2個交點、3個交點時n的值，然后結(jié)合函數(shù)圖象可確定出n的取值范圍．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，一次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為，∴把點代入，則，∴；（2）根據(jù)題意，二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為，①當m＜0時，將B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+，解得：m=2+（舍去）或m=．當m≥0時，將B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，解得：m=2+或m=2．綜上所述：m=或m=或m=．②當-3≤x＜0時，y=x2-4x+，拋物線的對稱軸為x=2，此時y隨x的增大而減小，∴當時，有最大值，即，∴此時y的最大值為．當0≤x≤3時，函數(shù)y=-x2+4x，拋物線的對稱軸為x=2，當x=0有最小值，最小值為，當x=2時，有最大值，最大值y=．綜上所述，當-3≤x≤3時，函數(shù)y=-x2+4x的相關(guān)函數(shù)的最大值為，最小值為；（3）如圖1所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有1個公共點．∴當x=2時，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如圖2所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個公共點．∵拋物線y=x2-4x-n與y軸交點縱坐標為1，∴-n=1，解得：n=-1．∴當-3＜n≤-1時，線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點．如圖3所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個公共點．∵拋物線y=-x2+4x+n經(jīng)過點（0，1），∴n=1．如圖4所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點．∵拋物線y=x2-4x-n經(jīng)過點M（，1），∴+2-n=1，解得：n=．∴1＜n≤時，線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點．綜上所述，n的取值范圍是-3＜n≤-1或1＜n≤．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)圖象上點的坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系，求得二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)與線段MN恰好有1個交點、2個交點、3個交點時n的值是解題的關(guān)鍵．10．（1）1；（2）y=；（3）PD的長為±1或．【解析】試題分析：（1）根據(jù)矩形ABCD，A、P、F在一條直線上，且PF⊥BD，可得，，得一，從而可得；（2）先證明∽，從而得到，由AD//BC，可得，從而根據(jù)三角函數(shù)可得，由得，代入，即可得；（3）分∠CPF的∠FPE的內(nèi)部與外部兩種情況進行討論即可得.試題解析：（1）∵矩形ABCD，∴，∴，∵A、P、F在一條直線上，且PF⊥BD，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵PF⊥BP，∴，∴，∵，∴，∴，又∵∠BAP=∠FPE，∴∽，∴，∵AD//BC，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴；（3）∠CPF=∠BPE，①如圖所示，當點F在CE上時，∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，∴△PAB∽△CPD，∴PB：CD=AB：PD，∴PB·PD=CD·AB，∴x（）=2×2，∴x=；②如圖所示，當點F在EC延長線上時，過點P作PN⊥CD于點N，在CD上取一點M，連接PM，使∠MPF=∠CPF，則有PC：PM=CH：MH，∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，∵∠ABD=∠BDC，∴△PAB∽△MPD，∴PB：MD=AB：PD，由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，易得：DN=，PN=，CN=2-，PH=2x，F(xiàn)H=，CH=2-x，由PB：MD=AB：PD可得MD=，從而可得MN，在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，由PC：PM=CH：MH可得PM，在在Rt△PMN中利用勾股定理可得關(guān)于x的方程，解得x=，綜上：PD的長為：或.【點睛】本題考查了相似綜合題，涉及到的知識點有相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形正確地確定相似的三角形，添加適當?shù)妮o助線等.11．（1）EF=2；（2）y＝x（0≤x≤12）；（3）滿足條件的CN的值為或12．【解析】【分析】（1）在Rt△BEF中，利用勾股定理即可解決問題．（2）根據(jù)速度比相等構(gòu)建關(guān)系式解決問題即可．（3）分兩種情形如圖3﹣1中，當MN∥DF，延長FE交DC的延長線于H．如圖3﹣2中，當MN∥DE，分別利用平行線分線段成比例定理構(gòu)建方程解決問題即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵AF＝BE＝2，∴BF＝6﹣2＝4，∴EF＝＝＝2．（2）由題意：＝，∴＝，∴y＝x（0≤x≤12）．（3）如圖3﹣1中，延長FE交DC的延長線于H．∵△EFB∽△EHC，∴＝＝，∴＝＝，∴EH＝6，CH＝12，當MN∥DF時，＝，∴＝，∵y＝x，解得x＝，如圖3﹣2中，當MN∥DE時，＝，∴＝，∵y＝x，解得x＝12，綜上所述，滿足條件的CN的值為或12．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．12．（1）；（2）P（，），面積最大為；（3）CM+MB最小值為，M（，0）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；（2）由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，設(shè)P（a，a-3），得出PD的長，列出S△BDC的表達式，化簡成頂點式，即可求解；（3）取G點坐標為（0，），過M點作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情況，再將直線BG、直線B′C的解析式求出，求得M點坐標和∠CGB的度數(shù)，再根據(jù)∠CGB的度數(shù)利用三角函數(shù)得出最小值B′C的值.【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），代入表達式，解得a=1，b=-2，c=-3，∴故該拋物線解析式為：.（2）令，∴x1=-1，x2=3，即B（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，將B、C代入得：k=,1，b′=-3，∴直線BC的解析式為y=x-3，設(shè)P（a，a-3），則D（a，a2-2a-3），∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）=-a2+3aS△BDC=S△PDC+S△PDB=PD×3=，∴當a=時，△BDC的面積最大，且為為，此時P（，）；（3）如圖，取G點坐標為（0，），連接BG，過M點作MB′⊥BG，∴B′M＝BM，當C、M、B′在同一條直線上時，CM+MB最小.可求得直線BG解析式為：，∵B′C⊥BG故直線B′C解析式為為，令y=0，則x=，∴B′C與x軸交點為（，0）∵OG=，OB=3，∴∠CGB=60°，∴B′C=CGsin∠CGB==，綜上所述：CM+MB最小值為，此時M（，0）.【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平行線的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題、判別式的應(yīng)用以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．13．（1）見解析；（2）；（3）①或；②或【解析】【分析】（1）連接DO，如圖，先根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，得出∠1=∠3，從而得到DO∥BC，再根據(jù)∠C=90°，可得出結(jié)果；（2）連接FO，根據(jù)E為中點，可以得出，在Rt△AOD中，可以求出sinA的值，從而得出∠A的度數(shù)，再證明△BOF為等邊三角形，從而得出∠BOF的度數(shù)，根據(jù)弧長公式可得出結(jié)果；（3）①設(shè)圓的半徑為r，過作于，則，四邊形是矩形．再證明，得出，據(jù)此列方程求解；②作出點F關(guān)于BD的對稱點F′，連接DE，DF，DF′，F(xiàn)F′，再證明，最后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．【詳解】（1）證明：連結(jié)，∵平分，∴，∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴是的切線．（2）解：∵是中點，∴．∴，∴，．連接FO，又BO=OF，∴△BOF為等邊三角形，∴．∴．（3）解：①過作于，則，四邊形是矩形．設(shè)圓的半徑為，則，．∵，∴．而，∴．∴即，解之得，．②作出點F關(guān)于BD的對稱點F′，連接FF′，DE，DF，DF′，∵∠EBD=∠FBD，∴．∵是直徑，∴，而、關(guān)于軸對稱，∴，，DF=DF′，∴DE∥FF′，DE=DF′，∠DEF′=∠DF′E，∴，∴.當時，，，，由①知，而，∴.又易得△BCD∽△BDE,∴，∴BD2=.在Rt△BED中，DE2=BE2-BD2=4-=，∴DE==DF′.∴與的面積比．同理可得，當時，與的面積比．∴與的面積比為或．【點睛】本題是圓與相似的綜合題，主要考查切線的判定，弧、弦長與圓周角的關(guān)系，弧長的求法，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線再求解．14．（1）①，；②不存在，作圖與理由見解析，；③四邊形EFGH是平行四邊形，是中心對稱圖形；（2）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）①首先確定點的縱坐標為，點又是反比例函數(shù)的圖象上的點即滿足反比例函數(shù)關(guān)系式，代入即可求得相對應(yīng)的橫坐標；點是雙曲線和正方形能夠相交的臨界點，從而得到的取值范圍．（2）根據(jù)（1）的情況，類比進而求解．【詳解】解：（1）①∵以原點為中心的正方形的邊長為，∴點的縱坐標為∵點在反比例函數(shù)的圖象上∴∴∴∵存在曲邊四邊形EFGH，在反比例函數(shù)的圖象上∴∴又∵∴的取值范圍是：②結(jié)論：此時不存在曲邊四邊形理由：將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)后位置如圖：∵以原點為中心的正方形的邊長為∴正方形的對角線為∴∴的中點的坐標為∵對于反比例函數(shù)來說，能否構(gòu)成曲邊四邊形的臨界點是的中點當時，∴∴此時不存在曲邊四邊形．當把圖1中的正方形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°時，若存在曲邊四邊形，則旋轉(zhuǎn)任意角度時，存在曲邊四邊形對于反比例函數(shù)來說，能否構(gòu)成曲邊四邊形的臨界點是的中點當，時，存在曲邊四邊形∴∴使曲邊四邊EFGH存在的k的取值范圍是：．③將圖1中的正方形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度得到曲邊四邊形EFGH，如圖所示，由正方形和雙曲線的對稱性可知，E，G關(guān)于原點對稱，F(xiàn)，H關(guān)于原點對稱即OE=OG，OF=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，曲邊四邊形是中心對稱圖形．（2）存在，理由如下：如圖所示，連接OB，OA，OD，作ON⊥AB于N，AP⊥y軸于P，DQ⊥x軸于Q，∵ABCD為正方形，∴OA⊥OB，OA⊥OD，OA=OB=OD，即△OAB為等腰直角三角形∴ON=AB=AN=4，∴MN=AN-AM=4-1=3∴OM=∵∠ONM=∠APM=90°，∠OMN=∠AMP∴△ONM∽△AMP∴，即∴AP=，PM=∴OP=OM+PM=，則A點坐標為∴則反比例函數(shù)為由正方形的對稱性和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△OAP≌△ODQ∴OQ=OP=，DQ=AP=∴D點坐標為設(shè)直線AD解析式為將A，D代入得解得，∴直線AD解析式為令整理得則方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴直線AD與反比例函數(shù)有兩個不同的交點∴曲邊四邊EFGH存在【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)，是一道新定義問題．15．（1）y＝-x2-2x＋6；（2）存在，D(,)；（3）-4≤t＜-3或0＜t≤5．【解析】【分析】（1）根據(jù)點A的坐標結(jié)合線段AB的長度，可得出點B的坐標，根據(jù)點A，B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；（2）由拋物線解析式，求出頂點C的坐標，從而求出直線BC解析式，設(shè)D(d,-3d+4)，根據(jù)已知可知AD=AB=6時，△ABC∽△BAD，從而列出關(guān)于d的方程，解方程即可求解；（3）將拋物線的表達式變形為頂點時，依此代入點A，B的坐標求出t的值，再結(jié)合圖形即可得出：當拋物線與線段AB有且只有一個公共點時t的取值范圍．【詳解】（1）∵點A的坐標為（-4，-2），將點A向右平移6個單位長度得到點B，∴點B的坐標為（2，-2）．∵拋物線y＝-x2+bx＋c過點，∴,解得∴拋物線表達式為y＝-x2-2x＋6（2）存在.如圖由（1）得，y＝-x2-2x＋6＝-(x+1)2＋7，∴C(-1,7)設(shè)直線BC解析式為y＝kx＋b∴解之得，∴l(xiāng)BC：y＝-3x＋4設(shè)D(d,-3d+4)，∵在△ABC中AC=BC∴當且僅當AD=AB=6時，兩三角形相似即(-4-d)2+(-2+3d-4)2=36時，△ABC∽△BAD，解之得，d1=、d2=2(舍去)∴存在點D，使△ABC和以點A,B,D構(gòu)成的三角形相似，此時點D(,)；（3）如圖：拋物線y＝-x2+bx＋c頂點在直線上∴拋物線頂點坐標為∴拋物線表達式可化為．把代入表達式可得解得．又∵拋物線與線段AB有且只有一個公共點，∴-4≤t＜-3．把代入表達式可得．解得，又∵拋物線與線段AB有且只有一個公共點，∴0＜t≤5．綜上可知的取值范圍時-4≤t＜-3或0＜t≤5．【點睛】本題考查了點的坐標變化、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形相似，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的變化，找出點B的坐標，根據(jù)點A，B的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式；（2）假設(shè)△ABC∽△BAD，列出關(guān)于d的方程，（3）代入點A，B的坐標求出t值，利用數(shù)形結(jié)合找出t的取值范圍．16．（1）1；（2）矩形DEFG面積的最小值為；（3）當△CDG為等腰三角形時，t的值為或4或【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖象可知，△ADC的面積為6，求出AC=5cm，再由圖象可知運動時間為5s，則可得出答案；（2）過點E作MN⊥BC，MN與射線BC相交于點N，與AD相交于點M，證明△ENF∽△DME，得出，證明△ENC∽△ABC，得出EF=DE，則S矩形DEFG=EF?DE=DE2．當DE⊥AC時，DE取得最小值，則可得出答案；（3）證明△CDG∽△ADE，得出，可分三種情況：當CG=DG時，當CG=CD時，當CD=DG時，分別求出t的值即可．【詳解】（1）由圖象可知，△ADC的面積為6，∵矩形ABCD中，AB=3cm，∴CD=3cm，∴S△ADC=×AD×CD=6，∴AD=4cm，∴AC=(cm)，由圖象可知當t=5時，點E移動到點C，∴(cm/s)．故答案為：1；（2）如圖1，過點E作MN⊥BC，MN與射線BC相交于點N，與AD相交于點M，則在Rt△ENF和Rt△DME中，∵∠NEF+∠MED=90°，且∠MDE+∠MED=90°，∴∠NEF=∠MDE，又∵∠ENF=∠DME=90°，∴△ENF∽△DME，∴，∵EN∥AB，∴△ENC∽△ABC，∴，∴，∴，∴，∴，由垂線段最短知，當DE⊥AC時，DE取得最小值，此時，即，∴矩形DEFG面積的最小值為；（3）∵∠EDG=∠ADC=90°，∴∠EDG-∠EDC=∠ADC-∠EDC，∴∠CDG=∠ADE，又∵，∴△CDG∽△ADE，∴，①如圖2，當CG=DG時，有AE=DE，此時點E為AC的中點，，∴；②如圖2，當CG=CD時，有AE=AD，此時AE=4，∴t=4；③如圖3，當CD=DG時，有AD=DE，∴DE=4，過點D作DH⊥AC于點H，∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，∴△ADH∽△ACD，∴，即，∴，∴，∴．綜合以上可得，當△CDG為等腰三角形時，t的值為或4或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，矩形的面積等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（1）①（4，1）；（4，5）；4；②16；③見解析；（2）m+n=32．【解析】【分析】(1)①把點B的橫坐標4代入雙曲線得出其坐標，利用D點的橫坐標與B點的橫坐標相等可得出D點坐標由B、D坐標可求出BD的長；②由BD∥y軸，BD⊥AC，點P的縱坐標，可得出A、C兩點坐標，從而求出AC長，根據(jù)AC、BD的值求出ABCD的面積；③先確定出點D坐標，進而確定出點P坐標，進而求出PA，PC，即可得出結(jié)論；（2）先確定出B（4，），D（4，），進而求出點P的坐標，再求出A，C坐標，最后用AC=BD，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵，點B得橫坐標為4，且在圖像上，∴B點的坐標為（4，1）∵，點D的橫坐標等于點B的橫坐標為4，且在圖像上，∴D點坐標為（4，5），∵B（4，1），D（4，5）∴BD=5-1=4．②∵BD∥y軸，BD⊥AC，點P的縱坐標為2，∴A（2，2），C（10，2）．∴AC=8．∴．③∵B（4，1），D（4，5），點P是線段BD的中點，∴P（4，3）．∵BD∥y軸，BD⊥AC，∴A（，3），C（，3）．∴PA=4-=，PC=-4=．∴PA=PC．∵PB=PD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．∵BD⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形．（2）∵當四邊形ABCD是正方形時，∴BD=AC當x=4時，∴B（4，），D（4，），∴P（4，）∴A（，），C（，）∵AC=BD∴-=-，∴m+n=32．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、菱形的判定以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）①利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，找出點A，B的坐標；②利用A、C坐標，求出四邊形ABCD面積；③利用AC，BD互相垂直平分，找出四邊形ABCD為菱形；（2）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，找出m，n之間的關(guān)系．18．（1）①詳見解析；②2；（2）詳見解析；（3）BD＝．【解析】【分析】（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可．②解直角三角形求出PA，再利用全等三角形的性質(zhì)證明PQ＝PA即可．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通過計算證明DF＝FQ即可解決問題．（3）如圖3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．設(shè)BD＝x，則CD＝x﹣t，，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可解決問題．【詳解】（1）解：①補全圖形如圖所示：②∵△ABD是等邊三角形，AC⊥BD，AC＝1∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°∴∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠PAD＝90°∴PA＝AD?tan60°＝2∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ∴△PDA≌△PDQ（SAS）∴PQ＝PA＝2．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H，如圖：∵PA⊥AD，∴∠PAD＝90°由題意可知∠ADP＝45°∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP∴PA＝PD∵∠ACB＝90°∴∠ACD＝90°∵AH⊥PF，PF⊥BQ∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°∴四邊形ACFH是矩形∴∠CAH＝90°，AH＝CF∵∠ACH＝∠DAP＝90°∴∠CAD＝∠PAH又∵∠ACD＝∠AHP＝90°∴△ACD≌△AHP（AAS）∴AH＝AC＝1∴CF＝AH＝1∵，BC＝1，B，Q關(guān)于點D對稱∴，∴∴F為DQ中點∴PF垂直平分DQ∴PQ＝PD．（3）如圖3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．設(shè)BD＝x，則CD＝x﹣t，∵PD＝PQ，PF⊥DQ∴∵四邊形AHFC是矩形∴∵△ACB∽△PAD∴∴∴∵△PAH∽△DAC∴∴解得∴．故答案是：（1）①詳見解析；②2；（2）詳見解析；（3）．【點睛】本題是三角形綜合題目，主要考查了三角形的旋轉(zhuǎn)、等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形、相似三角形、直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．（1）①詳見解析；②30°；（2）【解析】【分析】（1）①過G作MN⊥CD于N，與AB交于點M，則MN∥AD，證明AM=BM，再證明四邊形ADNM是矩形，得MN垂直平分CD，再根據(jù)垂直平分線定理得結(jié)論；②連接CF，證明CF=2CD，延長CD至H，使得DH=CD，連接EH，則CF=CH，由垂直平分線的性質(zhì)得CF=HF=C